《名题学典·数学》人教版八年级系列第十六章
第3课时 16.2二次根式的乘除（1）
1.简单回顾：之前我们学过有理数的乘除（负数），整式的乘除。
2.比较大小：
；
；
；
.
3.一般地，二次根式的乘法法则是
·= （ ）.
得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变.
4.当，时，=·.举例： .
乘法法则反过来： .
即：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
化简：
= ；
= ；= ；
(b≥0)= .
例1：二次根式的乘法
；（2）
（3）； （4）.
分析：直接根据乘法法则计算；（3）题计算时，整数和整数相乘，根式和根式相乘；（4）题中的带分数应化成假分数再计算.
解：（1）===
15；
=；
==
==72；
（4）==
==6.
练习1
计算：（1）；（2）；
； （4）.
21世纪教育网版权所有
例2：乘法法则的理解
当x是多少时，等式=
成立？
分析：根据乘法法则： ·=
（a≥0, b≥0）可得，要使题中等式成立，则≥0, ≥0.
解：要使
=成立，
则，解得，即x≥3.
当x≥3时,等式成立.
练习2
当x是多少时，等式·
=成立？
21世纪教育网版权所有
例3：的运用
化简：
； （2）；
（3）； （4）.
分析：运用结论；（4）题中根号内不是积的形式，要把它化成积的形式，或求出差.
解：（1）==94=36；
==25；
=····=3·a··b·c=；
===2.
练习3
化简：
；（2）；
（3）；
（4）（）.
21世纪教育网版权所有
例4：综合运用
若=，求m的取值范围.
分析：运用结论对化简可得=
，即=，可求得的取值范围.
解：==·=，由题可得=，∴.
练习4
当x的取值范围是不等式的解时，且x≠0，试化简·.
21世纪教育网版权所有
1.（杭州市中考题）已知m=，则有（ ）
A．5＜m＜6 B．4＜m＜5
C．-5＜m＜-4 D．-6＜m＜-5
2.（荆门市中考题）设=，=b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（ ）
A．0.3ab B．3ab
C．0.1ab2 D．0.1a2b
3.（新疆中考题）
∵①
②
③
∴2=-2 ④
以上推导中的错误在第几步（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4.（南京市中考题）计算·（a≥0）的结果是 .
用时 分数
一．选择题（每题4分，共32分）
1．若=a，=b，则的值用a、b可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
2.下列等式不一定成立的是（ ）
A.
B.=3
C.
D.
3.把根号外的因式移入根号内，其结果是（ ）
A. B.
C. D.
4.一个直角三角形的两条直角边分别为a=2，b=3，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A.8 B.7
C. D.
5.下列运算正确的是（ ）
A.
B.=
C.
D.
6.当x=﹣3时，二次根式的值是，则m的值为（ ）
A． B．
C． D．
如果，那么（ ）
A．x≥0 B．x≥6
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
计算的结果是（ ）
A.6ab B.30
C. D.12
二．填空题（每题3分，共18分）
9．化简：= ．
10．化简：= ．
11．若x+y=，x﹣y=﹣，则x2﹣y2=
．
12．计算：= ．= ．
13．等式成立的条件是 ．
14．如果式子（a≥0，b≥0）成立，则有=?=2．请按照此性质化简使被开方数不含完全平方的因数：= ．
三．解答题（每题10分，共40分）
15．（1）化简：3a?（﹣）（a≥0，b≥0）；
（2）计算：.
21世纪教育网版权所有
21世纪教育网版权所有
把根号外的因式移到根号内：
（1）； （2）.
（1）自由落体的公式为S= 12 gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是多少？
（2）一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
18.若a，b，c为三角形的三边边长，
（1）求证：
=
；
（2）a，b满足，求c的取值范围.
参考答案
基础为本、掌握新知
略 2.= = = = 3. a≥0，b≥0 4. 举例：=
5.(a≥0，b≥0) 3.5 22 18 4a2b
5. D 【解析】A.∵，∴A不正确；
B. ∵二次根式的被开方数不能是负数，∴，都无意义，虽然结果正确，但过程错误，∴B不正确；
C. ∵，∴C不正确；
D. 根据二次根式的乘法法则：有=×=4，∴D正确．
6.A 【解析】把x=﹣3代入二次根式得，原式=m，依题意m=，故m＞0，
即10m2=5，m2=，m=．
B 【解析】∵=，∴x≥0且x﹣6≥0，∴x≥6．
C 【解析】3．
二、9.4a2 10.
﹣2 【解析】∵x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），x+y=，x﹣y=﹣，∴x2﹣y2=×=﹣2.
