第一章《集合与常用逻辑用语》
1．1 集合的概念
知识点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母 A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A.
2．不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A.
知识点三 常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或 N＋ Z Q R
知识点四 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点五 描述法
一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，
这种表示集合的方法称为描述法．
【题型目录】
题型一、集合的概念
命题点 1. 判断元素能否构成集合
命题点 2. 判断是否为同一集合
命题点 3. 根据集合相等关系进行计算
题型二、元素与集合
命题点 1. 判断元素与集合的关系
命题点 2. 根据元素与集合的关系求参数
命题点 3. 根据集合中元素的个数求参数
题型三、集合中元素的特性
命题点 1. 利用集合元素的互异性求参数
命题点 2. 利用集合中元素的性质求集合元素个数
命题点 3. 集合元素互异性的应用
题型四、集合的表示方法
命题 1. 描述法表示集合
命题 2. 列举法表示集合
命题 3. 列举法求集合中元素的个数
题型一、集合的概念
命题点 1. 判断元素能否构成集合
1．判断下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
①湖北省所有的好学校；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；
③n 的近似值；
④不大于 5 的自然数．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
命题点 2. 判断是否为同一集合
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M {(3,2)}， N {(2,3)} B．M (x, y) x y 1 ， N y x y 1
C．M {1,2}， N {(1,2)} D．M y | y x2 3 ， N x | y x 3
命题点 3. 根据集合相等关系进行计算
3．已知 a b
b
、 R，若 a, ,1
a a
2 ,a b,0 ，则a2020 b2021的值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 1或 0
题型二、元素与集合
命题点 1. 判断元素与集合的关系
1．用符号 或 填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____ N ，3.1____Q，3.1___R.
命题点 2. 根据元素与集合的关系求参数
2．若3 m 1,3m,m2 1 ，则实数m _______.
命题点 3. 根据集合中元素的个数求参数
3．（多选）已知集合 A x | ax2 3x 2 0 中有且只有一个元素，那么实数 a的取值可能是（ ）
9
A B 2． ．1 C．0 D．
8 3
题型三、集合中元素的特性
命题点 1. 利用集合元素的互异性求参数
1．若集合 A 2a,a2 a ，则下列说法中正确的是（ ）
A．a 可取全体实数
B．a 可取除去 0 以外的所有实数
C．a 可取除去 3 以外的所有实数
D．a 可取除去 0 和 3 以外的所有实数
命题点 2. 利用集合中元素的性质求集合元素个数
2．集合 A x Z y
12
∣ ，y Z 的元素个数为_________．
x 3
命题点 3. 集合元素互异性的应用
3 2．若 x R ，则 3, x, x 2x 中的元素 x 应满足什么条件？
题型四、集合的表示方法
命题 1. 描述法表示集合
1．用描述法表示下列集合：
(1)偶数组成的集合；
(2)正奇数组成的集合；
(3)不等式－x2≥0 的解集；
(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；
(5)集合 1,
1 , 1 , 1 , 1 .
2 3 4 5
命题 2. 列举法表示集合
2．用列举法表示下列集合
(1)11以内非负偶数的集合；
(2) x 1 x2方程 4 0的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数 y 2x与 y x 1的图象的交点组成的集合．
命题 3. 列举法求集合中元素的个数
3．已知集合 A 0,1, 2,3, 4 ，B x, y x A, y A, x y A, x y A ，求集合 B 中元素的个数．
1．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与 1 非常接近的全体实数
B．北附广南实验学校 2020～2021 学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．中国著名的数学家
2．（多选）下列各组中 M、P 表示不同集合的是（ ）
A．M {3, 1}，P { 1，3}
B．M {(3，1)}, P (1,3)
C M y y x2． 1, x R ，P t t 1
D．M y y x2 1, x R ，P {(x, y) | y x2 1, x R}
3．已知集合{1,a,a
b
b} {0， ,b}，则下列结论正确的是（ ）
a
A． a 0 B． a 1 C． a b 1 D． a 1，b 1
4．下列关系中，正确的是（ ）
1
A． 3 N B． Z C．0 0 1D． Q4 2
5．已知 A 是由 0，m，m2﹣3m+2 三个元素组成的集合，且 2∈A，则实数 m 为（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0，2，3 均可
6．已知集合 A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合 A 中至多只有一个元素，则 a 的取值范围是 _____．
7 2．已知集合 A 0,m,m 5m 6 ，且 2 A，则实数m 的值为___________.
