第23讲 视图与投影
考纲要求 命题趋势
1．了解平行投影和中心投影的含义及其简单的应用．2．会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图，能判断简单物体的视图．3．能根据三视图描述基本几何体或实物原型，掌握简单几何体表面展开图. 投影与视图是中考的必考内容，主要考查几何体的三视图的判定，立体图形与它的三视图的互相转化，立体图形的展开图、投影等．题目难度不大，主要以选择题、填空题的形式出现.
知识梳理
一、投影
1．投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的______叫做物体的投影，照射光线叫做________，投影所在的平面叫做________．
2．平行投影：太阳光线可以看成________光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
平行投影与视图之间的关系：当投影线与投影面垂直时，这种投影叫做________．物体的正投影称为物体的视图．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的________．
3．中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从________发出的光线，像这样的光线所形成的投影称为________．
二、视图
1．视图：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做________；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做________；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做________．
2．常见几何体的三种视图：
几何体 主视图 左视图 俯视图
圆柱 长方形 长方形 圆
圆锥 三角形 三角形 圆和圆心
球 圆 圆 圆
3．三视图的画法：
(1)长对正；(2)高平齐；(3)宽相等．
4．由视图到立体图形：
由视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定，由一个视图往往可以想象出多种物体．
由视图描述实物时，需了解简单的、常见的、规则物体的视图，能区分类似的物体视图的联系与区别．如主视图是长方形，可想象出是四棱柱、三棱柱、圆柱等．俯视图是圆的可以是球、圆柱等．
自主测试
1．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
2．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是( )
3．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是( )
4．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．
(1)该几何体的体积是__________(立方单位)，表面积是__________(平方单位)．
(2)画出该几何体的主视图和左视图．
考点一、投影
【例1】如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向远移时，圆形阴影的大小的变化情况是( )
A．越来越小 B．越来越大
C．大小不变 D．不能确定
解析：白炽灯向远移时，两条光线的夹角度数变小，所以圆形的阴影也会跟着变小．
答案：A
方法总结 投影问题在日常生活中随处可见，解答这类题时要注意分清本质(即是中心投影还是平行投影问题)及每种投影的特征．阳光下的影子为平行投影，在同一时刻两物体的影子应在同一方向上，并且物高与影长成正比；灯光下的影子为中心投影，影子应在物体背对光的一侧．
触类旁通1 如图所示，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角尺的对应边长为( )
A．8 cm B．20 cm C．3.2 cm D．10 cm
考点二、立体图形的三视图
【例2】如图，下列几何体：
其中，左视图是平行四边形的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：圆柱的左视图是矩形、圆锥的左视图是三角形、棱柱的左视图是矩形、长方体的左视图是矩形，所以左视图是平行四边形的有3个．
答案：B
方法总结 判断简单物体的三视图，要先搞清三视图的概念，再从三个方向仔细观察．三种视图的作用：主视图可以清晰地看到物体的长和高，主要提供正面的形状；左视图可以分清物体的宽度和高度；俯视图看不到物体的高度，但能分清物体的长和宽．
触类旁通2 下面简单几何体的主视图是( )
考点三、和三视图有关的计算
【例3】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为( )
A．2π B．π C．4π D．8π
解析：先判断此几何体为圆锥，侧面展开图为扇形；再由三视图得到扇形母线长为4、弧长为圆锥底面圆的周长；最后运用公式S＝lR＝×2π×4＝4π.
答案： C
方法总结 由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
触类旁通3 如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a＝( )
A．2 B．
C．2 D．1
1． (2012四川乐山)下图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是( )
2．(2012浙江衢州)长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为( )
A．3 B．4 C．12 D．16
3．(2012四川南充)下列几何体中，俯视图相同的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4．(2012广东广州)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A．四棱锥 B．四棱柱
C．三棱锥 D．三棱柱
5．(2012广东梅州改编)春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是__________(写出符合题意的两个图形即可)．
6．(2012内蒙古呼和浩特)如图是某几何体的三视图及相关数据(单位：cm)，则该几何体的侧面积为__________ cm2.
7．(2012四川乐山)从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是__________．
1．如图所示，空心圆柱的左视图是( )
2．将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，和“创”相对的字是( )
A．文 B．明 C．城 D．市
3．在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是( )
4．如图所示是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个数不可能是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，正方形ABCD的边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的周长是__________．
6．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是__________．
7．如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m.
8．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)．
已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．C 2．C 3．C
4．解：(1)5 22；
(2)
探究考点方法
触类旁通1．B
触类旁通2．C 几何体主视图的确定，可通过从正面观察它的列数，及每列最高的块数．这个几何体从正面看有3列，从左到右每列最高块数分别为2,1,1，故选C.
