第五单元 四边形
第18讲 多边形与平行四边形
考纲要求 命题趋势
1．了解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和与外角和公式，并会进行有关的计算与证明．2．掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明．3．了解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否进行镶嵌. 中考命题多以选择题、填空题和解答题的形式出现，主要考查多边形的边角关系、多边形内角和、平面镶嵌及平行四边形的定义、性质和判定．另外，平行四边形常和三角形、圆、函数结合起来命题，考查学生的综合运用能力.
知识梳理
一、多边形的有关概念及性质
1．多边形的概念
定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
对角线：连接多边形________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
正多边形：各个角都________，各条边都________的多边形叫做正多边形．
2．性质
n边形过一个顶点的对角线有________条，共有________条对角线；n边形的内角和为________，外角和为360°.
二、平面图形的密铺(镶嵌)
1．密铺的定义
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的________．
2．平面图形的密铺
正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也可以密铺平面．
三、平行四边形的定义和性质
1．定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2．性质
(1)平行四边形的对边________．
(2)平行四边形的对角________．
(3)平行四边形的对角线__________．
(4)平行四边形是中心对称图形．
四、平行四边形的判定
1．两组对边分别________的四边形是平行四边形．
2．两组对边分别________的四边形是平行四边形．
3．一组对边________的四边形是平行四边形．
4．对角线相互________的四边形是平行四边形．
5．两组对角分别________的四边形是平行四边形．
自主测试
1．正八边形的每个内角为( )
A．120° B．135° C．140° D．144°
2．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝( )
A．4 B．12 C．24 D．28
4．如图，在ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是__________°.
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为__________．(填一个即可)
6．如图所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形AECF是平行四边形．
考点一、多边形的内角和与外角和
【例1】某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：多边形的外角和是360°，不随边数的改变而改变．设这个多边形的边数是x，由题意，得(x－2)·180°＝3×360°，解得x＝8.
答案：D
方法总结 要记住多边形的内角和公式，当已知边数时，可求内角和；当已知内角和时，可求边数．特别地，正多边形的每个外角等于.
触类旁通1 正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为( )
A．9 B．8 C．7 D．4
考点二、平面的密铺
【例2】下列多边形中，不能够单独铺满地面的是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
解析：要解决这类问题，我们不妨设有n个同一种正多边形围绕一点密铺，它的每一个内角为α，则有nα＝360°，所以n＝360°÷α，要使n为整数，α只能取60°，90°，120°.也就是说只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形可以单独密铺地面，其他的正多边形是不可以密铺地面的．
答案：C
方法总结 判断给定的某种正多边形能否密铺，关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点，当围绕一点拼在一起时，几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
触类旁通2 按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有__________(写出所有正确答案的序号)．
考点三、平行四边形的性质
【例3】如图，已知E，F是ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)．
分析：(1)根据平行四边形的性质可知对边平行且相等，又BE⊥AC，DF⊥AC，可以利用“AAS”证明△ABE与△CDF全等；(2)图中有三对全等三角形，写出其他两对即可．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠FCD.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
∴△ABE≌△CDF.
(2)①△ABC≌△CDA，②△BCE≌△DAF.
方法总结 1．利用平行四边形的性质可证明线段或角相等，或求角的度数．
2．利用平行四边形的性质常把平行四边形问题转化为三角形问题，通过证明三角形全等来解决．
触类旁通3 如图，在ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.
求证：∠EBF＝∠FDE.
考点四、平行四边形的判定
【例4】如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴∠ADE＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．
在ABCD中，AD＝BC，∴ED＝BF.
∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝AF.
又∵DC∥AB，即EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC綊AB.
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.
∴∠AED＝∠CFB.
又∵AD＝BC，∴△ADE≌△CBF.∴ED＝FB.
∵DC＝AB，∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA，
∴EC綉AF.∴四边形EAFC是平行四边形．
方法总结 平行四边形的判定方法：
(1)如果已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；
(2)如果已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；
(3)如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分．
触类旁通4 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.
求证：GF∥HE.
1．(2012江苏无锡)若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．(2012浙江杭州)已知ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝( )
A．18° B．36° C．72° D．144°
3．(2012四川巴中)不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
4．(2012湖南怀化)如图，在ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝________.'
5．(2012四川广安)如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2＝__________.
