2.5.1二次函数与一元二次方程 教案
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2.5.1二次函数与一元二次方程 教学设计
课题 2.5.1二次函数与一元二次方程 单元 第2 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二次函数．通过二次函数图像与一元二次方程之间关系的探究活动，体会二次函数与一元二次方程之间的联系，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴交点的个数、掌握方程与函数间的转化.
核心素养分析 逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图像与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索归纳能力，进一步培养学生的数形结合思想.
学习目标 1．理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系；2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
重点 探索二次函数图像与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况.
难点 函数→方程→x轴交点，三者之间的理解与运用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题第一环节：学科交叉，发现问题我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：（1）h和t的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流．[方法一]看图象可知，8秒落地[方法二]解方程：第二环节：建立模型，分析问题[活动1] 二次函数的图象如下图所示，与同伴交流并回答问题．第三环节：反思辨析，深入问题[活动2] 观察函数的图象,完成填空：(1)抛物线与x轴有 个交点，它们的横坐标是 ；(2)当x取交点的横坐标时，函数值是 ；(3)所以方程的根是 ．(1)抛物线与x轴有 个交点，它们的横坐标是 ；(2)当x取交点的横坐标时，函数值是 ；(3)所以方程的根是 ．[议一议]二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？[结]二次函数y=ax2+bx+c与x轴有交点，交点的横坐标为x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的根．即，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的根． 思考自议体会二次函数与方程之间的联系． 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
讲授新课 提炼概念第四环节：数形结合，解决问题[议一议]二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？二次函数y=ax2+bx+c的图 一元二次方程ax2+bx+c=0象和x轴交点有三种情况: 的根有三种情况：有两个交点 有两个不相等的实数根有一个交点 有两个相等的实数根没有交点 没有实数根典例精讲 例：何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？解法1：令h=60故2s和6s时，小球离地面的高度是60m．解法2：看图象．不用计算，小球离地面的高度可能是100m吗 为什么 理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴 交点的横坐标． 对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
课堂练习 四、巩固训练1.小明画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ).A．无解 B．x＝1C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4D2.求下列二次函数的图像与x轴的交点.(1)y=x2+4x-5(2)y=-x2+x+23.二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？解：∵ =b2-4×1×(-1)=b2+4＞0∴二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交，有2个交点. 4. 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。就是直线与二次函数图象交点的横坐标。5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． 若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， 则一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1＝0 中Δ≥0. 即 b2－4ac ＝ 22－4(k－3) ＝ －4k＋16 ≥0 解得 k≤4 ∴k≤4且k≠3. 当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数，与x轴有一个交点， 符合题意； 综上所述，k的取值范围是k≤4.
课堂小结
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课题 2.5.1二次函数与一元二次方程 单元 第2 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二次函数．通过二次函数图像与一元二次方程之间关系的探究活动，体会二次函数与一元二次方程之间的联系，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴交点的个数、掌握方程与函数间的转化.
核心素养分析 逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图像与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索归纳能力，进一步培养学生的数形结合思想.
学习目标 1．理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系；2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
重点 探索二次函数图像与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况.
难点 函数→方程→x轴交点，三者之间的理解与运用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题第一环节：学科交叉，发现问题我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：（1）h和t的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流．[方法一]看图象可知，8秒落地[方法二]解方程：第二环节：建立模型，分析问题[活动1] 二次函数的图象如下图所示，与同伴交流并回答问题．第三环节：反思辨析，深入问题[活动2] 观察函数的图象,完成填空：(1)抛物线与x轴有 个交点，它们的横坐标是 ；(2)当x取交点的横坐标时，函数值是 ；(3)所以方程的根是 ．(1)抛物线与x轴有 个交点，它们的横坐标是 ；(2)当x取交点的横坐标时，函数值是 ；(3)所以方程的根是 ．[议一议]二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？[结]二次函数y=ax2+bx+c与x轴有交点，交点的横坐标为x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的根．即，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的根． 思考自议体会二次函数与方程之间的联系． 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
讲授新课 提炼概念第四环节：数形结合，解决问题[议一议]二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？二次函数y=ax2+bx+c的图 一元二次方程ax2+bx+c=0象和x轴交点有三种情况: 的根有三种情况：有两个交点 有两个不相等的实数根有一个交点 有两个相等的实数根没有交点 没有实数根典例精讲 例：何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？解法1：令h=60故2s和6s时，小球离地面的高度是60m．解法2：看图象．不用计算，小球离地面的高度可能是100m吗 为什么 理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴 交点的横坐标． 对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
课堂练习 四、巩固训练1.小明画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ).A．无解 B．x＝1C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4D2.求下列二次函数的图像与x轴的交点.(1)y=x2+4x-5(2)y=-x2+x+23.二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？解：∵ =b2-4×1×(-1)=b2+4＞0∴二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交，有2个交点. 4. 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。就是直线与二次函数图象交点的横坐标。5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． 若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， 则一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1＝0 中Δ≥0. 即 b2－4ac ＝ 22－4(k－3) ＝ －4k＋16 ≥0 解得 k≤4 ∴k≤4且k≠3. 当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数，与x轴有一个交点， 符合题意； 综上所述，k的取值范围是k≤4.
课堂小结
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