第26讲 圆的有关计算
考纲要求 命题趋势
1．会计算圆的弧长和扇形的面积．2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积．3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是中考考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现.
知识梳理
一、弧长、扇形面积的计算
1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝__________.
2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝__________或S＝lr；扇形的周长＝2r＋l.
二、圆柱和圆锥
1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.
2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S侧＝l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.
三、正多边形和圆
1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．
2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．
3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．
4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．
5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于__________．
温馨提示 (1)正多边形的各边、各角都相等．
(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．
(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
四、不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1．直接用公式求解．
2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
自主测试
1．已知圆柱的底面半径为2 cm，高为5 cm，则圆柱的侧面积是( )
A．20 cm2 B．20π cm2 C．10π cm2 D．5π cm2
2．如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是( )
A．1 B． C． D．
3．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的半径是__________cm，面积是__________cm2.(结果保留π)
4．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2.
(1)求OE和CD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
考点一、弧长、扇形的面积
【例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4 cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为( )
A．4cm B．8 cm C．π cm D．π cm
解析：点A所经过的最短路线是以点C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：
∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，C，B′三点在同一条直线上，
∴∠ACA′＝120°.又AC＝4，
∴的长l＝＝π(cm)．故选D.
答案：D
方法总结 当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S扇＝，当已知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇＝lr，当已知半径r和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l＝.
触类旁通1 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是( )
A．24π B．36π C．48π D．72π
考点二、圆柱和圆锥
【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A．5π B．4π C．3π D．2π
解析：侧面积是：×π×22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C.
答案：C
方法总结 圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．
触类旁通2 如图，把一个半径为12 cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm.
考点三、阴影面积的计算
【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF， EO，若DE＝2，∠DPA＝45°.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝.
∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE.
又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.在Rt△COE中，OE＝＝＝2.∴⊙O的半径为2.
(2)连接OF，如图所示．
在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°－45°＝45°.
∴∠EOF＝2∠D＝90°.
∵S扇形OEF＝×π×22＝π，S△OEF＝×OE×OF＝×2×2＝2.
∴S阴影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2.
方法总结 阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想：
(1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
(2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
(4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
1．(2012浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为10 cm，则这个圆锥的侧面积为( )
A．15π cm2 B．30π cm2 C．60π cm2 D．3cm2
2．(2012浙江衢州)用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )
A．cm B．3cm C．4cm D．4 cm
3．(2012四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )
A．120° B．180° C．240° D．300°
4．(2012山东临沂)如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为( )
(第4题图)
A．1 B． C． D．2
5．(2012四川成都)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为__________．(结果保留π)
(第5题图)
6．(2012湖南长沙)在半径为1 cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________cm.
7．(2012四川乐山)如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G.
(第7题图)
(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；
(2)若⊙O的半径为12，且OE:OF:OD＝2:3:6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)
1．如图，⊙O半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧的长为( )
A． B．
C． D．
2．已知圆锥底面圆的半径为6 cm，高为8 cm，则圆锥的侧面积为( )．
A．48 cm2 B．48π cm2 C．120π cm2 D．60π cm2
3．如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是母线BC上一点且PC＝BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( )
A．cm B．5 cm
C．3 cm D．7 cm
4．如图，如果从半径为9 cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )
A．6 cm B．3cm C．8 cm D．5cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________．
6．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是2 cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________ cm2.
(第6题图)
7．如图，AB为半圆O的直径，C，D，E，F是的五等分点，P是AB上的任意一点．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为__________．
(第7题图)
8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足为E.
(1)求OE的长；
(2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1)．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．C 3．24 240π
4．解：(1)在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，
∴OE＝OC＝1，∴CE＝OC＝，
∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2.
(2)∵S△ABC＝AB·CE＝×4×＝2，
∴S阴影＝π×22－2＝2π－2.
探究考点方法
触类旁通1．C S＝×2＝×2＝48π.
触类旁通2．4 因为扇形的弧长为×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为＝4(cm)．
品鉴经典考题
1．B 因为底面半径为3 cm，则周长为6π cm，
所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π(cm2)．
2．C 由题意知l＝＝4π(cm)，
圆锥的底面半径为4π÷2π＝2(cm)，
∴这个圆锥形纸帽的高为＝4(cm)．
故选C.
3．B 设圆锥的底面半径为r，母线为R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n，则扇形的面积为×2πr×R＝πrR.由题意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，则R＝2r，
所以n＝180°.
4．C 如图，连接AE.
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.
又∵∠BED＝120°，∴∠AED＝30°，
∴∠AOD＝2∠AED＝60°.
∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°.
∵点E为BC的中点，∠AEC＝90°，
∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．
由△AOD，△ABC是等边三角形知△DEC，△BOE，△DOE也是等边三角形，
∴和弦BE围成的部分的面积＝和弦DE围成的部分的面积，
∴阴影部分的面积＝S△EDC＝×2×＝.故选C.