6．(2012贵州铜仁)一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是__________．
7．(2012广东湛江)如图，在ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形BFDE是平行四边形．
1．如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了( )
A．60米 B．100米
C．90米 D．120米
2．如图，在周长为20 cm的ABCD中AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
3．如图，ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，则EF的长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
4．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为( )
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
5．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A．180° B．220°
C．240° D．300°
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于__________．
7．如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有__________个．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD上的点，∠1＝∠2.
求证：△ABE≌△CDF.
9．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．B 3．B 4．45 5．AD∥BC(或AB＝CD)
6．证明：(1)在ABCD中，AD＝CB，AB＝CD，∠D＝∠B.又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴DF＝CD，BE＝AB.
∴DF＝BE.∴△AFD≌△CEB.
(2)在ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，由(1)得BE＝DF，∴AE綉CF.∴四边形AECF是平行四边形．
探究考点方法
触类旁通1．8
触类旁通2．②③ 根据镶嵌的条件可知单独一种图形，能够进行镶嵌的有①②③，而正三角形不能只通过平移来镶嵌．
所以只通过平移方式就能进行平面镶嵌的只有②③.
触类旁通3．
证明：连接BD交AC于O点．如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形，∴∠EBF＝∠FDE.
触类旁通4．分析：要证明GF∥HE，关键是说明四边形EGFH是平行四边形，本题出现了对角线，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明．
证明：∵ABCD中，OA＝OC，
∵AF＝CE，AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE.
同理得，OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
∴GF∥HE.
品鉴经典考题
1．C 设多边形的边数为n，由题意得：(n－2)·180°＝1 080°，所以n＝8.
2．B ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A，BC∥AD，∴∠A＋∠B＝180°.
∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，故选B.
3．B 因为一组对边平行另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以B项的条件不能判定一个四边形是平行四边形．
4．4 因为AD＝8，所以BC＝8；点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为△CBD的中位线，则EF＝BC＝4.
5．240° ∠1＋∠2＝2×180°－(180°－60°)＝240°.
6．9 因为360÷40＝9，所以这个多边形的边数是9.
7．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C.
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC且AD∥BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
又DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
研习预测试题
1．C 2．D 3．B
4．A ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝9.∴∠DAF＝∠AEB.
∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠DAF.
∴∠AEB＝∠BAF.∴BE＝AB＝6.∴EC＝3.
在Rt△ABG中，AG＝2，∴AE＝4.
易证△ABE∽△FCE，得＝，
∴EF＝2，可证CF＝EC＝3.
∴△CEF的周长为8.
5．C 6．3 7．100
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝DC.
又∵∠1＝∠2，
∴△ABE≌△CDF.
9．证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2.
在△ABO和△CDO中，
∵
∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴AO＝CO.
∵BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．第19讲 矩形、菱形和正方形
考纲要求 命题趋势
1．掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系．2．掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明. 特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中.
知识梳理
一、矩形的性质与判定
1．定义
有一个角是直角的____________是矩形．
2．性质
(1)矩形的四个角都是________．
(2)矩形的对角线________．
(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是__________．
3．判定
(1)有三个角是________的四边形是矩形．
(2)对角线________的平行四边形是矩形．
二、菱形的性质与判定
1．定义
一组邻边相等的__________叫做菱形．
2．性质
(1)菱形的四条边都________．
(2)菱形的对角线__________，并且每一条对角线平分一组对角．
3．判定
(1)对角线互相垂直的________是菱形．
(2)四条边都相等的________是菱形．
三、正方形的性质与判定
1．定义
一组邻边相等的________叫做正方形．
2．性质
(1)正方形的四条边都________，四个角都是______．
(2)正方形的对角线______，且互相________；每条对角线平分一组对角．
(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
3．判定
(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的__________是正方形．
(2)一组邻边相等的________是正方形．
(3)对角线互相垂直的________是正方形．
(4)有一个角是直角的________是正方形．
(5)对角线相等的________是正方形．
自主测试
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝5，则AD的长是( )
A．5 B．5
C．5 D．10
2．在菱形ABCD中，AB＝5 cm，则此菱形的周长为( )
A．5 cm B．15 cm C．20 cm D．25 cm
3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )
A．1 B． C． D．2
4．下列命题中是真命题的是( )
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.
求证：BE＝CF.
考点一、矩形的性质与判定
【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．
解：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，
四边形AECF是矩形．
证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.
又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，∴EO＝CO.
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO.
又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，
∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.
又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，
∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
方法总结 矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.
触类旁通1 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.
求证：(1)BF＝DF；
(2)AE∥BD.
