第6讲 分式方程
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考纲要求 命题趋势
1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题．3．会列分式方程解决实际问题. 中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点.
知识梳理
一、分式方程
1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程．
2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征：
(1)增根使__________为零；
(2)增根是分式方程化成的__________方程的根．
二、分式方程的基本解法
解分式方程的一般步骤：
(1)去分母，把分式方程转化为__________方程．
(2)解这个整式方程，求得方程的根．
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．
三、分式方程的实际应用
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；
(2)检验所求的解是否符合实际．
自主测试
1．分式方程－＝的解为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝5 D．无解
2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，那么两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则a的取值范围是__________．
考点一、分式方程的解法
【例1】解方程：＝.
分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．
解：原方程两边同乘6x，得3(x＋1)＝2x·(x＋1)，整理得2x2－x－3＝0，解得x＝－1或x＝.经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x＝－1或x＝.
方法总结 解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．
触类旁通1 解方程：＋＝.
【例2】解方程：＋＝.
解：设＝y，则原方程化为y＋＝.
解得y1＝2，y2＝.当y＝2时，＝2，解得x＝－1；
当y＝时，＝，解得x＝2.
经检验，x1＝－1，x2＝2均符合题意，
所以原方程的解为x1＝－1，x2＝2.
方法总结 解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：第一种情况是“倒数型”，如＋＝，由于与互为倒数，当设＝y时，原方程可化为2y＋＝；第二种情况是“平方型”，如2－2－3＝0，此时设x－＝y，则原方程可化为y2－2y－3＝0.
触类旁通2 方程－＝0的根是________．
考点二、分式方程的增根
【例3】分式方程－1＝有增根，则m的值为( )
A．0或3 B．1
C．1或－2 D．3
解析：由(x－1)(x＋2)＝0得增根可能是x＝1或x＝－2，把方程两边都乘(x－1)(x＋2)得x(x＋2)－(x－1)·(x＋2)＝m，当x＝1时，得m＝3，当x＝－2时，得m＝0，此时方程变为－1＝0，即x＝x－1，此时方程无解，故m＝0舍去，∴当m＝3时，原方程有增根x＝1.
答案：D
方法总结 利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．
触类旁通3 若解分式方程＝－1时产生增根，则m的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
考点三、分式方程的应用
【例4】某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？
解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得－＝0.6，
化简，得x2＋3x－130＝0，解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10.经检验：x＝10符合题意．
答：该品牌饮料一箱有10瓶．
方法总结 列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．
触类旁通4 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工要多用30天才可完成．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
1．(2012浙江丽水)把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )
A．x B．2x
C．x＋4 D．x(x＋4)
2．(2012四川宜宾)分式方程－＝的解为( )
A．3 B．－3 C．无解 D．3或－3
3．(2012浙江台州)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( )
A．＝× B．＝×
C．＋＝ D．＝－
4．(2012四川攀枝花)若分式方程：2＋＝有增根，则k＝__________.
5．(2012广东梅州)解方程：＋＝－1.
6．(2012山东临沂)某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件．若加工1 800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍．求手工每小时加工产品的数量．
1．解方程＋＝3时，设＝y，则原方程化为y的整式方程为( )
A．2y2－6y＋1＝0 B．y2－3y＋2＝0
C．2y2－3y＋1＝0 D．y2＋2y－3＝0
2．分式方程＝的解是( )
A．x＝－2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝1或x＝2
3．若关于x的方程－＝0没有增根，则m的值不能是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
4．某单位向一所希望小学赠送1 080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为( )
A．＝＋12 B．＝－12
C．＝－12 D．＝＋12
5．已知x＝1是分式方程＝的根，则实数k＝________.
6．若与1互为相反数，则x的值是__________．
7．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为__________．
8．解分式方程：(1)＋1＝；
(2)－＝1.
9．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 去分母，得3－2x＝x－2，解得x＝.经检验x＝是原方程的解．
2．C 相等关系为：货车行驶25千米所用时间＝小车行驶35千米所用时间．
3．a≤－1 去分母，得a＋2＝x＋1，解得x＝a＋1，由题意得a＋1≤0，所以a≤－1.
探究考点方法
触类旁通1．解：去分母，得x(x－2)＋(x＋2)2＝8.
去括号，得x2－2x＋x2＋4x＋4＝8.
整理，得x2＋x－2＝0.解得x1＝－2，x2＝1.
检验，当x1＝－2时，x2－4＝4－4＝0，∴x1＝－2是增根；
当x2＝1时，x2－4＝1－4＝－3≠0，
∴原方程的根是x＝1.
触类旁通2．解：－＝0，
60x＋180＝66x，
x＝30.
触类旁通3．C 使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根．
∵＝－1有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当x＝1时，解得m＝－1.
触类旁通4．解：(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)天完成此项工程．由题意，得20＝1，
整理，得x2－10x－600＝0，
解得x1＝30，x2＝－20.
经检验：x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解．
但x2＝－20不符合题意舍去，x＋30＝60.
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．
(2)设甲单独做a天后，甲、乙再合作天，可以完成此项工程．
(3)由题意，得1×a＋(1＋2.5)≤64，
解得a≥36.
答：甲工程队至少要单独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．
品鉴经典考题
1．D
2．C 解方程去分母得12－2(x＋3)＝x－3解得x＝3，经检验x＝3是原方程的增根，原方程无解．
3．A 因为公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为(x＋20)千米/时，小王乘公共汽车从甲地到乙地所花的时间为小时，回来时路上所花时间为小时，根据相等关系：回来时路上所花时间＝去时路上所花时间×，列方程为＝×.
4．1 解方程去分母得2(x－2)＋1－kx＝－1，由于原方程有增根，则x＝2，解得k＝1.
5．解：方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得4－(x＋1)(x＋2)＝－(x2－1)，整理，得3x＝1，解得x＝.
经检验，x＝是原方程的解．
故原方程的解是x＝.
6．解：设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品(2x＋9)件．根据题意，得×＝.
解这个方程，得x＝27.
经检验，x＝27是原方程的解．
答：手工每小时加工产品27件．
研习预测试题
1．B 设＝y，则原方程化为y＋＝3，去分母移项得y2－3y＋2＝0.
2．C 去分母，得2x－5＝－3，解得x＝1.检验，当x＝1时，x－2≠0，所以原方程的解为x＝1.
3．B 将分式方程两边都乘以(x－1)，得m－1－x＝0，把x＝1代入m－1－x＝0，解得m＝2.所以若原分式方程没有增根，则m≠2.
4．B 因为B型包装箱每个可以装x件文具，则A型包装箱每个可以装(x－15)件文具．相等关系为：单独使用B型包装箱数＝单独使用A型包装箱数－12，列方程为＝－12.
5． 把x＝1代入方程，得＝3k，解得k＝.
6．－1 由题意，得＋1＝0，所以2＋(x－1)＝0，
所以x＝－1.经检验x＝－1是方程＋1＝0的解．
7．m＞－6且m≠－4 由＝3，得x＝m＋6，
∴m＋6＞0，m＞－6.又∵x－2≠0，即x≠2，∴m≠－4，
故m＞－6且m≠－4.
8．解：(1)去分母，得x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)，解得x＝－.经检验：x＝－是原方程的解，
所以原方程的解为x＝－.
(2)去分母，得x－1－2x＝x2－1，
化简，得x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
经检验：x＝－1不是原方程的解．
所以原方程的解为x＝0.
9．解：设原计划每天铺设管道x米．
则＋＝27.
解得x＝10(米)．
经检验，x＝10是原方程的解．
答：原计划每天铺设管道10米．第10讲 一次函数
考纲要求 命题趋势
1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式．2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．3．体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题. 一次函数是中考的重点，主要考查一次函数的定义、图象、性质及其实际应用，有时与方程、不等式相结合．题型有选择题、填空题、解答题.
知识梳理
一、一次函数和正比例函数的定义
一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝__________时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．
二、一次函数的图象与性质
1．一次函数的图象
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．
(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．
2．一次函数图象的性质
函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质
y＝kx(k≠0) k＞0 ______ y随x增大而增大
k＜0 ______ y随x增大而减小
y＝kx＋b(k≠0) k＞0，b＞0 ______ y随x增大而增大
k＞0，b＜0 ______
k＜0，b＞0 ______ y随x增大而减小
k＜0，b＜0 ______
一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．
三、利用待定系数法求一次函数的解析式
因为在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入得求出k，b的值即可，这种方法叫做__________．
四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系
1．y＝kx＋b与kx＋b＝0
直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．
2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0
从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．
3．一次函数与方程组
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．
自主测试
1．已知一次函数y＝x＋b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
2．一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：升)随行驶里程x(单位：千米)的增加而减小，若这辆汽车平均耗油量为0.2升/千米，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是( )
3．一次函数y＝2x－1的图象经过点(a,3)，则a＝__________.