3 1.4
a≥1 【解析】根据题意得：，解得：a≥1．
14.3 【解析】∵（a≥0，b≥0）成立，则有=?=2，∴==3.
《名题学典·数学》人教版八年级系列第十六章
第4课时 16.2二次根式的乘除（2）
1.发现规律：
；
；
.
2.一般地，二次根式的除法法则：
（ ）
3.把二次根式的除法法则反过来就是：
试化简：= ；
（,）= .
最简二次根式，满足两个条件：
（1） ；
（2） .
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
以上是二次根式的是 .（填序号）
例1：加强对除法法则的理解
计算或化简：
； （2）；
（3）； （4）.
分析：在（1）中，应先算根号里的和，再计算根式的除法；（2）（3）（4）直接用除法法则求解.
解：（1）==
==；
（2）===3；
（3）===；
（4）===.
练习1
计算或化简：
；（2）；
（3）；（4）.
例2：最简二次根式
把下列二次根式化成最简二次根式：
； （2）；
（3）； （4）.
分析：最简二次根式，要满足两个条件，缺一不可；（2）（3）题容易出错.
解：（1）===；
=====；
（3）=；
（4）=.
练习2
； （2）；
（3）4；（4）（x＞y＞1）.
例3：乘除综合运算
计算或化简：（1）；
；
.
分析：在只有乘法和除法的计算中，应按从左到右的顺序计算；运算结果应为最简二次根式.
解：（1）=
==；
（2）==；
（3）=
==.
练习3
计算或化简：（1）；
；
.
例4：最简二次根式的运用
是否存在这样的m值，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
分析：由题可知两个二次根式不含能开得尽方的因数或因式；而且=
，即=，可求出m.
解：由题可得=，∴m=14.当m=14时，=，=
，但不是最简二次根式，所以不存在m值，使使最简二次根式与是同类二次根式.
练习4
若最简二次根式2与是同类二次根式，求x的值．
（青岛市中考题）计算：
= .
2.（黄石市中考题）二次根式：，，，，，中最简二次根式的有 .
用时 分数
一、选择题（每题4分，共32分）
1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B.
C. D.
2.列各式化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若，，则（ ）
A. B.
C. D.
4.等式成立的x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≥-5
C．x＞3 D．-5＜x＜3
5.下列计算：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6.估计的运算结果应在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间
C．2到3之间 D．3到4之间
两个正方形的面积分别为12a2b3，18b2c，那它们的边长之比为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知：，，则的值是（ ）
大于1 B．小于1
C．等于1 D．无法确定
填空题（每题3分，共18分）
9.把二次根式(y＞0)化成最简二次根式为 ．
10.把化成最简二次根式得 ．
11.化简= ．
12.已知＝，且x为偶数，则的值为 ．
13.计算：= .
14.在实数a，3，中，一个数的平方等于另外两个数的积，那么符合条件的a的整数值是 ．
三、解答题（共40分）
15.计算：（1）； （2）.
1
16.如图，试在图中填上恰当的数，使图中每一行，每一列，每条对角线上3个数的乘积都等于1.你还能找到一个数，使得图中每一. 行，每一列，每一对角线上3个数的乘积都等于这个数吗？与同学交流一下，看看你找的数与其他同学找的数是否一样？21世纪教育网版权所
17.（1）长方形面积为cm2，一边长为cm，求另一边的长；
21世纪教育网版权所
（2）小杨家最近在市政府开发的经济适用房住宅小区购买了一套房子，在装修时，需划一块面积是36cm2的矩形玻璃，且它的边长之比为3：4，那么它的边长应取多少？
21世纪教育网版权所
18.已知二次根式．
（1）当x=3时，求的值．
（2）若x是正数，是整数，求x的最小值．
（3）若和是两个最简二次根式，且被开方数相同，求x的值．
21世纪教育网版权所
21世纪教育网版权所
21世纪教育网版权所
21世纪教育网版权所
参考答案
基础为本、掌握新知
= = = 2. 3.= 4.被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 5.（3）（6）
练习4 由题可得，，解得或1. 经检验，或1都符合条件.
全真考题、能力拓展
1.1 【解析】==2=1.
，，
课时自测、认清自我
B 【解析】===
<1.
二、9. 【解析】由二次根式可得，x＞0,∴==.
10.2
【解析】==.
3 【解析】∵，∴，又∵为偶数，∴，∴=3.
4 【解析】==4.
3 【解析】，3，的平方分别为，27，3；它们两个两个的积分别为：，
，9，则=9，所以=3（=-3舍去）.
