第12讲 二次函数
考纲要求 命题趋势
1．理解二次函数的有关概念．2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
二次函数的两种形式：
(1)一般形式：____________________________；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．
二、二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象 (a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最______值 当x＝－时，y有最______值
三、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系
四、二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
五、二次函数关系式的确定
1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
六、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的________．
3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
自主测试
1．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
2．如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b2－4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a－b＜0；(4)a＋b＋c＜0.你认为其中错误的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．1个
3．当m＝__________时，函数y＝(m－3)xm2－7＋4是二次函数．
4．将抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________．
5．写出一个开口向下的二次函数的表达式：__________________________.
考点一、二次函数的图象及性质
【例1】(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( )
A．(－1,8) B．(1,8)
C．(－1,2) D．(1，－4)
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－＝－＝－1，
＝＝8，
∴二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.
(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.
∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
∴y1＞y3.∴y1＞y2.
答案：(1)A (2)＞
方法总结 1．将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－，顶点坐标来求对称轴及顶点坐标．
2．比较两个二次函数值大小的方法：
(1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；
(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
触类旁通1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号
【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)
解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．
答案：①③
方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．
触类旁通2 小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
考点三、二次函数图象的平移
【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．
答案：C
方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
触类旁通3 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2
考点四、确定二次函数的解析式
【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．
解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.
∴△AOD≌△BEC.
∴OA＝EB＝EA.
设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，
m2＋()2＝(2m)2，解得m＝1.
∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.
∴A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，)．
(2)解法一：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋，代入A的坐标(1,0)，得a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋.
解法二：设这个抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由已知抛物线经过A(1,0)，B(3,0)，C(2，)三点，
得解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.
方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．
触类旁通4 已知抛物线y＝－x2＋(6－)x＋m－3与x轴有A，B两个交点，且A，B两点关于y轴对称．
(1)求m的值；
(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．
考点五、二次函数的实际应用
【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－(x－60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－(100－x)2＋(100－x)＋160(万元)．
(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；
(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；
(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？
解：(1)当x＝60时，P最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．
(2)前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．
后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100－x)万元，所以y＝P＋Q＝＋＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1 065，表明x＝30时，y最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．
(3)有极大的实施价值．
方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：
1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．
触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0＜x≤11)．
(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；
(2)求今年这种玩具的每件利润y(元)与x之间的函数关系式；
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．
1．(2012四川乐山)二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是( )
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2
C．1＜t＜2 D．－1＜t＜1
2．(2012山东菏泽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )'
3．(2012上海)将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．
4．(2012山东枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是______________．
(第4题图)
5．(2012广东珠海)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.
(第5题图)
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
6．(2012湖南益阳)已知：如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1,3)处．
(1)求原抛物线的解析式；
(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号)
1．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( )
A．(3，－4) B．(3,4)
C．(－3，－4) D．(－3,4)
2．由二次函数y＝2(x－3)2＋1，可知( )
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝－3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
3．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
4．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )
(第4题图)
A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
5．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1,0)，B(1，－2)，该图象与x轴的另一交点为C，则AC长为__________．
(第5题图)
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；
②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x＝；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．
8．2011年长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
(1)分别求y1和y2的函数解析式；
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)研究二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．C
2．D ∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0；与y轴交点在(0,0)与(0,1)之间，∴0＜c＜1，∴(2)错；
∵－＞－1，∴＜1，∵a＜0，∴2a＜b，∴2a－b＜0；
当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故选D.
3．－3 由题意，得m2－7＝2且m－3≠0，解得m＝－3.
4．y＝x2＋1
5．y＝－x2＋2x＋1(答案不唯一)
探究考点方法
触类旁通1．D
触类旁通2．C ∵抛物线开口向上，∴a＞0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0；
对称轴在y轴右侧，a，b异号，故b＜0，∴abc＞0.
由题图知当x＝－1时，y＞0，
即a－b＋c＞0.对称轴是直线x＝，
∴－＝，即2a＋3b＝0；
由得c－b＞0.
又∵b＜0，∴c－4b＞0.∴正确的结论有4个．
触类旁通3．A 因为将二次函数y＝x2向右平移1个单位，得y＝(x－1)2，再向上平移2个单位后，得y＝(x－1)2＋2，故选A.
触类旁通4．解：(1)∵抛物线与x轴的两个交点关于y轴对称，∴抛物线的对称轴即为y轴．
∴－＝0.∴m＝±6.