8．已知集合 A 1, 2,3 ，B a b a A,b A ，则集合 B 中元素个数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
9．若以集合A 的四个元素 a,b,c,d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形
10．用描述法表示下列集合：
（1） 所有被 3 整除的整数组成的集合；
（2） 集合{1， 3， 5， 7， 9}；
（3） 方程 x2＋x＋1＝0 的所有实数解组成的集合；
（4） 抛物线 y＝－x2＋3x－6 上所有点组成的集合；
11．用列举法表示下列集合：
(1){x|x 是 14 的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
1 a
12．不包含－1， 0， 1 的实数集 A 满足条件：若 a A，则 A．如果 2 A，求 A 中的元素．
1 a
1．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
2 2．已知集合 A a 1,a 4a 9,2021 ，若 4 A，则实数 a的值为（ ）．
A． 5 B．1 C．5或 1 D． 5 或1
3．若 x x2 px q 0 1,3 ，则 p q 的值为（ ）
A． 3 B．3 C． 1 D．7
4．若整数集Z的子集S 满足条件：对任何 a，b S ，都有 a b S ，就称S 是封闭集．下列命题中错误的是 ( )
A．若S 是封闭集且 S {0}，则S 一定是无限集
B．对任意整数 a，b ， S {n | ax by, x, y Z}是封闭集
C．若S 是封闭集，则存在整数 k S ，使得S 中任何元素都是 k 的整数倍
D．存在非零整数 a，b 和封闭集S ，使得 a，b S ，但 a，b 的最大公约数 d S
x y z xyz
5．已知 x ， y ， z 为非零实数，代数式 M| x | | y | | z | | xyz | 的值所组成的集合是 ，则下列判断正确的是
（ ）
A． 4 M B． 2 M C．0 M D． 4 M
6．数集 1，2，x2 3 中的 x 不能取的数值的集合是（ ）
A． 2，5 B． 2，- 5 C． 2， 5 D． 2，- 5
7．以实数 x， x，x ，x2， 3 x3 为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
x y 1
8．方程组 x y 3的解集是（ ）
A． 2, 1 B． x 2, y 1)
C． (x, y) (2, 1) D． (2, 1)
9．已知集合 A 1, 2,3 ，则集合B x y∣x A, y A 中元素的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知N* 2 2 * *表示正整数集合，若集合 A x, y | x y 21, x N , y N ，则A 中元素的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
11．（多选）下列表示不是同一集合的是（ ）
A．M 3,2 ， N 2,3 B．M x, y 2x y 1 ， N y 2x y 1
C．M 1,2 ， N 2,1 D．M 2,4 ， N 2,4
12．（多选）设 M、N 是两个非空集合，定义 M N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若 P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，
则 P Q 中元素的个数不可能是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
13．已知集合 A 0,1,2 , B {x N | 2x A}，则B ______ .
b
14 2．含有三个实数的集合可表示为 a, ,1a ，也可以示为 a ,a b,0 ，则 a
2013 b2014 的值为____.
1 a
15．设非空数集M 同时满足条件：① M 中不含元素 1,0,1；②若 a M ，则 M ，则下列结论不正确的个数
1 a
是__________个.
（1）集合M 中至多有 2 个元素；
（2）集合M 中至少有 4 个元素；
（3）集合M 中有且仅有 4 个元素；
（4）集合M 中至多有 4 个元素.
16 3．若 a 1,3,a ，则实数 a 的取值集合为______．
17．用列举法表示集合：{(x, y) | x y 4, x N, y N}为________．
18．设关于 x 的不等式 ax 3 2x a 的解集为M ．
(1)求M ；
(2)若 1 M 且0 M ，求实数 a的取值范围．
19 2．已知集合 A x ax 3x 2 0, x R, a R .
(1)若 A 是空集，求 a的取值范围；
(2)若 A 中只有一个元素，求 a的值，并求集合 A；
(3)若 A 中至少有一个元素，求 a的取值范围.
20．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程 x2 x 2 0的解集；
(2)大于－1且小于 7 的所有整数组成的集合．
1
21．已知实数集 R 的子集 S 满足条件：①1 S ；②若 a S ，则 S ．求证：
1 a
(1)若 2 S ，则 S 中必有另外两个元素；
(2)集合 S 中不可能只有一个元素．第一章《集合与常用逻辑用语》
1．1 集合的概念
知识点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母 A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A.