考点二、菱形的性质与判定
【例2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为8，求AC的长．
分析：(1)先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长．
解：(1)证明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD.
∴四边形OCED是菱形．
(2)∵∠ACB＝30°，∴∠DCO＝90°－30°＝60°.
又∵OD＝OC，∴△OCD是等边三角形．
过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，
设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x.
在Rt△DFC中，tan 60°＝，
∴DF＝FC·tan 60°＝x.
由已知菱形OCED的面积为8得OC·DF＝8，即2x·x＝8.解得x＝2.∴AC＝4×2＝8.
方法总结 菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．
触类旁通2 如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
考点三、正方形的性质与判定
【例3】如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.
(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为__________cm2.
分析：根据题目的条件可先证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG四个三角形全等，证得四边形EFGH的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．
解：(1)四边形EFGH是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
∵HA＝EB＝FC＝GD，
∴AE＝BF＝CG＝DH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴EF＝FG＝GH＝HE.
∴四边形EFGH是菱形．
由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.
∴菱形EFGH是正方形．
(2)1
方法总结 证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”＋“一组邻边相等”＋“一个角为直角”(定义法)；(2)“矩形”＋“一组邻边相等”；(3)“矩形”＋“对角线互相垂直”；(4)“菱形”＋“一个角为直角”；(5)“菱形”＋“对角线－相等”．
1．(2012四川成都)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
2．(2012山东滨州)若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角的度数比为( )
A．3:1 B．4:1 C．5:1 D．6:1
3．(2012江苏泰州)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(2012江苏苏州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
5．(2012贵州铜仁)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB的最小值是__________．
6．(2012山东临沂)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.
(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；
(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？
1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
4．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于( )
A．4 B．3
C．4 D．8
5．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5千米，村庄C到公路l1的距离为4千米，则村庄C到公路l2的距离是( )
(第5题图)
A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米
6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__________．
(第6题图)
7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的__________．
(第7题图)
8．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是__________．
(第8题图)
9．如图(1)所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.
(1)求证：MD＝MN.
(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．C
3．C ∵设AG＝A′G＝x，∴x2＋22＝(4－x)2，解得x＝，故选C.
4．C
5．证明：如题图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.
∴∠EAB＋∠AEB＝90°.
∵∠EOB＝∠AOF＝90°，
∴∠FBC＋∠AEB＝90°.
∴∠EAB＝∠FBC.
∴△ABE≌△BCF.∴BE＝CF.
探究考点方法
触类旁通1．
证明：(1)在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2.
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，∴BF＝DF.
(2)∵AD＝BC＝BE，BF＝DF，
∴AF＝EF，
∴∠AEB＝∠EAF.
∵∠AFE＝∠BFD，∠1＝∠3，
∴∠AEB＝∠3，∴AE∥BD.
触类旁通2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，
∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
品鉴经典考题
1．B 因为菱形的对边平行且相等，所以A正确；对角线互相平分且垂直，但不一定相等，所以C，D正确，B错误．
2．C 根据已知可得到菱形的边长为2 cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5:1.故选C.
3．B ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形是假命题；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形是真命题；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题．故选B.
4．C ∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC＝2，∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为4OC＝4×2＝8.
故选C.
5． 如图：
∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.
∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB.
∵在△COA和△DOB中，有
∴△COA≌△DOB，∴OA＝OB.
∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝＝OA，要使AB最小，只需OA取最小值即可．
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小．
此时OA＝CF＝1，即AB＝.
6．解：(1)证明：∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.
又∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF.
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.
∴BC∥EF.∴四边形BCEF是平行四边形．
(2)若四边形BCEF是菱形，连接BE，交CF于点G，
∴BE⊥CF，FG＝CG.
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝
＝＝5.
∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，
∴△ABC∽△BGC.
∴＝，即＝.∴CG＝.∴FC＝2CG＝.
∴AF＝AC－FC＝5－＝.
因此，当AF＝时，四边形BCEF是菱形．
研习预测试题
1．A 2．B 3．D
4．A ∵点E是CD的中点，∴DE＝CE＝CD＝3.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6.
由折叠性质可知，AE＝AB＝6，BF＝EF，
在Rt△ADE中，AD＝＝3，
∴BC＝3.设CF＝x，BF＝EF＝3－x，
在Rt△CEF中，(3－x)2＝x2＋32，
∴x＝.∴BF＝2.在Rt△ABF中，AF＝4.
