2.4.2二次函数的应用——商品利润最大问题 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.4.2二次函数的应用——商品利润最大问题 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-06 09:31:00 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
2.4.2二次函数的应用——商品利润最大问题
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标：1、熟练掌握用二次函数的性质求出商品利润的最大值问题，
学会根据具体情况，由二次函数的性质，表示出正确的最大值；
2、学会根据实际问题的自变量的取值范围求出符合条件的商品
利润具体值，可以准确掌握二次函数的实际应用．
教学重点:运用二次函数的知识求出销售问题中的最大(小)值．
教学难点：能根据实际问题建立二次函数的关系式，并能求出二次函数的最值．
新知讲解
合作学习
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
思考：商品买卖过程中，作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获得最大利润呢？
合作学习
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是：
销售利润=单件利润×销售量
选择什么量设呢？
方法一：
化简得：
若设批发单价为x元，则：
单件利润为 。
降价后的销售量为 。
利润用y元表示，则 。
若设每件T恤衫降x元，则：
单件利润为 。
降价后的销售量为 。
利润用y元表示为 。
方法二：
化简得：
方法三：
若设批发价下降0.1x元，则：
单件利润为： 。
降价后的销售量为： 。
利润用y元表示为 。
化简得：
(13-0.1x-10)元
（5000+500x）元
提炼概念
1. 求销售中的最大利润问题一般是运用“总利润=总售价 - ”或“总利润= ×销售数量” 建立利润与价格之间的函数关系式.
2. 求实际问题中的最值问题时，一般分为三步：
（1）利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式.
（2）把关系式转化为 的关系式.
（3）求二次函数的最大值或最小值.
每件商品的利润
总成本
二次函数
典例精讲
例：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
解：设客房的日租金增加x个10元，则客房每天的出租数减少6x间，设客房日租金的总收入为y元，
则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19 440.
∵x ≥0，且120-6x＞0，∴0 ≤ x＜20.
当x=2时， y有最大值19 440.
这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）.
即旅社将每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入为19440元.
归纳概念
用二次函数解决最值问题的一般步骤：
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
课堂练习
1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
【详解】解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250
∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元，故选：D．
2. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？利润最大是多少？
解：设销售单价为x元时，半月内获得的利润为y元，则
所以当销售单价为35元时，半月内获得的利润最大，为4500元.
【解析】设每件涨价x元，则y=(60+x-40)(300-10x)，
(0≤x≤30)
即y=-10（x-5）2+6250
∴当x=5时，y最大值=6 250.
怎样确定x的取值范围
3.（1）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6 250元.
也可以这样求最值：
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案.
【解析】设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润：
y=(300+20x)(60-40-x)
=-20(x -5x+6.25)+6 125
=-20（x-2.5） +6 125
∴x=2.5时，y最大值=6 125.
怎样确定x的取值范围
（0＜x＜20）
（2）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
课堂总结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
确定自变量的取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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2.4.2二次函数的应用——商品利润最大问题
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标：1、熟练掌握用二次函数的性质求出商品利润的最大值问题，
学会根据具体情况，由二次函数的性质，表示出正确的最大值；
2、学会根据实际问题的自变量的取值范围求出符合条件的商品
利润具体值，可以准确掌握二次函数的实际应用．
教学重点:运用二次函数的知识求出销售问题中的最大(小)值．
教学难点：能根据实际问题建立二次函数的关系式，并能求出二次函数的最值．
新知讲解
合作学习
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
思考：商品买卖过程中，作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获得最大利润呢？
合作学习
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是：
销售利润=单件利润×销售量
选择什么量设呢？
方法一：
化简得：
若设批发单价为x元，则：
单件利润为 。
降价后的销售量为 。
利润用y元表示，则 。
若设每件T恤衫降x元，则：
单件利润为 。
降价后的销售量为 。
利润用y元表示为 。
方法二：
化简得：
方法三：
若设批发价下降0.1x元，则：
单件利润为： 。
降价后的销售量为： 。
利润用y元表示为 。
化简得：
(13-0.1x-10)元
（5000+500x）元
提炼概念
1. 求销售中的最大利润问题一般是运用“总利润=总售价 - ”或“总利润= ×销售数量” 建立利润与价格之间的函数关系式.
2. 求实际问题中的最值问题时，一般分为三步：
（1）利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式.
（2）把关系式转化为 的关系式.
（3）求二次函数的最大值或最小值.
每件商品的利润
总成本
二次函数
典例精讲
例：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
解：设客房的日租金增加x个10元，则客房每天的出租数减少6x间，设客房日租金的总收入为y元，
则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19 440.
∵x ≥0，且120-6x＞0，∴0 ≤ x＜20.
当x=2时， y有最大值19 440.
这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）.
即旅社将每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入为19440元.
归纳概念
用二次函数解决最值问题的一般步骤：
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
课堂练习
1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
【详解】解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250
∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元，故选：D．
2. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？利润最大是多少？
解：设销售单价为x元时，半月内获得的利润为y元，则
所以当销售单价为35元时，半月内获得的利润最大，为4500元.
【解析】设每件涨价x元，则y=(60+x-40)(300-10x)，
(0≤x≤30)
即y=-10（x-5）2+6250
∴当x=5时，y最大值=6 250.
怎样确定x的取值范围
3.（1）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6 250元.
也可以这样求最值：
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案.
【解析】设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润：
y=(300+20x)(60-40-x)
=-20(x -5x+6.25)+6 125
=-20（x-2.5） +6 125
∴x=2.5时，y最大值=6 125.
怎样确定x的取值范围
（0＜x＜20）
（2）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
课堂总结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
确定自变量的取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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