又∵抛物线开口向下，∴m－3＞0，即m＞3.∴m＝6.
(2)∵m＝6，
∴抛物线的关系式为y＝－x2＋3，顶点坐标为(0,3)．
触类旁通5．解：(1)(10＋7x) (12＋6x)
(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.
(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4，
∴w＝－2(x－0.5)2＋4.5.
∵－2＜0,0＜x≤11，
∴当x＝0.5时，w最大＝4.5(万元)．
答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．
品鉴经典考题
1．B ∵二次函数y＝ax2＋bx＋1的顶点在第一象限，
且经过点(－1,0)，
∴a－b＋1＝0，a＜0，b＞0.
由a＝b－1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，∴0＜b＜1①；
由b＝a＋1＞0得到a＞－1，结合上面a＜0，
∴－1＜a＜0②.
∴由①②得－1＜a＋b＜1，且c＝1，
得到0＜a＋b＋1＜2，
∴0＜t＜2.
2．C ∵二次函数图象开口向下，∴a＜0.
∵对称轴x＝－＜0，∴b＜0.
∵二次函数图象经过坐标原点，∴c＝0.
∴一次函数y＝bx＋c过第二、四象限且经过原点，反比例函数y＝位于第二、四象限，故选C.
3．y＝x2＋x－2 因为抛物线向下平移2个单位，则y值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y＝x2＋x－2.
4．－1＜x＜3 因为二次函数的图象与x轴两个交点的坐标分别是(－1,0)，(3,0)，由图象可知，当y＜0时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.
5．解：(1)由题意，得
(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1，∴y＝(x－2)2－1.
当x＝0时，y＝(0－2)2－1＝3，∴C(0,3)．
∵点B与C关于直线x＝2对称，∴B(4,3)．
于是有解得
∴y＝x－1.
(2)x的取值范围是1≤x≤4.
6．解：(1)∵P与P′(1,3)关于x轴对称，
∴P点坐标为(1，－3)．
∵抛物线y＝a(x－1)2＋c过点A(1－，0)，顶点是P(1，－3)，∴解得
则抛物线的解析式为y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.
(2)∵CD平行于x轴，P′(1,3)在CD上，
∴C，D两点纵坐标为3，
由(x－1)2－3＝3，得x1＝1－，x2＝1＋，
∴C，D两点的坐标分别为(1－，3)，(1＋，3)，
∴CD＝2，
∴ “W”图案的高与宽(CD)的比＝＝(或约等于0.612 4)．
研习预测试题
1．A 2．C
3．D 由题意，得22－4(k－3)≥0，且k－3≠0，解得k≤4且k≠3，故选D.
4．A
5．3 ∵把A(－1,0)，B(1，－2)代入y＝x2＋bx＋c得解得∴y＝x2－x－2，解x2－x－2＝0得x1＝－1，x2＝2，∴C点坐标为(2,0)，∴AC＝3.
6．①③④ 由图表可知当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝6，∴抛物线的对称轴是直线x＝，③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x＝，∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，④正确；当x＝时，y取得最大值，②错误．
7．y＝－x2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x＝1，
所以－＝1，即b＝2.把点(3,0)代入y＝－x2＋2x＋c，得c＝3.故原图象的解析式为y＝－x2＋2x＋3，即y＝－(x－1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y＝－(x－1＋2)2＋4－3，即y＝－x2－2x.
8．解：(1)由题意，得5k＝2，∴k＝，∴y1＝x；
∴∴y2＝－x2＋x.
(2)设该农户投资t万元购Ⅱ型设备，投资(10－t)万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q万元．
∴y1＝(10－t)＝4－t，y2＝－t2＋t.
∴Q＝y1＋y2＝4－t－t2＋t＝－t2＋t＋4＝－(t－3)2＋.∴当t＝3时，Q最大＝.∴10－t＝7.
即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．
9．解：(1)二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标(2，－1)．
(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为直线x＝2或顶点的横坐标为2；
都经过A(1,0)，B(3,0)两点．
②线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，
∴kx2－4kx＋3k＝8k，
∵k≠0，∴x2－4x＋3＝8，解得x1＝－1，x2＝5.
∴EF＝x2－x1＝6，∴线段EF的长度不会发生变化．第15讲 等腰三角形
考纲要求 命题趋势
1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．4．掌握角平分线的性质及判定. 等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.