5．B 6．22.5° 7．
8．1 在DC上找N点关于AC的对称点N′，连接MN′，则MN′的长即为MP＋NP的最小值，此时MN′＝AD＝1.
9．分析：(1)证MD＝MN，可证它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取AD的中点F，构造△MDF≌△NMB；(2)可参照第(1)题的方法．
(1)证明：取AD的中点F，连接MF.
∵M是AB的中点，F是AD的中点，
∴MB＝AM＝AB，DF＝AF＝AD.
∵AB＝AD，∴AF＝AM＝DF＝MB，∴∠1＝45°，
∴∠DFM＝135°.∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝45°.
∴∠MBN＝135°.∴∠MBN＝∠DFM.
∵∠DMN＝90°，∴∠NMB＋∠DMA＝90°.
∵∠A＝90°，∴∠ADM＋∠DMA＝90°.
∴∠NMB＝∠ADM.
∴△DFM≌△MBN.∴MD＝MN.
(2)解：结论MD＝MN仍成立．
证明：在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF.
由(1)中证法可得：DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，
∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN.第17讲 锐角三角函数与解直角三角形
考纲要求 命题趋势
1．理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．2．掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形．3．利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题. 中考中主要考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形．题型以解答题和填空题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点.
知识梳理
一、锐角三角函数定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
∠A的正弦：sin A＝＝________；
∠A的余弦：cos A＝＝________；
∠A的正切：tan A＝＝________.
它们统称为∠A的锐角三角函数．
锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．
二、特殊角的三角函数值
三、解直角三角形
1．定义：
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)
2．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)三边之间的关系：____________；
(2)锐角之间的关系：____________；
(3)边角之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝.
3．解直角三角形的几种类型及解法：
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)；
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝)；
(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝，
由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A.
四、解直角三角形的应用
1．仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点________与水平距离之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________．
自主测试
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( )
A．sin A＝ B．tan A＝
C．cos B＝ D．tan B＝
2．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )
A． B． C． D．
3．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝，计算－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋－1的值．
考点一、锐角三角函数的定义
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )
A． B． C． D．
解析：∵在Rt△ABC中，AB＝13，BC＝5，∴sin A＝＝，故选A.
答案：A
方法总结 求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的公式．解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时，必须想办法构造一个直角三角形．
触类旁通1 如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为( )
A． B． C． D．
考点二、特殊角的三角函数值
【例2】如果△ABC中，sin A＝cos B＝，则下列最确切的结论是( )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
解析：由sin A＝cos B＝可知，∠A＝∠B＝45°，
所以∠C＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．
答案：C
方法总结 特殊角的三角函数值在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆．
触类旁通2 计算：|－2|＋2sin 30°－(－)2＋(tan 45°)－1.
考点三、解直角三角形
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cos A＝.
求：(1)DE，CD的长；(2)tan∠DBC的值．
解：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，cos A＝，即＝.∴AD＝10.
根据勾股定理得DE＝＝＝8.
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DC＝DE＝8.
(2)∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cos A＝，即＝，∴AB＝30.根据勾股定理得BC＝＝＝24.
∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝＝＝.
方法总结 解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角．解题时应尽量使用原始数据，能用乘法运算就尽量不用除法运算．
触类旁通3 如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( )
A．30cm B．20cm
C．10cm D．5cm
考点四、解直角三角形在实际中的应用
【例4】某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如图所示，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测得A，B之间的距离为4米，tan α＝1.6，tan β＝1.2，试求建筑物CD的高度．
分析：求建筑物CD的高度关键是求DG的长度，先利用三角函数用DG表示出GF，GE的长，利用EF＝GE－GF构建方程求解．
解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG＝x米．
在Rt△DGF中，tan α＝，即tan α＝.
在Rt△DGE中，tan β＝，即tan β＝.
∴GF＝，GE＝.∴EF＝－.
∴4＝－.解方程，得x＝19.2.∴CD＝DG＋GC＝19.2＋1.2＝20.4(米)．
答：建筑物CD高为20.4米．
方法总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造，即把实际问题转化为数学问题，并构造直角三角形，利用解直角三角形的知识去解决，解题时要认真审题，读懂题意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义，然后再作图解题．
1．(2012四川乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为( )
A． B． C． D．1
2．(2012浙江舟山)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，则AB等于( )米．
A．asin 40° B．acos 40° C．atan 40° D．
3．(2012福建福州)如图，从热气球C处测得地面上A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是( )
A．200米 B．200米
C．220米 D．100(＋1)米
4．(2012山东济宁)在△ABC中，若∠A，∠B满足＋2＝0，则∠C＝__________.
