4.5.3 函数模型的应用
知识点一 几类已知函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b 为常数且 k≠0)
x
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
【题型目录】
题型一、指数型函数模型
题型二、对数型函数模型
题型三、建立拟合函数模型解决实际问题
题型一、指数型函数模型
1．碳 14 的半衰期为 5730 年.在考古中，利用碳 14 的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳 14 含量 y
x
x 1 5730与死亡年数 的函数关系式是 y A （其中 A0 为生物体死亡时体内碳 14 含量）. 考古学家在对考古活动时0
2
挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳 14 的含量是原来的 80%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，
该生物体在地下大约已经过了（参考数据： lg 2 0.301）（ ）
A．1847 年 B．2022 年 C．2895 年 D．3010 年
2．某种病毒的繁殖速度快 存活时间长.已知 a 个这种病毒在 t 天后将达到 ae t 个，且经过 4 天后病毒的数量会达到
原来的 2 倍.若再过 t 天后病毒的数量达到原来的 8 倍，则 t （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量 y （单位：mg）随
时间 x （单位： h）的变化如图所示，在药物释放过程中， y 与 x 成正比；药物释放完毕后， y 与 x 的函数关系式为
1 x ay 8
(a为常数），则（ ）
A．当0 x 0.2时， y 4x
1 x 0.1B ．当 x 0.2时， y 8
23
C． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25mg以下
30
13
D． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25mg以下
15
4．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用 85℃的水泡制，再等
到茶水温度降至 60℃时饮用，可以产生最佳口感．经过研究发现，在 25℃室温下，设茶水温度从 85℃开始，经过 x
分钟后的温度为 y℃，则满足 y ka x 25（ k R ， 0 a 1， x 0 ）．
(1)求实数 k 的值；
(2)经过测试知 a 0.9227，求在 25℃室温下，刚泡好的 85℃的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮用口感
（结果精确到 1 分钟）．（参考数据： lg 7 0.8451， lg12 1.0792， lg 0.9227 0.0349）
题型二、对数型函数模型
5．据统计，第 x 年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量 y（只）近似满足 y a log3(x 2) .观测发现第 1 年有越冬
白鹤 3000 只，估计第 7 年有越冬白鹤（ ）
A．4000 只 B．5000 只 C．6000 只 D．7000 只
6．北京时间 2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号 F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星
发射中心按照预定时间精准点火发射，约 582 秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将
翟志刚 王亚平 叶光富 3 名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大
速度 v（单位：m/s）和燃料的质量 M（单位： kg） 火箭的质量（除燃料外）m（单位： kg）的关系是
v 3000ln M m .为使火箭的最大速度达到 8100 m/s，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据 e2.7m 14. 9）
（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
7．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的环保理念，大力展开植树造林．假设一片森林原来的面积为 a亩，计划每
年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的 2 倍时，所用时间是 10 年．为使森林面积至少达
到6a亩，至少需要植树造林______年（精确到整数）．（参考数据： lg 2 0.3010， lg3 0.4771）
8．声音通过空气的震动所产生的压强叫声压强，简称声压，单位为帕斯卡（Pa），把声压的有效值取对数来表示声
P
音的强弱，这种表示声音强弱的叫做声压级，若声压级用 S 表示，单位为分贝（dB）.若 S 20lg t （其中声压的
k
有效值表示为Pt , k 2 10
5 Pa ），根据以上材料，回答下列问题：
（1）若两人小声交谈时声压的有效值Pt 0.0002Pa，求其声压级；
（2）已知我市某个学校高一学生在学校礼堂开展辩论会，如果测得声级为 100dB．求该学校礼堂此时声压的有效
值.