知识梳理
一、等腰三角形
1．等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形．
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．
3．等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．
二、等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质
(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________．
2．等边三角形的判定
(1)________相等的三角形是等边三角形；(2)________相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．
三、线段的垂直平分线
1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．
2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．
3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
四、角的平分线
1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．
自主测试
1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为__________．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是__________．
3．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．
4．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为( )
A．8 B．10
C．8或10 D．不能确定
考点一、等腰三角形的性质与判定
【例1】已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
(1)如图甲，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；
(2)如图乙，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；
(3)若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．
解：(1)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.
(2)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF.
在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝∠OCF.
又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
(3)不一定成立．
当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图．
方法总结 1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等．
2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理．
触类旁通1 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
考点二、等边三角形的性质与判定
【例2】(1)如图甲，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．
(2)如图乙，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠)，求∠AEB的大小．
分析：解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60°的性质．全等是解决这类问题最常见的方法．
解：(1)如图甲．
图甲
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，
∴OD＝OC＝OB＝OA，
∠1＝∠2＝60°，
∴∠4＝∠5.
又∵∠4＋∠5＝∠2＝60°，
∴∠4＝30°.同理，∠6＝30°.
∵∠AEB＝∠4＋∠6，∴∠AEB＝60°.
(2)如图乙．
图乙
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD＝OC，OB＝OA，
∠1＝∠2＝60°.
又∵OD＝OA，∴OD＝OB，OA＝OC，
∴∠4＝∠5，∠6＝∠7.
∵∠DOB＝∠1＋∠3，∠AOC＝∠2＋∠3，
∴∠DOB＝∠AOC.
∵∠4＋∠5＋∠DOB＝180°，∠6＋∠7＋∠AOC＝180°，
∴2∠5＝2∠6，∴∠5＝∠6.
又∵∠AEB＝∠8－∠5，∠8＝∠2＋∠6，
∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，
∴∠AEB＝60°.
方法总结 1．等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等．
2．等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心．(四心合一)
触类旁通2 已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．
求证：(1)△AEF≌△CDE；
(2)△ABC为等边三角形．
考点三、线段的垂直平分线
【例3】如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是( )
A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm
解析：由题意可知DE为AC的垂直平分线，所以AD＝CD，AC＝2AE＝8 cm.因为△ABC的周长为30 cm，所以AB＋BC＋AC＝30 cm，所以AB＋BC＝22 cm.所以△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝AB＋BC＝22 cm.
答案：A
方法总结 1．线段垂直平分线的性质有两个：(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段．
2．线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现，且常与三角形的周长结合命题．
触类旁通3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
考点四、角的平分线
【例4】如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OE＝OD.
∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，
∴△OEC≌△ODB.
∴OB＝OC.
(2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∴△OEC≌△ODB.
∴OE＝OD.
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OA平分∠CAB.
∴∠1＝∠2.
方法总结 在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线．
触类旁通4 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
1．(2012贵州铜仁)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．(2012江西南昌)若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是( )
A．20° B．50° C．60° D．80°
3．(2012浙江宁波)如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝______度．
4．(2012广东广州)如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为________．
5．(2012湖南益阳)如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.
求证：AB＝AC.
6．(2012湖北随州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
求证：(1)△ABD≌△ACD；
(2)BE＝CE.
1．如图，坐标平面内有一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB＝1 000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在( )
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
3．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
4．如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝( )
A．125° B．130° C．90° D．120°
5．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于__________．
6．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．
7．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是__________．
8．如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.
(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；
(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．4或6 如果腰长为4，则底边长为14－2×4＝6；如果底边长为4，则两腰分别为5,5.
2．3 ∵在Rt△ADC中，CD＝＝3，∴D点到AB的距离＝CD＝3.
3．8或或3
4．B 解方程x2－6x＋8＝0得x1＝2，x2＝4，当腰为2时，2＋2＝4(舍去)，当腰为4时，周长为4＋4＋2＝10.
探究考点方法
触类旁通1．证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD，
∴△ACB≌△BDA(HL)．
∴BC＝AD.
(2)由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA.
∴△OAB是等腰三角形．
触类旁通2．证明：(1)∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC.
∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE.
又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE.
(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC.
∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°.
同理可得∠BAC＝60°.
∴△ABC中，AB＝BC.
∴△ABC是等边三角形．
触类旁通3．解：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.
∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠B＝∠BAD.