5．(2012湖南株洲)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．
6．(2012湖南衡阳)如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝CE:ED，单位：m)
7．(2012山东潍坊)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.
(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41)；
(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.则下列关系式中不成立的是( )
A．tan A·cot A＝1
B．sin A＝tan A·cos A
C．cos A＝cot A·sin A
D．tan2A＋cot2A＝1
3．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为( )
(第3题图)
A． B． C． D．h·sin α
4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC＝5 m，则坡面AB的长度是( )
A．10 m B．10m C．15 m D．5m
(第4题图)
5．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C地，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地相距__________m.
6．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于__________．
7．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5 cm，求AB的长．
8．综合实践课上，小明所在的小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β＝72°.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字)．
(参考数据：sin 36°≈0.59.cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．D 2．B
3．解：∵sin(α＋15°)＝，∴α＝45°，∴原式＝2－4×－1＋1＋3＝3.
探究考点方法
触类旁通1．C 由折叠过程可知，CF＝BC＝5，根据勾股定理得DF＝3，所以AF＝AD－DF＝2，设AE＝x，则EF＝BE＝4－x，在Rt△AEF中，(4－x)2＝22＋x2，解得x＝，所以tan∠AFE＝＝＝.
触类旁通2．解：原式＝2＋2×－3＋1－1＝1.
触类旁通3．C 因为tan∠BAC＝，所以BC＝AC×tan∠BAC＝30×＝10(cm)．
品鉴经典考题
1．C 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝＝.
∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sin B＝，故选C.
2．C 在Rt△ABC中，AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，∴tan 40°＝，∴AB＝atan 40°.
3．D 由题意得∠A＝30°，∠B＝45°.
AD＝＝100(米)，BD＝＝100(米)，
则AB＝AD＋BD＝100＋100＝100(＋1)(米)．
故选D.
4．75° 由题意得：cos A－＝0，sin B－＝0，
∴cos A＝，sin B＝，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝75°.
5．10 在直角三角形中，tan 60°＝，所以旗杆的高度＝10(米)．
6．解：如图所示，过点B作BF⊥AD，可得矩形BCEF.
∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4.
在Rt△ABF中，AB＝5，BF＝4.
由勾股定理可得：AF＝＝3(m)．
又∵在Rt△CED中，i＝＝，
∴ED＝2CE＝2×4＝8(m)．
∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)．
7．解：(1)由题意得，在Rt△ADC中，
AD＝＝＝21≈36.33；
在Rt△BDC中，BD＝＝＝7≈12.11，
所以AB＝AD－BD≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．
(2)校车从A到B用时2秒，
所以速度为24.2÷2＝12.1(米/秒)，
因为12.1×3 600＝43 560，
所以该车速度为43.56千米/时，大于40千米/时，
所以此校车在AB路段超速．
研习预测试题
1．A 2．D 3．A 4．A 5．200 6．
7．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.∴AD＝DB.
又∵Rt△CBD中，CD＝5 cm，
∴BD＝10 cm.∴BC＝5cm，AB＝2BC＝10cm.
8．解：过点F作FG∥EM交CD于G.
则MG＝EF＝20米，∠FGN＝∠α＝36°.
∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°.
∴∠FGN＝∠GFN，
∴FN＝GN＝50－20＝30(米)．
在Rt△FNR中，
FR＝FN·sin β＝30×sin 72°≈30×0.95＝28.5≈29(米)．
故河宽FR约为29米．第16讲 直角三角形
考纲要求 命题趋势
1．了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.
知识梳理
一、直角三角形的性质
1．直角三角形的两锐角________．
2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
二、直角三角形的判定
1．有一个角等于________的三角形是直角三角形．
2．有两角________的三角形是直角三角形．
3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．
4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．
自主测试
1．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC:CA:AB＝5:12:13，则cos B＝( )
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，DE是中位线，∠ABC的平分线交DE于F，则△ABF一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③，，；④m2－n2，m2＋n2，2mn.其中是直角三角形的有( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
考点一、直角三角形的判定
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．
分析：连接AM，可得AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF＝90°.
解：△MEF是等腰直角三角形．
连接AM，∵∠BAC＝90°，AM是斜边BC的中线，
∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°.