4．写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式：__________.
5．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．
(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y(元)和重量x(克)之间的函数关系式；
(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？
考点一、一次函数的图象与性质
【例1】已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2(k≠0)．若其图象经过原点，则k＝__________；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是__________．
解析：∵一次函数图象经过原点，∴4k－2＝0，∴k＝；
若y随x的增大而减小，则k＜0.
答案： k＜0
方法总结 一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.
触类旁通1 已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( )
A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2
C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2
考点二、确定一次函数的解析式
【例2】如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)试求△DOC的面积．
分析：求经过已知两点坐标的直线解析式，一般是按待定系数法步骤求得，又由于点C，D分别在x，y轴上，据其坐标特点可求出CO，DO的长．
解：(1)把A，B点代入得解得
∴y＝x＋.
(2)由(1)得C，D，则OC＝，OD＝.∴△DOC的面积＝××＝.
方法总结 用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．
触类旁通2 已知：一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0,2)，N(1,3)两点．
(1)求k，b的值；
(2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为A(a,0)，求a的值．
考点三、一次函数与方程(组)、不等式的关系
【例3】如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是__________．
解析：如图所示，二元一次方程组的解就是直线y＝ax＋b与直线y＝kx的交点，所以点P的坐标就是方程组的解，即
答案：
方法总结 两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．
触类旁通3 如图，直线y1＝kx＋b过点A(0,2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则不等式组mx＞kx＋b＞mx－2的解集是__________．
考点四、一次函数的应用
【例4】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分；
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
解：(1)15
(2)由图象可知，s是t的正比例函数．
设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k，解得k＝.∴s与t的函数关系式为s＝t(0≤t≤45)．
(3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt＋n(m≠0)．
代入(30,4)，(45,0)，得解得
∴s＝－t＋12(30≤t≤45)．令－t＋12＝t，解得t＝.当t＝时，s＝×＝3.
答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
方法总结 用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．
1．(2012四川乐山)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是( )
2．(2012福建泉州)若y＝kx－4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的( )
A．－4 B．－ C．0 D．3
3．(2012浙江丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则乙比甲每分钟多行驶__________千米．
4．(2012湖南株洲)一次函数y＝x＋2的图象不经过第__________象限．
5．(2012山东菏泽)如图，一次函数y＝－x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，求过B，C两点直线的解析式．
6．(2012上海)某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．(注：总成本＝每吨的成本×生产数量)
1．关于一次函数y＝－x＋1的图象，下列所画正确的是( )
2．已知直线y＝kx＋b经过点(k,3)和(1，k)，则k的值为( )
A． B．± C． D．±
3．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝x D．y＝x－2
4．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是( )
(第4题图)
A．摩托车比汽车晚到1 h
B．A，B两地的路程为20 km
C．摩托车的速度为45 km/h
D．汽车的速度为60 km/h
5．如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2.其中说法正确的有__________(把你认为说法正确的序号都填上)．
(第5题图)
6．点A(－3,4)在一次函数y＝－3x－5的图象上，图象与y轴的交点为B，那么△AOB的面积为________．
7．一辆汽车在行驶过程中，路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为__________．
8．如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝(x＞0)的图象交于A，B两点，与y轴交于C点．已知A点的坐标为(2,1)，C点坐标为(0,3)．
(1)求函数y1的表达式和B点坐标；
(2)观察图象，比较当x＞0时，y1和y2的大小．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．D 2．D 3．2
4．答案不唯一，如：y＝－x＋1
5．解：(1)y甲＝477x，
当0＜x≤3时，y乙＝530x，当x＞3时，y乙＝530×3＋530(x－3)×80%＝424x＋318.
(2)由y甲＝y乙，得477x＝424x＋318，∴x＝6.
由y甲＞y乙，得477x＞424x＋318，则x＞6.
由y甲＜y乙，得477x＜424x＋318，则x＜6.
∴当x＝6时，到甲、乙两个商店购买费用相同．
当4≤x＜6时，到甲商店购买合算．
当6＜x≤10时，到乙商店购买合算．
探究考点方法
触类旁通1．D 因为从图象上知，图象自左而右是“下降”的，交y轴于正半轴，所以m＜0，n－2＞0，即m＜0，n＞2.
触类旁通2．解：(1)把M(0,2)，N(1,3)代入y＝kx＋b，
得解得∴y＝x＋2.
(2)由题意得a＋2＝0，
∴a＝－2.
触类旁通3．1＜x＜2 由图象可知，当x＞1时，mx＞kx＋b，把(1，m)和(0,2)代入y1＝kx＋b，得b＝2，m＝k＋2，解方程组得x＝2，
因为y3＝mx－2平行于y2＝mx，
所以当x＜2时，kx＋b＞mx－2.
故原不等式组的解集为1＜x＜2.
品鉴经典考题
1．A ∵a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0(b的正负情况不能确定)．
a＜0，则函数y＝ax＋c的图象经过第二、四象限，
c＞0，则函数y＝ax＋c的图象与y轴正半轴相交．
由图可知选A.
2．D 因为函数值y随x的增大而增大，则k＞0，故选D.
3． 因为甲的速度为12÷30＝(千米/分)，乙的速度为12÷(18－6)＝1(千米/分)，所以1－＝(千米)．
4．四 因为k＝1＞0，所以图象经过第一、三象限；
因为b＝2＞0，所以图象经过第一、二象限，所以函数图象不经过第四象限．
5．解：如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠AOB＝∠CDA＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＋∠ABO＝∠BAO＋∠CAD＝90°，∴∠ABO＝∠CAD.
又∵AB＝AC，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝3.
∵一次函数y＝－x＋2中，令x＝0，
解得y＝2；令y＝0，解得x＝3.
则B的坐标是(0,2)，A的坐标是(3,0)．
∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝3，∴C(5,3)．
设过B，C两点直线的解析式是y＝kx＋b，
则∴k＝，b＝2，∴y＝x＋2.
6．解：(1)直接将(10,10)，(50,6)代入y＝kx＋b，
得y＝－x＋11(10≤x≤50)．
(2)x＝280，解得x1＝40或x2＝70.
由于10≤x≤50，所以x＝40.
答：该产品的生产数量是40吨．
研习预测试题
1．C 2．B 3．A
4．C ∵摩托车的速度为(180－20)÷4＝40(km/h)，
∴C错误．
5．①②③
6．7.5
7．y＝100x－40 ∵在0≤x≤1时，把x＝1代入y＝60x，则y＝60，那么当1≤x≤2时，由两点坐标(1,60)与(2,160)得函数解析式为y＝100x－40.
8．解：(1)由题意，得解得
所以y1＝－x＋3.
又A点在函数y2＝上，所以1＝.
解得k2＝2，所以y2＝(x＞0)．解方程组
得或所以点B的坐标为(1,2)．
(2)当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2；
当1＜x＜2时，y1＞y2；
当x＝1或x＝2时，y1＝y2.第7讲 一元一次不等式(组)
考纲要求 命题趋势
1．了解不等式(组)有关的概念．2．理解不等式的基本性质；会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3．能列出一元一次不等式(组)解决实际问题. 不等式(组)在中考中以解不等式(组)、求不等式(组)的特殊解为主．而紧密联系日常生活实际的不等式(组)的应用，更是中考的热点内容，且难度大，综合性强.
知识梳理
一、不等式的有关概念及其性质
1．不等式的有关概念：
(1)不等式：用符号“＜”或“＞”或“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．
(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有__________，组成这个不等式的解集．
(3)解不等式：求不等式的________的过程叫做解不等式．
2．不等式的基本性质：
(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__________，即若a＜b，则a＋c＜b＋c (或a－c＜b－c)．
(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向__________，即若a＜b，且c＞0，则ac______bc.
(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向__________，即若a＜b，且c＜0，则ac______bc.
二、一元一次不等式(组)的解法
1．一元一次不等式：只含有__________未知数，且未知数的次数是1且系数不等于0的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的基本步骤：去分母、__________、移项、__________、系数化为1.