题型三、建立拟合函数模型解决实际问题
9．面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，
向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是（ ）
A． y ax b B． y ax2 bx c
C． y a x D． y loga x
10．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这
些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
1
A.y＝2x－2 B．y＝ (x2－1)
2
C．y＝log2x D．y＝2x
11．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在
一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 y （单位：百万个）与培养时间 x （单位：小时）的关系为：
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第 2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
① y a log2 x b，② y a x 3 b ，③ y 2x a b ．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用 4,4 和 8,4.5 这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第 2小时开始，至少再经过多少个小
时，细菌数量达到5百万个．
1．为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为 N0 ，平均每个病人可传
染给K 个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为 L天，在 L天之内，病例数目的增长随时间 t （单位：
t
天）的关系式为 N (t) N0 (1 K ) ．若 N0 1，则利用此模型预测第 6 天的病例数大约为 1545．由此可知K 的值约
为（参考数据：3.396 1517.7，3.406 1544.8，3.416 1572）（ ）
A．3.41 B．3.40 C．2.41 D．2.40
2．第 19 届亚洲运动会将于 2022 年 9 月 10 日至 2022 年 9 月 25 日在浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄
龙体育中心将承办足球、体操、水球等项目．为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系
mg kt
统．已知过滤过程中废水污染物数量 N 与时间 t 的关系为 N N0e （N0为最初污染物数量）．如果前 4 小时 L
消除了 20%的污染物，那么污染物消除至最初的 64%还需要（ ）
A．3.6 小时 B．3.8 小时 C．4 小时 D．4.2 小时
3．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越千山万水来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为
函数 v
1
log x3 lg x0（单位： km/min ），其中 x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数 x0 表示测量过程中候鸟每2 100
分钟的耗氧偏差．若雄鸟的飞行速度为1.3km/min ，雌鸟的飞行速度为0.8km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌
鸟每分钟耗氧量的（ ）
A．2 倍 B．3 倍 C．4 倍 D．5 倍
4．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在
一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 y （单位：百万个）与培养时间 x （单位：时）的关系如下表，
为了描述从第 2 小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四种模型供选择，则最符合实际的函数模型为
（ ）
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
A． y a log2 x b B． y a x 3 b
C． y 2x a b D． y x2 4x a
5．某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火
箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在 1903 年齐奥尔科夫
斯基就推导出火箭的最大理想速度公式： v ln
m0
m ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中
为喷流相对火箭的速度，
k
m
m0 和m
0
k 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量， m 被称为火箭的质量比．k
(1)某火箭的初始质量为 160 吨，喷流相对火箭的速度为 2 千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为 40 吨，求该火箭的
最大理想速度（保留 2 位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过 10．如果喷流相对火箭的速度为 2 千米/秒，请判断该火箭的最
大理想速度能否超过第一宇宙速度 7.9 千米/秒，并说明理由．
（参考数据： ln 2 0.69 ）
6．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自 2021 年元旦开始
测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自 2021 年元旦起，该水
生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为 km2 ，二月底测得该水生植物的面积为
24 m2 ，三月底测得该水生植物的面积为 40 m2 ，该水生植物的面积 y（单位：m2 ）与时间 x（单位月）的关系有两
x 1
个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的 y ka k 0,a 1 ，另一个是同学乙提出的 y px3 k p 0,k 0 ，
记 2021 年元旦最初测量时间 x 的值为 0.
(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的 10 倍以上？（参考数据：
lg 2 0.3010， lg3 0.4771）
1．已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系 y ekx b （ y 为保鲜时间， x 为储存温度），若该食品在
冰箱中0 C的保鲜时间是 144 小时，在常温 20 C的保鲜时间是 48 小时，则该食品在高温 40 C的保鲜时间是（ ）
A．16 小时 B．18 小时 C．20 小时 D．24 小时
2．在 rt型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型 I t e 描述累计感染病例数 I t 随时间 t （单位：天）的变化
规律.指数增长率 r 与R0 、T 近似满足R0 1 rT ，其中R0 为病毒基本再生数，T 为两代间传染所需的平均时间，有
学者基于已有数据估计出R0 3.22，T 10 .据此，在 型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至 I 0 的 4 倍，
至少需要（ ）（参考数据： ln2 0.69）
A．6 天 B．7 天 C．8 天 D．9 天
3 kt．李明开发的小程序在发布时已有600 名初始用户，经过 t 天后，用户人数 A t A 0 e ，其中 k 为常数．已知小
程序发布经过10天后有 2400名用户，则用户超过60000 名至少经过的天数为（本题取 lg 2 0.30）（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P（单位：mg / L）与时间 t（单位：h）间的关
kt
系为P P0e ，其中P0 ，k 是正的常数．如果在前10h 污染物减少19% ，那么再过5h 后污染物还剩余（ ）
A． 40.5% B．54% C．65.6% D．72.9%
5．火箭在发射时会产生巨大的噪音，假设所有声音的声强级 d x （单位：dB）与声强 x （单位：W / m2 ）满足
d (x) 10lg x 12 ，若火箭发射时的声强级约为140dB，人交谈时的声强级约为50dB，则火箭发射时的声强与人交10
谈时的声强的比值约为（ ）
A．109 B．1010 C．1011 D．1012
6．某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度 y（单位：
1
度）与昼夜温差 x（单位：℃，5 x 35）近似满足函数模型 y ln x 3 10．当温差为 30℃时，成熟后甜
ln 2
瓜的甜度约为（参考数据： log2 3 1.585）（ ）
A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1
1 Q
7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为 v log ，
2 3 100
其中Q表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（ ）
A．2600 B．2700 C．26 D．27
8．在一次数学实验中，小军同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 4 2 0 2 4 6
y 1.01 1.11 1.99 10.03 81.96 729.36
在以下四个函数模型中， a，b 为常数，最能反映 x ， y 间函数关系的可能是（ ）
A． y ax b B． y a x
b
b C． y ax2 b D． y a
x 1
9．（多选）如图，某池塘里浮萍的面积 y （单位：m2 ）与时间 t （单位：月）的关系为 y at ，关于下列说法正确
的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为 2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第 4 个月时，浮萍面积超过80m2
D．若浮萍蔓延到 2m2、4m2、8m2 所经过的时间分别是 t1、t2、t3 ，则 2t2 t1 t3
10．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共
鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m 与参考声强m0 （m0 约
m
为10 12 ，单位：W / m2 ）之比的常用对数称作声强的声强级，记作 L（单位：贝尔），即 L lg m ，取贝尔的 10 倍0
作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度 y （单位：分贝）与喷出的泉水高度 x dm满足关系
式 y 2x，现知A 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50 dm，若A 同学大喝一声的声强大约相当于 10 个 B 同学同
时大喝一声的声强，则 B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm．
11．2021 年 8 月 30 日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于 5G 的持续创新和演进、信
S
息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式C W log2 1 是被广泛公
N
认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 C 取决于信道带宽 W
S
、信道内信号的平均功率 S，信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 叫作信噪比．若不改变信道带宽 W，而将
N
S
信噪比 从 11 提升至 499，则最大信息传递速率 C 大约会提升到原来的______倍（结果保留 1 位小数）．（参考数
N
据： log2 3 1.58， log2 5 2.32）
1
12．进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数 v log ，
2 2 100
单位是m/s， 是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条湟鱼的耗氧量是 500 个单位时，求它的游速是多少？ (lg 2 0.3)
(2)某条湟鱼想把游速提高1m/s，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
13．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)
Q
与其耗氧量 Q 之间的关系为： v a b log3 (其中 a，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 3010
个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 10 m/s.