2．不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A.
知识点三 常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或 N＋ Z Q R
知识点四 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点五 描述法
一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，
这种表示集合的方法称为描述法．
【题型目录】
题型一、集合的概念
命题点 1. 判断元素能否构成集合
命题点 2. 判断是否为同一集合
命题点 3. 根据集合相等关系进行计算
题型二、元素与集合
命题点 1. 判断元素与集合的关系
命题点 2. 根据元素与集合的关系求参数
命题点 3. 根据集合中元素的个数求参数
题型三、集合中元素的特性
命题点 1. 利用集合元素的互异性求参数
命题点 2. 利用集合中元素的性质求集合元素个数
命题点 3. 集合元素互异性的应用
题型四、集合的表示方法
命题 1. 描述法表示集合
命题 2. 列举法表示集合
命题 3. 列举法求集合中元素的个数
题型一、集合的概念
命题点 1. 判断元素能否构成集合
1．判断下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
①湖北省所有的好学校；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；
③n 的近似值；
④不大于 5 的自然数．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【详解】①“好学校”不具有确定性，因此①不能组成集合；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，满足集合的元素的特征，
因此能组成集合；
③n 的近似值不具有确定性，因此③不能组成集合；
④不大于 5 的自然数，满足集合的元素的特征，因此④能组成集合．
故选：C．
命题点 2. 判断是否为同一集合
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M {(3,2)}， N {(2,3)} B．M (x, y) x y 1 ， N y x y 1
C．M {1,2}， N {(1,2)} D．M y | y x2 3 ， N x | y x 3
【答案】D
【详解】对于 A，两个集合都为点集， (3, 2) 与 (2,3) 是不同点，故 M、N 为不同集合，故 A 错误；
对于 B，M 是点集，N 是数集，故 M、N 为不同集合，故 B 错误；
对于 C，M 是数集，N 是点集，故 M、N 为不同集合，故 C 错误；
对于 D，M y | y x2 3 [3, ) ， N x | y x 3 [3, )，故 M、N 为同一集合，故 D 正确.
故选：D.
命题点 3. 根据集合相等关系进行计算
b
3．已知 a、b R ，若 a, ,1
a a
2 ,a b,0 ，则a2020 b2021的值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 1或 0
【答案】C
【详解】由0
a, b ,1
b
a 且
a 0，则 0，
a
∴ b 0，于是 a2 1，解得 a 1或 a 1 ,
根据集合中元素的互异性可知 a 1应舍去，
因此 a 1，b 0 , 故 a2020 b2021 1 2020 02021 1．
故选：C.
题型二、元素与集合
命题点 1. 判断元素与集合的关系
1．用符号 或 填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____ N ，3.1____Q，3.1___R.
【答案】
【详解】因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，
所以有：3.1 N；3.1 Z；3.1 N*；3.1 Q；3.1 R .
故答案为： ， ， ， ， .
命题点 2. 根据元素与集合的关系求参数
2．若3 m 1,3m,m2 1 ，则实数m _______.
【答案】4 或 2
【详解】∵ 3 m 1,3m,m2 1 ，
∴ m 1 3，即m 4 ，此时3m 12,m2 1 15符合题意；
3m 3，即m 1，此时m 1 0,m2 1 0，不满足元素的互异性，故舍去；
m2 1 3，即m 2，经检验符合题意；
综上，m 4 或 2 .
故答案为：4 或 2 .
命题点 3. 根据集合中元素的个数求参数
3．（多选）已知集合 A x | ax2 3x 2 0 中有且只有一个元素，那么实数 a的取值可能是（ ）
9
A． B．1 C．0 D
2
．
8 3
【答案】AC
2
【详解】当 a 0时， A x | 3x 2 0 ，符合题意.
3
当 a 0时， 9 8a 0,a
9
，符合题意.
8
故选：AC
题型三、集合中元素的特性
命题点 1. 利用集合元素的互异性求参数
1．若集合 A 2a,a2 a ，则下列说法中正确的是（ ）
A．a 可取全体实数
B．a 可取除去 0 以外的所有实数
C．a 可取除去 3 以外的所有实数
D．a 可取除去 0 和 3 以外的所有实数
【答案】D
【详解】由集合中元素的互异性可知 2a a2 a ，即3a a2 ，故 a 0， a 3，因此 a 可取除去 0 和 3 以外的所有
实数．
故选：D.