5．68π 圆锥的母线长是＝5，
圆锥的侧面积是×8π×5＝20π，
圆柱的侧面积是8π×4＝32π，
几何体的下底面面积是π×42＝16π，
则该几何体的全面积(即表面积)为20π＋32π＋16π＝68π.
故答案是68π.
6．π 扇形的弧长l＝＝π(cm)．
7．(1)证明：∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.
∵FG⊥AB，∴DA∥FO，
∴∠EOF＝∠EDA，∠EFO＝∠EAD，
∴△FOE∽△ADE，
∴＝，即OF·DE＝OE·AD.
∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，
∴OF·DE＝OE·2OH.
(2)解：∵⊙O的半径为12，且OE:OF:OD＝2:3:6，
∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，
代入(1)结论得OH＝6，AD＝12.
在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠BOH＝60°，
∴BH＝BO·sin 60°＝12×＝6，
∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝－×6×6＝24π－18.
研习预测试题
1．B 2．D 3．B
4．B 留下的扇形的弧长为×2×π×9＝12π，
所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π.
则底面圆的半径为12π＝2πr，所以r＝6.
而圆锥的母线长为9，
所以由勾股定理，得到圆锥的高为＝3(cm)．
5．8－2π 6.2π 7．π
8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足为E，∴AE＝EC.
∵AO＝BO，∴OE＝BC＝2.5.
(2)∠A＝∠BOC＝25°，
在Rt△AOE中，sin A＝，∴OA＝.
∵∠AOC＝180°－50°＝130°，
∴劣弧AC的长＝≈13.4.第八单元 统计与概率
第28讲 数据的收集、整理与描述
考纲要求 命题趋势
1．了解总体、个体样本和样本容量等与统计有关的概念，体会抽样的必要性，了解简单随机抽样．2．熟悉几种常见统计图表的应用，并会借助统计图表直观、有效地描述数据．3．掌握一些常见的统计方法. 扇形、条形、折线统计图以及频数分布直方图是中考考查的重点．借助这些统计图获取信息，然后再应用到具体问题中是中考常考查的热点．试题由仅考查知识变为整理、分析和处理数据，由单一填空题、选择题变为综合性的应用题.
知识梳理
一、普查与抽样调查
1．有关概念
(1)普查：为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查．
(2)抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查．
2．调查的选取
当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时，往往采用抽样调查．
3．抽样调查样本的选取
(1)抽样调查的样本要有__________；
(2)抽样调查的样本数目要__________．
二、总体、个体、样本及样本容量
1．总体
所要考察对象的__________叫做总体．
2．个体
总体中的__________考察对象叫做个体．
3．样本
从总体中抽取的部分__________叫做样本．
4．样本容量
样本中个体的__________叫做样本容量．
三、几种常见的统计图表
1．条形统计图
条形统计图就是用__________的高来表示数据的图形．
它的特点是：(1)能够显示每组中的具体__________；(2)易于比较数据之间的__________．
2．折线统计图
用几条线段连成的__________来表示数据的图形．
它的特点是：易于显示数据的__________．
3．扇形统计图
(1)用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占__________的大小，这样的统计图叫做扇形统计图．
(2)百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的__________的度数与360°的比．
(3)扇形的圆心角＝360°×百分比．
(4)扇形统计图的制作步骤
①数据的采集，即各部分数据的收集；②数据的整理，即计算出各部分的总和，再计算各部分所占的百分比；③作图，即根据百分比计算出各部分对应圆心角的大小(将百分比乘360°)，再用量角器画出各个扇形；④标上各部分的名称和它所占的百分比．
四、频数分布直方图
1．每个对象出现的__________叫做频数．
2．每个对象出现的__________与__________的比(或者百分比)叫做频率，__________和__________都能够反映每个对象出现的频繁程度．
3．频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
4．频数分布直方图的绘制步骤：(1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组距与组数；(3)确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；(4)列频数分布表；(5)用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
自主测试
1．下列调查中，适合采用全面调查(普查)方式的是( )
A．对黄河水质情况的调查
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C．对某班50名同学体重情况的调查
D．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查
2．某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有10个成年人吸烟．对于这个数据收集与处理的问题，下列说法正确的是( )
A．该调查的方式是普查
B．本地区只有40个成年人不吸烟
C．样本容量是50
D．本城市一定有100万人吸烟
3．如图是某农户2010年收入情况的扇形统计图，已知他2010年的总收入为5万元，则他的打工收入是( )
A．0.75万元 B．1.25万元 C．1.75万元 D．2万元
4．如图是某班为贫困地区捐书情况的条形统计图，则这个班平均每名学生捐书__________册．
考点一、调查方式的选择
【例1】下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是( )
A．调查我市中学生每天体育锻炼的时间
B．调查某班学生对“五个重庆”的知晓率
C．调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量
D．调查广州亚运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况
解析：A选项中调查的对象太多，适宜采用抽样调查；B选项中调查的对象是一个班的学生，适宜采用普查的方式；C选项中调查的对象性质特殊，也适宜采用普查的方式；D选项调查的目的要求对象一个不缺，也适宜采用普查的方式．