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°，
∴四边形DFAE是矩形，∴FD＝EA.
又∵FB＝FD，∴FB＝EA，
∴△BFM≌△AEM(SAS)，
∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME.
∵∠AMF＋∠BMF＝90°，
∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．
方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．
触类旁通1 具备下列条件的△ABC中，不能成为直角三角形的是( )
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝90°－∠C
C．∠A＋∠B＝∠C D．∠A－∠C＝90°
考点二、直角三角形的性质
【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；
(2)证明：DC⊥BE.
(1)解：图2中△ABE≌△ACD.
证明如下：
∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD.
又∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.
(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°.
又∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，
∴DC⊥BE.
方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．
考点三、勾股定理及其逆定理
【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
解：设CD长为x cm，由折叠得△ACD≌△AED.
∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm.
在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AB＝＝＝10(cm)．
∴EB＝AB－AE＝10－6＝4 (cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm，
在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.
∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.
∴CD的长为3 cm.
方法总结 1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．
2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．
触类旁通2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积．
考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用
【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．
解：设E站应建在距A站x km处，
根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6.
所以E站应建在距A站6 km处．
方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．
触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
1．(2012广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )
A． B． C． D．
2．(2012浙江湖州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )
A．20 B．10
C．5 D．
3．(2012浙江宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．90 B．100 C．110 D．121
4．(2012山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为________°.
5．(2012四川巴中)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__________．
6．(2012重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)
1．如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为( )
A．3 cm B．6 cm C．3cm D．6cm
2．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a＋c＝2b，c－a＝b，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是( )
A．5 B．25 C．5或25 D．无法确定
4．如图，在Rt△ABC中，以三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则( )
A．S1＝S2 B．S1＜S2
C．S1＞S2 D．无法确定
5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是( )
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝2，则BE的长为__________．
7．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．
8．如图，已知点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．C ∵BC2＋CA2＝AB2，∴∠C＝90°，∴cos B＝＝.
2．B 3．D
探究考点方法
触类旁通1．D
触类旁通2．解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，
在△BCD中，CD＝13，CB＝12，BD＝5，
∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝AB·AD＋BC·BD＝×3×4＋×12×5＝6＋30＝36.
触类旁通3．解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：
(1)如图1，当AB＝AD＝10时，可求得CD＝CB＝6，故△ABD的周长为32 m.
(2)如图2，当AB＝BD＝10时，可求得CD＝4，由勾股定理得AD＝＝4，故△ABD的周长为(20＋4) m.
(3)如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，由勾股定理得(x－6)2＋82＝x2，则x＝，故△ABD的周长为m.
品鉴经典考题
1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，
根据勾股定理得：AB＝＝15.
过点C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝，
则点C到AB的距离是.
2．C 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD的长是5.
3．C 如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，
边长AO＝AB＋AC＝3＋4＝7，
所以，KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110.
故选C.
4．85 ∵∠ADF＝100°，∠EDF＝30°，∴∠MDB＝180°－∠ADF－∠EDF＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD＝180°－∠B－∠MDB＝180°－45°－50°＝85°.
5．等腰直角三角形 由题意得：c2－a2－b2＝0，a－b＝0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，则△ABC的形状为等腰直角三角形．
6．解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，
∴BC＝2AB＝4.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝2＋4＋2＝6＋2.
研习预测试题
1．D
2．A 由a＋c＝2b，c－a＝b，
可得c＝b，a＝b，于是得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
3．C 4．A
5．C 由折叠性质可知，AE＝BE，
设CE为x，则BE＝8－x.
在Rt△BCE中，62＋x2＝ (8－x)2，
所以x＝.故＝＝.
6．4 ∵点D是AB的中点，∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴CD＝AB，DE＝BC，∴AB＝4，BC＝4.
在Rt△ACB中，AC＝＝8，∴CE＝AC＝4.
∵CE＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴BE＝4.
7． 根据题意易知CD＝AC＝，AD＝DE＝()2＝2，EF＝AE＝2，AF＝FG＝2×＝4，AG＝4，所以所求图形的面积S＝S△ABC＋S梯形ACDE＋S梯形AEFG＝×1×1＋×(＋2)×＋×(2＋4)×2＝＋3＋12＝.
8．证明：(1)在等腰Rt△ABC中，
∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°.
∴BD＝AD.∴△BDC≌△ADC.
∴∠DCA＝∠DCB＝45°.