3．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
4．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集．
5．一元一次不等式组解集的确定方法．
若a＜b，则有：
(1)的解集是__________，即“同大取大”．
(2)的解集是__________，即“同小取小”．
(3)的解集是__________，即“大小小大中间夹”．
(4)的解集是__________，即“大大小小无解答”．
三、不等式(组)的应用
1．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
2．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)检验解是否符合实际情况；(7)写出答案(包括单位名称)．
自主测试
1．如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．a＋c＞b＋c B．c－a＞c－b
C．ac＞bc D．＞
2．不等式2x＋1＞－3的解集在数轴上表示正确的是( )
3．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如下图，则该不等式组的解集是( )
A．－1≤x＜3 B．－1＜x≤3
C．x≥－1 D．x＜3
4．不等式组的解集是( )
A．－＜x≤2 B．－3＜x≤2
C．x≥2 D．x＜－3
5．有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 kg，每捆材料重20 kg，电梯最大负荷为1 050 kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载__________捆材料．
考点一、不等式的性质
【例1】已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是( )
A．a＋c＞b＋c B．c－a＜c－b
C．＞ D．a2＞ab＞b2
解析：∵a＞b，∴－a＜－b，根据不等式性质一知，A，B均正确．
∵c≠0，∴c2＞0，根据不等式性质二知C项正确．D项中当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，故D不正确．
答案：D
方法总结 不等式的基本性质是不等式变形的依据，是我们应掌握的基本知识．特别要注意的是，不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变．
触类旁通1 下列不等式变形正确的是( )
A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得－2a＜－2b
C．由a＞b，得－a＞－b D．由a＞b，得a－2＜b－2
考点二、不等式(组)的解集的数轴表示
【例2】不等式8－2x＞0的解集在数轴上表示正确的是( )
解析：不等式8－2x＞0的解集是x＜4，故选C.
答案：C
方法总结 不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来，具体表示方法是先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈；再确定方向，大向右，小向左．
触类旁通2 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
考点三、不等式(组)的解法
【例3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
解：
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜4.
所以，不等式组的解集为1≤x＜4.
在数轴上表示为
方法总结 1．解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式两边同时乘(或除)以一个负数，要改变不等号的方向．
2．解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共部分．解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则将可能出现错误．
3．在把两个不等式的解集表示在数轴上时，要特别注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右”．
触类旁通3 求满足不等式组的整数解．
考点四、确定不等式(组)中字母的取值范围
【例4】关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是( )
A．－5≤a≤－ B．－5≤a＜－
C．－5＜a≤－ D．－5＜a＜－
解析：解原不等式组，得2－3a＜x＜21.
由已知条件可知2－3a＜x＜21包含4个整数解，这4个整数解应为17,18,19,20，这时2－3a应满足16≤2－3a＜17，解得－5＜a≤－，故应选C.
答案：C
方法总结 根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围，解决此类问题时，一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集，再根据已知不等式(组)的解集情形，求出字母的取值范围．
触类旁通4 若不等式组有解，则a的取值范围是( )
A．a＞－1 B．a≥－1
C．a≤1 D．a＜1
考点五、不等式(组)的应用
【例5】某家电商场计划用32 400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
解：(1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15－2x)台．依题意，得
解得6≤x≤7.∵x为正整数，∴x＝6或7.
方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．
(2)方案1需补贴：(6×2 100＋6×2 500＋3×1 700)×13%＝4 251(元)；
方案2需补贴：(7×2 100＋7×2 500＋1×1 700)×13%＝4 407(元)．
∴国家财政最多需补贴农民4 407元．
方法总结 1．利用不等式(组)解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定．
2．在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨．
触类旁通5 某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4 120元．
(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22 240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4 100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
1．(2012湖北武汉)在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是( )
2．(2012山东临沂)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
3．(2012四川凉山)设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )
A．c＜b＜a B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
4．(2012四川广安)不等式2x＋9≥3(x＋2)的正整数解是__________．
5．(2012山东济宁)解不等式组并在数轴上表示出它的解集．
6．(2012湖南益阳)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
1．若a＞b，则( )
A．a＞－b B．a＜－b
C．－2a＞－2b D．－2a＜－2b
2．不等式x＞1在数轴上表示正确的是( )
3．现用甲、乙两种运输车将46吨物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )
A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆
4．不等式组的解在数轴上表示为( )
5．关于x的不等式－2x＋a≤2的解集如图所示，那么a的值是( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为__________．
7．关于x的不等式3x－a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是__________．
8．已知关于x，y的方程组的解x，y都是正数，求m的取值范围．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．A 2．C 3．A
4．B 解x＋1＞0，得x＞－3，解2－x≥0，得x≤2，所以不等式组的解集是－3＜x≤2.
5．42 设最多还能搭载x捆材料，由题意，得20x＋210≤1 050，解得x≤42，故该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载42捆材料．
探究考点方法
触类旁通1．B 运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘以或者除以一个负数，不等式的方向要改变．
触类旁通2．A 因为由2x＋1≤3，得x≤1，
所以－3＜x≤1.
触类旁通3．解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤6.
在同一数轴上表示不等式①②的解集如下：
∴原不等式组的解集为－2＜x≤6.
∴原不等式组的整数解为x＝－1,0,1,2,3,4, 5,6.
点评：求不等式组的特殊解时，首先应先求出每个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后再寻找出符合条件的特殊解．
触类旁通4．A 解不等式组得因为“大小小大中间找”，满足有解的条件，所以－a＜1，解得a＞－1.
触类旁通5．解：(1)设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，得解得
答：每台电脑机箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元．
(2)设购进电脑机箱z台，
得解得24≤z≤26.
因为z是整数，所以z＝24或25或26.
利润10z＋160(50－z)＝8 000－150z，可见z越小利润就越大，故z＝24时利润最大为4 400元．
答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4 400元．
点评：在列方程组解应用题时，关键是找相等关系，可结合图象法、列表法等，将题目的已知和结论借助一些辅助工具分析，从而快速找出相等关系；而在列不等式解决实际问题时，要找准题目当中的“大于”“不小于”“超过”“不足”“住不满”等一些表示不等关系的“关键词”．
品鉴经典考题
1．B 解不等式x－1＜0得x＜1，数轴上是圆圈，且在1的左边．
2．A ∵由①得x＜3，由②得x≥－1，
∴不等式组的解集为－1≤x＜3，在数轴上表示为
故选A.
3．A 由图可知，2c＝b，b＜a，所以c＜b＜a.
4．1,2,3 解不等式得x≤3，所以正整数解是1,2,3.
5．解：
由不等式①得x＜5，
由不等式②得x≥－1.
把①②的解集在数轴上表示为
所以，原不等式组的解集为－1≤x＜5.
6．解：(1)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：80x＋60(17－x)＝1 220，解得x＝10，
∴17－x＝7.
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵．
(2)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：17－x＜x，解得x＞8，购进A，B两种树苗所需费用为80x＋60(17－x)＝20x＋1 020，
则费用最省需x取最小整数9，此时17－x＝8，这时所需费用为20×9＋1 020＝1 200(元)．
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1 200元．
研习预测试题
1．D 2．C
3．C 设甲种运输车x辆，由题意，得5x＋4(10－x)≥46，解得x≥6，所以甲种运输车至少应安排6辆．
4．C 解2x－1＞1，得x＞1，解4－2x≤0，得x≥2，故选C.
5．C 解不等式－2x＋a≤2，得x≥，从数轴看出它的解集为x≥－1，所以＝－1，即a＝0.
6．a＜4 由两方程相加得4x＋4y＝4＋a，
所以x＋y＝1＋＜2，解得a＜4.
7．6≤a＜9 解不等式3x－a≤0，得x≤，由题意得2≤＜3，∴6≤a＜9.
8．解：解方程组得
因为x，y都是正数，所以
解这个不等式组，得＜m＜7.
所以m的取值范围是＜m＜7.第3讲 分式
考纲要求 命题趋势
1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题. 命题反映在分式中主要涉及分式的概念、性质、运算法则及其应用，题型表现为填空题、选择题、化简求值题等形式.
知识梳理
一、分式
1．分式的概念
形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的“三个条件”
(1)分式无意义的条件是B＝0；
(2)分式有意义的条件是B≠0；
(3)分式值为零的条件是A＝0且B≠0.