触类旁通3．B
品鉴经典考题
1．D 左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2,1，
依此画出图形.
故选D.
2．A 由主视图知长为4，高为1，由俯视图知长为4，宽为3，则左视图宽为3，高为1，则其面积为3.
3．C ①的俯视图是，②的俯视图是，③的俯视图是，④的俯视图是，故选C.
4．D 由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为三角形，可得为棱柱体，所以这个几何体是三棱柱．
5．正方形、菱形(答案不唯一)
6．2π 因为根据三视图可知该几何体为圆锥，且高为cm，母线长为2 cm，底面圆的直径为2 cm，则周长即侧面展开图的弧长为2π cm，所以侧面积为×2π×2＝2π(cm2)．
7．24 挖去一个棱长为1 cm的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6＝24.
故答案为24.
研习预测试题
1．C
2．B 因“创”和“建”与“文”相连，有公共顶点，故先排除；再根据不相邻左右或上下相对，知“创”与“明”相对．
3．A 4．D 5．18 6．左视图 7．4
8．解：如图，过点D作DG⊥AB，分别交AB，EF于点G，H，则
EH＝AG＝CD＝1.2，
DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30.
∵EF∥AB，
∴＝.
由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5.
∴＝，解得BG＝18.75.
∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0，
∴楼高AB约为20.0米．第22讲 图形的相似
考纲要求 命题趋势
1．了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2．了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题．3．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质. 相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明.
知识梳理
一、比例线段
1．比例线段的定义
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即__________________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称__________．
2．比例线段的基本性质
＝ ad＝bc.
3．黄金分割
把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的__________，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点.≈0.618AB，BC＝
二、相似多边形
1．定义
对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做________，相似比为1的两个多边形全等．
2．性质
(1)相似多边形的对应角________，对应边成________；
(2)相似多边形周长的比等于________；
(3)相似多边形面积的比等于__________．
三、相似三角形
1．定义
各角对应________，各边对应成________的两个三角形叫做相似三角形．
2．判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与________相似；
(2)两角对应________，两三角形相似；
(3)两边对应成________且夹角________，两三角形相似；
(4)三边对应成________，两三角形相似；
(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
3．性质
(1)相似三角形的对应角________，对应边成________；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于________；
(3)相似三角形周长的比等于________；
(4)相似三角形面积的比等于____________．
四、位似变换与位似图形
1．定义
取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与OP的______等于常数k(k＞0)，点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫做________，常数k叫做________，一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形．
2．性质
两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于________．
3．画位似图形的步骤
(1)确定位似________；
(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；
(3)按位似比进行取点；
(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．
自主测试
1．若相似△ABC与△DEF的相似比为1:3，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1:3 B．1:9
C．3:1 D．1:
2．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．
4．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.
求证：(1)△ACB∽△DCE；
(2)EF⊥AB.
考点一、相似图形的性质
【例1】如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得＝2，＝，S阴影＝8 cm2.
答案：C
方法总结 相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面积．
触类旁通1 如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )
A．87° B．60°
C．75° D．120°
考点二、相似三角形的性质与判定
【例2】如图，在ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中相似三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
解析：依据题中的条件，平行四边形的对边平行，由AD∥BC，可得△HED∽△HBC，由AB∥CD，可得△HED∽△BEA，△HFG∽△BAG.根据相似的传递性，可得△HBC∽△BEA，一共有四对相似三角形．
答案：C
方法总结 判定两个三角形是否相似首先看是否存在平行线或能否作出相关的平行线，再看是否存在两组对应角相等，若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例．
触类旁通2 已知如图(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )
A．都相似 B．都不相似
C．只有(1)相似 D．只有(2)相似
考点三、位似图形
【例3】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是( )
A．(3,2) B．(－2，－3)
C．(2,3)或(－2，－3) D．(3,2)或(－3，－2)
解析：分两种情况计算，即矩形OABC和矩形OA′B′C′在原点的同侧和两侧．
答案：D
方法总结 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．位似图形所有对应点的连线相交于位似中心．
触类旁通3 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A．－a B．－(a＋1)
C．－(a－1) D．－(a＋3)
考点四、相似三角形的应用
【例4】问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.
任务要求：
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
(2)如图(3)，设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(提示：如图(3)，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝2602)
解：(1)如题图，△ABC∽△DEF，∴＝.
∵AB＝80 cm，AC＝60 cm，DF＝900 cm，∴＝.
∴DE＝1 200 cm，即DE＝12 m.