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAD＋∠DAE＋∠B＝90°.
∴∠B＝30°.
触类旁通4．D
品鉴经典考题
1．D ∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.
∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN.
∴MN＝ME＋EN，即MN＝BM＋CN.
∵BM＋CN＝9，∴MN＝9，故选D.
2．B 因为等腰三角形的顶角为80°，所以底角＝(180°－80°)÷2＝50°.
3．40 ∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC.
∵∠ACD＝110°，∴∠ACB＝∠BAC＝70°，∴∠B＝∠40°.
∵AE∥BD，∴∠EAB＝∠B＝40°.
4．2 在等边三角形ABC中，AB＝6，∴BC＝AB＝6.
∵BC＝3BD，∴BD＝BC＝2.
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2.
5．证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1＝∠2.
∵AE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
6．证明：(1)在△ABD和△ACD中，
∵D是BC的中点，
△ABC≌△ACD(SSS)．
(2)由(1)知△ABD≌△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
即∠BAE＝∠CAE.
在△ABE和△ACE中，
△ABE≌△ACE(SAS)．
∴BE＝CE.
研习预测试题
1．C 因为x轴负半轴有一个点，x轴正半轴有三个点，所以符合条件的动点P的个数为4.
2．A
3．A ∵BF平分∠ABC，如图，
∴∠ABF＝∠CBF.
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF.
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF.
∴∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠EFC.
∴BD＝DF，EF＝CE.
∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE＝9.
4．D
5．8 因为△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝8.
6．15
7．＜x＜5 由三角形的三边关系得
解得＜x＜5.
8．解：(1)①③；②③.
(2)①③.
证明：∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，
∴△BEO≌△CDO.∴OB＝OC.
∴∠OBC＝∠OCB.∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，
即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
∴△ABC为等腰三角形．第11讲 反比例函数
考纲要求 命题趋势
1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质．3．能用反比例函数解决简单实际问题. 反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题为主.
知识梳理
一、反比例函数的概念
一般地，形如________________(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量________，函数与x轴、y轴无交点．
2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.
二、反比例函数的图象与性质
1．图象
反比例函数的图象是双曲线．
2．性质
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________；当k＜0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．
三、反比例函数的应用
1．利用待定系数法确定反比例函数解析式
由于反比例函数y＝中只有一个待定系数，因此只要
一对对应的x，y值，或已知其图象上一个______的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式．
2．反比例函数的实际应用
解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．
自主测试
1．如图，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是( )
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x
2．已知点P(－1,4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是( )
A．－ B． C．4 D．－4
3．若点A(1，y1)，B(2，y2)是双曲线y＝上的点，则y1__________y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
考点一、反比例函数的图象与性质
【例1】反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是__________．
解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m－1＞0，∴m＞1.
答案：m＞1
方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况．
2．反比例函数图象的分布取决于k的符号，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限．
触类旁通1 若双曲线y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是__________．
考点二、反比例函数解析式的确定
【例2】如图，直线y＝2x与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B，已知OB＝1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式．
解：∵AB垂直x轴于点B，OB＝1，且点A在第一象限，∴点A的横坐标为1.又∵直线y＝2x的图象经过A，∴y＝2x＝2×1＝2，即点A的坐标为(1,2)．
∵y＝的图象过点A(1,2)，∴2＝.∴k＝2.
∴这个反比例函数的解析式为y＝.
方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值．
触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，n)．
(1)求反比例函数y＝的解析式；
(2)若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．
考点三、反比例函数的比例系数k的几何意义
【例3】已知点P在函数y＝(x＞0)的图象上，PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A，B，则矩形OAPB的面积为__________．
解析：矩形OAPB的面积等于|xy|＝|k|＝2.
答案：2
方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|.
触类旁通3 一个反比例函数的图象如图所示，若A是图象上任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，如果△AOM的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是__________．
1． (2012浙江台州)点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1
C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
2．(2012湖南常德)对于函数y＝，下列说法错误的是( )
A．它的图象分布在第一、三象限
B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
3.(2012贵州铜仁)如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝的图象经过点A，则k的值是( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
4．(2012兰州)如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为__________．
5．(2012四川成都)如图，一次函数y＝－2x＋b(b为常数)的图象与反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(－1,4)．
(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
6．(2012四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？
1．某反比例函数的图象经过点(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( )
A．(－3,2) B．(3,2)
C．(2,3) D．(6,1)
2．若函数y＝的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是( )
A．m＞－2 B．m＜－2
C．m＞2 D．m＜2
3．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )
A．图象经过点(1，－1)
B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝－的图象上的三点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
5．反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A(1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的点P的坐标为__________．
6．在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO＝10，sin∠AOB＝，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为__________．
7．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积是1，则反比例函数的解析式为__________．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B，A，与反比例函数的图象分别交于点C，D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2.
