【新课标】24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
24.2.3圆心角、弧、弦、
弦心距之间的关系
沪科版 九年级下
教学内容分析
本节主要学习，在同圆或等圆中，两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距，它们之间的相等关系，圆心角与下一节学习的圆周角有一定关系，起到承上启下的作用，本节利用相等关系证明几何问题，计算相关的角和线段。
教学目标
1.理解圆是旋转对称图形，
2.掌握圆心角与所对的弦、所对弦的弦心距的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧和两条弦、弦心距中，有一组量相等，则对应的其余各组量分别相等（重点）
3. 能够运用定理，证明几何结论，求圆中的角和线段(难点)
核心素养分析
本节探究学习了在同圆或等圆中，两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距，它们之间有一组量相等，其余都相等，培养了几何直观的核心素养，锻炼了学生的计算能力。
新知导入
垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是(　　)
A．①② ③④ B．①③ ②④ C．①④ ②③ D．②③ ①④
B
新知导入
解：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直于弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧，故本题选B．
新知讲解
我们已经知道，圆是轴对称图形,对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线，那么圆是中心对称图形吗
新知讲解
在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'
.O
.O'
图24-24
新知讲解
把两张纸叠在一起，使⊙O与⊙O'重合
.O
.O'
图24-24
新知讲解
用图钉钉住圆心，将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗
.O
.O'
圆是旋转对称图形，旋转中心为圆心.
新知讲解
顶点在圆心的角(∠AOB、∠A'OB')叫做圆心角.
图24-25
A
A′
B ′
O
B
下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A． B． C． D．
新知讲解
C
新知讲解
解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C、是圆心角，故本选项符合题意；
D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
新知讲解
当∠AOB =∠A'OB'时，根据上述圆的性质，
你能猜测出，两个圆心角所对的 与 、
弦AB与弦A'B'、弦心距OM与弦心距OM'之间有怎样的关系
图24-25
A
A′
B ′
O
B
⌒
AB
⌒
A'B'
新知讲解
思考
根据圆的旋转对称性，把∠AOB连同 绕圆心О旋转,
使线段OA与OA'重合,
设∠A'OA =α.
∠AOB =∠A'OB' ,
∠B'OB = ∠A'OB'+∠A'OB
=∠AOB +∠A'OB =α.
线段OB与线段OB'重合.
⌒
AB
图24-25
A
A′
B ′
O
B
新知讲解
又OA =OA' ,OB =OB'，
旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合。
这样，弧AB与A'B'重合，弦AB与弦A'B'重合，
弦心距OM与弦心距OM'也重合，
即弧AB =弧A'B' ,AB =A'B' ,OM =OM'.
图24-25
A
A′
B ′
O
B
新知讲解
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
新知讲解
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。
新知讲解
在同圆或等圆中，
圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等.
在同圆或等圆中，这个前提条件可以去掉吗？
新知讲解
不能
在同心圆中，若圆心角∠BOC=∠AOC相等，可以得到AB=A'B' OC=O'C'
吗？
⌒
AB=
⌒
A'B'
B'
A'
O
B
A
图24-25
C
C'
新知讲解
把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
1°
n°
1°弧
n°弧
新知讲解
一般地,n°的圆心角对着n °的弧,n°的弧对着n°的圆心角.
也就是说,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
它所对圆心角的度数
=
弧的度数
新知讲解
例4 已知:如图24-26,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上.
求证:∠AOB=∠BOC=∠COA =120°.
证明 连接OA,OB, OC.
∵AB=BC=CA,
∴∠AOB = ∠BOC =∠COA= ×360°=120°.
图24-26
新知讲解
例5 已知:如图24-27 ,点O是∠A平分线上的一点，⊙O分别交∠A两边于点C,D和点E,F.
求证:CD=EF.
证明 过点O作 OK⊥CD、OK'⊥EF ,
垂足分别为K,K'.
∵OK =OK'(角平分线性质)，
∴CD=EF.
图24-27
A
E
C
K
K'
O
F
D
例6 如图24-28，AB,CD为⊙O的两条直径,CE为⊙O的弦,且CE//AB， 为40°,求∠BOD的度数.
新知讲解
解 连接 OE.
∵弧CE为40°，
∴∠COE =40°.
图24-28
⌒
CE
A
B
C
E
D
O
新知讲解
∵OC= OE,
∴∠C=
∵CE//AB,
∴∠AOD =∠C= 70°.
∴∠BOD = 180°-70° =110°.
图24-28
A
B
C
E
D
O
新知讲解
在同圆或等圆中,圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等.
圆心角相等
弧相等
弦相等
弦心距相等
1.下面四个图中的角，是圆心角的是 ( )
A. B. C. D.
课堂练习
D
解:根据圆心角的定义，圆心角是顶点在圆心，角的两边与圆相交的角。故选D.
课堂练习
2.如图，在同圆中，若∠AOC=2∠BOD，则AC____2BD.(填“>”“<”或“=”)
<
课堂练习
解:如图，以OD为边作∠DOE=∠BOD，OE与⊙O交于点E，连接AC、BE、BD、ED，
则∠BOE=2∠BOD，BD=DE，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴∠AOC=∠BOE，
∴AC=BE，
在△BDE中，BE∴AC<2BD，
课堂练习
3.已知⊙O的半径为5 cm，AB和CD是⊙O的弦，AB//CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB与CD之间的距离是多少？
课堂练习
解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
则AE= AB=3cm，CF= CD=4cm，
∴OE= ，
OF= ，
(1)当AB、CD在圆心O的同侧时，
距离为OE-OF=4-3=1(cm)
课堂练习
解:(2)当AB、CD在圆心O的异侧时，
距离为OE+OF=4+3=7(cm)
因此，AB与CD之间的距离是1cm或7cm．
课堂总结
定理
推论
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对弦的弦心距相等.
在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余各组量都分别相等.
板书设计
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.圆是旋转对称图形
2.弦、弧、弦心距、圆心角之间的关系
作业布置
必做题:课本P20的第1~2题
选做题:练习册本课时的习题
谢谢
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