二、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个__________的整式，分式的值不变．用式子表示是：
＝，＝(其中M是不等于0的整式)．
三、分式的约分与通分
1．约分
根据分式的基本性质将分子、分母中的________约去，叫做分式的约分．
2．通分
根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__________的分式，这种变形叫分式的通分．
四、分式的运算
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是______分式或整式．
自主测试
1．下列式子是分式的是( )
A． B． C．＋y D．
2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值( )
A．扩大3倍 B．缩小3倍
C．扩大9倍 D．不变
3．当分式的值为0时，x的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－2
4．化简：(1)＝__________.
(2)＋＝__________.
考点一、分式有意义、无意义、值为零的条件
【例1】若的值为零，则x的值是( )
A．±1 B．1 C．－1 D．不存在
解析：当分式的分子是零且分母不是零时，分式值为零，当|x|－1＝0时，x＝±1，而x＝1时，分母x2＋2x－3＝0，分式无意义，所以x＝－1.
答案：C
方法总结 分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．
触类旁通1 若分式无意义，则当－＝0时，m＝__________.
考点二、分式的基本性质
【例2】不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )
A． B． C． D．
解析：因为要求不改变分式的值，把的分子分母的各项系数都化为整数，根据此题的特点，只要将分子、分母同乘以10即可．
答案：C
方法总结 运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：＝，＝(其中m≠0)和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．
触类旁通2 下列运算正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
考点三、分式的约分与通分
【例3】化简：＝__________.
解析：＝＝.
答案：
方法总结 1．分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2)约去分子与分母的公因式．
2．通分的关键是确定最简公分母．
求最简公分母的方法是：(1)将各个分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母．
触类旁通3 分式，，的最简公分母为( )
A．(a2－b2)(a＋b)(b－a) B．(a2－b2)(a＋b)
C．(a2－b2)(b－a) D．a2－b2
考点四、分式的运算
【例4】(1)化简：＋.
(2)先化简，再求值：÷，其中x＝－1.
解：(1)原式＝＝＝＝2；
(2)÷
＝÷
＝·＝x－2.
当x＝－1时，原式＝－1－2＝－3.
方法总结 在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．
关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
1．(2012湖北宜昌)若分式有意义，则a的取值范围是( )
A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0
2．(2012河北)化简÷的结果是( )
A．. B． C． D．2(x＋1)
3．(2012浙江杭州)化简得__________；当m＝－1时，原式的值为__________．
4．(2012江西南昌)化简：÷.
5．(2012浙江衢州)先化简＋，再选取一个你喜欢的数代入求值．
1．化简÷(m＋2)的结果是( )
A．0 B．1 C．－1 D．(m＋2)2
2．下列等式中，不成立的是( )
A．＝x－y B．＝x－y
C．＝ D．－＝
3．已知－＝，则的值是( )
A． B．－ C．2 D．－2
4．当x＝__________时，分式的值为零．
5．化简－的结果是__________．
6．计算：·(x－3)＝__________.
7．已知ab＝－1，a＋b＝2，则式子＋＝__________.
8．先化简，再求值：
(1)÷，其中a＝－1.
(2)÷，其中x＝－3.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B B项分母中含有字母．
2．A 因为x和y都扩大3倍，则2xy扩大9倍，x＋y扩大3倍，所以扩大3倍．
3．B 由题意得x－1＝0且x＋2≠0，解得x＝1.
4．(1)x＋3 (2)1 (1)原式＝＝x＋3；(2)原式＝－＝＝1.
探究考点方法
触类旁通1． 因为由无意义，可得x－1＝0，所以x＝1，由－＝0，得－＝0，
即＝，所以5(2m－1)＝3m－2.
解得m＝.当m＝时，(3m－2)·(2m－1)≠0，
故所求m的值为.
触类旁通2．C 因为＝＝，＝＝，＝－＝－＝－，故选C.
触类旁通3．D 因为a2－b2＝(a＋b)(a－b)，b－a＝－(a－b)，所以最简公分母为(a＋b)(a－b)，即a2－b2.
品鉴经典考题
1．C 因为分式有意义，则a＋1≠0，所以a≠－1.
2．C 原式＝·(x－1)＝.
3． 1 原式＝＝.当m＝－1时，原式＝＝1.
4．解：原式＝÷＝·＝－1.
5．解：＋＝＝x＋1.
当x＝0时，原式＝1.(除x＝1外的任何实数都可以)
研习预测试题
1．B 原式＝·＝·＝1.
2．A ＝＝x＋y.
3．D 因为－＝，所以＝，所以ab＝－2(a－b)，所以＝＝－2.
4．2 由题意得x－2＝0且x＋2≠0，解得x＝2.
5． 原式＝－＝＝＝＝.
6． 原式＝1－＝－＝＝＝＝.
7．－6 ＋＝＝＝＝－6.
8．解：(1)÷＝·＝.当a＝－1时，原式＝＝＝.
(2)÷＝÷
＝÷＝·
＝.∵x＝－3，∴原式＝＝.第二单元 方程(组)与不等式(组)
第5讲 一次方程(组)
考纲要求 命题趋势
1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题. 一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.
知识梳理
一、等式及方程的有关概念
1．等式及其性质
(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．
2．方程的有关概念
(1)含有未知数的等式叫做方程．
(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．
(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．
二、一元一次方程
1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x＝______.
2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.
三、二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程
(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．
(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．
2．二元一次方程组
(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
(2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不为零)．
(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．
四、二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．
1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；
(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；
(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中，求y(或x)的值．
2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；
(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；
(3)解这个一元一次方程；
(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．
五、列方程(组)解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．
列：根据题意寻找等量关系列方程(组)．
解：解方程(组)．
验：检验方程(组)的解是否符合题意．
答：写出答案(包括单位)．
六、常见的几种方程类型及等量关系
1．行程问题中的基本量之间的关系
路程＝速度×时间；
相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；
流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
2．工程问题中的基本量之间的关系
工作效率＝.
(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．
(2)通常把工作总量看作“1”．
自主测试
1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )
A． B． C． D．
2．方程组的解是( )
A． B． C． D．
3．若x＝2是关于x的方程2x＋3m－1＝0的解，则m的值为__________．
4．受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
考点一、一元一次方程的解法
【例1】解方程：－＝1.
解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6，去括号，得4x＋2－10x－1＝6，移项，得4x－10x＝6－2＋1，合并同类项，得－6x＝5，系数化为1，得x＝－.
方法总结 解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．
考点二、二元一次方程组的有关概念
【例2】已知是二元一次方程组的解，则2m－n的算术平方根为( )
A．4 B．2 C． D．±2
解析：∵是方程组的解，
∴解得∴＝＝＝2.
答案：B
方法总结 方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．
触类旁通1 已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，求(a＋1)(a－1)＋7的值．
考点三、二元一次方程组的解法
【例3】解方程组
解：方法一：用加减消元法解方程组．
①×2得6x－2y＝10，③
②＋③得11x＝33，解得x＝3.
把x＝3代入①得9－y＝5，解得y＝4.
所以原方程组的解为
方法二：用代入消元法解方程组．
由①得y＝3x－5，③
把③代入②得5x＋2(3x－5)＝23，即11x＝33，解得x＝3.把x＝3代入③得y＝4.所以原方程组的解为
方法总结 解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．
触类旁通2 解方程组：
考点四、列方程(组)解决实际问题
【例4】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少瓶？
分析：可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决．
解法一：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了(100－x)瓶，依题意，得2x＋3(100－x)＝270.
解得x＝30,100－x＝70.
解法二：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，依题意，得解得
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．
方法总结 对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．
1．(2012重庆)关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．(2012山东临沂)关于x，y的方程组的解是则|m－n|的值是( )
A．5 B．3 C．2 D．1
3．(2012浙江杭州)已知关于x，y的方程组其中－3≤a≤1.给出下列结论：①是方程组的解；②当a＝－2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4－a的解；④若x≤1，则1≤y≤4.其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
4．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200
C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200
5．(2012广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是
6．(2012湖南长沙)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．
(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；
(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元．
1．已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是( )
A．－5 B．5 C．7 D．2
2．方程组的解是( )
A． B．
C． D．
3．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
4．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值为( )
A．－ B. C． D．－
5．湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________．
6．方程|4x－8|＋＝0，当y＞0时，m的取值范围是__________．
7．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为__________．
8．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是__________．
9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 把A项代入方程左边＝0－2×＝右边，把B项代入方程左边＝1－2×1＝－1≠右边，把C项代入方程左边＝1－2×0＝右边，把D项代入方程左边＝－1－2×(－1)＝右边．
2．D 解方程组①＋②得3x＝6，故x＝2，把x＝2代入①得y＝－1，故
3．－1 因为把x＝2代入方程，得4＋3m－1＝0，解得m＝－1.