答案：A
方法总结 统计学中存在两种调查方式：普查和抽样调查．由于普查耗时、耗力，有时甚至具有破坏性，而放弃普查，采用抽样调查去估计总体．分析时要具体情况具体分析，了解实际问题中的总体、个体、样本，然后确定适合的调查方式．抽样调查时，应注意样本具有广泛性、代表性、随机性．
触类旁通1 下列调查，适合用普查方式的是( )
A．了解贵阳市居民的年人均消费
B．了解某一天离开贵阳市的人口流量
C．了解贵州电视台《百姓关注》栏目的收视率
D．了解贵阳市某班学生对“创建全国卫生城市”的知晓率
考点二、统计图的应用
【例2】卫生部修订的《公共场所卫生管理条例实施细则》从2011年5月1日开始正式实施，这意味着“室内公共场所禁止吸烟”新规正式生效．为配合该项新规的落实，某校组织了部分同学在“城阳社区”开展了“你最支持哪种戒烟方式”的问卷调查，并将调查结果整理后分别制成了如图所示的扇形统计图和条形统计图，但均不完整．
请你根据统计图解答下列问题：
(1)这次调查中同学们一共调查了多少人？
(2)请你把两种统计图补充完整；
(3)求以上五种戒烟方式人数的众数．
分析：(1)根据“替代品戒烟”的人数和它所占的比例可求出总数；(2)根据第(1)问求出的总数算出未知的百分比和人数补充两种统计图；(3)根据条形统计图可确定众数．
解：(1)这次调查中同学们调查的总人数为：20÷10%＝200(人)．
(2)统计图如图．
(3)以上五种戒烟方式人数的众数是20.
方法总结 扇形统计图是反映各部分占的比例，条形统计图是反映各部分的具体数据，两个结合在一起就可求出总数．解决统计图表问题，要抓住它们的特点，从中找出有用信息，进行综合分析，作出合理预测和推断．
考点三、频数分布直方图
【例3】上海世博园开放后，前往参观的人非常多.5月中旬的一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“10～20”表示等候检票的时间大于或等于10 min而小于20 min，其他类同．
时间分段/min 频数/人 频率
10～20 8 0.200
20～30 14 a
30～40 10 0.250
40～50 b 0.125
50～60 3 0.075
合计 c 1.000
(1)这里采用的调查方式是__________；
(2)求表中a，b，c的值，并请补全频数分布直方图；
(3)在调查人数里，等候时间少于40 min的有__________人；
(4)此次调查中，中位数所在的时间段是__________～__________min.
分析：(1)调查方式分为普查和抽样调查两类，本题采用抽样调查；(2)根据表格可以得出抽样的总人数为c＝8÷0.2＝40(人)，因此b＝40×0.125＝5；a＝14÷40＝0.350；(3)等候时间少于40 min的有8＋14＋10＝32(人)；(4)中位数是处于中间位置的数，是第20与21两数的平均数：在时间段20～30之间．
解：(1)抽样调查
(2)a＝0.350，b＝5，c＝40，频数分布直方图如图．
(3)32 (4)20 30
方法总结 频数分布直方图中常用到的结论：
(1)频数＝频率×数据总数；
(2)各小组频率之和为1，各小组频数之和等于数据总数；
(3)频数分布直方图中小长方形的高之比等于频数之比，也是频率之比．
触类旁通2 某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率为( )
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
1．(2012重庆)下列调查中，适宜采用全面调查(普查)方式的是( )
A．调查市场上老酸奶的质量情况
B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命
C．调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品
D．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率
2．(2012浙江杭州)如图是杭州市区人口的统计图．则根据统计图得出的下列判断，正确的是( )
杭州市区人口统计图
A．其中有3个区的人口数都低于40万
B．只有1个区的人口数超过百万
C．上城区与下城区的人口数之和超过江干区的人口数
D．杭州市区的人口数已超过600万
3．(2012山东济宁)空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是( )
A．扇形图 B．条形图
C．折线图 D．直方图
4．(2012上海)某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如下表所示(其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值)，结合下表的信息，可得测试分数在80～90分数段的学生有__________名．
分数段 60～70 70～80 80～90 90～100
频率 0.2 0.25 0.25
5．(2012浙江温州)赵老师想了解本校“生活中的数学知识”大赛的成绩分布情况，随机抽取了100份试卷的成绩(满分为120分，成绩为整数)，绘制成下图所示的统计图．由图可知，成绩不低于90分的共有__________人．
100份“生活中的数学知识”
大赛试卷的成绩频数分布直方图
1．为了了解某市八年级学生的肺活量，从中抽样调查了500名学生的肺活量，这项调查中的样本是( )
A．某市八年级学生的肺活量
B．从中抽取的500名学生的肺活量
C．从中抽取的500名学生
D．500
2．某校开展形式多样的“阳光体育”活动，七(3)班同学积极响应，全班参与．晶晶绘制了该班同学参加体育项目情况的扇形统计图，由图可知参加人数最多的体育项目是( )
七(3)班同学参加体育项目情况的扇形统计图
A．排球 B．乒乓球
C．篮球 D．跳绳
3．株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30 000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30 000名初三学生中视力不良的约有( )
A．100人 B．500人
C．6 000人 D．15 000人
4．如图，反映的是某中学七(3)班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图(部分)和扇形统计图，则下列说法错误的是( )
A．七(3)班外出步行的有8人
B．七(3)班外出的共有40人
C．在扇形统计图中，步行人数所占的圆心角度数为82°
D．若该校七年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的约有150人
5．某乡镇举行歌咏比赛，组委会规定：任何一名参赛选手的成绩x满足：60≤x＜100，赛后整理所有参赛选手的成绩如下表：
分数段 频数 频率
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 m 0.45
80≤x＜90 60 n
90≤x＜100 20 0.1
根据表中提供的信息得到n＝__________.