故学校旗杆的高度是12 m.
(2)如题图(3)，连接OM，设⊙O的半径为r cm.
与(1)类似得＝，即＝.
∴GN＝208 cm.
在Rt△NGH中，根据勾股定理得NH2＝1562＋2082＝2602，∴NH＝260 cm.
∵NH切⊙O于M，
∴OM⊥NH.
则∠OMN＝∠HGN＝90°.又∠ONM＝∠HNG，
∴△OMN∽△HGN.∴＝.
又∵ON＝OI＋IN＝OI＋(GN－GI)＝r＋8，
∴＝，解得r＝12.
∴景灯灯罩的半径是12 cm.
方法总结 应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解．
触类旁通4 一个铝质三角形框架三条边长分别为24 cm,30 cm,36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm,45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边．截法有( )
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
1．(2012贵州铜仁)如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是( )
A．∠E＝2∠K
B．BC＝2HI
C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL
2．(2012山东聊城)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论不正确的是( )
A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC
C．＝ D．S△ABC＝3S△ADE
3．(2012山东泰安)如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
4．(2012重庆)已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．
5．(2012湖南娄底)如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM＝__________米．
6．(2012湖南张家界)已知△ABC与△DEF相似且面积比为4:25，则△ABC与△DEF的相似比为__________．
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
2．如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
3．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为__________．
4．如图，在△ABC中，DE∥AB，CD:DA＝2:3，DE＝4，则AB的长为__________．
(第4题图)
5．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2 m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6 m，与树相距15 m，则树的高度为__________ m.
(第5题图)
6．如图所示，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3,2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．
7．如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB__________.
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上且AE＝8，EF⊥BE交CD于点F.
(1)求证：△ABE∽△DEF.
(2)求EF的长．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．C 3．1:2
4．证明： (1)∵＝，＝＝，∴＝．
又∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB∽△DCE.
(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC.
又∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°.
∴∠EFA＝90°，∴EF⊥AB.
探究考点方法
触类旁通1．A
触类旁通2．A
触类旁通3．D
触类旁通4．B (1)假设以27 cm为一边，把45 cm截成两段，设这两段分别为x cm，y cm(x＜y)．则可得：＝＝①或＝＝②(注：27 cm不可能是最小边)，由①解得x＝18，y＝22.5，符合题意；由②解得x＝，y＝，x＋y＝＋＝＝54＞45，不合题意，舍去．
(2)假设以45 cm为一边，把27 cm截成两段，设这两段分别为x cm，y cm(x＜y)．则可得：＝＝(注：只能是45是最大边)，解得x＝30，y＝，x＋y＝30＋37.5＝67.5＞27，不合题意，舍去．综合以上可知，截法只有一种．
品鉴经典考题
1．B ∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，
∴∠E＝∠K，故A错误；
∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，
∴BC＝2HI，故B正确；
∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，
∴六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长×2，故C错误；
∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，
∴S六边形ABCDEF＝4S六边形GHIJKL，故D错误．
故选B.
2．D ∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，BC＝2DE，故A正确；
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确；
∵△ADE∽△ABC，∴＝，故C正确；
∵DE是△ABC的中位线，∴AD:AB＝1:2，
又∵△ADE∽△ABC，∴S△ABC＝4S△ADE，故D错误．
3．D 连接DE并延长交AB于H.
∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，∠CDE＝∠AHE.
∵E是AC中点，∴EC＝AE，
∴△DCE≌△HAE，
∴DE＝HE，DC＝AH.
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝BH.
∵BH＝AB－AH＝AB－DC＝2，∴EF＝1.
故选D.
4．9:1 ∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴三角形的相似比是3:1，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9:1.
5．3.42 根据题意得AO⊥BM，NM⊥BM，
∴AO∥NM，∴△ABO∽△NBM，∴＝.
∵OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，
∴BM＝OB＋OM＝4＋5＝9(米)，∴＝，
解得NM＝3.42(米)，
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．
故答案为3.42.
6．2:5
研习预测试题
1．A 2．B 3．2:3 4．10 5．7 6．(1,0)或(－5，－2)
7．略．
8．(1)证明：如图，∵EF⊥BE，
∴∠EFB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.
在矩形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEF.
(2)解：在△ABE中，∠A＝90°，AB＝6，AE＝8，
∴BE＝＝＝10.
又∵DE＝AD－AE＝12－8＝4，
由(1)得△ABE∽△DEF.
∴＝.
∴EF＝＝＝.第七单元 圆
第24讲 圆的有关性质
纲要求 命题趋势
1．理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论. 中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主.