4．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x，y亩，依题意，得解得
答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩．
探究考点方法
触类旁通1．解：把x＝2，y＝代入方程得2＝＋a，解得a＝.
∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝a2＋6＝()2＋6＝9.
触类旁通2．解：②×2得4x＋2y＝26，③
③－①得5y＝15，解得y＝3，
把y＝3代入②得2x＋3＝13，解得x＝5.
所以原方程组的解为
品鉴经典考题
1．D ∵方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，
∴2×2＋a－9＝0，解得a＝5.故选D.
2． D 把代入原方程组得
∴则|m－n|＝1.
3．C 解方程组得
∵－3≤a≤1，∴－5≤x≤3,0≤y≤4，
①不符合－5≤x≤3,0≤y≤4，结论错误；
②当a＝－2时，x＝1＋2a＝－3，y＝1－a＝3，x，y的值互为相反数，结论正确；
③当a＝1时，x＋y＝2＋a＝3,4－a＝3，方程x＋y＝4－a两边相等，结论正确；
④当x≤1时，1＋2a≤1，解得a≤0，y＝1－a≥1，已知0≤y≤4，故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确．
故选C.
4．D 设宽为x米，则长为(x＋10)米，根据长×宽＝矩形面积，列方程为x(x＋10)＝200.
5．(答案不唯一)
6．(1)解法一：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，则湖南省签订的省外境内投资合作项目有(348－x)个，由题意得2x－(348－x)＝51，解得x＝133，
∴348－x＝348－133＝215.
答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．
解法二：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，省外境内投资合作项目有y个，由题意得
解得
答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．
(2)解：133×6＋215×7.5＝798＋1 612.5＝2 410.5(亿元)．
答：在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2 410.5亿元．
研习预测试题
1．B 把x＝3代入方程，得6－a＝1，所以a＝5.
2．D 两方程相加，得3x＝6，x＝2，把x＝2代入x－y＝2，得y＝0，所以
3．B 购买甲种奖品x件，每件16元，共花了16x元，购买乙种奖品y件，每件12元，共花了12y元．相等关系为：甲奖品件数＋乙奖品件数＝30件，甲花的钱＋乙花的钱＝400元．
4．B 解方程组得
代入2x＋3y＝6，得到14k－6k＝6，所以k＝.
5．8x＋38＝50 相等关系为8个莲蓬的价格＋找回的38元＝50元．
6．m＜2 由题意，得解得y＝2－m，
∵y＞0，∴2－m＞0，∴m＜2.
7．－1 因为把代入方程组得
解得所以a－b＝－1.
8．k＞2
9．解：(1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元．
依题意得解得
答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．
(2)设买a支钢笔，则买笔记本(48－a)本．
依题意得
解得20≤a≤24.所以，一共有5种方案，
即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.第8讲 一元二次方程
考纲要求 命题趋势
1．理解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的解法．3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题. 结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.
知识梳理
一、一元二次方程的概念
1．只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________________．
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的基本思想是__________，主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.
2．配方法：通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．
3．公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac≥0时，x＝____________.
4．用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__________．
三、一元二次方程根的判别式
1．一元二次方程根的判别式是__________．
2．(1)b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；
(2)b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；
(3)b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．
四、一元二次方程根与系数的关系
1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.
五、实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．
自主测试
1．一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
3．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是( )
A．200(1＋a%)2＝148 B．200(1－a%)2＝148
C．200(1－2a%)＝148 D．200(1－a2%)＝148
4．已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝__________.
5．解方程：x2＋3＝3(x＋1)．
考点一、一元二次方程的有关概念
【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
解析：由一元二次方程的定义可知选项A不是整式方程；选项B中，二次项系数可能为0；选项D中含有两个未知数．故选C.
答案：C
方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.
触类旁通1 已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )
A．－2 B．2 C．5 D．6
考点二、一元二次方程的解法
【例2】解方程x2－4x＋1＝0.
分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．
解：解法一：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，由此可得x－2＝±，x1＝2＋，x2＝2－.
解法二：a＝1，b＝－4，c＝1.b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x＝＝2±.
方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．
触类旁通2 解方程：x2＋3x＋1＝0.
考点三、一元二次方程根的判别式的应用
【例3】关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A．0 B．8 C．4± D．0或8
解析：b2－4ac＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，解得m1＝0，m2＝8.故选D.
答案：D
方法总结 由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．
触类旁通3 已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是( )
A．n2－4mk＜0 B．n2－4mk＝0
C．n2－4mk＞0 D．n2－4mk≥0
考点四、一元二次方程根与系数的关系
【例4】已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
解：(1)依题意，得b2－4ac≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤.
(2)解法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，
即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.∵k≤，
∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．
②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，
即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.综合①②可知k＝－3.
解法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1)．
由(1)可知k≤，∴2(k－1)＜0，即x1＋x2＜0.
∴－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.
方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a≠0，②b2－4ac≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．
触类旁通4 若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是( )
A．4 B．3 C．－4 D．－3
考点五、用一元二次方程解实际问题
【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？
解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x1＝0.25，x2＝－2.25.∵x2＝－2.25＜0，故舍去，∴x＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.
答：2011年的年产量为12.5万辆．
方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．
触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？
1．(2012河北)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
2．(2012江西南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( )
A．1 B．－1 C． D．－
3．(2012湖南株洲)已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为( )
A．b＝－1，c＝2 B．b＝1，c＝－2
C．b＝1，c＝2 D．b＝－1，c＝－2
4．(2012四川成都)一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是( )
A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121
C．100(1＋x)2＝121 D．100(1－x)2＝121
5．(2012贵州铜仁)一元二次方程x2－2x－3＝0的解为__________．
6．(2012浙江绍兴)把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．
1．关于x的方程(m2－2)x2＋(m＋2)x＝0是一元二次方程的条件是( )
A．m≠2 B．m≠±2
C．m≠ D．m≠±
2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为( )
A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9
C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9
3．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a＞2
C．a＜2且a≠1 D．a＜－2
4．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则( )
A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0
C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0
5．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为__________．
6．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为__________．
7．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则＋的值是__________．
8．解方程：x(x－2)＋x－2＝0.
9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 因为根的判别式b2－4ac＝4＋4＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．
2．C 把x＝2代入方程，得c＝4.
3．B 降价a%一次售价为200(1－a%)元，降价a%两次售价为200(1－a%)(1－a%)元，即200(1－a%)2元．
4． 因为a＝2，b＝－3，所以x1＋x2＝－＝.
5．解：原方程可化为x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3.
探究考点方法
触类旁通1．B 把3代入原方程得c＝6，解原方程得另一个根是2.
触类旁通2．解：∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝9－4×1×1＝5＞0.∴x＝.
∴x1＝，x2＝.
触类旁通3．D 因为方程有两个实数根，即有两个相等的或两个不相等的实数根，所以判别式n2－4mk≥0.
触类旁通4．B 因为a＝1，c＝3，所以x1x2＝＝3.
触类旁通5．解：(1)2x 50－x
(2)由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100，
化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.
∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去．
∴x＝20.
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
品鉴经典考题
1．A 原方程变为x2＋4x＋4－4＋1＝0，
所以(x＋2)2＝3.
2．B 因为方程有两个相等的实数根，则22－4(－a)＝0，
所以a＝－1.
3．D b＝x1＋x2＝1－2＝－1，c＝x1x2＝－2.
4．C 因为每次提价的百分率都是x，则两次提价后价格是原价的(1＋x)2，所以列方程为100(1＋x)2＝121.
5．3或－1 解方程：x2－2x＋1＝4，
∴(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
6．解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，
则(40－2x)2＝484，
即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.
∴剪掉的正方形的边长为9 cm.
②侧面积有最大值．
设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，
即y＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，
∴当x＝10时，y最大＝800.
即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.
(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm，
从而有2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.
∴剪掉的正方形的边长为15 cm.
此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.
研习预测试题
1．D 由题意知，m2－2≠0，得m≠±.