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求直线AB的解析式．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 因为图象的两个分支在第一、三象限，所以k＞0，A，D选项不是反比例函数，故选B.
2．D k＝xy＝－1×4＝－4.
3．＞ 因为当x＝1时，y1＝3；当x＝2时，y2＝，
所以y1＞y2.
探究考点方法
触类旁通1．k＜ ∵图象经过第二、四象限，
∴2k－1＜0，∴k＜.
触类旁通2．分析：(1)把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；
(2)以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点就是P.
解：(1)∵点A(－1，n)在一次函数y＝－2x的图象上，
∴n＝－2×(－1)＝2.∴点A的坐标为(－1,2)．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝－2.
∴反比例函数的解析式为y＝－.
(2)点P的坐标为(－2,0)或(0,4)．
触类旁通3．y＝ 设反比例函数为y＝(k≠0)．
∵△AOM的面积可表示为S△AOM＝|k|，
又∵S△AOM＝3，∴|k|＝3.∴|k|＝6.
∵双曲线在第一、三象限，∴k＞0.∴k＝6.
∴反比例函数的解析式为y＝.
品鉴经典考题
1．D 因为k＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y随x的增大而减小，所以0＜y3＜y2，点(－1，y1)在第三象限，所以y1＜0＜y3，所以y1＜y3＜y2.
2．C 因为k＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y随x的增大而减小，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，所以A，B，D正确，C错误．
3．D 因为正方形ABOC的边长为2，所以面积为4，根据反比例函数系数k的几何意义，又图象在第二象限，所以k＝－4.
4．2 延长BA交y轴于点E，则矩形EBCO的面积为3，矩形EADO的面积为1，所以矩形ABCD的面积为3－1＝2.
5．解：(1)把A(－1,4)代入y＝得k＝－4，
∴反比例函数的解析式为y＝－.
把A(－1,4)代入y＝－2x＋b得－2×(－1)＋b＝4，
解得b＝2.
∴一次函数解析式为y＝－2x＋2.
(2)将y＝－和y＝－2x＋2组成方程组
解得或所以B点坐标是(2，－2)．
6．解：(1)药物燃烧后，设y与x的函数关系式为y＝.把B(25,6)代入得6＝，解得k1＝150.
∴药物燃烧后，y与x的函数关系式为y＝.
令y＝＝10，解得x＝15.∴A(15,10)．
药物燃烧时，设y与x的函数关系式为y＝k2x.
把A(15,10)代入得10＝15k2，
解得k2＝.
∴药物燃烧时y与x的函数关系式为y＝x(0≤x＜15)，药物燃烧后y与x的函数关系式为y＝(x≥15)．
(2)把y＝2代入y＝，得＝2，解得x＝75，
∴从消毒开始，至少在75分钟内，师生不能进入教室．
研习预测试题
1．A 因为反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积相等，－3×2＝－1×6，故选A.
2．B 因为在象限内y的值随x值的增大而增大，所以图象两分支在第二、四象限，得m＋2＜0，即m＜－2，故选B.
3．C 因为k＝1＞0，所以双曲线两分支位于第一、三象限，y随x的增大而减小，图象关于原点中心对称，故选C.
4．A ∵k＝－4，∴图象两分支在第二、四象限，在每个象限y随x增大而增大．∵x1＜x2＜0，∴0＜y1＜y2.
∵x3＞0，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2，故选A.
5．(－1，－2)(答案不唯一) 因为图象过点A(1,2)，所以k＝2，只需点P的横纵坐标均为负数且乘积为2即可．
6． ∵AO＝10，sin∠AOB＝，∴AB＝6，
∴OB＝8.∵点C是OA中点，∴OC＝5，∴C点的坐标为(4,3)，∴k＝12.∵D点横坐标为8，∴纵坐标为＝.
7．y＝－
8．解：(1)∵OB＝4，OE＝2，∴BE＝2＋4＝6.
∵CE⊥x轴于点E，
∴tan∠ABO＝＝，∴CE＝3.