（1）求出 a，b 的值；
（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 20 m/s，求其耗氧量至少要多少个单位？
14．某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有 400m2的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天 4m2
的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积 4m2，每人每天所消耗的维
修材料费 25 元，劳务费 75 元，另外给每人发放 100 元的服装补贴，每渗水1m2 的损失为 75 元．现在共派去 x 名工
人，抢修完成共用 n 天．
(1)写出 n 关于 x 的函数关系式；
(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．
15．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，
在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从 4 月 1 日起，芦荟
的种植成本 Q(单位：元/10 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据情况如表：
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋
bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并说明理由；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．4.5.3 函数模型的应用
知识点一 几类已知函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b 为常数且 k≠0)
x
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
【题型目录】
题型一、指数型函数模型
题型二、对数型函数模型
题型三、建立拟合函数模型解决实际问题
题型一、指数型函数模型
1．碳 14 的半衰期为 5730 年.在考古中，利用碳 14 的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳 14 含量 y
x
x 1 5730与死亡年数 的函数关系式是 y A （其中 A0 为生物体死亡时体内碳 14 含量）. 考古学家在对考古活动时0
2
挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳 14 的含量是原来的 80%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，
该生物体在地下大约已经过了（参考数据： lg 2 0.301）（ ）
A．1847 年 B．2022 年 C．2895 年 D．3010 年
【答案】A
x
1 5730【分析】根据题意列方程 A 0.8A ，运用对数运算求近似解即可.0 0
2
x
5730 x 1 8
【详解】由题意知 A 1 0 0.8A ，所以 lg lg ，
2 0 5730 2 10
所以 x 5730
1 3lg 2
x 5730 1 0.903 1847
lg 2 ，所以 .0.301
故选：A.
2．某种病毒的繁殖速度快 存活时间长.已知 a 个这种病毒在 t 天后将达到 ae t 个，且经过 4 天后病毒的数量会达到
原来的 2 倍.若再过 t 天后病毒的数量达到原来的 8 倍，则 t （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据题意解指数方程可得参数 的值，通过函数值为原来的 8 倍解出 t ，即可得结果.
【详解】由题意得 ae4 2a ，
t ln 2
∴
ln 2
，即
4 f t ae
4 .
t ln 2
设经过 t 天后，病毒的数量达到原来的 8 倍，则有 ae 4 8a，解得 t 12 .
所以再过12 4 8天，病毒的数量达到原来的 8 倍.
故选：B.
3．为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量 y （单位：mg）随
时间 x （单位： h）的变化如图所示，在药物释放过程中， y 与 x 成正比；药物释放完毕后， y 与 x 的函数关系式为
1 x ay (a为常数），则（8 ）
A．当0 x 0.2时， y 4x
B x 0.2 y 1
x 0.1
．当 时， 8
23
C． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25mg以下
30
13
D． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25mg以下
15
【答案】D
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．
【详解】当0 x 0.2时，设 y kx ，则1 0.2k ，故 k 5，即 y 5x，故A 错误；
x a 0.2 a x 0.2
当 x 0.2时，把 (0.2,1) 1 1 1 代入 y 可得： 1， a 0.2，即 y ，故 B 错误；
8 8 8
1
x 0.2 3x 0.6 2
0.25 1 1
13
令 ，即8
2
， 3x 0.6 2，解得 x ，故 C 错误，D 正确．
2 15
故选：D．
4．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用 85℃的水泡制，再等
到茶水温度降至 60℃时饮用，可以产生最佳口感．经过研究发现，在 25℃室温下，设茶水温度从 85℃开始，经过 x
分钟后的温度为 y℃，则满足 y ka x 25（ k R ， 0 a 1， x 0 ）．
(1)求实数 k 的值；
(2)经过测试知 a 0.9227，求在 25℃室温下，刚泡好的 85℃的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮用口感
（结果精确到 1 分钟）．（参考数据： lg 7 0.8451， lg12 1.0792， lg 0.9227 0.0349）
【答案】(1)60
(2)大约需要放置 7 分钟才能产生最佳饮用口感
【分析】（1）直接由 x 0时， y 85代入求解即可；
（2）将 y 60代入函数关系式，再结合对数的运算性质求解即可.