2．C 因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，
所以(x－1)2＝6.
3．C 因为原方程有两个不相等的实数根，所以判别式(－2)2－4(a－1)＞0，且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.
4．A 因为方程两根为负，所以两根之和为负，即－p＜0，所以p＞0；两根之积为正，即q＞0.
5．± 因为把x＝2代入原方程得a2＝7，
所以a＝±.
6．2 因为a＝1，＝x1x2＝2，所以c＝2.
7．－ 因为a＋b＝6，ab＝－5，
所以＋＝＝＝－.
8．解：提取公因式，得(x－2)(x＋1)＝0，解得x1＝2，x2＝－1.
9．解：(1)设平均每次下调的百分率为x.
由题意，得5(1－x)2＝3.2.
解方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)，
方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．
∵14 400＜15 000，
∴小华选择方案一购买更优惠．第一单元 数与式
第1讲 实数
考纲要求 命题趋势
1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小. 实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.
知识梳理
一、实数的分类
实数
二、实数的有关概念及性质
1．数轴
(1)规定了______、________、____________的直线叫做数轴；
(2)实数与数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)实数a的相反数是____，零的相反数是零；
(2)a与b互为相反数 a＋b＝____.
3．倒数
(1)实数a(a≠0)的倒数是____；
(2)a与b互为倒数 ______.
4．绝对值
(1)数轴上表示数a的点与原点的______，叫做数a的绝对值，记作|a|.
(2)|a|＝
5．平方根、算术平方根、立方根
(1)平方根
①定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根)，数a的平方根记作______．
②一个正数有两个平方根，它们互为________；0的平方根是0；负数没有平方根．
(2)算术平方根
①如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作____．零的算术平方根是零，即＝0.
②算术平方根都是非负数，即≥0(a≥0)．
③()2＝a(a≥0)，＝|a|＝
(3)立方根
①定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作______．
②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．
6．科学记数法、近似数、有效数字
(1)科学记数法
把一个数N表示成______(1≤a＜10，n是整数)的形式叫做科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．
(2)近似数与有效数字
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从______第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
三、非负数的性质
1．常见的三种非负数
|a|≥0，a2≥0，≥0(a≥0)．
2．非负数的性质
(1)非负数的最小值是零；
(2)任意几个非负数的和仍为非负数；
(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
四、实数的运算
1．运算律
(1)加法交换律：a＋b＝______.
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝________.
(3)乘法交换律：ab＝____.
(4)乘法结合律：(ab)c＝______.
(5)乘法分配律：a(b＋c)＝__________.
2．运算顺序
(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从____至____的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．
3．零指数幂和负整数指数幂
(1)零指数幂的意义为：a0＝____(a≠0)；
(2)负整数指数幂的意义为：a－p＝______(a≠0，p为正整数)．
五、实数的大小比较
1．实数的大小关系
在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____．
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
2．作差比较法
(1)a－b＞0 a＞b；(2)a－b＝0 a＝b；(3)a－b＜0 a＜b.
3．倒数比较法
若＞，a＞0，b＞0，则a＜b.
4．平方法
因为由a＞b＞0，可得＞，所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．
(提示：本书[知识梳理]栏目答案见第122～123页)
自主测试
1．－2的倒数是( )
A．－ B．. C．－2 D．2
2．－2的绝对值等于( )
A．2 B．－2 C． D．－
3．下列运算正确的是( )
A．－|－3|＝3 B．－1＝－3
C．＝±3 D．＝－3
4．2012年世界水日主题是“水与粮食安全”．若每人每天浪费水0.32 L，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )
A．3.2×107 L B．3.2×106 L
C．3.2×105 L D．3.2×104 L
5．已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )
A．m＞0 B．n＜0 C．mn＜0 D．m－n＞0
6．计算：|－5|＋－32.
考点一、实数的分类
【例1】四个数－5，－0.1，，中为无理数的是( )
A．－5 B．－0.1 C． D．
解析：因为－5是整数属于有理数，－0.1是有限小数属于有理数，是分数属于有理数，开不尽方是无理数，故选D.
答案：D
方法总结 一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．
触类旁通1 在实数5，，，中，无理数是( )
A．5 B． C． D．
考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴
【例2】(1)－的倒数是__________；
(2)(－3)2的相反数是( )
A．6 B．－6 C．9 D．－9
(3)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|＋＝__________.
解析：(1)－的倒数为＝－5；
(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D；
(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识．
由图可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
所以a＋b＜0，b－a＞0，原式＝－a－b＋b－a＝－2a.
答案：(1)－5 (2)D (3)－2a
方法总结 1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．
2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．
3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.
触类旁通2 下列各数中，相反数等于5的数是( )
A．－5 B．5
C．－ D．
考点三、平方根、算术平方根与立方根
【例3】(1)(－2)2的算术平方根是( )
A．2 B．±2 C．－2 D．
(2)实数27的立方根是__________．
解析：(1)(－2)2的算术平方根，即＝|－2|＝2；
(2)27的立方根是＝3.
答案：(1)A (2)3
方法总结 1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根本身是非负数，即≥0.
2．()3＝a，＝a.
触类旁通3 4的平方根是( )
A．2 B．±2
C．16 D．±16
考点四、科学记数法、近似数、有效数字
【例4】2012年安徽省有682 000名初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，682 000用科学记数法表示为( )
A．0.69×106 B．6.82×105
C．0.68×106 D．6.8×105
解析：用科学记数法表示的数必须满足a×10n (1≤|a|＜10，n为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止.682 000＝6.82×105≈6.8×105.
答案：D
方法总结 1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．
2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．
3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．
触类旁通4 某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是( )
A．0.05毫米 B．0.005毫米
C．0.000 5毫米 D．0.000 05毫米
考点五、非负数性质的应用
【例5】若实数x，y满足＋(3－y)2＝0，则代数式xy－x2的值为__________．
解析：因为≥0，(3－y)2≥0，而＋(3－y)2＝0，所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，则xy－x2＝2×3－22＝2.
答案：2
方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a|，(a≥0)，a2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.
触类旁通5 若|m－3|＋(n＋2)2＝0，则m＋2n的值为 ( )
A．－4 B．－1 C．0 D．4
考点六、实数的运算
【例6】计算：(1)2－1＋cos 30°＋|－5|－(π－2 011)0.
(2)(－1)2 011－－3＋0＋|3－8sin 60°|.
(1)分析：2－1＝，cos 30°＝，|－5|＝5，(π－2 011)0＝1.
解：原式＝＋×＋5－1＝＋＋5－1＝6.
(2)分析：－3＝(2－1)－3＝23＝8，0＝1，sin 60°＝.
解：原式＝－1－8＋1＋＝－8＋.
点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a－p＝(a≠0)．(2)a0＝1(a≠0)．
方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．
考点七、实数的大小比较
【例7】比较2.5，－3，的大小，正确的是( )
A．－3＜2.5＜ B．2.5＜－3＜
C．－3＜＜2.5 D．＜2.5＜－3
解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和的大小即可，由2.52＜()2，得2.5＜，
所以－3＜2.5＜.
答案：A
方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．
触类旁通6在－6,0,3,8这四个数中，最小的数是( )
A．－6 B．0
C．3 D．8
1．(2012湖北黄石)－的倒数是( )
A． B．3 C．－3 D．－
2．(2012江苏南京)下列四个数中，负数是( )
A．|－2| B．(－2)2 C．－ D．
3．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )
A．6.011×109 B．60.11×109
C．6.011×1010 D．0.6011×1011
4．(2012四川南充)计算2－(－3)的结果是( )
A．5 B．1 C．－1 D．－5
5．(2012四川乐山)计算：＝__________.
6．(2012重庆)计算：＋(π－2)0－|－5|＋(－1)2 012＋－2.
1．下列各数中，最小的数是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－
2．若|a|＝3，则a的值是( )
A．－3 B．3 C． D．±3
3．下列计算正确的是( )
A．(－8)－8＝0 B．×(－2)＝1
C．－(－1)0＝1 D．|－2|＝－2
4．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为C，则点C所表示的实数是( )
A．2－1 B．1＋ C．2＋ D．2＋1
5．(1)实数的倒数是____．
(2)写出一个比－4大的负无理数__________．
6．若将三个数－，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．
7．定义一种运算☆，其规则为a☆b＝＋，根据这个规则，计算2☆3的值是__________．
8．如图，物体从点A出发，按照A→B(第1步)→C(第2步)→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动，则第2 012步到达点________处．
9．计算：|－2|＋(－1)2 012－(π－4)0.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．A ＝－.