知识梳理
一、圆的有关概念及其对称性
1．圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．
2．圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；
(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．
(3)________相等的两个圆是等圆．
(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．
3．圆的对称性
(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．
二、垂径定理及推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．
2．推论1
(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．推论2
圆的两条平行弦所夹的弧________．
4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．
三、圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．
2．推论
同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．
四、圆心角与圆周角
1．定义
顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．
2．性质
(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．
(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．
五、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补．
自主测试
1．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝，则⊙O的半径为( )
A． B．2
C． D．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为( )
(第2题图)
A．1 B． C．2 D．2
3．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝30°，则∠BOC＝__________.
(第3题图)
4．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝__________.
(第4题图)
5．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N两点，若点M的坐标是(－4，－2)，则弦MN的长为__________．
(第5题图)
考点一、垂径定理及推论
【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为( )
A．6分米 B．8分米
C．10分米 D．12分米
分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作
AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，由OA＝OC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN.
解析：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，
由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，
设OE＝x，则OF＝x－1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，
在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，
∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4，∴半径OA＝＝5，∴直径MN＝2OA＝10(分米)．故选C.
答案：C
方法总结 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．
触类旁通1 如图所示，若⊙O的半径为13 cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为__________ cm.
考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.
(1)求证：DB平分∠ADC；
(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
解：(1)证明：∵AB＝BC，
∴.∴∠ADB＝∠BDC，
∴DB平分∠ADC.
(2)由(1)知，∴∠BAE＝∠ADB.
∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA.∴＝.
∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.
∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝3.
方法总结 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．
触类旁通2 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为( )
A．40° B．50°
C．80° D．90°
考点三、圆周角定理及推论
【例3】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝( )
A．116° B．32°
C．58° D．64°
解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD.还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.
答案：B
方法总结 求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．
触类旁通3 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.
1．(2012重庆)已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为( )
(第1题图)
A．45° B．35° C．25° D．20°
2．(2012山东泰安)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是( )
(第2题图)
A．CM＝DM B．
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
3．(2012浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( )
(第3题图)
A．45° B．85° C．90° D．95°
4．(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________ mm.
(第4题图)
5．(2012四川成都)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝2，OC＝1，则半径OB的长为__________．
(第5题图)
6．(2012山东青岛)如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__________°.
(第6题图)
7．(2012湖南长沙)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD.
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
2．如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )
A． B．
C． D．
3．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是( )
A．16 B．10
C．8 D．6
4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为( )
(第4题图)
A．12个单位 B．10个单位
C．4个单位 D．15个单位
5．已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝__________.
(第5题图)
6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.
(第6题图)
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝4，则⊙O的直径等于________．
(第7题图)
8．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：
(1)△ABD为等腰三角形；
(2)AC·AF＝DF·FE.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．A 2．D 3．60° 4．90°
5．3 如图，过点A作AB⊥MN，连接AM，
设MB为x，则AM＝AO＝4－x.
在Rt△AMB中，
∵AM2＝MB2＋AB2，
∴(4－x)2＝x2＋22，解得x＝.
∴MN＝2MB＝3.
探究考点方法
触类旁通1．24 连接OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5 cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝＝＝12，所以AB＝24 cm.
触类旁通2．B 由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD＝50°.
触类旁通3．48° 因为的度数等于84°，所以∠COD＝84°.因为OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因为CA是∠OCD的平分线，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.
品鉴经典考题
1．A ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝45°.故选A.
2．D ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；
B为的中点，即CB＝DB，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，
∴△ACM≌△ADM(SAS)，
∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选D.
3．B ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，∴∠D＝50°，∴∠BAD的度数是180°－45°－50°＝85°.
4．8 如图所示，在⊙O中，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.
∵钢珠的直径是10 mm，
∴钢珠的半径是5 mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，
∴OD＝3 mm.
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4(mm)．
∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
故答案为8.
5．2 ∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝2，
∴BC＝AB＝.∵OC＝1，
∴在Rt△OBC中，
OB＝＝＝2.
故答案为2.
6．150 因为∠AOC＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆周角，所以∠ABC＝150°.
7．(1)证明：在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，
∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形．
(2)解：如图，连接OB，则OB＝8，∠OBD＝30°.
又∵OD⊥BC于D，∴OD＝OB＝4.
研习预测试题
1．C 2．C 3．A 4．B
5．150° 6．18°
7．5 连接AO并延长交圆于点E，连接BE.(如图)
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°.
∴∠ABE＝∠ADC.
又∵∠AEB＝∠ACD，
∴△ABE∽△ADC.