0
【详解】（1）依题意，当 x 0时， y 85，所以85 k a 25，解得 k 60，
所以实数 k 的值是 60．
（2）由（1）知，当 a 0.9227时， y 60 0.9227
x 25，
当 y 60
7
时，60 0.9227x 25 60，即0.9227x ，12
两边取对数，得 x lg 0.9227 lg 7 lg12，
x lg 7 lg12 0.8451 1.0792所以 7lg 0.9227 0.0349 ．
所以刚泡好的 85℃的茶水大约需要放置 7 分钟才能产生最佳饮用口感．
题型二、对数型函数模型
5．据统计，第 x 年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量 y（只）近似满足 y a log3(x 2) .观测发现第 1 年有越冬
白鹤 3000 只，估计第 7 年有越冬白鹤（ ）
A．4000 只 B．5000 只 C．6000 只 D．7000 只
【答案】C
【分析】将 x 1代入表达式得 a 3000，再将 x 7代入计算即可.
【详解】解：由题意，得3000 a log3(1 2)，得 a 3000，
所以当 x 7时， y 3000 log3(7 2) 6000 .
故选：C.
6．北京时间 2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号 F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星
发射中心按照预定时间精准点火发射，约 582 秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将
翟志刚 王亚平 叶光富 3 名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大
速度 v（单位：m/s）和燃料的质量 M（单位： kg） 火箭的质量（除燃料外）m（单位： kg）的关系是
v 3000ln M m .为使火箭的最大速度达到 8100 m/s，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据 e2.7m 14. 9）
（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
M m
【分析】将火箭的最大速度 8100 m/s 代入 v 3000ln 中，结合对数、指数运算即可求得答案.
m
【详解】由题意可得，将火箭的最大速度 8100 m/s代入 v 3000ln
M m
中，
m
得：8100 3000ln
M m
，即8100 3000ln
M 1 ，
m m
ln M所以 1
81
2.7
M
e2.7，故 1 14.9 1 13.9 14，
m 30 m
故选:B
7．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的环保理念，大力展开植树造林．假设一片森林原来的面积为 a亩，计划每
年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的 2 倍时，所用时间是 10 年．为使森林面积至少达
到6a亩，至少需要植树造林______年（精确到整数）．（参考数据： lg 2 0.3010， lg3 0.4771）
【答案】26.
【分析】先由已知求增长率，再求达到6a所需年数.
【详解】设年增长率为 x ，所求年数为 n，
a 1 x 10根据已知： 2a ，解得 lg 1 x lg 2 ，
10
n 10lg 6 10 0.3010 0.4771 n 又 a 1 x 6a ，所以 25.85，
lg 2 0.3010
至少需要植树造林 26 年.
故答案为:26.
8．声音通过空气的震动所产生的压强叫声压强，简称声压，单位为帕斯卡（Pa），把声压的有效值取对数来表示声
音的强弱，这种表示声音强弱的叫做声压级，若声压级用 S 表示，单位为分贝（dB）.若 S 20lg
Pt （其中声压的
k
有效值表示为Pt , k 2 10
5 Pa ），根据以上材料，回答下列问题：
（1）若两人小声交谈时声压的有效值Pt 0.0002Pa，求其声压级；
（2）已知我市某个学校高一学生在学校礼堂开展辩论会，如果测得声级为 100dB．求该学校礼堂此时声压的有效
值.
【答案】（1）20dB（2）2 Pa
【分析】（1）根据公式 S 20lg
Pt 计算Pt 0.0002Pa时 S 即可；k
P
（2）已知声级为 100dB，根据公式 S 20lg t 计算P
k t
.
【详解】（1）由题意，当Pt 0.0002Pa时，
S 20lg Pt 20lg 0.0002 5 20lg10 20（dB），k 2 10
即声压级为 20dB.
P P
（2）声级为 100dB 时，由 S 20lg t 可得100 20lg t ，
k k
P
所以 t 105 5 5，即Pt 10 2 10 2 Pa ,k
故该学校礼堂此时声压的有效值为 2 Pa .
题型三、建立拟合函数模型解决实际问题
9．面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，
向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是（ ）
A． y ax b B． y ax2 bx c
C． y a x D． y loga x
【答案】B
【分析】结合图象以及函数的单调性确定正确选项.
【详解】根据图象可知，治愈率先减后增，B 选项符合.
ACD 选项都是单调函数，不符合.
故选：B
10．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这
些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
1
A.y＝2x－2 B．y＝ (x2－1)
2
C．y＝log2x D．y＝2x
【答案】B
【详解】由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知 B
符合，故选 B.
11．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在
一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 y （单位：百万个）与培养时间 x （单位：小时）的关系为：
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第 2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
① y a log x b，② y a x 3 b ，③ y 2x a2 b ．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用 4,4 和 8,4.5 这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第 2小时开始，至少再经过多少个小
时，细菌数量达到5百万个．
【答案】(1) y a log2 x b，理由见解析；
(2) y
1
log2 x 3，至少再经过14小时，细菌数量达到5百万个．2
【分析】（1）分析可知，所选函数必须满足三个条件：（ⅰ）定义域包含 2, ；（ⅱ）增函数；（ⅲ）随着自变量的增
加，函数值的增长速度变小．对比三个函数模型可得结论；
（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由 y≥5，解该不等式即可得
出结论.
