2.5.1二次函数与一元二次方程 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
2.5.1二次函数与一元二次方程
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程
与函数之间的联系．
2.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根
的个数之间的关系，理解何时方程有两个不相等的实数根、
两个相等的实数根和没有实数根．
教学重点:探索二次函数图像与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交
点情况.
教学难点：函数→方程→x轴交点，三者之间的理解与运用.
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．
新知讲解
合作学习
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
情景引入
（1）h与t的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？
解：（1）由题意得：h0=0，v0=40
∴h=-5t2+40t
合作学习
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？
（2）法一：由图像可知小球经过8s后落地.
法二：令h=0得
-5t2+40t=0
解得t1=0(舍）t2=8
答：小球经过8s后落地.
h=-5t2+40t
活动探究
1.二次函数y=x2+2x的图象
①图像与x轴有____个交点;
②交点坐标为__________;
一元二次方程x2+2x=0根的情况
①方程有__个_____的实数根;
②方程的根是_____________;
2
(-2,0),(0,0)
2
不相等
x1=-2, x2=0
解：x(x+2)=0
x1=-2，x2=0
2.二次函数y=x2-2x+1的图象
①图像与x轴有____个交点;
②交点坐标为________;
一元二次方程x2-2x+1=0根的情况
1
（1,0）
2
相等
x1=x2=1
解：(x-1)2=0
x1=x2=1
3.二次函数y=x2-2x+2的图象
图像与x轴没有交点;
一元二次方程x2-2x+2=0根的情况
方程没有实数根;
=b2-4ac
=(-2)2-4×1×2
=-4＜0
提炼概念
二次函数图像与x轴的交点坐标
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
x2+2x=0
x2-2x+1=0
x2-2x+2=0
一元二次方程的根
(-2,0),(0,0)
（1,0）
没有交点;
x1=-2, x2=0
x1=x2=1
方程没有实数根;
2个交点;
1个交点;
方程2个不相等实数根;
典例精讲
例： 本节开始时小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m呢？你是如何知道的.
解：法1.由题意将h=60代入h=-5t2+40t中
-5t2+40t=60
解得t1=2， t2=6
法2.由图像可知：
直线h=60
（2，60）
（6，60）
2s和6s时小球离地面的高度是60m.
数形结合
不用计算，小球离地面的高度可能是100m吗 为什么
归纳概念
二次函数y=ax2+bx+c的图像 二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式 =b2-4ac
有2个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0
有1个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac=0
没有交点
没有实数根
b2-4ac<0
结论2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
结论1：
课堂练习
1.小明画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　).
A．无解 B．x＝1
C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
D
2.求下列二次函数的图像与x轴的交点.
解:(1)当y=0，
0=x2+4x-5
(1)y=x2+4x-5
解得x1=-5， x2=1
所以二次函数与x轴的交点为 (-5,0), (1,0)
(2)当y=0，
0=-x2+x+2
解得x1=-1， x2=2
所以二次函数与x轴的交点为 (-1,0), (2,0)
(2)y=-x2+x+2
3.二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？
解：∵ =b2-4×1×(-1)
=b2+4
＞0
∴二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交，有2个交点.
1
0
1
x
y
M
N
2
3
2
y=x2-4x+4
4. 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来.
5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
则一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1＝0 中Δ≥0.
即 b2－4ac ＝ 22－4(k－3) ＝ －4k＋16 ≥0
解得 k≤4
∴k≤4且k≠3.
当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数，与x轴有一个交点，
符合题意；
综上所述，k的取值范围是k≤4.
课堂总结
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数与一元二次方程的关系，体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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