1.1.1 等腰三角形（1）课件(共26张PPT)

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新课标 北师大版
八年级下册
1.1.1 等腰三角形（1）
第一章
三角形的证明
学习目标
1、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程证明等腰三角形的有关性质，并能运用性质定理去解决实际问题；
2、在证明的过程中发现数学证明的要求和步骤，体会证明思想.
情境导入
北京五塔寺
西安半坡博物馆
斜拉桥梁
体育观看台架
埃及金字塔
建筑物中有你熟悉的几何图形吗
探究新知
核心知识点一：
全等三角形的判定和性质
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
在“平行线的证明”这一章中，我们学了8条基本事实定理.运用这些基本事实和已学习的定理，你能证明有关三角形全等的一些结论吗？
比如：
探究新知
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
思考：证明命题的步骤是什么？
探究新知
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
F
E
D
C
B
A
探究新知
全等三角形判定定理:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
符号语言：
在△ABC与△A′B′C′中
∴ △ABC≌△A′B′C′（AAS）.
探究新知
根据全等三角形的定义，我们可以得到
符号语言：
∵△ABC≌△A′B′C′
∴ ∠A=∠A′,∠B=∠B′ ,∠C=∠C′
AB=A′B′, AC=A′C′, BC=B′C′.
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
探究新知
核心知识点二：
等腰三角形的性质及其推论
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
如图所示△ABC中，AB=AC，则△ABC就是等腰三角形。
注意：只有等腰三角形才有底角和底边.
2、另一条边BC叫做底边;
3、两腰所夹的角∠BAC叫做顶角;
4、底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫做底角.
1、相等的两条边AB和AC叫做腰;
1.定义：
顶角
底角
底角
底边
A
B
C
相关概念
探究新知
思考：(1)还记得我们知道的等腰三角形的性质吗
(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
自己折纸并观察，试写出等腰三角形的性质.
→
→
D
C
B
A
D
C
B
A
D
(C)
B
A
探究新知
A
B
C
D
如右图所示△ABC具有哪些性质？
角: ① ∠B = ∠C
② ∠BAD=∠CDA
③∠ADC= ∠ADB=900
边: ④BD = CD
对称性:
等腰三角形具有对称性
请你选择等腰三角形的一条性质进行证明
探究新知
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等. 实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形. 这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.
探究新知
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
证明：取BC的中点D ，连接AD，
∵ AB=AC， BD=CD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SSS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
D
你还有其他证明方法吗？
探究新知
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
D
证明：作顶角∠A的平分线，交BC于D ，
∵ AB=AC， ∠ BAD= ∠ CAD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SAS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
探究新知
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
D
证明：过点A作底边BC上的高，交BC于D ，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵ AB=AC， AD=AD,
∴△ABD≌△ACD （HL）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
定理：等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
几何语言：
∵AB=AC（已知）
∴ B= C（等边对角）
探究新知
在证明等腰三角形性质的方法中，不论是作顶角的平分线，还是作底边的中线，或者是底边的高线，都能通过两三角形的全等得出：所作辅助线既是顶角平分线，又是底边中线、高线.
你能总结出这个性质吗？
探究新知
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
符号语言:
∵AB=AC，
∴
AD⊥BC.
BD＝CD.
∠BAD=∠CAD.
·
D
探究新知
随堂练习
1．下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是(　　)
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
B
随堂练习
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中不一定正确的是(　　)
A．∠BAD＝∠CAD
B．AD⊥BC
C．∠B＝∠C
D．∠BAC＝∠B
D
随堂练习
3.如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，则∠D的度数为(　 　)
A.85°
B.75°
C.65°
D.30°
B
随堂练习
4.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( 　)
A.55°,55°
B.70°,40°或70°,55°
C.70°,40°
D.55°,55°或70°,40°
D
随堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F.
(1)求证：∠CBE=∠BAD.
(2)若CE=FE，求证：AF=2BD.
证明:(1)∵AB=AC，AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，∴∠C+∠CAD=90°.
∵BE⊥AC，∴∠C+∠CBE=90°,
∴∠CBE=∠CAD，∴∠CBE=∠BAD.
随堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F.
(1)求证：∠CBE=∠BAD.
(2)若CE=FE，求证：AF=2BD.
(2)由(1)可知，∠CBE=∠FAE，∠BEC=∠AEF=90°,
∵CE=FE，∴△BCE≌△AFE，∴AF=BC.
∵AD为BC边上的中线，∴BC=2BD，
∴AF=2BD.
课堂小结
1．知识方面：
（1）等腰三角形的性质：等边对等角.
（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线
互相重合.
2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是
证明角相等、边相等的重要方法.
谢 谢 ~