6．某县农民一直保持着冬种油菜的习惯，利用农闲冬种一季油菜．某县农业部门对2011年的油菜籽生产成本、市场价格、种植面积和产量等进行了调查统计，并绘制了如下统计表与统计图：
每亩生产成本 每亩产量 油菜籽市场价格 种植面积
110元 130千克 3元/千克 500 000亩
油菜每亩生产成本统计图
请根据以上信息解答下列问题：
(1)种植油菜每亩的种子成本是多少元？
(2)农民冬种油菜每亩获利多少元？
(3)2011年该县全县农民冬种油菜的总获利多少元？(结果用科学记数法表示)
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．C 2．C 3．B 4．3
探究考点方法
触类旁通1．D
触类旁通2．D
品鉴经典考题
1．C A．数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；
B．数量较大，具有破坏性的调查，应选择抽样调查；
C．事关重大的调查往往选用普查；
D．数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查．
故选C．
2．D A．只有上城区人口数都低于40万，故此选项错误；
B．萧山区、余杭区两个区的人口超过100万，故此选项错误；
C．上城区与下城区的人口数之和低于江干区的人口数，故此选项错误；
D．杭州市区的人口数已超过600万，故此选项正确．
故选D.
3．A 根据题意，得要求直观反映空气内组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
4．150 因为测试分数在80～90分数段的频率为1－0.2－0.25－0.25＝0.3，所以学生有500×0.3＝150.
5．27 因为100－4－26－43＝27(人)．
研习预测试题
1．B 2．C 3．C 4．C 5．0.3
6．解：(1)1－10%－35%－45%＝10%；110×10%＝11(元)．
(2)130×3－110＝280(元)．
(3)280×500 000＝140 000 000＝1.4×108(元)．第29讲 数据的分析
考纲要求 命题趋势
1．会求一组数据的平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差，能理解它们在实际问题中反映的意义，而且会运用样本估计总体的思想方法解决实际应用问题．2．了解样本方差、总体方差的意义．会根据同类问题的两组样本数据的方差比较两组样本数据的波动情况. 中考主要考查算术平均数、加权平均数、中位数、众数、极差和方差的计算，结合实际问题来描述一组数据的集中趋势和离散程度．题型以选择题、填空题为主，还常与统计图、概率等知识进行综合考查.
知识梳理
一、平均数、众数与中位数
1．平均数
(1)平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，我们把(x1＋x2＋…＋xn)叫做这组数据的算术平均数，简称__________，记为.
(2)加权平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次，…，xk出现fk次(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么＝(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权，f1＋f2＋f3＋…＋fk＝n.