∴＝.∵在Rt△ADC中，AC＝5，DC＝3，
∴AD＝4.∴AE＝5.
8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA，
∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD为等腰三角形．
(2)∵∠DBA＝∠DAB，∴.
又∵BC＝AF，∴，∠CDB＝∠FDA，
∴，∴CD＝DF.
由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知，
∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，①
∠FAE＝∠BDE.
∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，②
由①②得△CDA∽△FAE.∴＝，
∴AC·AF＝CD·FE.
而CD＝DF，∴AC·AF＝DF·FE.第25讲 与圆有关的位置关系
考纲要求 命题趋势
1．探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．2．知道三角形的内心和外心．3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线. 直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中．中考考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查．圆与圆位置关系的判定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题中.
知识梳理
一、点与圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
点在圆______，点在圆______，点在圆______．
2．点和圆的位置关系的判断
如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外 ________；点在圆上 ________；点在圆内 ________.
3．过三点的圆
(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．
(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的________；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
二、直线与圆的位置关系
1．直线和圆的位置关系
________、________、________.
2．概念
(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的________；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆________．
3．直线和圆的位置关系的判断
如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交 ________；直线l和⊙O相切 ________；直线l和⊙O相离 ________.
三、切线的判定和性质
1．切线的判定方法
(1)经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离________半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质
圆的切线垂直于经过________的半径．
3．切线长定理
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
四、三角形(多边形)的内切圆
1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念
(1)和三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的______，这个三角形叫做圆的______三角形；
(2)和多边形各边都______的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
2．三角形的内心的性质
三角形的内心是三角形三条________的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．
五、圆与圆的位置关系
1．概念
①两圆外离：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______；②两圆外切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；③两圆相交：两个圆有______公共点；④两圆内切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；⑤两圆内含：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______．
2．圆与圆位置关系的判断
设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝d.两圆外离 d＞______；两圆外切 d＝______；两圆相交 ______＜d＜______(R≥r)；两圆内切 d＝______(R＞r)；两圆内含 ______≤d＜______(R＞r)．
六、两圆位置关系的相关性质
1．两圆相切、相交的有关性质
(1)相切两圆的连心线必经过________．
(2)相交两圆的连心线垂直平分________．
2．两圆位置关系中常作的辅助线
(1)两圆相交，可作公共弦．
(2)两圆相切，可作公切线．
自主测试
1．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )
A．当a＜5时，点B在⊙A内
B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外
D．当a＞5时，点B在⊙A外
2．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
3．如图，CD切⊙O于点B，CO的延长线交⊙O于点A.若∠C＝36°，则∠ABD的度数是( )
A．72° B．63°
C．54° D．36°
4．如图，国际奥委会会旗上的图案由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有( )
A．内切、相交 B．外离、相交
C．外切、外离 D．外离、内切
5．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为__________．
6．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝30°，延长OB到D使BD＝OB.
(1)△OBC是否是等边三角形？说明理由．
(2)求证：DC是⊙O的切线．
考点一、点与圆的位置关系
【例1】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
解析：画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求出BP，CP的长度与DP的长度作比较就可以发现答案．在Rt△ADP中，DP＝＝7，在Rt△BCP中，BP＝6，PC＝＝9.
∵PC＞DP，BP＜DP，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
答案：C
方法总结 解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系．
触类旁通1 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在圆外 B．点A在圆上
C．点A在圆内 D．不能确定
考点二、切线的性质与判定
【例2】如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，＝＝.
(1)求证：直线PB是⊙O的切线；
(2)求cos∠BCA的值．
分析：(1)连接OB，OP，由＝＝，且∠D＝∠D，根据三角形相似的判定定理得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO＝∠PAO＝90°；
(2)设PB＝a，则BD＝2a，根据切线长定理得到PA＝PB＝a，根据勾股定理得到AD＝2a，又BC∥OP，得到DC＝2CO，得到DC＝CA＝×2a＝a，则OA＝a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA＝cos∠POA的值．
解：(1)证明：连接OB，OP，
∵＝＝，且∠D＝∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC＝∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠BOP.
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠BOP＝∠POA.
又∵OB＝OA，OP＝OP，
∴△BOP≌△AOP，∴∠PBO＝∠PAO.
又∵PA⊥AC，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，
∴直线PB是⊙O的切线．
(2)由(1)知∠BCO＝∠POA，
设PB＝a，则BD＝2a，
又∵PA＝PB＝a，
∴AD＝＝2a.