命题点 2. 利用集合中元素的性质求集合元素个数
12
2．集合 A x Z∣y ，y Z 的元素个数为_________．
x 3
【答案】12
12
【详解】由 A x Z∣y
，y Z 可知， x 3 是 12 的因数，故 x 3 1, 2, 3, 4, 6, 12 ，进而可得 x 可
x 3
取0,1,3,9, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 15，
故答案为：12
命题点 3. 集合元素互异性的应用
3．若 x R ，则 3, x, x2 2x 中的元素 x 应满足什么条件？
【答案】 x 3且 x 1且 x 0
【详解】根据集合中元素的互异性可得：
x 3
2
x 2x 3 ，解得 x 3且 x 1且 x 0，
x
2 2x x
所以 x 应满足 x 3且 x 1且 x 0 .
题型四、集合的表示方法
命题 1. 描述法表示集合
1．用描述法表示下列集合：
(1)偶数组成的集合；
(2)正奇数组成的集合；
(3)不等式－x2≥0 的解集；
(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；
(5)集合 1,
1 , 1 , 1 , 1 .
2 3 4 5
【答案】(1){x|x＝2n, n∈Z}或{x|x 为偶数}
(2){x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x 为正奇数}
(3){x|－x2≥0}
(4){(x, y)|x>0,y<0}
1
(5) * x | x ,n N 且 n 5
n
【详解】(1)由偶数可以表示成整数的两倍，
故偶数组成的集合可表示为{x|x＝2n, n∈Z}或{x|x 为偶数}
(2)由奇数可以表示成整数的两倍加 1，
故正奇数组成的集合可表示为{x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x 为正奇数}
(3)不等式－x2≥0 的解集可表示为{x|－x2≥0}
(4)由第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负
故平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合可表示为：{(x, y)|x>0,y<0}
1 1 1 1 1
(5) *集合 1, , , , 可用描述法表示为 x | x ,n N 且 n 5
2 3 4 5 n
命题 2. 列举法表示集合
2．用列举法表示下列集合
(1)11以内非负偶数的集合；
(2)方程 x 1 x2 4 0的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数 y 2x与 y x 1的图象的交点组成的集合．
【答案】(1) 0,2，4，6，8，10 ；(2) 2， 1，2 ；(3) 1，2
【详解】(1)11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10 ，所以构成的集合为 0,2,4,6,8,10 ，
(2) x 1 x2 4 0的根为 x1 1, x2 2, x3 2 ，所以所有实数根组成的集合为 2, 1, 2 ，
x 1
(3)联立 y x 1
和 y 2x，解得 y 2 ，所以两个函数图象的交点为 (1, 2) ，构成的集合为 1, 2 ．
命题 3. 列举法求集合中元素的个数
3．已知集合 A 0,1, 2,3, 4 ，B x, y x A, y A, x y A, x y A ，求集合 B 中元素的个数．
【答案】9
【详解】 A 0,1,2,3,4 ， x A, y A, x y A, x y A，
B {(0,0), (1,1), (2, 2)(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (4,0)}，共 9 个元素.
1．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与 1 非常接近的全体实数
B．北附广南实验学校 2020～2021 学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．中国著名的数学家
【答案】B
【详解】对于选项 A：其中元素不具有确定性，故选项 A 错误；
对于选项 B：对于任何一个学生可以判断其是否属于
{北附广南实验学校 2020～2021 学年度笫二学期高一学生}，故选项 B 正确；
对于选项 C：其中元素不具有确定性，故选项 C 错误；
对于选项 D：其中元素不具有确定性，故选项 D 错误.