2．众数
在一组数据中，出现次数__________的数叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时有几个)．
3．中位数
将一组数据按__________依次排列，把处在__________的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
二、数据的波动
1．极差
一组数据中__________与__________的差，叫做这组数据的极差．
2．方差
在一组数据x1，x2，x3，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的__________的平均数叫做这组数据的方差，即s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
3．极差、方差和标准差都可以衡量一组数据的波动大小；方差(或标准差)越大，说明这组数据波动越大．
自主测试
1．某市2012年5月1日～10日十天的空气污染指数的数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,75,70,56,81，91,92,91,75,81.那么该组数据的极差和中位数分别是( )
A．36,78 B．36,86 C．20,78 D．20,77.3
2．“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30 kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“＋”，不足标准重量的记作“－”，他记录的结果是＋0.5，－0.5，0，－0.5，－0.5，＋1，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是( )
A．0,1.5 B．29.5,1
C．30,1.5 D．30.5,0
3．某校为了选拔学生参加我市无线电测向比赛中的装机比赛，教练对甲、乙两选手平时五次训练成绩进行统计，两选手五次训练的平均成绩均为30分钟，方差分别是s＝51、s＝12.则甲、乙两选手成绩比较稳定的是__________．
考点一、平均数、众数、中位数
【例1】某校艺术节演出中，5位评委给某个节目打分如下：9分，9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，则该节目的平均得分是__________分．
(2)某文具商店共有单价分别为10元、15元和20元的3种文具盒出售，该商店统计了2012年3月份这三种文具盒的销售情况，并绘制统计图如下：
文具店2012年3月份3种文具盒销售情况扇形统计图
3种文具盒销售情况条形统计图
①请把条形统计图补充完整；
②小亮认为该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格为(10＋15＋20)＝15元，你认为小亮的计算方法正确吗？如果不正确，请计算总的平均销售价格．
分析：(1)直接利用算术平均数的求法求；
(2)该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格是求加权平均数．
解：(1)9
(2)①
3种文具盒销售情况条形统计图
②不正确，平均销售价格为(10×150＋15×360＋20×90)÷(150＋360＋90)＝8 700÷600＝14.5(元)．
方法总结 平均数、众数和中位数是以不同角度反映一组数据的集中趋势．众数是一组数据中出现次数最多的，而中位数是一组数据从小到大(或从大到小)排列处于中间位置的一个数或两个数的平均数，平均数则是所有数的和与个数的商，求解时一定要明确其求法．
触类旁通1 我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温/℃ 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
则这组数据的中位数与众数分别是( )
A．27,28 B．27.5,28
C．28,27 D．26.5,27
考点二、极差与方差
【例2】(1)在九年级体育考试中，某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)测试成绩如下(单位：次/分)：44,45,42,48,46,43,47,45.则这组数据的极差为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是s＝0.65，s＝0.55，s＝0.50，s＝0.45，则射箭成绩最稳定的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：(1)根据极差的概念求；(2)比较四个人方差的大小．
答案：(1)C (2)D
方法总结 极差和方差都是表示该组数据的波动大小的数据，从统计的角度看，在平均成绩相同的情况下看成绩的稳定性就是比较方差的大小．
触类旁通2 一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6分)为合格，成绩达到9分为优秀．这次测验中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图．
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
平均分 方差 中位数 合格率 优秀率
甲组 6.9 2.4 91.7% 16.7%
乙组 1.3 83.3% 8.3%
(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出三条支持乙组学生观点的理由．
1．(2012上海)数据5,7,5,8,6,13,5的中位数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(2012浙江台州)为了解某公司员工的年工资情况，小王随机调查了10名员工，其年工资(单位：万元)如下：3,3,3,4,5,5,6,6,8,20，下列统计量中，能合理反映该公司员工年工资中等水平的是( )
A．方差 B．众数
C．中位数 D．平均数
3．(2012湖南长沙)甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是( )
A．s＜s B．s＞s
C．s＝s D．不能确定
4．(2012浙江宁波)我市某一周每天的最高气温统计如下：27,28,29,29,30,29,28(单位：℃)，则这组数据的极差与众数分别为( )
A．2,28 B．3,29
C．2,27 D．3,28
5．(2012浙江义乌)在义乌市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是________分，众数是________分．
6．(2012四川乐山)在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
条形统计图 扇形统计图
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了__________名同学；
(2)条形统计图中，m＝__________，n＝__________；
(3)扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是__________度；
(4)学校计划购买课外读物6 000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？
1．北京市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：
区县 大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山
最高气温/℃ 32 32 30 32 30 32 29 32 30 32
则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是( )
A．32,32 B．32,30 C．30,32 D．32,31
2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
3．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况如图所示：
对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
4．某居民小区开展节约用电活动，对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电情况如下表：
节电量/千瓦时 20 30 40 50
户数 10 40 30 20
则4月份这100户节电量的平均数、中位数、众数分别是( )
A．35,35,30 B．25,30,20 C．36,35,30 D．36,30,30
5．一个样本为1,3,2,2，a，b，c.已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为__________．
6．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为s＝3.6，s＝15.8，则______种小麦的长势比较整齐．
7．某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人，投票结果统计如图(1)所示：
(1) (2)
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 92 90 95
面试 85 95 80
图(2)是某同学根据上表绘制的一个不完整的条形图．
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图；
(2)请计算每名候选人的得票数；
(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2:5:3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．A 2．C 3．乙
探究考点方法
触类旁通1．A 由统计表可知，温度为25 ℃有1天，温度为26 ℃有1天，温度为27 ℃有2天，温度为28 ℃有3天．
触类旁通2．分析：评价成绩的好坏，不能只看某一方面，应多方面考虑．
解：(1)甲组：中位数7；乙组：平均分7，中位数7；
(2)(答案不唯一)①乙组学生的平均分高于甲组学生的平均分；②乙组学生的方差低于甲组学生的方差；③乙组学生成绩不低于7分的人数比甲组多．
品鉴经典考题
1．B 因为这组数据从小到大排列为5,5,5,6,7,8,13，第四个数6为中位数．
2．C 因为中位数前面和后面的数据个数相同，所以能合理反映该公司员工年工资中等水平．
3．A 根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小．
∵甲的成绩比乙的成绩稳定，∴有s＜s.故选A.