2．A
3．D A中－|－3|＝－3，B中－1＝3，C中＝3.
4．C 0.32×100万＝320 000＝3.2×105.
5．C 因为从数轴可知：m小于0，n大于0，则mn＜0，m－n＜0.
6．解：|－5|＋－32＝5＋4－9＝0.
探究考点方法
触类旁通1．C 因为5是整数，是分数，＝2是整数．
触类旁通2．A 因为5的相反数是－5，－的相反数是，的相反数是－.
触类旁通3．B
触类旁通4．C 因为0.05＝5×10－2,0.005＝5×10－3,0.000 5＝5×10－4,0.000 05＝5×10－5，故选C.
触类旁通5．B 因为|m－3|≥0，且(n＋2)2≥0，又因为|m－3|＋(n＋2)2＝0，所以m－3＝0且n＋2＝0.所以m＝3，n＝－2，所以m＋2n＝3＋2×(－2)＝－1.
触类旁通6．A 因为根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，解答即可．
品鉴经典考题
1．C ∵－3×＝1，∴－的倒数是－3.
2．C A中，|－2|＝2，是正数，故本选项错误；B中，(－2)2＝4，是正数，故本选项错误；C中，－＜0，是负数，故本选项正确；D中，＝＝2，是正数，故本选项错误．
3．C 因为科学记数法的形式为a×10n，用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a＜10，n是比原数的整数位数小1的正整数，所以60 110 000 000＝6.011×1010.
4．A 原式＝2＋3＝5.
5． 根据负数的绝对值是它的相反数，得＝.
6．解：原式＝2＋1－5＋1＋9＝8.
研习预测试题
1．D 因为正数和0都大于负数，＞1，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－最小．
2．D 绝对值为3的数有＋3和－3两个，且互为相反数．
3．B (－8)－8＝－16，×(－2)＝1，－(－1)0＝－1，|－2|＝2.
4．A 因为数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，
所以OA＝1，OB＝.所以AB＝OB－OA＝－1.
由题意可知，BC＝AB＝－1.
所以OC＝OB＋BC＝＋(－1)＝2－1.
5．(1)2 (2)－4＋(答案不唯一)
6． 因为－＜0，＞3,1＜＜3.
7． 因为2☆3＝＋＝＋＝.
8．A 由题意知，每隔8步物体到达同一点，因为2 012÷8＝251余4，所以第2 012步到达A点．
9．解：原式＝2＋1－1＝2.第三单元 函数及其图象
第9讲 函数概念与平面直角坐标系
考纲要求 命题趋势
1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．2．掌握坐标平面内点的坐标特征．3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 函数作为基础知识，在各地的中考试题中主要以填空题、选择题的形式来考查函数的基本概念、函数自变量的取值范围、函数之间的变化规律及其图象.
知识梳理
一、平面直角坐标系与点的坐标特征
1．平面直角坐标系
如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫__________，竖直的数轴叫__________，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．
2．各象限内点的坐标特征
点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0；
点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0；
点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0；
点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0.
3．坐标轴上的点的坐标特征
点P(x，y)在x轴上 y＝0，x为任意实数；
点P(x，y)在y轴上 x＝0，y为任意实数；
点P(x，y)在坐标原点 x＝0，y＝0.
二、特殊点的坐标特征
1．对称点的坐标特征
点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为__________；关于y轴的对称点P2的坐标为__________；关于原点的对称点P3的坐标为__________．
2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
平行于x轴：横坐标__________，纵坐标__________；
平行于y轴：横坐标__________，纵坐标__________．
3．各象限角平分线上点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________．
4．点的平移
将点P(x，y)向右(或向左)平移a个单位，可以得到对应点(x＋a，y)[或(x－a，y)]；将点P(x，y)向上(或向下)平移b个单位，可以得到对应点(x，y＋b)[或(x，y－b)]．
三、距离与点的坐标的关系
1．点与原点、点与坐标轴的距离
点P(x，y)到x轴和y轴的距离分别是|y|和|x|，点P(x，y)到坐标原点的距离为.
2．坐标轴上两点间的距离
(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝__________.
(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝__________.
(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝.
四、函数有关的概念及图象
1．函数的概念
一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有__________确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
2．常量和变量
在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．
3．函数的表示方法
函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)________；(3)图象法．
4．函数图象的画法
(1)__________：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)__________：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)__________：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．
五、函数自变量取值范围的确定
确定自变量取值范围的方法：
1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母__________的实数．
2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为__________．
3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．
4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．
自主测试
1．在平面直角坐标系中，点M(－2,3)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．点M(－2,1)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(－2，－1) B．(2,1)
C．(2，－1) D．(1，－2)
3．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是( )
A．他离家8 km共用了30 min
B．他等公交车时间为6 min
C．他步行的速度是100 m/min
D．公交车的速度是350 m/min
4．在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．函数y＝中自变量x的取值范围是__________．
考点一、平面直角坐标系内点的坐标特征
【例1】若点P(a，a－2)在第四象限，则a的取值范围是( )
A．－2＜a＜0 B．0＜a＜2
C．a＞2 D．a＜0
解析：第四象限点的横坐标大于0，纵坐标小于0，结合点的坐标特征构造不等式组
解这个不等式组得0＜a＜2，故选B.
答案：B
方法总结 解这类题的关键是明确各象限内点的坐标特征，总结规律，再结合规律列出不等式(组)求解．
触类旁通1 在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，|n|)一定在( )
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第四象限 D．第三象限或第四象限
考点二、图形的变换与坐标
【例2】在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题：
(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方式得到的？
(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．
分析：(1)→→
(2)→→→
解：(1)先将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A′B′C′(或先平移再旋转也可)．
(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)．
S△DEF＝6×2－×4×2－×2×1－×6×1＝4.
方法总结 在平面直角坐标系中，图形的平移、对称、旋转等变换会引起坐标的变化，同样，坐标的变化也会引起图形的变换，两者紧密结合充分体现了数形结合的思想．
触类旁通2 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(－4,5)，(－1,3)．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(3)写出点B′的坐标．
考点三、函数图象的应用
【例3】如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的直线距离为s，则s关于t的函数图象大致为( )
解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．
答案：C
方法总结 利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，要看清横坐标和纵坐标表示的是哪两个变量，探求变量和函数之间的变化趋势，仔细观察图象(直线或曲线)的“走势”特点，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．
触类旁通3 在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点四、函数自变量取值范围的确定
【例4】函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A．x≥－3 B．x≥－3且x≠1
C．x≠1 D．x≠－3且x≠1
解析：由题意得x＋3≥0，且x－1≠0，所以x≥－3且x≠1.
答案：B
方法总结 自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在以下几种：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是二次根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；⑤当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义．
触类旁通4 函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A．x≤3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＞3
1．(2012四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为( )
A．(－3，－5) B．(3,5)
C．(3，－5) D．(5，－3)
2．(2012重庆)2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是( )
3．(2012湖南湘潭)下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x－3 D．y＝
4．(2012浙江绍兴)小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家300米的报亭，母亲随即按原速度返回家．父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家．则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是__________(只需填写序号)．
5．(2012山东菏泽)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
1．在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B关于x轴对称，则点B的坐标为( )
A．(3,2) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)
2．下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是( )
A．y＝ B．y＝1－
C．y＝ D．y＝＋
3．以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B，D两点的坐标分别为(1,3)，(4,0)，把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是( )
A．(3,3) B．(5,3) C．(3,5) D．(5,5)
4．若点P(a，a－b)在第四象限，则点Q(b，－a)在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
5．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3)，B(4,1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是( )
A．(1,0) B．(5,4)
C．(1,0)或(5,4) D．(0,1)或(4,5)
6．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢走至离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是( )
7．如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__________．
8．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2 400 m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96 m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1 m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD，线段EF分别是表示s1，s2与t之间函数关系的图象．
(1)求s2与t之间的函数关系式；
(2)小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．A 3．D
4．B 因为x2≥0，所以x2＋1＞0，故点P在第二象限内．
5．x≠3 因为x－3≠0，所以x≠3.
探究考点方法
触类旁通1．A ∵mn＞0，∴m＞0，n＞0或m＜0，n＜0.