∴点C的坐标为(－2,3)．
设反比例函数的解析式为y＝(m≠0)．
将点C的坐标代入，得3＝，m＝－6.
∴该反比例函数的解析式为y＝－.
(2)∵OB＝4，∴B(4,0)．
∵tan∠ABO＝＝，∴OA＝2，∴A(0,2)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
将点A，B的坐标分别代入，得
解得∴直线AB的解析式为y＝－x＋2.第14讲 三角形与全等三角形
考纲要求 命题趋势
1．了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系．2．理解三角形内角和定理及推论．3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明. 中考中多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系，通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考查学生综合运用知识的能力.
知识梳理
一、三角形的概念及性质
1．概念
(1)由三条线段________顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
2．性质
(1)三角形的内角和是______；三角形的一个外角等于与它不相邻的____________；三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和______第三边；三角形任意两边之差________第三边．
二、三角形中的重要线段
1．三角形的角平分线
三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的________．
2．三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的______．
3．三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边______的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的______．
4．三角形的中位线
连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的________．
三、全等三角形的性质与判定
1．概念
能够________的两个三角形叫做全等三角形．
2．性质
全等三角形的__________、__________分别相等．
3．判定
(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
四、定义、命题、定理、公理
1．定义
对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．
2．命题
判断一件事情的语句．
(1)命题由________和________两部分组成．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．
(2)命题的真假：正确的命题称为________；错误的命题称为________．
(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．
3．定理
经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．
4．公理
有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理．
五、证明
1．证明
从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过________，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．
2．证明的一般步骤
(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．
3．反证法
先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．
自主测试
1．△ABC的内角和为( )
A．180° B．360°
C．540° D．720°
2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )
A．3,8,4 B．4,9,6
C．15,20,8 D．9,15,8
3．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．AB＝AC B．BD＝CD
C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
4．下面的命题中，真命题是( )
A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等
D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等
5．如图，D，E分别是AB，AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE.求证：∠B＝∠C.
考点一、三角形的边角关系
【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是( )
A．1 B．5 C．7 D．9
解析：设第三边为x，根据三角形三边的关系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.
答案：B
方法总结 1．在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较．若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形．否则就不能组成三角形．
2．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．
触类旁通1 已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )
A．2 B．3 C．5 D．13
考点二、全等三角形的性质与判定
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板AED如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
解：BE＝EC，BE⊥EC.证明如下：
∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.
∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.
又∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.
方法总结 1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法．
2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系．
触类旁通2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.
求证：△BEC≌△CDA.
考点三、真假命题的判断
【例3】下列命题，正确的是( )
A．如果|a|＝|b|，那么a＝b
B．等腰梯形的对角线互相垂直
C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D．相等的圆周角所对的弧相等
解析：A项错误，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B项错误，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；D项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中．
答案：C
方法总结 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题．
触类旁通3 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)
考点四、证明的方法
【例4】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.
求证：(1)△BFC≌△DFC；
(2)AD＝DE.
证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF.
在△BFC和△DFC中，
∴△BFC≌△DFC.
(2)如图，连接BD.
∵△BFC≌△DFC，
∴BF＝DF.∴∠FBD＝∠FDB.
∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB.
∴∠ABD＝∠FBD.
∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC.
∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC.
∴∠BDA＝∠BDC.
又BD是公共边，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE.
方法总结 1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法．
2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；
(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；
(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法．
触类旁通4 如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：BE＝CF.
1．(2012浙江嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )
A．40° B．60° C．80° D．90°
2．(2012贵阳)如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( )
A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E
C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF
3．(2012四川雅安)在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________．
4．(2012广东广州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD.
5．(2012江苏苏州)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE，AC.
(1)求证：△ABE≌△CDA；
(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．
1．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能是( )
A．5 m B．15 m
C．20 m D．28 m
2．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( )
A．2 B．4
C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝__________.
4．如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．
5．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________．
6．如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________(只需写出一个)．
7．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.
8．如图，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．A 2．A 3．B 4．D
5．证明：在△ABE和△ACD中，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.
∴∠B＝∠C.
探究考点方法
触类旁通1．B 由三角形三边的关系可得13－2＜x＜13＋2，即11＜x＜15，∵x为正整数，∴x为12,13,14，故选B.
触类旁通2．证明：∵BE⊥CF于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°.