【详解】（1）解：依题意，所选函数必须满足三个条件：
（ⅰ）定义域包含 2, ；
（ⅱ）增函数；
（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．
因为函数 y a x 3 b 的定义域为 3, ， x 2时无意义；
函数 y 2x a b 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大．
函数 y a log2 x b可以同时符合上述条件，所以应该选择函数 y a log2 x b．
a log 4 b 2a b 4 a
1
2
2 1
2 a log
2 8 b 3a b 4.5 b 3
y log2 x 3
（ ）解：依题意知 ，解得 ，所以 2 ．
y 1令 log2 x 3 5，解得 x 16．2
所以，至少再经过14小时，细菌数量达到5百万个．
1．为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为 N0 ，平均每个病人可传
染给K 个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为 L天，在 L天之内，病例数目的增长随时间 t （单位：
天）的关系式为 N (t) N0 (1 K )
t
．若 N0 1，则利用此模型预测第 6 天的病例数大约为 1545．由此可知K 的值约
为（参考数据：3.396 1517.7，3.406 1544.8，3.416 1572）（ ）
A．3.41 B．3.40 C．2.41 D．2.40
【答案】D
【分析】运用所给的关系式，结合代入法进行求解即可.
【详解】 (1 K )6 1545 1 K 3.40 K 3.40 1 2.40．
故选：D．
2．第 19 届亚洲运动会将于 2022 年 9 月 10 日至 2022 年 9 月 25 日在浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄
龙体育中心将承办足球、体操、水球等项目．为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系
mg kt
统．已知过滤过程中废水污染物数量 N 与时间 t 的关系为 N N0e （N0为最初污染物数量）．如果前 4 小时 L
消除了 20%的污染物，那么污染物消除至最初的 64%还需要（ ）
A．3.6 小时 B．3.8 小时 C．4 小时 D．4.2 小时
【答案】C
ln 0.8
【分析】根据题意先求出 k ，再得出 t0.64N0 N e 4 即可求出.0
【详解】因为前 4 小时消除了 20%的污染物，所以0.8N N e 4k k ln 0.80 0 ，解得 ，4
ln 0.8
设经过 t 小时污染物消除至最初的 64%，则 t0.64N N e 4 ，0 0
ln 0.8
即 t ln 0.64，解得 t 8，
4
所以污染物消除至最初的 64%还需要8 4 4小时.
故选：C.
3．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越千山万水来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为
v 1 log x函数 3 lg x0（单位： km/min ），其中 x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数 x0 表示测量过程中候鸟每2 100
分钟的耗氧偏差．若雄鸟的飞行速度为1.3km/min ，雌鸟的飞行速度为0.8km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌
鸟每分钟耗氧量的（ ）
A．2 倍 B．3 倍 C．4 倍 D．5 倍
【答案】B
【分析】根据题意列式，结合对数的运算求解即可.
1.3
1 log x 1 lg x
2 3 100 0
【详解】设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x2，由题意可得
0.8 1
，两式相减可
log x23 lg x 2 100 0
1 1 x
得 log
x1
3 ，所以 log
x1
3 1
1 3
2 2 x x ，即 x ，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的 3 倍．2 2 2
故选：B．
4．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在
一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 y （单位：百万个）与培养时间 x （单位：时）的关系如下表，
为了描述从第 2 小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四种模型供选择，则最符合实际的函数模型为
（ ）
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
A． y a log2 x b B． y a x 3 b
C． y 2x a b D． y x2 4x a
【答案】A
【分析】根据题意可得所选函数必须满足三个条件，定义域包含 2, ，是增函数，随着自变量的增加，函数值的
增长速度变小，进而即得.
【详解】根据条件画出散点图，
依题意，所选函数必须满足三个条件：①定义域包含 2, ；②是增函数；③随着自变量的增加，函数值的增长
速度变小．
因为函数 y a x 3 b 的定义域为 3, ，当 x 2时无意义，故排除 B；
函数 y 2x a b 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除 C；
y x2 4x a 在 2, 上随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除 D．
函数 y a log2 x b可以同时符合上述条件.
故选：A．
5．某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火
箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在 1903 年齐奥尔科夫
m0
斯基就推导出火箭的最大理想速度公式： v ln m ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中
为喷流相对火箭的速度，
k
m
m 00 和mk 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量， m 被称为火箭的质量比．k
(1)某火箭的初始质量为 160 吨，喷流相对火箭的速度为 2 千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为 40 吨，求该火箭的
最大理想速度（保留 2 位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过 10．如果喷流相对火箭的速度为 2 千米/秒，请判断该火箭的最
大理想速度能否超过第一宇宙速度 7.9 千米/秒，并说明理由．
（参考数据： ln 2 0.69 ）
【答案】(1)2.8 千米/秒；(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得 2，m0 160 ，mk 40，再代入公式计算即可；
m
2 v ln 0（ ）代入数据可得 2ln10m ，再分析可得 e
7.9 128，从而得到 2ln10 7.9 即可.