由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，
∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，
∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.
(2)如图，连接MC.
∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD.
又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，
∴∠EMC＝∠ADC.
又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.
∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB.第20讲 梯形
考纲要求 命题趋势
1．了解梯形的有关概念与分类，掌握梯形的性质，会进行梯形的有关计算．2．掌握等腰梯形的性质与判定．3．能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形的问题来解决. 等腰梯形的性质和判定是中考考查的内容，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用.
知识梳理
一、梯形的有关概念及分类
1．一组对边平行，另一组对边不平行的________叫做梯形．平行的两边叫做______，两底间的________叫做梯形的高．
2．________相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
3．梯形的分类：
梯形
4．梯形的面积＝(上底＋下底)×高＝中位线×高．
二、等腰梯形的性质与判定
1．性质：
(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行．
(2)等腰梯形同一底上的两个角________．
(3)等腰梯形的对角线________．
(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．
2．判定：
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．
(2)同一底上的两个角相等的________是等腰梯形．
(3)对角线相等的________是等腰梯形．
三、梯形的中位线
1．定义：连接梯形两腰________的线段叫做梯形的中位线．
2．性质：梯形的中位线平行于两底，且等于________的一半．
四、梯形问题的解决方法
梯形问题常通过三角形问题或平行四边形问题来解答，转化时常用的辅助线有：
1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形．
2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．
3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形．
4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形．
5．过一腰中点作辅助线．
(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；
(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．
自主测试
1．若等腰梯形ABCD的上底长AD＝2，下底长BC＝4，高为2，那么梯形的腰DC的长为( )
A．2 B． C．3 D．
2．如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路(M，N分别是AB，CD中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( )
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中，错误的是( )
A．∠ADE＝∠CDE
B．DE⊥EC
C．AD·BC＝BE·DE
D．CD＝AD＋BC
4．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是__________．
考点一、一般梯形的性质
【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的长．
解：如图，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.
∴AE∥DF，∠AEF＝90°.
∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．
∴EF＝AD＝3，AE＝DF.
∵BD＝CD，DF⊥BC，∴DF是△BDC边BC上的中线．
∵∠BDC＝90°，∴DF＝BC＝BF＝4.
∴AE＝4，BE＝BF－EF＝4－3＝1.
在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，
∴AB＝＝.
方法总结 遇到梯形问题，一般情况下通过作腰或对角线的平行线、高线、连对角线、延长两腰转化为三角形、平行四边形、直角三角形、矩形等问题来解决．
触类旁通1 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何等量关系？请说明理由．
(2)当AB＝DC时，求证：四边形AEFD是矩形．
考点二、等腰梯形的性质与判定
【例2】如图，在等腰△ABC中，点D，E分别是两腰AC，BC上的点，连接AE，BD相交于点O，∠1＝∠2.
(1)求证：OD＝OE；
(2)求证：四边形ABED是等腰梯形．
分析：(1)根据已知条件可知利用全等三角形证明BD＝AE，根据∠1＝∠2可以证明OA＝OB，根据等式性质可知OD＝OE；(2)先证明四边形ABED是梯形，然后证明两腰相等即可．
证明：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC.
∴∠BAD＝∠ABE.
又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE，∴BD＝AE.
又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB.
∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.
(2)由(1)知，OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE.
∴∠OED＝(180°－∠DOE)．
同理，∠1＝(180°－∠AOB)．
∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB.
∵AD不平行于BE，∴四边形ABED是梯形，
∵AE＝BD，∴梯形ABED是等腰梯形．
方法总结 在证明一个四边形是等腰梯形时，必须先证明它是梯形，然后再通过两腰相等或同一底上的两个角相等，或者是对角线相等来证明梯形是等腰梯形．
触类旁通2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M，N分别为AO，DO的中点，四边形
BCNM是等腰梯形吗？为什么？
考点三、有关梯形的计算
【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝，BC＝4，求DC的长．
分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝4，可得出BC边上的高．只要通过平移腰CD，就可与BC边上的高构成直角三角形，从而求出CD.
解：过点A作AE∥DC交BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图所示．
∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形．
∴AE＝DC，AD＝EC＝.
又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝4，
∴AB＝AC＝4.
∴AF＝BF＝2.
∴EF＝BC－BF－EC＝.
在Rt△AFE中，AE＝＝＝，即DC＝.
