1.1.3 等腰三角形（3）课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
新课标 北师大版
八年级下册
1.1.3等腰三角形（3）
第一章
三角形的证明
学习目标
1.探索等腰三角形判定定理．
2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。
情境导入
1.等腰三角形的两底角相等．
（简写成“等边对等角”）
A
B
C
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
等腰三角形有哪些性质？
文字语言
符号语言
2.等腰三角形是轴对称图形
情境导入
3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．（简称“三线合一”）
A
B
C
D
①∵AB=AC，BD=CD
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
②∵AB=AC，∠BAD=∠CAD
∴BD=CD，AD⊥BC
③∵AB=AC，AD⊥BC
∴ BD=CD，∠BAD=∠CAD
文字语言
符号语言
①②③中
知一得二
探究新知
核心知识点一：
等腰三角形的判定
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么他们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
A
B
C
探究新知
猜想：若∠B= ∠C,则AB=AC
做一做：如图，在△ABC中，如果∠B
=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
3cm
3cm
测量后发现AB与AC相等.
探究新知
分析：如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明 AB=AC，
只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC 成为对应边就可以了.
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .
探究新知
证明： 作AD⊥BC于点D，
∴ ∠ADB= ∠ADC=90°.
又∵ ∠B= ∠C ， AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD.
∴ AB=AC.
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .
D
探究新知
归纳总结
1．判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形．
(简称等角对等边)
应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,
∴AB＝AC.
A
C
B
探究新知
归纳总结
A
C
B
2．等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
即： ．
探究新知
例： 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
探究新知
核心知识点二：
反证法
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，即在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.你认为这个结论成立吗？如果成立，请证明.
探究新知
C
A
B
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时, AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C，“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗
利用了“反证法”
探究新知
归纳总结
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
探究新知
归纳总结
用反证法证题的一般步骤
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与
定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题
的结论正确.
探究新知
例： 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A和∠B是 直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.
于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“∠A和∠B是 直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
适宜用反证法证明的命题：
反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：
(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；
(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．
归纳总结
探究新知
随堂练习
1.把下列命题用反证法证明时的第一步写出来.
（1）三角形中必有一个内角不小于60度；
（2）一个三角形中不能有两个角是钝角；
（3）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
假设三角形中三个内角都小于60度
假设一个三角形中有两个角是钝角
假设在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线不平行
随堂练习
2.已知△ABC三个内角的对边分别为a，b，c，则下列条件中，△ABC不是等腰三角形的是(　　)
A. a=3，b=3，c=4
B. a∶b∶c=4∶5∶6
C. ∠B=50°，∠C=80°
D. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
B
随堂练习
3.已知△ABC中，AB=AC，求证:∠B<90°.
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾;
②因此假设不成立,所以∠B<90°;
③假设在△ABC中,∠B≥90°;
④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是　　　　　　.(填序号)
③④①②
随堂练习
4.在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( 　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
B
随堂练习
6. 如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中等腰三角形的个数是　　　　.
5. 在△ABC中,∠A=50°,若∠B=　　 　　,则△ABC是等腰三角形.
50°或65°
3
随堂练习
7. 如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,
AF与DE相交于点G.求证:GE=GF.
证明:如图.∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∵AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,
∴△ABF≌△DCE,
∴∠1=∠2,
∴GE=GF.
随堂练习
证明：∵ DE∥BC ，
∴∠DBC=∠EDB .
又∵BD是∠ABC的平分线 ，
∴∠ ABD= ∠CBD. ∴∠EDB = ∠ABD .
∴ BE=ED（等角对等边），
∴ △EBD是等腰三角形.
A
B
C
E
D
8.如图，在△ABC 中，∠ABC的平分线交 AC于点 D，DE∥BC.
求证：△EBD是等腰三角形.
随堂练习
9. 用反证法证明:等腰三角形的两底角必为锐角.
证明:①假设等腰三角形ABC的底角∠B,∠C都是直角,则　　　　　　　　,
从而　　　　　　　>180°, 这与　　　　　　　　　 矛盾.
②假设等腰三角形ABC的底角∠B,∠C都是钝角,
则　　　　　　,从而　　　　　　　　　, 这与　　　　　　　 　矛盾.
综上所述,假设①②　　　　 ,所以∠B,∠C只能为　　　.
故等腰三角形的两底角必为锐角.
∠B=∠C=90°
∠A+∠B+∠C
三角形内角和为180°
∠B=∠C>90°
∠A+∠B+∠C>180°
三角形内角和为180°
均不成立
锐角
课堂小结
等腰三角形的判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.
谢 谢 ~