k
1 2 m0 160 m【详解】（ ）由题意， ， ， k 40，
v ln m0 2 ln 160∴ 2ln 4 4ln 2 2.8m ，k 40
∴该火箭的最大理想速度为 2.8 千米/秒．
m0 m 10 v ln 0 2ln10
（2）∵ mk ， 2，∴ mk ．
∵ e7.9 27.9 27 128，∴ 7.9 ln e7.9 ln128 ln100 2ln10 ，
即 vmax 2ln10 7.9．
∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度 7.9 千米/秒．
6．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自 2021 年元旦开始
测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自 2021 年元旦起，该水
生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为 km2 ，二月底测得该水生植物的面积为
24 m2 ，三月底测得该水生植物的面积为 40 m2 ，该水生植物的面积 y（单位：m2 ）与时间 x（单位月）的关系有两
x 1
个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的 y ka k 0,a 1 ，另一个是同学乙提出的 y px3 k p 0,k 0 ，
记 2021 年元旦最初测量时间 x 的值为 0.
(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的 10 倍以上？（参考数据：
lg 2 0.3010， lg3 0.4771）
x
【答案】(1) 216 5 同学甲提出的函数模型更适合，解析式为 y ，(2)625 3
x
【分析】（1）由于三月份面积增量快是二月份的 2 倍，所以选择 y ka k 0,a 1 ，然后利用待定系数法求解即
可，
216 5 x2 216（ ）假设 x 月后水生植物的面积是一月水生植物面积的 10 倍以上，则由题意得 10 25 3 15
，化简后两边取常用对数可求得结果
y ka x k 0,a 1
【详解】(1)因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的 比较合适，
5
24 ka2 a 3 216 5 x
由题意得 ，解得40 ka3
k 216
，所以 y ，
25
3
25
216 5 216
(2)由（1）可知，一月底时水生植物的面积为 25 3 15 ，
216 5 xx 216假设 月后水生植物的面积是一月水生植物面积的 10 倍以上，即 10 ，25 3 15
x
5 50 5 5
所以 ，所以 x lg 1 lg ，
3 3 3 3
5 1 1lg 0 x 1 5 1 5.5因为 ，所以 lg 1 lg 2 lg3 ，3 3
所以从 6 月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的 10 倍以上
1．已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系 y ekx b （ y 为保鲜时间， x 为储存温度），若该食品在
冰箱中0 C的保鲜时间是 144 小时，在常温 20 C的保鲜时间是 48 小时，则该食品在高温 40 C的保鲜时间是（ ）
A．16 小时 B．18 小时 C．20 小时 D．24 小时
【答案】A
144 eb
【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得 1 20k ，然后整体代入计算即可.
e 3
b
144 eb 144 e
【详解】由题意，得 20k b ，即48 e 1 e20k
，
3
2
于是当 x 40( C) 时， y e40k b e20k 2 eb 1 144 16（小时）.
3
故选：A
2 rt．在 型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型 I t e 描述累计感染病例数 I t 随时间 t
（单位：天）的变化规律.指数增长率 r 与R0 、T 近似满足R0 1 rT ，其中R0 为病毒基本再生数，T 为两代间传染
所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出R0 3.22，T 10 .据此，在 型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数
增加至 I 0 的 4 倍，至少需要（ ）（参考数据： ln2 0.69）
A．6 天 B．7 天 C．8 天 D．9 天
【答案】B
【分析】代入已知数据求出 r ，即可求出 I (t)的解析式，进而可以求解．
【详解】解：由R0 1 rT ，R0 3.22，T 10可得10r 1 3.22，
所以 r 0.222，
则 I (t) ert e0.222t ，
设题中所求病例增加至 4倍所需天数为 t1 天，
所以 I (0) e0 1 I t e0.222t， 11 4，即 0.222t1 ln 4 2ln 2 ，
t 2ln 2 2 0.69所以 1 6.216，所以累计感染病例数增加至 I 0 70.222 0.222 的 4 倍，至少需要 天；
故选：B．
3 kt．李明开发的小程序在发布时已有600 名初始用户，经过 t 天后，用户人数 A t A 0 e ，其中 k 为常数．已知小
程序发布经过10天后有 2400名用户，则用户超过60000 名至少经过的天数为（本题取 lg 2 0.30）（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】D
【分析】由 A 0 600和 A 10 2400可求得 A t ，令 A t 60000，结合对数运算可求得结果.
kt
【详解】由题意知： A 0 600， A t 600e ；
1
A 10 600e10k 2400 k 1，解得： ln 4 1 ln 2 ln 2 t，
10 5 A t 600e
5 ；
5lg100
1 ln 2 t 1 t 5ln100 lg e 10令600e5 60000，则 ln 2 t ln100， lg 2 33.3，5 ln 2 lg 2
lg e
至少需经过34天.
故选：D.
4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P（单位：mg / L）与时间 t（单位：h）间的关
系为P P e kt0 ，其中P0 ，k 是正的常数．如果在前10h 污染物减少19% ，那么再过5h 后污染物还剩余（ ）
A． 40.5% B．54% C．65.6% D．72.9%
【答案】D
【分析】根据给定的函数模型及已知可得 e 5k 0.9 ，再计算5h 后污染物剩余量.