又∵BC∥OP，∴DC＝2CO，
∴DC＝CA＝AD＝×2a＝a，
∴OA＝a，
∴OP＝＝＝a，
∴cos∠BCA＝cos∠POA＝＝.
方法总结 1．切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．
2．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．
触类旁通2 如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.
(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？
(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．
考点三、三角形的内切圆
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.则△ABC的内切圆半径r＝__________.
解析：在Rt△ABC中，AB＝＝＝10.
∵S△ACB＝AC·BC＝×6×8＝24，
∴r＝＝＝2.
答案：2
方法总结 三角形的内切圆半径r＝，其中S是三角形面积，a，b，c是三角形三边长．
触类旁通3 如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知∠A＝100°，∠C＝30°，则∠DFE的度数是( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
考点四、圆与圆的位置关系
【例4】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，则⊙A，⊙B的位置关系是( )
A．外切 B．内切
C．相交 D．外离
解析：如图所示，由勾股定理可得AB＝＝＝5(cm)，
∵⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，
∴圆心距d＝R＋r，
∴⊙A，⊙B的位置关系是外切．
答案：A
方法总结 圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可．
触类旁通4 若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．
1．(2012江苏无锡)已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．相离或相切 D．相切或相交
2．(2012湖北恩施)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )
A．3 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
3．(2012四川乐山)⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2＝5厘米，这两圆的位置关系是( )
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
4．(2012山东菏泽)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝__________.
(第4题图)
5．(2012甘肃兰州)如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm，小圆半径为3 cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是__________．
(第5题图)
6．(2012山东济宁)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.
(1)猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论；
(2)求证：PC是⊙O的切线．
1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
(第1题图)
A．点(0,3) B．点(2,3)
C．点(5,1) D．点(6,1)
2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝( )
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
(第2题图)
3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是( )
A． B．
C．3 D．2
4．两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，则两圆的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
5．两圆的圆心坐标分别是(，0)和(0,1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
6．如图，∠ACB＝60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm.
(第6题图)
7．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为__________．
(第7题图)
8．如图所示，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E.
(1)求证：AD＝DC；
(2)求证：DE是⊙O1的切线；
(3)如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．A 2．C 3．B 4．B 5．2
6．解：(1)△OBC是等边三角形．
理由：∵∠A＝30°，OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.
∴∠BOC＝2∠A＝60°.
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．
(2)证明：∵△OBC是等边三角形，且OB＝BD，
∴OB＝BD＝BC，
∴△OCD为直角三角形，∠OCD＝90°.
又∵点C在圆O上，∴DC是⊙O的切线．
探究考点方法
触类旁通1．C
触类旁通2．分析：(1)连接OD，证明∠ODB＝90°即可；(2)利用30°所对的直角边等于斜边的一半求得AC，再证BC＝CD＝5.
解：(1)直线BD与⊙O相切．
理由如下：
如图，连接OD，
∵∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠DAB－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°，
即OD⊥BD.
∴直线BD与⊙O相切．
(2)由(1)知，∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°.
又∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形．
∴OA＝OD＝CD＝5.
又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝10.
∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15.
触类旁通3．C ∵∠A＝100°，∠C＝30°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝50°.
∵OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠DOE＝180°－∠B＝130°.
∴∠DFE＝∠DOE＝65°.
触类旁通4．3或17 由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为d＝R－r，即|10－r|＝7，所以r＝3或17.
品鉴经典考题
1．D 因为⊙O的半径为2，PO＝2，则直线l与⊙O至少有一个交点，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
2．C 设切点为E，连接OA，OE.在Rt△OAE中，AE＝＝3(cm)，所以AB＝6 cm.
3．D
4．23° ∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB.又∠P＝46°，
∴∠PAB＝∠PBA＝＝67°.
又PA是⊙O的切线，AO为半径，
∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，
∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°.
故答案为23°.
5．8cm＜AB≤10 cm 如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D.
连接OA，OD，可得OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD.
在Rt△ADO中，OD＝3 cm，OA＝5 cm，
∴AD＝4 cm，∴AB＝2AD＝8(cm)．
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB＝10 cm.
∴AB的取值范围是8 cm＜AB≤10 cm.
故答案为8 cm＜AB≤10 cm.
6．解：(1)OD∥BC，OD＝BC.
证明：∵OD⊥AC，
∴AD＝DC.
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB，BC⊥AC，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝BC.
(2)证明：连接OC.设OP与⊙O交于点E，连接AE，CE.
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴，即∠AOE＝∠COE.
在△OAP和△OCP中，
∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP＝∠OAP.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.∴PC是⊙O的切线．
研习预测试题
1．C 2．D 3．B 4．B
5．D 因为由圆心的坐标可知，两圆心分别在x轴和y轴上，与坐标原点构成直角三角形，
所以圆心距为＝2.