在Rt△BEC中，∠BCE＋∠CBE＝90°，
在Rt△BCA中，∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD.
在△BEC和△CDA中，
∵
∴△BEC≌△CDA.
触类旁通3．①②④
触类旁通4．证明：∵在△ABC中，AD是中线，∴BD＝CD.
∵CF⊥AD，BE⊥AE，∴∠CFD＝∠BED＝90°.
在△BED与△CFD中，
∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF.
品鉴经典考题
1．A 设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝x＋20°，则x＋2x＋x＋20°＝180°，解得x＝40°，即∠A＝40°.
2．B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对应相等，只有B能满足条件．
3．①②④ 由题意知AD＝AD，条件①可组成三边对应相等，条件②可组成两角和其中一角的对边对应相等，条件④可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出△ADB≌△ADC，条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出△ADB≌△ADC.
4．证明：∵在△ABE和△ACD中，∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴BE＝CD.
5．(1)证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA.
∴∠ABE＝∠CDA.
在△ABE和△CDA中，
∴△ABE≌△CDA.
(2)解：由(1)得∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，∴∠AEB＝∠ACE.
∵∠DAC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°.
∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°.
研习预测试题
1．D 由三角形三边关系知16－12＜AB＜16＋12，故选D.
2．B 因为由已知可证明△BDF≌△ADC，所以DF＝CD.
3．70° 4．α＝β＋γ
5．60° ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠CDE＋∠CED＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED.
∴∠A＋∠B＋∠CDE＋∠CED＝2(∠A＋∠B)＝280°.
∵∠1＋∠2＋∠CDE＋∠CED＋∠A＋∠B＝360°，
∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°.
又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°.
6．不是 ∠B＝∠E(答案不唯一)
7．证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB＝90°，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°.
∴∠F＋∠ECF＝90°.
又∵CD⊥AB于点D，
∴∠A＋∠ECF＝90°.
∴∠A＝∠F.
在△ABC和△FCE中，
∴△ABC≌△FCE.∴AB＝FC.
8．证明：∵AD＝EB，
∴AD－BD＝EB－BD，即AB＝ED.
又∵BC∥DF，∴∠CBD＝∠FDB.
∴∠ABC＝∠EDF.
又∵∠C＝∠F，
∴△ABC≌△EDF.
∴AC＝EF.第四单元 图形初步与三角形
第13讲 图形的初步认识
考纲要求 命题趋势
1．了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点、线段的和、差和两点间距离的意义．2．理解角的有关概念，熟练进行角的运算．3．了解补角、余角、对顶角、垂线、垂线段等概念及性质．4．会识别同位角、内错角和同旁内角，掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定. 中考中，对这部分内容命题的难度较小，主要以选择题、填空题的形式出现，重点考查互为余角、互为补角的角的性质、平行线的性质与判定的应用.
知识梳理
一、直线、射线、线段
1．直线的基本性质
(1)两条直线相交，只有________交点．
(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条__________________．
2．线段的性质
所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间______最短．
3．线段的中点
把一条线段分成两条________线段的点，叫做这条线段的中点．
4．直线、射线、线段的区别与联系
有几个端点 向几个方向延伸 表示 图形
直线 0 2 两个大写字母或一个小写字母
射线 1 1 两个大写字母
线段 2 0 两个大写字母或一个小写字母
二、角的有关概念及性质
1．角的有关概念
角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的________．
2．角的单位与换算
1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．
3．余角与补角
如果两个角的和等于________，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角________；同角(或等角)的补角______．
4．对顶角与邻补角
在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．如果两个角有公共顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角为邻补角．对顶角________，邻补角________．
三、垂线的性质与判定
1．垂线及其性质
垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是__________，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)
2．点到直线的距离
直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离．
3．判定
若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．
四、平行线的性质与判定
1．概念
在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线．
2．平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
3．性质
如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
4．判定
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线________，平行于同一直线的两直线______．
自主测试
1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC的长为( )
A．3 cm B．6 cm
C．11 cm D．14 cm
2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )
A．35° B．55°
C．70° D．110°
3．如图所示，∠1＋∠2＝( )
A．60° B．90°
C．110° D．180°
4．下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是( )
5．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝__________.