10k
【详解】由题设， (1 19%)P0 P0e ，可得 e 5k 0.9 ，
再过 5 个小时，P (1 19%)P 5k0e (0.81 0.9)P0 0.729P0 ，
所以最后还剩余72.9% .
故选：D
5．火箭在发射时会产生巨大的噪音，假设所有声音的声强级 d x （单位：dB）与声强 x （单位：W / m2 ）满足
d (x) 10lg x 12 ，若火箭发射时的声强级约为140dB，人交谈时的声强级约为50dB，则火箭发射时的声强与人交10
谈时的声强的比值约为（ ）
A．109 B．1010 C．1011 D．1012
【答案】A
d x
【分析】由已知计算可得 12x 10 10 ，计算出火箭发射时的声强与人交谈时的声强，相除可得结果.
【详解】 d x d x 10lg x ，得 12
10 12 x 10 10
．
因为火箭发射时的声强级约为140dB，人交谈时的声强级约为50dB，
140
12 50 12
所以火箭发射时的声强约为10 10 102 W / m2 ，人交谈时的声强约为1010 10 7 W / m2 ，
102
所以火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为 109 ．
10 7
故选：A.
6．某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度 y（单位：
1
度）与昼夜温差 x（单位：℃，5 x 35）近似满足函数模型 y ln x 3 10．当温差为 30℃时，成熟后甜
ln 2
瓜的甜度约为（参考数据： log2 3 1.585）（ ）
A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1
【答案】C
【分析】根据题意，当 x 30时，结合对数的运算性质，即可求解.
1
【详解】由题意，当 x 30时，可得 y ln 30 3 10 10 3log2 3 14.755 14.8．ln 2
故选：C.
1 Q
7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为 v log3 ，2 100
其中Q表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（ ）
A．2600 B．2700 C．26 D．27
【答案】D
【分析】根据题中函数关系式，令 v 0和1.5，分别求出对应的Q，即可得出结果.
1 Q
【详解】因为鲑鱼的游速(单位：m/s )可以表示为 v log3 ，其中 Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数，2 100
1 Q Q
当一条鲑鱼静止时， v 0，此时0 log 13 ，则 1 1，耗氧量为Q 100；2 100 100 1
1 Q
当一条鲑鱼以1.5m/s 的速度游动时， v 1.5，此时1.5 log
2 3
，
100
Q Q
所以 log3 3，则 27，即耗氧量为Q 2700，100 100
2700
因此鲑鱼以 1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为 =27 .
100
故选：D.
8．在一次数学实验中，小军同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 4 2 0 2 4 6
y 1.01 1.11 1.99 10.03 81.96 729.36
在以下四个函数模型中， a，b 为常数，最能反映 x ， y 间函数关系的可能是（ ）
A． y ax b
b
B． y a x b C． y ax2 b D． y a
x 1
【答案】B
【分析】根据增长快慢确定正确选项.
【详解】根据表格提供数据可知，函数增长非常快，所以指数增长符合，即 B 选项符合.
故选：B
9．（多选）如图，某池塘里浮萍的面积 y （单位：m2 ）与时间 t （单位：月）的关系为 y at ，关于下列说法正确
的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为 2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第 4 个月时，浮萍面积超过80m2
D．若浮萍蔓延到 2m2、4m2、8m2 所经过的时间分别是 t1、t2、t3 ，则 2t2 t1 t3
【答案】ACD
【分析】先根据图象求出函数解析式，然后逐个分析判断
【详解】由图可知，过 (1,3)，所以 a 3， y 3t ，
对 A，由 y 3t 为指数函数，为爆炸式增长，
3t 1 3t
每月增长率为 t 2，3
故每月增长率为 2，故 A 正确；
对 B，第一个月为 3 m2 ，第二个月为 9 m2 ，第三个月为 27 m2 ，
浮萍每月增加的面积不相等，所以 B 错误，
对 C， t 4， y 34 =81 m2 ，故 C 正确；
对 D， t1 log3 2, t2 log3 4, t3 log3 8，
所以 2t2 2log3 4， t1 t3 log3 2 log3 8 log3 16 2log3 4，
所以 2t2 t1 t3 ，故 D 正确，
故选：ACD
10．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共
鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m 与参考声强m0 （m0 约
m
为10 12 ，单位：W / m2 ）之比的常用对数称作声强的声强级，记作 L（单位：贝尔），即 L lg m ，取贝尔的 10 倍0
作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度 y （单位：分贝）与喷出的泉水高度 x dm满足关系
式 y 2x，现知A 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50 dm，若A 同学大喝一声的声强大约相当于 10 个 B 同学同
时大喝一声的声强，则 B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm．
【答案】45
【分析】根据对数的运算可求 B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度.
【详解】设 B 同学的声强为m W / m2 ，喷出泉水高度为 x dm，
则A 同学的声强为10m W / m2，喷出泉水高度为 50 dm，
m
由10lg 2x，得 lg m lg m0 0.2xm ①，0
∵10lg
10m
2 50，∴1 lg m lg m0 10 ②，①－②得 1 0.2x 10m ，0
解得 x 45，∴ B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为 45 dm．
故答案为：45.