而两圆的半径之差等于2，即d＝r1－r2(r1＞r2)．
所以两圆内切．
6．
7．2 如图，连接OE，OC，OC与EF交于G点．∵AB是⊙O的切线，
∴OC⊥AB.
∵EF∥AB，∴OC⊥EF.
∴EG＝EF.
∵∠O＝2∠D＝60°，
∴EG＝OE·sin 60°＝.∴EF＝2.
8．解：(1)证明：如图，连接OD，
∵AO是⊙O1的直径，
∴∠ADO＝90°.∵AC为⊙O的弦，OD⊥AC，∴AD＝DC.
(2)证明：∵D为AC中点，O1为AO中点，∴O1D∥OC.
又∵DE⊥OC，∴DE⊥O1D.
∴DE与⊙O1相切．
(3)O1OED为正方形．
证明：∵OE＝EC，且D为AC中点，
∴DE∥O1O.又∵O1D∥OE，
∴四边形O1OED为平行四边形．
又∵∠DEO＝90°，O1O＝O1D，第六单元 图形变换
第21讲 图形的平移、旋转与对称
考纲要求 命题趋势
1．理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移和图形旋转的概念，并掌握它们的性质．2．能按平移、旋转或对称的要求作出简单的图形．3．探索成轴对称或中心对称的平面图形的性质．4．运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 这部分内容重点考查图形的平移、旋转、轴对称的性质，图形三大变换的设计，与图形变换相关的计算和逻辑推理证明等．题型多为选择题、填空题、解答题，有时平移与旋转常与三角形和四边形结合作为中档题或较难试题.
知识梳理
一、图形的轴对称
1．定义
(1)轴对称：把________图形沿着某一条直线对折后，如果能与另一个图形________，那么就说这________图形成轴对称，这条直线就是________，两个图形中的对应点叫做__________．
(2)轴对称图形：把________图形沿某条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相________，那么________叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．
2．性质
(1)对称点的连线被________垂直平分；
(2)对应线段相等，对应角相等；
(3)成轴对称的两个图形是全等图形．
二、图形的中心对称
1．定义
(1)中心对称：把一个图形绕着一点旋转________后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这一点成中心对称，这个点叫做________，旋转前后的点叫做________．
(2)中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．性质
(1)关于某点成中心对称的两个图形是__________；
(2)关于某点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心______．
三、图形折叠问题
折叠问题是轴对称变换，折痕所在直线就是轴对称问题中的对称轴；应用时注意折叠所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性质，寻找相等的量．
四、图形的平移
1．定义
在平面内，将一个图形沿__________移动一定的距离，图形的这种变换，叫做平移变换，简称______．确定一个平移变换的条件是________和________．
2．性质
(1)平移不改变图形的________与________，即平移前后的两个图形是__________；
(2)连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等；
(3)对应线段平行(或共线)且相等；
(4)对应角相等．
五、图形的旋转
1．定义
在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着________旋转一定的______，图形的这种变换，叫做旋转变换．这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做________．图形的旋转由________和________所决定．
2．性质
(1)图形上的每一点都绕着________沿着相同的方向旋转了________大小的角度；
(2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是________的；
(3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的________相等；
(4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角．
六、简单的平移作图与旋转作图
1．平移作图的步骤
(1)首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；
(2)根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；
(3)顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形．
2．旋转作图的步骤
(1)找出旋转中心与旋转角；
(2)找出构成图形的关键点；
(3)作出这些关键点旋转后的对应点；
(4)顺次连接各对应点．
自主测试
1．小华将一张如图所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形的是( )
2．如图所示，其中是中心对称图形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF( )
A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
4．如图所示，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )
A．30° B．45°
C．90° D．135°
5．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫做格点)．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′.
考点一、轴对称图形与中心对称图形的识别
【例1】如图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
解析：选项A，B都不是轴对称图形，选项C是轴对称图形，但不是中心对称图形，只有选项D既是轴对称图形又是中心对称图形．故应选D.
答案：D
方法总结 识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称图形的特征，看看能否找出其对称轴或对称中心，再去作出判断．
触类旁通1 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
考点二、图形的平移
【例2】如图，把图①中的⊙A经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图②中的对应点P′的坐标为( )
A．(m＋2，n＋1) B．(m－2，n－1)
C．(m－2，n＋1) D．(m＋2，n－1)
解析：平移时图形上每个点平移的方向和距离都相同，⊙A经过平移到⊙O，点A的横坐标增加2个单位，纵坐标减小1个单位．则点P移到P′，移动的距离与点A相同．所以点P′的横坐标为m＋2，纵坐标为n－1.
