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第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的定义
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1
2
3
4
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5
6
7
C
见习题
见习题
C
见习题
见习题
8
算术；
≥；≥
9
9
10
11
见习题
12
见习题
x≥8
A
13
见习题
14
见习题
1．一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．理解要点：
(1)二次根式从形式上界定，必须含有________；
(2)二次根式从内容上看，a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子，但必须注意______是 为二次根式的前提．
a≥0
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C
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4．二次根式 从意义上说是a的____________，根据算术平方根的意义可知，只有________才有算术平方根，所以二次根式 有意义的条件就是__________．
算术平方根
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非负数
a≥0
5．【教材P5习题T1改编】【2022·北京】若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________．
x≥8
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6．【教材P5习题T7改编】【2022·绥化】若式子 ＋x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞－1
B．x≥－1
C．x≥－1且x≠0
D．x≤－1
C
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7．【教材P5习题T7改编】x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
【点方法】求式子有意义时字母的取值范围的步骤：
第一步，明确各种式子有意义的条件；
第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组；
第三步，求出不等式或不等式组的解集，即为字母的取值范围. ,
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算术
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≥
≥
9．【2022·黔东南州】若(2x＋y－5)2＋ ＝0，则x－y的值是________．
9
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A
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11．(1)当a取什么值时，式子 ＋1取最小值？并求出这个最小值．
(2)【教材P5习题T9拓展】是否存在整数x，使它同时满足下列两个条件：
是整数？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
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当x为腰长时，三边长分别是2，2，4，2＋2＝4，
不能构成三角形；当y为腰长时，三边长分别是4，4，2，4＋2＞4，能构成三角形，此时三角形的周长是4＋4＋2＝10.综上所述，此三角形的周长是10.
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【思路点拨】根据二次根式有意义的条件及分式方程的解是正数得出m的取值范围，再结合m是整数即可求和．
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【点易错】本题容易忽略分式方程的增根导致扩大m的取值范围．分式方程化成整式方程后，将增根代入求出的m值要舍去.(共22张PPT)
第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
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1
2
3
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5
6
7
B
18
≥0；≤0；
－a；|a|
B
D
本身；
平方
8
2
9
见习题
10
11
A
12
C
A
数或表示
数的字母
13
见习题
14
D
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．( )2＝a(a≥0)反映了一个非负数的算术平方根的平方等于它________；反之，任何一个非负数都等于它的算术平方根的________．
本身
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平方
B
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18
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≥0
≤0
－a
|a|
A
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B
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7．【数学运算】【2022·聊城】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝ 进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，s＝0.64 m，那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为( )
A．0.4×103 m/s B．0.8×103 m/s
C．4×102 m/s D．8×102 m/s
D
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2
【点拨】由数轴可得－1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a＋1＞0，b－1＞0，a－b＜0.
＝a＋1－(b－1)＋(b－a)＝a＋1－b＋1＋b－a＝2.
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原式＝6＋(－6)＝0；
原式＝|π－4|＋|π－3|＝4－π＋π－3＝1.
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10．用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把__________________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．
数或表示数的字母
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11．下列式子中，属于代数式的有( )
①0； ②x； ③x＋2； ④2x；
⑤x＝2; ⑥x＞2; ⑦ ； ⑧x≠2.
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
A
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12．【2022·长沙】为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为( )
A．8x元 B．10(100－x)元
C．8(100－x)元 D．(100－8x)元
C
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返回
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D
15．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴水平向右爬2个单位长度到达点B，再从点B向右爬到点C时停止．已知点A表示－
，点C表示2，设点B表示的数为m.
(1)求m的值；
解：(1)m＝2－ .
15．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴水平向右爬2个单位长度到达点B，再从点B向右爬到点C时停止．已知点A表示－
，点C表示2，设点B表示的数为m.
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(3)蚂蚁从点A到点C经过的点(含A，C两点)中，表示非负整数的点有________个．
3
16．【数学抽象】【2022·金华】如图①，将长为2a＋3，宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图②)，得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图②中
小正方形的边长；
解：(1)∵直角三角形较短的直角边长为 ×2a＝a，
较长的直角边长为2a＋3，
∴小正方形的边长为2a＋3－a＝a＋3.
16．【数学抽象】【2022·金华】如图①，将长为2a＋3，宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图②)，得到大小两个正方形．
(2)当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
小正方形的面积为(a＋3)2，
当a＝3时，小正方形的面积为(3＋3)2＝36.