11．2021 年 8 月 30 日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于 5G 的持续创新和演进、信
S
息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式C W log2 1 是被广泛公
N
认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 C 取决于信道带宽 W、信道内信
S S
号的平均功率 S，信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 叫作信噪比．若不改变信道带宽 W，而将信噪比
N N
从 11 提升至 499，则最大信息传递速率 C 大约会提升到原来的______倍（结果保留 1 位小数）．（参考数据：
log2 3 1.58， log2 5 2.32）
【答案】2.5
C2
【分析】设提升前最大信息传递速率为C1，提升后最大信息传递速率为C2 ，根据题意求出 C ，再利用指数、对数1
的运算性质化简计算即可
【详解】设提升前最大信息传递速率为C1，提升后最大信息传递速率为C2 ，则由题意可知，
C1 W log2 1 11 W log2 12，C2 W log2 1 499 W log2 500，
C2 W log2 500 log 22 53 log 222 2 log 532 2 3log2 5 2 3 2.32 8.96所以 2.5，
C1 W log2 12 log 222 3 log2 22 log2 3 2 log2 3 2 1.58 3.58
所以最大信息传递速率 C 会提升到原来的 2.5 倍．
故答案为： 2.5
1
12．进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数 v log ，
2 2 100
单位是m/s， 是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条湟鱼的耗氧量是 500 个单位时，求它的游速是多少？ (lg 2 0.3)
(2)某条湟鱼想把游速提高1m/s，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【答案】(1)约为 1.17m/s；(2)4.
【分析】（1）将 500代入函数的解析式解得即可；
（2 2）根据现在和以前的游速之差为 1 列出等式，进而解得 即可.1
v 1 log 500 1 log 5 1 lg 2 1 1 1 1 1 2
1 1.17
【详解】(1)由题意，游速为 2 100 2
2 2lg 2 2 lg 2 2 0.3 m/s .
1 log 2 1 log 1 1 log 2 2 2 4
(2) ,
2
设原来和现在耗氧量的单位数分别为 1 2 ，所以 2 100 2
2 100 2 1 1 ，所以耗氧量的
单位数是原来的 4 倍.
13．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)
Q
与其耗氧量 Q 之间的关系为： v a b log3 (其中 a，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 3010
个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 10 m/s.
（1）求出 a，b 的值；
（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 20 m/s，求其耗氧量至少要多少个单位？
a 10
【答案】（1） b ；（2）至少要 270 个单位. 10
【解析】（1）将Q 30,v 0 和Q 90,v 10代入关系式即可求解；
Q
（2）由 10 10log3 20解出即可得出.10
【详解】（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，
故有 a b log
30
3 0，即 a＋b＝0.·10
当耗氧量为 90 个单位时，速度为 10 m/s，
故 a b log
90
3 10，整理得 a＋2b＝10. 10
a b 0 a 10
解方程组
a 2b
得
10 b 10
Q Q
（2）由(1)知， v a b log3 10 10log .10 3 10
所以要使飞行速度不低于 20m/s，则有 v≥20，
所以 10 10log
Q
3 20， 10
即 log
Q Q
3 3，解得 27，即 Q≥270.10 10
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 20 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位.
14．某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有 400m2的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天 4m2
的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积 4m2，每人每天所消耗的维
修材料费 25 元，劳务费 75 元，另外给每人发放 100 元的服装补贴，每渗水1m2 的损失为 75 元．现在共派去 x 名工
人，抢修完成共用 n 天．
(1)写出 n 关于 x 的函数关系式；
(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．
【答案】(1) n
100
（ x 2且 x N ）；(2)21 名x 1
n 100【分析】（1）根据抢修的面积等于渗水的面积列出方程，求出 （ x 2且 x N ）；x 1
（2）求出总损失关于 x 的关系式，再利用基本不等式求出最小值，得到答案.
【详解】（1）由题意知：抢修 n 天时，维修工人抢修的面积之和为 4nx ，而渗水的面积为 400 4n
100
所以有 4nx 400 4n ，可得 n （ x 2且 x N
x 1
）．
y 100nx 100x 75 4nx 100x 400nx 100x 400 100x
（2）设总损失为 y，则 x 1
100 400x
x 100 400 x 1 401 100 2 400
(x 1) 401 44100， x 1 x 1 x 1
1600
当且仅当 x 1时，即 x 21时，等号成立．
x 1
所以应派 21 名工人去抢修，总损失最小．
15．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，
在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从 4 月 1 日起，芦荟
的种植成本 Q(单位：元/10 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据情况如表：
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋
bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并说明理由；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【详解】(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函
数 Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt 中的任意一个来反映时都应有 a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所
提供的数据不符合，所以应选用二次函数 Q＝at2＋bt＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数 Q＝at2＋
bt＋c，可得：
1 3 425
Error!解得 a＝ ，b＝－ ，c＝ .
200 2 2
1 3 425
所以，刻画芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数 Q＝ t2－ t＋ .
200 2 2
3
－
(2) t 2当 ＝－ ＝150(天)时，芦荟种植成本
1
2 × 200
1 3 425
Q＝ ×1502－ ×150＋ ＝100(元/10 kg)．
200 2 2