4．B 因为这组数中，最大的数是30，最小的数是27，
所以极差为30－27＝3.
29出现了3次，出现的次数最多，
所以众数是29.
5．90 90 因为观察折线图可知：成绩为90的最多，所以众数为90；
这组学生共10人，中位数是第5,6名的平均分，
读图可知第5,6名的成绩都为90，故中位数为90.
6．解：(1)200 根据条形图得出文学类人数为70，利用扇形图得出文学类所占百分比为35%，故本次调查中，一共调查了70÷35%＝200(人)．
(2)40 60 根据科普类所占百分比为30%，
则科普类人数为：n＝200×30%＝60，
m＝200－70－30－60＝40，
故m＝40，n＝60.
(3)72 艺术类读物所在扇形的圆心角是×360°＝72°.
(4)由题意，得6 000×＝900(册)．
答：学校购买其他类读物900册比较合理．
研习预测试题
1．A 2．C 3．D 4．C
5． ∵这个样本的众数为3，
∴a，b，c中至少有两个为3，设a＝b＝3，
∴＝2，∴c＝0.
∴s2＝×[(1－2)2＋(3－2)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(3－2)2＋(0－2)2]＝.
6．甲
7．解：(1)
(2)甲的票数：200×34%＝68(票)，乙的票数：200×30%＝60(票)，丙的票数：200×28%＝56(票)．
(3)甲的平均成绩：1＝＝85.1，
乙的平均成绩：2＝＝85.5，
丙的平均成绩：3＝＝82.7.
∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．第30讲 概率初步
考纲要求 命题趋势
1．能正确指出自然和社会现象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件．2．能从实际问题中了解概率的意义，能用列举法计算随机事件发生的概率．3．能用大量重复试验时的频率估计事件发生的概率. 概率是中考命题的必考点，选材多来自游戏、抽奖等生活题材，主要考查必然事件、不可能事件及随机事件的区别，用列表、画树状图法求简单事件发生的概率以及用频率估计概率，题型以填空题、选择题及解答题的形式出现.
知识梳理
一、事件的有关概念
1．必然事件
在现实生活中__________发生的事件称为必然事件．
2．不可能事件
在现实生活中__________发生的事件称为不可能事件．
3．随机事件
在现实生活中，有可能__________，也有可能__________的事件称为随机事件．
4．分类
事件
二、用列举法求概率
1．定义
在随机事件中，一件事发生的可能性__________叫做这个事件的概率．
2．适用条件
(1)可能出现的结果为__________多个；
(2)各种结果发生的可能性__________．
3．求法
(1)利用__________或__________的方法列举出所有机会均等的结果；
(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；
(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．
列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举．
三、利用频率估计概率
1．适用条件
当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．
2．方法
进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个__________时，该__________就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．
自主测试
1．下列说法正确的是( )
A．打开电视机，正在播放新闻
B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个
C．调查某品牌饮料的质量情况适合普查
D．盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出两个球，一定一红一黑
2．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为( )
A． B． C． D．
3．有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1 000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为__________．
4．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二选一)中选择两项．
(1)每位考生有__________种选择方案；
(2)用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．(友情提醒：各种方案用A，B，C，…或①，②，③，…等符号来代表可简化解答过程)
考点一、事件的分类
【例1】下列事件属于必然事件的是( )
A．在1个标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾
B．明天我市最高气温为56 ℃
C．中秋节晚上能看到月亮
D．下雨后有彩虹
解析：区分事件发生的可能性，应注意积累生活经验和一些基本常识，然后再予以判断．
答案：A
方法总结 如何判断事件发生的可能性，我们可以凭直觉判断出有些事件发生的可能性大小，有时要结合日积月累的生活经验，或者经过严谨的推理得到事实等．
触类旁通1 下列事件中，为必然事件的是( )
A．购买一张彩票，中奖
B．打开电视，正在播放广告
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球
考点二、用列举法求概率
【例2】在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．
(1)计算两次摸出的纸牌上的数字之和为6的概率；
(2)甲、乙两个人玩游戏，如果两次摸出纸牌上的数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上的数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
分析：游戏是否公平，应该根据事件发生的概率大小确定，用列表法或画树状图求出各事件发生的概率，然后再判断游戏是否公平．
解：用树状图法：
或列表法：
由上表可以看出，摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．
(1)两次摸出纸牌上的数字之和为6(记为事件A)有3种可能结果，P(A)＝.
(2)这个游戏公平，理由如下：
两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B)有8种可能结果，P(B)＝＝.
两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C)有8种可能结果，P(C)＝＝.