方法总结 解决梯形问题作辅助线的方法要结合题目的条件和要证结论的需要灵活运用．若题中已知两对角线的条件，可考虑平移对角线，使两对角线在同一个三角形中；若已知两腰的某些条件，可考虑平移一腰；若已知两底角互余，可平移一腰或延长两腰构成直角三角形；若要求梯形的面积，常作出梯形的高．
触类旁通3 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是__________cm.
1．(2012山东临沂)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是( )
A．AC＝BD
B．OB＝OC
C．∠BCD＝∠BDC
D．∠ABD＝∠ACD
2．(2012湖南长沙)下列四边形中，对角线一定不相等的是( )
A．正方形 B．矩形
C．等腰梯形 D．直角梯形
3．(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2,4,3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )
A．10 B．4
C．10或4 D．10或2
4．(2012湖南长沙)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC的长为__________．
5．(2012四川内江)如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝____________.
6．(2012四川南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD.
求证：∠B＝∠E.
1．梯形的上底长为5，下底长为9，则梯形的中位线长等于( )
A．6 B．7
C．8 D．10
2．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2 cm，则梯形ABCD的面积为( )
A．3cm2 B．6 cm2
C．6cm2 D．12 cm2
3．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于O，∠ABD＝30°，AC⊥BC，AB＝8 cm，则△COD的面积为( )
A．cm2 B．cm2
C．cm2 D．cm2
5．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，梯形ABCD的周长为26，BE＝4，则△DEC的周长为__________．
(第5题图)
6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7 cm，BC＝8 cm，则AB的长度是__________ cm.
(第6题图)
7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝4，则梯形ABCD的面积是__________．
(第7题图)
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF＝__________.
(第8题图)
9．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．D 2．B 3．C 4．1＜x＜7
探究考点方法
触类旁通1．解：(1)AD＝BC.
理由如下：
∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，
∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴AD＝BE，AD＝FC.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF，∴AD＝BE＝EF＝FC，
∴AD＝BC.
(2)证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE＝AB，AF＝DC.
∵AB＝DC，∴DE＝AF.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形．
触类旁通2．解：是等腰梯形．根据三角形中位线定理有，MN∥AD∥BC，且MN≠BC，∴四边形BCNM为梯形．在矩形ABCD中，AO＝DO，又M，N分别是AO，DO的中点，
∴OM＝ON，∴CM＝BN，∴四边形BCNM是等腰梯形．
触类旁通3．2 ∠CAB＝90°－60°＝30°，∵等腰梯形ABCD中，∠BAD＝∠B＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝30°.
又∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝30°＝∠DAC.
∴CD＝AD＝BC＝2 cm.
品鉴经典考题
1．C 对于A，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，故本选项正确；
对于B，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，故本选项正确；
对于C，∵无法判定BC＝BD，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误；
对于D，∵∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ACD，故本选项正确．
故选C.
2．D 根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等．故选D.
3．C 考虑两种情况．
①如图：
因为CD＝＝2，
点D是斜边AB的中点，
所以AB＝2CD＝4.
②如图：
因为CE＝＝5，点E是斜边AB的中点，
所以AB＝2CE＝10，
故原直角三角形纸片的斜边长是10或4.
4．4 过点A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝2，AD＝EC＝2.
∵∠B＝60°，∴BE＝AB＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝2＋2＝4.
5．9 过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，则AB＝CE，BE＝AC＝BD.
∵BD⊥AC，AB＝2，CD＝4，∴BD⊥BE，DE＝6，∴梯形高为3，∴S梯形ABCD＝ (2＋4)×3÷2＝9.
6．证明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.
∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠DCB.∴∠E＝∠DCB.
∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCB.∴∠B＝∠E.
研习预测试题
1．B 2．A 3．C 4．A 5．18 6．15 7．9
8．10 如图，过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G.
易得四边形ACGD为平行四边形，
∴CG＝AD＝4，BG＝BC＋CG＝8＋4＝12.
∵AC⊥BD，AC∥DG，∴BD⊥DG.
∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝DG.
∴△BDG为等腰直角三角形．
又∵DF⊥BC，∴DF＝BG＝6.
∴AE＋EF＝DF＋AD＝6＋4＝10.
9．证明：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠CAE＝∠DAB＝30°.
又∵CE⊥AC，∴∠E＝60°＝∠CBE.∴CE＝BC＝AD.
∵CD∥AE，AE＝AB＋BE＝DC＋BE≠DC，
∴四边形AECD是等腰梯形．