考点一、直线、射线、线段
【例1】在直线l上任取一点A，截取AB＝16 cm，再截取AC＝40 cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．
解：(1)当C在AB的延长线上时，如图，
∵D是AB的中点，AB＝16 cm，
∴AD＝AB＝×16＝8(cm)．
∵E是AC的中点，AC＝40 cm，
∴AE＝AC＝×40＝20(cm)．
∴DE＝AE－AD＝20－8＝12(cm)．
(2)当C在BA的延长线上时，如图，由(1)知AD＝8 cm，AE＝20 cm.
∴DE＝AE＋AD＝20＋8＝28(cm)．
答：D点与E点的距离是12 cm或28 cm.
方法总结 对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．
触类旁通1 如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝12，AC＝8，则CD＝__________.
考点二、角的计算
【例2】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是( )
A．20° B．40°
C．50° D．80°
解析：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，
∴∠AOC＝∠EOC＝50°.
又∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，故选C.
答案：C
方法总结 解决有关图形中的角的计算问题时，首先要从图形中读出具有度量关系的角，如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．
触类旁通2 如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为( )
A．120° B．130°
C．135° D．140°
考点三、平行线的性质与判定
【例3】如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )
A．110° B．115° C．120° D．125°
解析：∵∠2＝∠6，∠1＝∠2，∴∠1＝∠6，
∴l1∥l2，∴∠3＋∠5＝180°.
∵∠3＝55°，∴∠5＝125°.
∵∠4与∠5是对顶角，
∴∠4＝∠5＝125°，故选D.
答案：D
方法总结 平行线的性质和判定常用来解决下列问题：
(1)作图形的平移；
(2)证明线段或角相等；
(3)证明两直线平行；
(4)证明两直线垂直．
触类旁通3 如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( )
A．100° B．60° C．40° D．20°
1．(2012重庆)已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB，若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
2．(2012山东临沂)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是( )
A．40° B．50°
C．60° D．140°
3．(2012湖南长沙)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )
4．(2012湖南长沙)如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝________度．
5．(2012湖北随州)平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为__________．
1．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( )
2．如图所示，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝60°，下列结论成立的是( )
A．∠C＝60° B．∠DAB＝60°
C．∠EAC＝60° D．∠BAC＝60°
3．如图所示，已知AB∥CD，则图中与∠1互补的角有( )
(第3题图)
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
4．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )
(第4题图)
A．30° B．40° C．60° D．70°
5．如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝__________.
(第5题图)
6．如图所示，直线a，b被c，d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1＝70°，则∠2＝__________.
7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEG＝__________.
8．(1)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．
(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．
(4)从(1)，(2)，(3)的结果能看出什么规律？
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．C 3．B 4．D 5．118°
探究考点方法
触类旁通1．2 因为AB＝12，AC＝8，所以BC＝AB－AC＝12－8＝4.又点D是线段BC的中点，所以CD＝BC＝2.
触类旁通2．C 因为直线EO⊥CD，垂足为点O，所以∠DOE＝90°.又AB平分∠EOD，所以∠AOD＝45°.因为∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠BOD＝135°，故选C.
触类旁通3．A 过∠3的顶点作直线c∥a，∴∠4＝∠1＝40°.
∵a∥b，∴b∥c，∴∠5＝∠2＝60°，
∴∠3＝∠4＋∠5＝60°＋40°＝100°，故选A.
品鉴经典考题
1．B ∵EF∥AB，∠CEF＝100°，∴∠ABC＝100°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD的度数为50°.
2．B ∵AB∥CD，∠1＝40°，∴∠BCD＝∠1＝40°.
∵DB⊥BC，∴∠2＝90°－∠BCD＝90°－40°＝50°.故选B.
3．D 因为70°角的补角＝180°－70°＝110°，是钝角，结合各选项，只有D选项中的角是钝角，故选D.
4．360 ∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°①.
∵CD∥EF，∴∠CEF＋∠ECD＝180°②，
①＋②得，∠BAC＋∠ACD＋∠CEF＋∠ECD＝180°＋180°＝360°，即∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°.
5．6 由题意得，平面内的不同的n个点最多可确定条直线，则＝15，所以n＝6.
研习预测试题
1．D 2．B 3．A 4．A
5．60° ∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝60°.∵DE∥AC，
∴∠2＝∠ACB＝60°.
6．70° 7．130°
8．解：(1)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝×120°－×30°＝45°；
(2)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(α＋30°)－×30°＝α；
(3)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(90°＋β)－β＝45°；
(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关；
(5)如图，设线段AB＝a，延长AB到C，使BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关．