两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平．
方法总结 1．用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现的结果，再代入P(A)＝计算．
2．在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．
3．判断游戏的公平性，在相同的条件下，应考虑随机事件发生的可能性是否相同，可能性大的获胜机会就大．
触类旁通2 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，
(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
考点三、频率与概率
【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 17 13 15 23 20 12
(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率；
(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？
解：(1)“4点朝上”出现的频率是＝0.23.
“5点朝上”出现的频率是＝0.20.
(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．
方法总结 在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．
触类旁通3 某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 50 100 200 500 1 000 3 000 5 000
发芽种子粒数 45 92 184 458 914 2 732 4 556
发芽频率
(1)计算各批种子发芽频率，填入上表．
(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率．
考点四、概率的应用
【例4】在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上．
(1)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少？
(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时，小王赢；当两张牌面的花色不相同时，小李赢．请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．
解：(1)P(抽到牌面花色为红心)＝.
(2)游戏规则不公平．
理由如下：
由树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种．
P(抽到牌面花色相同)＝＝，
P(抽到牌面花色不相同)＝＝.
∵＜，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．
方法总结 游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．
触类旁通4 (1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A． B． C． D．1
(2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是( )
A． B． C． D．
1．(2012浙江宁波)一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为( )
A． B． C． D．1
2．(2012浙江义乌)义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( )
A． B． C． D．
3．(2012浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( )
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
4．(2012四川攀枝花)抛掷一枚质地均匀、各面分别标有1,2,3,4,5,6的骰子，正面向上的点数是偶数的概率是__________．
5．(2012湖南长沙)任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__________事件．
6．(2012四川达州)如下图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为__________．
7．(2012湖南益阳)有长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________．
8．(2012福建泉州)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．
(1)随机地从盒中提出1子，则提出白子的概率是多少？
(2)随机地从盒中提出1子，不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．
1．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是( )
A． B． C． D．
2．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为( )
A．2 B．4 C．12 D．16
3．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是( )
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
4．在x22xyy2的空格中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )
A．1 B．
C． D．
5．在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．(注：π取3)
6．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是__________．
7．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则P(3)__________P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)
8．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座．
(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．A 3．600
4．解：(1)4
(2)把4种方案分别列为：
A：立定跳远、坐位体前屈；B：实心球、1分钟跳绳；C：立定跳远、1分钟跳绳；D：实心球、坐位体前屈．
画树状图如下：
∴P(小明与小刚选择同种方案)＝＝.
探究考点方法
触类旁通1．D
触类旁通2．解：(1)列表法如下：
甲 乙 丙 丁
甲 乙甲 丙甲 丁甲
乙 甲乙 丙乙 丁乙
丙 甲丙 乙丙 丁丙
丁 甲丁 乙丁 丙丁
所有可能出现的情况有12种，其中甲、乙两位同学组合的情况有两种，所以P＝＝.
(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，选中乙的情况有一种，所以P(恰好选中乙同学)＝.
触类旁通3．解：(1)通过计算，发芽频率从左到右依次为：0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911.
(2)由(1)知，发芽频率逐渐稳定在0.911，因此可以估计种子的发芽概率为0.911.
触类旁通4．(1)B 在四个图案中，是中心对称图形的图案有2个，所以正面图案是中心对称图形的概率为.
(2)A 列树形图可知共有9种等可能的结果，所以上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是.
品鉴经典考题
1．A 因为根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个，任意摸出1个，摸到白球的概率是2÷3＝.
2．B ∵将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，
∴该组能够翻译上述两种语言的概率为＝.
3．D 摸到红球是随机事件，故选项A错误；
摸到白球是随机事件，故选项B错误；
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项C错误；
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项D正确．
4． 因为所有的可能有1,2,3,4,5,6，是偶数的可能有2,4,6，所以概率为P＝＝.
5．随机 因为抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件．
6． 因为所有可能有：直行、直行；直行、左转；直行、右转；左转、直行；左转、左转；左转、右转；右转、直行；右转、左转；右转、右转．两辆汽车都向右转只有一次，所以概率为P＝.
7． 因为长度为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm的四条线段，从中任取三条线段共有2,3,4；3,4,7；2,4,7；3,4,7四种情况，而能组成三角形的有2,3,4，共有1种情况，
所以能组成三角形的概率是.
8．解：(1)P(白子)＝.
(2)方法一：所有等可能的结果，画树状图如下：
∴P(一黑一白)＝＝.
方法二：所有等可能的结果，列表如下.
∴P(一黑一白)＝＝.
研习预测试题
1．D 2．B 3．A 4．C 5． 6． 7．＞
8．解：(1)∵P(小明胜)＝，P(妹妹胜)＝，
∴P(小明胜)≠P(妹妹胜)．
∴这个办法不公平．
(2)当x＞3时对小明有利，当x＜3时对妹妹有利，
当x＝3时是公平的．第27讲 尺规作图
考纲要求 命题趋势
1．能用尺规完成五种基本作图．2．会写已知、求作，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．3．能运用尺规的基本作图方法解决作图的简单应用问题. 中考对本部分内容的考查主要是利用尺规作图解决实际问题的能力，题型主要以设计、探究形式的解答题为主.