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
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1
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3
4
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5
6
7
A
D
3
见习题
见习题
见习题
8
D
9
D
10
11
见习题
12
见习题
见习题
3；75
13
见习题
14
见习题
a≥0，b≥0
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a≥0，b≥0，c≥0
A．x≥1
B．－1≤x≤1
C．x≤－1
D．x≤－1或x≥1
A
返回
D
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3
返回
2
(－1)
125
－10
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【点易错】解这类问题容易犯的错误是忽略被开方数的情况而直接得出字母表示的数大于0.
a≥0，b≥0
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D
返回
D
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3
75
返回
返回
返回
返回
22
25
4
5
(1)请将上述解答过程补充完整；
(2)上述解答过程第①步运用了公式________，第②步运用了公式______________，第③步运用了公式______________；
(3)根据上述过程，请完成计算：
a·a＝a2
(ab)2＝a2b2
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
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1
2
3
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6
7
B
D
见习题
C
D
见习题
8
A
9
见习题
10
11
A
12
见习题
见习题
A
13
见习题
14
见习题
15
见习题
16
见习题
1．二次根式的除法法则： ＝____(__________)．运用除法法则进行计算时，最后的结果若能化简，还要运用积的算术平方根进行化简，例如 的结果为________．
a≥0，b＞0
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2．【中考·绵阳】使等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为( )
B
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3．【2021·黑龙江】下列运算中，计算正确的是( )
A．m2＋m3＝2m5
B．(－2a2)3＝－6a6
C．(a－b)2＝a2－b2
D
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返回
a≥0，b＞0
返回
a≥0，b＞0
C
返回
7．【中考·达州】下列判断正确的是( )
B．若ab＝0，则a＝b＝0
D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长
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D
A
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9．最简二次根式应有如下两个特点：
(1)被开方数不含________；
(2)被开方数中不含能__________的因数或________．
分母
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开得尽方
因式
A
返回
A
返回
返回
返回
返回
(1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出序号：________．
(2)错误的原因是什么？
②
∵b＜a，∴b－a＜0.
∴(b－a)2的算术平方根为a－b.
(3)请你写出正确的解法．
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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
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1
2
3
4
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5
6
7
C
B
C
0
见习题
最简二
次根式
8
D
9
B
10
11
见习题
12
见习题
见习题
见习题
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．将二次根式化成______________，如果被开方数相同，那么这样的二次根式可以合并．
最简二次根式
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C
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3．下列各组二次根式中，可以进行合并的一组是( )
B
返回
C
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5．合并化简后被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，把根号外的因数(式)________，根指数和被开方数________．其步骤为：先将二次根式化成_______________，再将______________的二次根式进行合并．
相加
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不变
最简二次根式
被开方数相同
0
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A．a3·a5＝a8
B．(a2b)3＝a6b3
D．(a＋b)2＝a2＋b2
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D
B
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(1)以上解答过程中，从________开始出现错误；
(2)请写出本题的正确解答过程．
③
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【点方法】二次根式加减运算的技巧：
1．将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式．
2．原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．
返回
返回
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(1)求a，b，c的值．
(2)以a，b，c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【思路点拨】(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必同时为零；(2)根据三角形三边之间的关系进行判断．
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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
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1
2
3
4
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5
6
7
B
B
D
见习题
A
见习题
8
2
9
2
10
11
见习题
12
见习题
见习题
见习题
13
见习题
14
见习题
1．二次根式的运算顺序与整式的运算顺序相同，先算________，再算________，最后算________；有括号的先算__________，再算__________．整式的运算律及相关运算法则在二次根式的运算中同样适用．
乘方
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乘除
加减
括号内的
括号外的
B
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A．10和11之间
B．9和10之间
C．8和9之间
D．7和8之间
B
返回
D
返回
返回
a－b
返回
A
返回
2
返回
2
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返回
返回
返回
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【思路点拨】仿照材料中的解法，利用平方差公式将分母中的根号化去．
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第十六章 二次根式
全章热门考点整合专训
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1
2
3
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5
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－3
B
见习题
见习题
8
x≥19
8
B
9
2
10
11
5
12
见习题
A
见习题
13
见习题
14
见习题
15
见习题
16
见习题
17
见习题
18
见习题
19
见习题
1．【教材P19复习题T1(1)改编】【2022·长沙】若式子
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________．
x≥19
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2．【2022·贵阳十九中模拟】已知a，b满足等式a2＋6a＋9＋
＝0，则a2 023b2 022＝________．
－3
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3．【数学建模】【2021·金华】某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是( )
A．先打九五折，再打九五折
B．先提价50%，再打六折
C．先提价30%，再降价30%
D．先提价25%，再降价25%
B
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4．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？
解：③④是最简二次根式，
①②⑤⑥不是最简二次根式．
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A
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6．【新考法题】在实数范围内分解因式：x4－9＝_____________________.
【点方法】在实数范围内分解因式的策略：
1．在实数范围内分解因式时，常常把正数a转化为( )2，以便于使用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；
2．一般地，如果题目没有指明在什么范围内分解因式，都是指在实数范围内分解因式．
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8
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8．【2022·苏州】下列运算正确的是( )
C．2a＋2b＝2ab
D．2a·3b＝5ab
B
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9．【中考·广州】如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋
2
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(1)________的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：________________；
甲
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5
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【点拨】由题意得
解得－1≤a≤3.∵a是整数，
∴a可以取－1，0，1，2，3.
∴它们的和是－1＋0＋1＋2＋3＝5.
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19．【数学运算】如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①②③都是正方形，且正方形①②的面积分别为16和7，则图中阴影部分的面积为__________．
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