故选：B．
2．（多选）下列各组中 M、P 表示不同集合的是（ ）
A．M {3, 1}，P { 1，3}
B．M {(3，1)}, P (1,3)
C 2．M y y x 1, x R ，P t t 1
D．M y y x2 1, x R ，P {(x, y) | y x2 1, x R}
【答案】BD
【详解】选项 A 中，根据集合的无序性可知M P；
选项 B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故 M≠P；
选项 C 中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}= 1, ，P t t 1 = 1, ，故 M=P；
选项 D 中，M 是二次函数 y＝x2－1，x∈R 的所有 y 组成的集合，而集合 P 是二次函数 y＝x2－1，x∈R
图象上所有点组成的集合，故M P．
故选：BD．
3．已知集合{1,a,a b} {0
b
， ,b}，则下列结论正确的是（ ）
a
A． a 0 B． a 1 C． a b 1 D． a 1，b 1
【答案】D
b
【详解】对于 A：由 0, ,b 是集合，所以 a 0，∴选项 A 错误；
a
对于 B：当 a 1时，{1, a, a b} {1,1,1 b}，与集合中元素的互异性相矛盾，∴选项 B 错误；
对于 C：当 a b 1时，{1,a,a b} {1, 1, 2} ， 0,
b ,b {0,1, 1}，不合题意，∴选项 C 错误；
a
对于 D：当 a 1，b 1时，{1,a,a b} {1, 1,0} 0,
b
,b ，符合题意，∴选项 D 正确.
a
故选：D.
4．下列关系中，正确的是（ ）
1 Z 0 0 1A． 3 N B． C． D． Q4 2
【答案】C
1 1
【详解】根据常见的数集，元素与集合的关系可知， 3 N， Z， Q不正确，4 2
故选：C
5．已知 A 是由 0，m，m2﹣3m+2 三个元素组成的集合，且 2∈A，则实数 m 为（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0，2，3 均可
【答案】B
【详解】∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
当 m＝2 时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；
当 m2﹣3m+2＝2 时，m＝0 或 m＝3，但 m＝0 不合题意，舍去．
综上可知，m＝3．
故选：B．
6．已知集合 A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合 A 中至多只有一个元素，则 a 的取值范围是 _____．
9
【答案】{0}∪[ ，+∞）．
4
1
【详解】当 a＝0 时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得 x 3 ，故成立；
9
当 a≠0 时，Δ＝9﹣4a≤0，解得 a≥ ；
4
9
综上所述，a 的取值范围是{0}∪[ ，+∞）．
4
9
故答案为：{0}∪[ ，+∞）．
4
7 2．已知集合 A 0,m,m 5m 6 ，且 2 A，则实数m 的值为___________.
【答案】1或 4
【详解】因为 A 0,m,m2 5m 6 ， 2 A，
所以m 2 或m2 5m 6 2，
当m 2 时， A 0,2,0 不满足元素互异性，所以m 2 不符合题意，
当m2 5m 6 2时，m 1或m 4 ，
当m 1时， A 0,1,2 符合题意，当m 4 时， A 0,4,2 符合题意，
所以实数m 的值为1或 4，
故答案为：1或 4 .
8．已知集合 A 1, 2,3 ，B a b a A,b A ，则集合 B 中元素个数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【详解】集合 A 1,2,3 ，B a b a A,b A ，
则当 a b时，有 a b 0，当 a b时， a b 1或a b 2，当 a b 时， a b 1或 a b 2，
所以B { 2, 1,0,1,2}，集合 B 有中 5 个元素.
故选：A
9．若以集合A 的四个元素 a,b,c,d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形
【答案】C
【详解】由题意，集合A 的四个元素 a,b,c,d 为边长构成一个四边形，
根据集合中元素的互异性，可得 a,b,c,d 四个元素互不相等，
以四个元素 a,b,c,d 为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.
故选：C.
10．用描述法表示下列集合：
（1） 所有被 3 整除的整数组成的集合；
（2） 集合{1， 3， 5， 7， 9}；
（3） 方程 x2＋x＋1＝0 的所有实数解组成的集合；
（4） 抛物线 y＝－x2＋3x－6 上所有点组成的集合；
【详解】（1） {x|x＝3k， k∈Z}．
（2） {x|x＝2n＋1， 0≤n≤4 且 n∈N}．
（3） {x|x2＋x＋1＝0， x∈R}．
（4） {(x， y)|y＝－x2＋3x－6}．
11．用列举法表示下列集合：
(1){x|x 是 14 的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
8 2
【答案】(1){1, 2, 7, 14}；(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}；(3) ( , ) ；(4){－1, 1}；(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)}
3 3
【详解】(1){x|x 是 14 的正约数}={1, 2, 7, 14}.