知识梳理
一、尺规作图
1．定义
只用没有刻度的__________和__________作图叫做尺规作图．
2．步骤
①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．
二、五种基本作图
1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．
三、基本作图的应用
1．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
2．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．
(2)作三角形的内切圆．
自主测试
1．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
2．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
3．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
(1)实验与操作
利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作△ABC的外接圆，圆心为O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；
③连接BD，交⊙O于点E，连接AE.
(2)综合运用
在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则
①AD与⊙O的位置关系是__________．
②线段AE的长为__________．
4．A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2,2)，点B的坐标是(7,3)．
(1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
(2)若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．
考点一、基本作图
【例1】按要求用尺规作图(只保留作图痕迹，不必写出作法)．
(1)在图(1)中作出∠ABC的平分线；
(2)在图(2)中作出△DEF的外接圆O.
解：如图．
方法总结 依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意一定保留好作图痕迹．
触类旁通1 画△ABC，使其两边为已知线段a，b，夹角为β.(要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法)
已知：
求作：
考点二、基本作图的实际应用
【例2】如图，要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB，BC都相切．请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
分析：∵圆与AB，BC都相切，∴圆心到AB，BC的距离相等．∴圆心应是∠ABC的角平分线与AC的交点．
解：下图即为所求图形．
方法总结 要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题．
触类旁通2 为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如下图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
1．(2012浙江绍兴)如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内切正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．2．连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：1．以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．2．连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断( )
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
2．(2012山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
3．(2012贵州铜仁)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
4．(2012山东德州)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不要求写出画法)
5．(2012广东)在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．
1．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：
(1)作∠A的角平分线交BC于D点．
(2)作AD的中垂线交AC于E点．
(3)连接DE.
根据他画的图形，判断下列关系何者正确？( )
A．DE⊥AC B．DE∥AB
C．CD＝DE D．CD＝BD
2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于__________．
3．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__________个．
4．如图，已知∠AOB，点M，N，求作点P，使点P在∠AOB的角平分线上，且PM＝PN.(保留作图痕迹，不写作法)
5．某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°.
(1)用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1(保留作图痕迹)；
(2)若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B ∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，
∴AC＝AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBC一定是菱形．故选B.
2．B 由图形作法可知，AD＝AB＝DC＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故选B.
3．解：(1)如图，
(2)①相切 ②
4．解：(1)存在满足条件的点C.
作出图形，如图所示．
(2)作点A关于x轴对称的点A′(2，－2)，连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P.设A′B所在直线的解析式为y＝kx＋b，把(2，－2)和(7,3)代入得解得
∴y＝x－4，当y＝0时，x＝4，
∴交点P为(4,0)．
探究考点方法
触类旁通1．解：已知：线段a，b，角β.
求作：△ABC，使边BC＝a，AC＝b，∠C＝β.
画图(保留作图痕迹)
触类旁通2．解：已知A村、B村、C村，求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．
品鉴经典考题
1．A 根据甲的思路，作出图形如下：
连接OB.∵BC垂直平分OD，
∴E为OD的中点，且OD⊥BC，
∴OE＝DE＝OD.
在Rt△OBE中，∵OB＝OD，
∴OE＝OB，
∴∠OBE＝30°.又∠OEB＝90°，∴∠BOE＝60°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
又∠BOE为△AOB的外角，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°.
同理∠C＝60°，∴∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，
∴△ABC为等边三角形，故甲的作法正确．
根据乙的思路，作图如下：
连接OB，BD.∵OD＝BD，OD＝OB，
∴OD＝BD＝OB，∴△BOD为等边三角形，
∴∠OBD＝∠BOD＝60°.
同理可知△COD也为等边三角形，∠OCD＝∠COD＝60°，
∴∠BOC＋∠OCD＝∠BOD＋∠COD＋∠OCD＝180°，
∴BO∥CD.
又∵△BOD和△COD是等边三角形，
∴四边形BDCO是菱形，
∴∠OBM＝∠DBM＝30°.
又OA＝OB，且∠BOD为△AOB的外角，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°，
同理∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，
∴△ABC为等边三角形，故乙的作法正确．故选A.
2．A 连接NC，MC.
在△ONC和△OMC中，
∴△ONC≌△OMC(SSS)，∴∠AOC＝∠BOC.故选A.
3．解：作图如图所示．
4．解：作图如图所示：
5．解：(1)作图如下：
(2)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BAC＝36°.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°.
研习预测试题
1．B 依据题意画出图形．
可得知∠1＝∠2，AE＝DE，∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，即DE∥AB.故选B.
2．
3．3
4．解：如图，连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，∠AOB的角平分线OC，EF与OC相交于点P.则点P即为所求．
5．解：如图所示，点C即为所求．
6．解：(1)作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，
作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，
如图所示即是所求．
(2)∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，tan∠AB1C1＝＝.