当m＞0，n＞0时，点(m，|n|)在第一象限；
当m＜0，n＜0时，点(m，|n|)在第二象限，故选A．
触类旁通2．解：(1)(2)如图所示．
(3)B′(2,1)．
触类旁通3．C 因为利用图象可判断①②④正确，③错误，故选C.
触类旁通4．B 因为由题意得3－x＞0，所以x＜3.
品鉴经典考题
1．B 关于y轴对称的两点的坐标，横坐标相反，纵坐标相同．
2．B 根据题意可得，s与t的函数关系的大致图象分为四段：
第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小；
第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大；
第三段，与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变；
第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0.
只有B选项的图象符合，故选B.
3．D A项中，自变量x的取值范围是x≠3；B项中，x＞3；C项中，x为全体实数．
4．④，② ∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②；
∵父亲看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家，
∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④.
5．解：(1)由题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴．
在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB＝8，BE＝＝＝6，∴CE＝4，∴E(4,8)．
在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，
又DE＝OD，∴(8－OD)2＋42＝OD2，
∴OD＝5，∴D(0,5)．
研习预测试题
1．D 2．D 3．D
4．A 由题意，得a＞0，a－b＜0，所以a＜b，
所以b＞a＞0，－a＜0.
5．C
6．C 小华的爷爷慢走至绿岛公园时间用得长，距离增得慢；到绿岛公园后打了一会儿太极拳，时间在变，距离没有变；回家时时间用得少，离家的距离缩短得快．故选C.
7．y＝x(0＜x＜10) 因为y＝＝＝x(0＜x＜10)．
8．解：(1)2 400÷96＝25(min)，
∴点E，F的坐标分别为(0,2 400)，(25,0)．
设EF的解析式为s2＝kt＋b，则有
解得∴解析式为s2＝－96t＋2 400.
(2)B，D点的坐标分别为(12,2 400)，(22,0)．
由待定系数法可得BD段的解析式为s＝－240t＋5 280，与s2＝－96t＋2 400的交点坐标为(20,480)．
∴小明从家出发，经过20分钟在返回途中追上爸爸，这时他们距离家480 m.第4讲 二次根式
考纲要求 命题趋势
1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质()2＝a(a≥0)．2．能用二次根式的性质＝|a|来化简根式．3．能识别最简二次根式、同类二次根式．4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算. 二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以客观题形式进行考查，重点要求熟练掌握基本运算．二次根式运算的另一考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点.
知识梳理
一、二次根式
1．概念
形如________的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
要使二次根式有意义，则a≥0.
二、二次根式的性质
1．()2＝a(______)．
2．＝|a|＝
3．＝______(a≥0，b≥0)．
4．＝______(a≥0，b＞0)．
三、最简二次根式、同类二次根式
1．概念
我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．
2．同类二次根式的概念
几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．
四、二次根式的运算
1．二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
2．二次根式的乘除法
(1)二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
(2)二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
自主测试
1．使有意义的x的取值范围是( )
A．x＞ B．x＞－ C．x≥ D．x≥－
2．已知y＝＋－3，则2xy的值为( )
A．－15 B．15 C．－ D．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是( )
A．＝±5 B．4－＝1
C．÷＝9 D．·＝6
5．估计的值( )
A．在2到3之间 B．在3到4之间
C．在4到5之间 D．在5到6之间
6．化简：－＋.
考点一、二次根式有意义的条件
【例1】若使有意义，则x的取值范围是________．
解析：x＋1与2－x都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x不能为零，可得不等式组解得－1≤x＜2.
答案：－1≤x＜2
方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．
触类旁通1 要使式子有意义，则a的取值范围为__________．
考点二、二次根式的性质
【例2】把二次根式a化简后，结果正确的是( )
A． B．－ C．－ D．
解析：要使a有意义，必须－＞0，即a＜0.
所以a＝a＝＝－.
答案：B
方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
触类旁通2 如果＝1－2a，则( )
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
考点三、最简二次根式与同类二次根式
【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
(2)在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
解析：(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D选项中的被开方数中含有分母，故B选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出＝|a|，＝a，＝a2，结合同类二次根式的概念，可得出与是同类二次根式．
答案：(1)B (2)C
方法总结 1．最简二次根式的判断方法：
最简二次根式必须同时满足如下条件：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；
(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
触类旁通3 若最简二次根式与是同类二次根式，则ab＝__________.
考点四、二次根式的运算
【例4】计算：(－)÷.
解：原式＝(5－2)÷＝3÷＝3.
方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．
2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．
1．(2012湖南株洲)要使二次根式有意义，那么x的取值范围是( )
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
2．(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )
A．2与3之间 B．3与4之间
C．4与5之间 D．5与6之间
3．(2012浙江杭州)已知m＝×(－2)，则有( )
A．5＜m＜6 B．4＜m＜5
C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5
4．(2012广东)若x，y为实数，且满足|x－3|＋＝0，则2 012的值是__________．
5．(2012四川德阳)有下列计算：①(m2)3＝m6，②＝2a－1，③m6÷m2＝m3，④×÷＝15，⑤2－2＋3＝14，其中正确的运算有__________．(填序号)
1．下列各式计算正确的是( )
A．＋＝ B．2＋＝2
C．3－＝2 D．＝－
2．估计×＋的运算结果在( )
A．1到2之间 B．2到3之间
C．3到4之间 D．4到5之间
3．若a＜1，化简－1等于( )
A．a－2 B．2－a
C．a D．－a
4．已知实数a满足|2 011－a|＋＝a，则a－2 0112的值是( )
A．2 011 B．2 010
C．2 012 D．2 009
5．计算2－6＋的结果是( )
A．3－2 B．5－
C．5－ D．2
6．若＋(y－2 012)2＝0，则xy＝__________.
7．当－1＜x＜3时，化简：＋＝__________.
8．如果代数式有意义，则x的取值范围是________．
9．计算：(－3)0＋×＝__________.
10．计算：－1－2－(π－)0＋|－1|.
11．计算：(＋)(－)－|1－|.
12．计算：(－3)0－＋|1－|＋ .
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．C 由题意得3x－1≥0，所以x≥.
2．A 由题意得2x－5≥0且5－2x≥0，解得x＝，此时y＝－3，所以2xy＝2××(－3)＝－15.
3．B ＝3，＝3，＝，＝.
4．D ＝5,4－＝4－3＝，÷＝＝3，·＝＝＝6.
5．B 因为3＝，4＝，＜＜，所以在3到4之间．
6．解：原式＝3－2＋＝＝.
探究考点方法
触类旁通1．a≥－2且a≠0 由题意，得解得a≥－2且a≠0.
触类旁通2．B 因为二次根式具有非负性，
所以1－2a≥0，解得a≤，故选B.
触类旁通3．1 由题意，得解得
∴ab＝1.
品鉴经典考题
1．C 因为二次根式有意义，则2x－4≥0，所以x≥2.
2．B 因为面积是15，则边长为，则边长大小在3与4之间．
3．A m＝×(－2)＝＝×3＝2＝，∵＜＜，∴5＜＜6，即5＜m＜6，故选A.
4．1 由题意得x－3＝0，y＋3＝0，则x＝3，y＝－3，所以2 012＝(－1)2 012＝1.
5．①④⑤ ②＝＝|2a－1|，③m6÷m2＝m6－2＝m4，这两个运算是错误的．
研习预测试题
1．C A项中与不是同类二次根式，B项中2与不是同类二次根式，C项中3－＝(3－1)＝2，D项中原式＝－＝－＝－.
2．C 原式＝2＋，1＜＜2，所以3＜2＋＜4.
3．D －1＝|a－1|－1＝1－a－1＝－a.
4．C 由算术平方根的意义知，a≥2 012，则2 011－a＜0，
∴a－2 011＋＝a.∴＝2 011.
∴a－2 012＝2 0112，
∴a－2 0112＝2 012.
5．A 原式＝2×－6×＋2＝－2＋2＝3－2.
6．1 因为由题意得x＋1＝0，y－2 012＝0，所以x＝－1，y＝2 012，所以xy＝(－1)2 012＝1.
7．4 原式＝＋＝|x－3|＋|x＋1|＝3－x＋x＋1＝4.
8．x＞3
9．解：原式＝1＋2×＝1＋6＝7.
10．解：原式＝－2－1＋1＝－.
11．解：原式＝()2－()2－(－1)＝3－2－＋1＝2－.
12．解：原式＝1－3＋－1＋－＝－2.