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
(8 , 2(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}= )
3 3
.
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}={－1, 1}.
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.
1 a
12．不包含－1， 0， 1 的实数集 A 满足条件：若 a A，则 A．如果 2 A，求 A 中的元素．
1 a
1
【答案】集合 A 中的元素为 2， －3 1， － 2 ， ．3
1 2
【详解】因为 2 A，所以 3 A．
1 2
1 3 1
因为 3 A，所以 A．
1 3 2
1 11 1
因为 A，所以 2 A．
2 1 1 3
2
1
1 1
因为 A 3，所以 1 2 A．3 1
3
1 1
开始循环，综上，集合 A 中的元素为 2， 3， ， ．
2 3
1．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】B
【详解】选项 A，C 不满足集合的确定性；集合 B 正方形是确定的，故能构成集合；选项 D 不满足集合的互异
性．
故选：B．
2．已知集合 A a 1,a2 4a 9,2021 ，若 4 A，则实数 a的值为（ ）．
A． 5 B．1 C．5或 1 D． 5 或1
【答案】B
【详解】 A a 1,a2 4a 9,2021 ，且 4 A， 4=a 1或 4=a2 4a 9
⑴、当 4=a2 4a 9即 a= 5或 a=1，
①、当 a= 5时， a 1= 4， a2 4a 9= 4，此时 A 4, 4,2021 ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
②、当 a=1时， a 1=2， a2 4a 9= 4，此时 A 2, 4,2021 ，符合题意；
⑵、当 a 1= 4即 a= 5时，此时 A 4, 4,2021 ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
综上所述：实数 a的值为 1.
故选：B
3．若 x x2 px q 0 1,3 ，则 p q 的值为（ ）
A． 3 B．3 C． 1 D．7
【答案】C
1+3 p p 4【详解】因为 x x2 px q 0 1,3 ，所以 1 3 q ，解得 q 3 ，所以 p q 1 .
故选：C.
4．若整数集Z的子集S 满足条件：对任何 a，b S ，都有 a b S ，就称S 是封闭集．下列命题中错误的是 ( )
A．若S 是封闭集且 S {0}，则S 一定是无限集
B．对任意整数 a，b ， S {n | ax by, x, y Z}是封闭集
C．若S 是封闭集，则存在整数 k S ，使得S 中任何元素都是 k 的整数倍
D．存在非零整数 a，b 和封闭集S ，使得 a，b S ，但 a，b 的最大公约数 d S
【答案】D
【详解】由封闭集定义可得0 S ，
若非零整数 k S ，则 0 k 即 k S ，
进一步得 k ( k) 2k S 和 k k 2k S ，
从而 3k ， 4k ， 5k ， 都在S 中，可知 A 正确，
对于 B，由 ax1 by1 S ， ax2 by2 S ，可得 (ax1 by1) (ax2 by2 ) a(x1 x2 ) b(y1 y2 ) S ，可知 B 正确，
对于 D，设 a md 、b nd ，m 与 n为互质的整数，显然 x，y Z，d ax by，由 B 知 d S ，故 D 错误，C 正确；
故选：D
x y z xyz
5．已知 x ， y ， z 为非零实数，代数式 | x | | y | | z | | xyz | 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是
（ ）
A． 4 M B． 2 M C．0 M D． 4 M
【答案】A
【详解】根据题意，分 4 种情况讨论；
①、 x、y、z全部为负数时，则 xyz
x y z xyz
也为负数，则 4| x | | y | | z | | xyz | ；
②、 x、y、z
x y z xyz
中有一个为负数时，则 xyz 为负数，则 0| x | | y | | z | | xyz | ；
x y z xyz
③、 x、y、z中有两个为负数时，则 xyz 为正数，则 0| x | | y | | z | | xyz | ；
④、 x、y、z全部为正数时，则 xyz
x y z xyz
也正数，则 4| x | | y | | z | | xyz | ；
则M {4,0, 4}；分析选项可得A 符合．
故选：A.