答案：D
方法总结 在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)〔或(x－a，y)〕；将点P(x，y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y＋b)〔或(x，y－b)〕．
触类旁通2 如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为__________．
考点三、图形的旋转
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )
A．30,2 B．60,2
C．60， D．60，
解析：由题意可知BC＝CD，∠B＝60°，所以△BCD是等边三角形，所以旋转角∠BCD＝60°.通过题意可得△FCD是直角三角形，且∠FCD＝30°，CD＝2，所以DF＝1，CF＝，所以△FCD的面积为×1×＝.
答案：C
方法总结 图形在旋转过程中，图中的每一个点与旋转中心的连线都绕着旋转中心转动了相同的角度，对应线段相等，对应角相等．
触类旁通3 如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，有下列结论：①∠CDF＝α；②A1E＝CF；③DF＝FC；④AD＝CE；⑤A1F＝CE.其中正确的是__________(写出正确结论的序号)．
考点四、平移、旋转作图
【例4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(－1,1)，C(－1,3)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)将△A2B2C2平移得到△A3B3C3，使A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3，点C2的对应点是C3(4，－1)，在坐标系中画出△A3B3C3，并写出点A3，B3的坐标．
解：(1)如图，C1(－1，－3)．
(2)如图，C2(3,1)．
(3)如图，A3(2，－2)，B3(2，－1)．
方法总结 要画出一个图形的平移、旋转后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、旋转作图中最常用的方法．
1．(2012上海)在下列图形中，为中心对称图形的是( )
A．等腰梯形 B．平行四边形
C．正五边形 D．等腰三角形
2．(2012浙江嘉兴)下列图案中，属于轴对称图形的是( )
3．(2012山东聊城)如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是( )
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
4．(2012浙江丽水)在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是( )
A．① B．②
C．③ D．④
5．(2012山东德州)在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是__________．(只要填写一种情况)
6．(2012四川乐山)如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)
(2)在(1)问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A．等边三角形 B．平行四边形
C．梯形 D．矩形
2．如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致．那么应该选择的拼木是( )
3．以ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B，D点的坐标分别为(1,3)，(4,0)，把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是( )
A．(3,3) B．(5,3) C．(3,5) D．(5,5)
4．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，AB左边是计算器上的数字“5”，若以直线AB为对称轴，那么它的轴对称图形是数字__________．
6．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________．
7．如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α(0°＜α＜180°)，则∠α＝__________.
8．如图是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果AB＝8 cm，BE＝4 cm，DH＝3 cm，则图中阴影部分的面积为__________ cm2.
9．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)观察△A1B1C1与△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．A 2．B 3．C 4．C
5．解：如图所示：
探究考点方法
触类旁通1．C
触类旁通2．30° 由平移知AC∥BE，由两直线平行内错角相等得∠CBE＝∠C，由三角形的内角和得∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°.
触类旁通3．①②⑤
品鉴经典考题
1．B 2．A
3．B 因为点C的对应点F是向下平移5格，所以A，C错误，点A的对应点D，是顺时针方向旋转90°，所以D错误，只有B是正确的．
4．B 因为涂黑②后的阴影部分，绕中间小正方形的中心旋转180°，能与原图形重合．
5．AB∥CD或AD＝BC，∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠D＝180°等(答案不唯一) 因为四边形ABCD只要是平行四边形，它就是中心对称图形．
6．解：(1)如图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形．
(2)由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1＝4，CC1＝2，高是4，∴S四边形BB1C1C＝(BB1＋CC1)×4＝(4＋2)×4＝12.
研习预测试题
1．D 2．B 3．D
4．D ∵BE＝EF＝3，BC＝AD＝8，∴EC＝5.
∵∠EFC＝90°，∴FC＝＝4.
∵△CFE∽△CBA，∴＝，＝，∴AB＝6.
5．2
6．(0,1) 连接AD，BE，作线段AD，BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1)．
7．90°
8．26 因为由题意知△ABC≌△DEF，则S△ABC＝S△DEF.
S阴影＝S△DEF－S△HEC＝S△ABC－S△HEC＝S四边形ABEH.
由题意知，四边形ABEH为直角梯形，
∴S梯形ABEH＝BE(AB＋HE)＝26 cm2，
∴S阴影＝26 cm2.
9．解：(1)△A1B1C1如图，A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)；(2)△A2B2C2如图，A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)；(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x＝3对称．如图．