6．数集 1，2，x2 3 中的 x 不能取的数值的集合是（ ）
A． 2，5 B． 2，- 5 C． 2， 5 D． 2，- 5
【答案】C
【详解】由 x2 3 1解得 x 2 ；由 x2 3 2解得 x 5 ．
∴x 不能取的值的集合为 2， 5 ．
故选：C．
7．以实数 x， x，x ，x2， 3 x3 为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】当 x 0时， x | x | x2 0, 3 x3 x 0，此时集合中共有 2 个元素；
当 x 0时， x x | x | x2 3 x3 0，此时集合中共有 1 个元素；
当 x 0 时， x | x | x2 3 x3 0， x 0 ，此时集合中共有 2 个元素；
综上所述，以实数 x， x，x ，x2， 3 x3 为元素所组成的集合最多含有 2 个元素.
故选：C.
x y 1
8．方程组 的解集是（ ）
x y 3
A． 2, 1 B． x 2, y 1)
C． (x, y) (2, 1) D． (2, 1)
【答案】D
x y 1 x 2
【详解】由 得 (2, 1)
x y 3 y
，即方程组构成的集合为 . 故选：D．
1
9．已知集合 A 1, 2,3 ，则集合B x y∣x A, y A 中元素的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】当 x, y取相同数时， x y 0；当 x, y取不同数时， x y 的取值可能为 1 或 2,
故 B 中共有 3 个元素.
故选:B .
10．已知N*表示正整数集合，若集合 A x, y | x2 y2 21, x N*, y N* ，则A 中元素的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【详解】由题设 A {(x, y) | 0 x2 y2 21, x N*, y N*}，又 21 (4,5)，
由 42 42 32 21 ，则 (4, 4) A，
由 42 32 25 21，则 (4,3), (3, 4) A，
由 42 22 20 21，则 (4, 2), (2, 4) A，
同理， (4,1), (1, 4), (3,3), (3, 2), (2,3), (3,1), (1,3), (2, 2), (2,1), (2,1), (1,1) 均属于集合 A，
所以第一象限中有 13 个点属于集合 A.
故选：D
11．（多选）下列表示不是同一集合的是（ ）
A．M 3,2 ， N 2,3 B．M x, y 2x y 1 ， N y 2x y 1
C．M 1,2 ， N 2,1 D．M 2,4 ， N 2,4
【答案】ABD
【详解】A 选项：M 3,2 ， N 2,3 分别表示两个点集，不是同一个点，表示不是同一集合；
B 选项：M x, y 2x y 1 表示直线 2x y 1上的点的坐标， N y 2x y 1 表示直线 2x y 1上的点的纵
坐标，表示不是同一集合；
C 选项：M 1,2 ， N 2,1 两个集合相同；
D 选项：M 2,4 是数集， N 2,4 是有序数对 2,4 构成的集合，表示不是同一集合.
故选：ABD
12．（多选）设 M、N 是两个非空集合，定义 M N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若 P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，
则 P Q 中元素的个数不可能是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】BCD
【详解】因为 P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，
所以 a 有 3 种选法，b 有 3 种取法，
可得 P Q 中元素为 (0, 1), (0,1), (0, 2), (1, 1), (1,1), (1, 2), (2, 1), (2,1), (2, 2) .
所以 P Q 中元素的个数是 9（个）．
故选：BCD．
13．已知集合 A 0,1,2 , B {x N | 2x A}，则B ______ .
【答案】 0,2
【详解】若 2x 0 x 0 N ，符合题意；若 2x 1 x
1
N ，不符合题意；若
2 2x 2 x 2 N
，符合
题意.
故答案为： 0,2 .
14 ．含有三个实数的集合可表示为 a,
b ,1
a ，也可以示为 a
2 ,a b,0 ，则 a2013 b2014 的值为____.
【答案】 1
【详解】由题意，若 a a2，则 a 0或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以 a a b，则b 0，
所以 a2 1，则 a 1，
故 a2013 b2014 1.
故答案为： 1 .
1 a
15．设非空数集M 同时满足条件：① M 中不含元素 1,0,1；②若 a M ，则 M ，则下列结论不正确的个数
1 a
是__________个.
（1）集合M 中至多有 2 个元素；
（2）集合M 中至少有 4 个元素；
（3）集合M 中有且仅有 4 个元素；
（4）集合M 中至多有 4 个元素.
【答案】3
1 1 a1 a 1 1
1
a 1
【详解】因为若 a M ，则 M 1 a M a，所以 ， M ，
1 a 1 1 a a 1 1 a 1
1 a a
1 a 1
a 1 2a
则 a a M1 1
；
2
a 1
当 a 1,0,1
1 a 1 a 1
时，4 个元素 a, , , 中，任意两个元素都不相等，
1 a a a 1
所以集合 M 中至少有 4 个元素．
故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，
故答案为：3.
16．若 a 1,3,a3 ，则实数 a 的取值集合为______．
【答案】 0,1,3
【详解】因为 a 1,3,a3 ，故 a 1或 a 3或 a a3，
当 a 1时，a3 1，与元素的互异性矛盾，舍；
当 a 3时， a3 27，符合；
当 a a3时， a 0或 a 1，根据元素的互异性， a 0,1符合，
故 a 的取值集合为 0,1,3 .
故答案为： 0,1,3
17．用列举法表示集合：{(x, y) | x y 4, x N, y N}为________．
【答案】 0，4 ， 1，3 ， 2，2 ， 3，1 ， 4，0
【详解】由题知： x，y | x y 4，x N，y N = 0，4 ， 1，3 ， 2，2 ， 3，1 ， 4，0
故答案为： 0，4 ， 1，3 ， 2，2 ， 3，1 ， 4，0 .
18．设关于 x 的不等式 ax 3 2x a 的解集为M ．
(1)求M ；
(2)若 1 M 且0 M ，求实数 a的取值范围．
1
【答案】(1)答案见解析；(2) a 3, 2
【详解】(1) ax 3 2x a ，即 (a 2)x
a 3
a 3， a 2时，M ； a 2时，M x x
；
a 2
a 2 M x x
a 3
时， .
a 2
(2)由题意， 1 M a ( 1) 3 2 ( 1) a
1
，即 a ；
2
0 M
1
a 0 3 2 0 a ，即 a 3，故 a 3, . 2
19 2．已知集合 A x ax 3x 2 0, x R, a R .
(1)若 A 是空集，求 a的取值范围；
(2)若 A 中只有一个元素，求 a的值，并求集合 A；
(3)若 A 中至少有一个元素，求 a的取值范围.
9
【答案】(1) ,
；(2)当 a 0时集合 A
2 9 4 9
，当 a A
8 时集合 ；(3)
,
3 8
3 8
【详解】(1) A是空集，
a 0 且 ，
9 8a 0
9 a 0 ，解得
a ，
8
a 9 的取值范围为： ,
8
；
(2)①当 a 0时，集合 A {x | 3x 2
2
0} ，
3
②当 a 0时， 0，
4
9 8a 0，解得 a
9
，此时集合 A
3 ，8
2 9 4
综上所求，当 a 0时集合 A 3 ，当
a 时集合 A ；
8
3
9
(3) A 中至少有一个元素，则当A 中只有一个元素时， a 0或 a ；
8
9 8a 0 9
当A 中有 2 个元素时，则 a 0且 0，即 a 0 ，解得
a 且 a 0；
8
9 9
综上可得 a 时A 中至少有一个元素，即 a ,8 8
20．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程 x2 x 2 0的解集；
(2)大于－1且小于 7 的所有整数组成的集合．
(1) 1，2 x R x2【答案】 ； x 2 0 ；(2) 0，1，2，3，4，5，6 ； x Z 1 x 7
【详解】(1)方程 x2 x 2 0的根可以用 x 表示，它满足的条件是 x2 x 2 0，
2
因此，用描述法表示为 x R x x 2 0 ；
又方程 x2 x 2 0的根是 1，2，
因此，用列举法表示为 1，2 ．
(2)大于－1且小于 7 的整数可以用 x 表示，它满足的条件是 x Z且 1 x 7，
因此，用描述法表示为 x Z 1 x 7 ；
大于 1且小于 7 的整数有0,1,2,3,4,5,6 ，
因此，用列举法表示为 0,1,2,3,4,5,6
1
21．已知实数集 R 的子集 S 满足条件：①1 S ；②若 a S ，则 S ．求证：
1 a
(1)若 2 S ，则 S 中必有另外两个元素；
(2)集合 S 中不可能只有一个元素．
1 1 1 1 2 S
【详解】(1)∵ 2 S ，∴ 1 S ，同理： S1 1 2 ，1 1 ，1 2 2
1
∴S 中还有-1， 两个元素.
2
1
(2)不妨设 S 为单元素集，则 a ，整理得 2
1 a a a 1 0
，解得 a ，
∴S 不可能为单个元素集合.
