(共23张PPT)
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
D
D
7
面积；
勾股定理
100
a2＋b2
＝c2
8
B
9
48
10
11
见习题
12
见习题
见习题
C
13
见习题
14
见习题
1．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么____________．
a2＋b2＝c2
返回
2．【2021·滨州】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为( )
A．3
B．4
C．5
D．2.4
D
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【点思路】根据题意画出图形，作CD⊥AB于点D. 根据勾股定理求得AB＝5，再根据面积法求CD的长．
3．下列说法正确的是( )
A．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
D
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4．【2022·成都】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为________．
7
【点拨】连接EC，如图所示．
由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝4，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB＋∠B＝90°.
∴AB＝AE＋BE＝3＋4＝7.
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5．【教材P24练习T1变式】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°.
(1)若AC＝5，BC＝4，求AB；
(2)若AB＝6，AC＝10，求BC.
解：(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，
返回
6．勾股定理通常是用__________法来验证的，因此很多涉及直角三角形的图形面积问题，通常用____________来解决．
面积
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勾股定理
7．【教材P24练习T2变式】【2021·成都】如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________．
100
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8．【教材P24练习T2拓展】如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分A，B的面积和为( )
A．16
B．25
C．144
D．169
B
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9．【传统文化】【2022·内江】勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.
若正方形EFGH的边长为4，则
S1＋S2＋S3＝________．
48
【点拨】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则S1＝(a＋b)2，
S2＝42＝16，S3＝(a－b)2，a2＋b2＝42＝16，
∴S1＋S2＋S3＝(a＋b)2＋16＋(a－b)2＝2(a2＋b2)＋16＝2×16＋16＝48.
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10．【易错题】【2022·百色】活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为
，满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形)，则满足已知条件的三角形的第三边长为( )
C
【点拨】如图，满足已知条件的三角形为△ABC和△AB′C，其中CB′＝CB，作CH⊥AB于点H，∴B′H＝BH.∵∠A＝30°，
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11．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB＝15 cm，AC＝13 cm，AD＝12 cm.求△ABC的面积．
解：∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵AB＝15 cm，AC＝13 cm，AD＝12 cm，
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12．(1)【分类法】【2022·通辽】在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6.若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为____________．
(2)【倍长中线法】【中考·柳州】如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
①求DB的长；
解：①∵DB⊥BC，∴∠CBD＝90°.
在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝5，
②在△ABC中，求BC边上的高．
如图，延长BD至点E，使DE＝DB，连接AE.
∵D是AC边的中点，∴AD＝CD.在△EDA和△BDC中，
∴△EDA≌△BDC(SAS)．
∴∠DAE＝∠DCB.
∴AE∥BC.∵DB⊥BC，∴△ABC中BC边上的高等于BE的长．
易知BE＝2BD＝6，∴在△ABC中，BC边上的高为6.
【点易错】(1)中60°的锐角可能是∠A，也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在线段AB上和点P在线段AB的延长线上两种情况.
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13．【思维逻辑】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20 cm，AC＝16 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t s(t＞0)．
(1)BC＝________cm；
(2)当PA＝PB时，求t的值．
12
易知PA＝t cm，则PC＝(16－t)cm，PB＝t cm.
在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，由勾股定理得
PC2＋BC2＝PB2，即(16－t)2＋122＝t2，解得t＝12.5.
故当PA＝PB时，t的值为12.5.
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14．如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.若∠C＝90°，如图①，根据勾股定理，有a2＋b2＝c2；若△ABC不是直角三角形，而是如图②③所示的锐角三角形和钝角三角形．
(1)请你类比勾股定理，猜想
a2＋b2与c2的关系：图②中，a2＋b2_______c2；图③中，
a2＋b2________c2.(填“＞”“＜”或“＝”)
＞
＜
(2)说明你在(1)中猜想结论的正确性．
如图①，作BC边上的高AD.设CD＝m.
在Rt△ACD和Rt△ABD中，有b2－m2＝AD2＝c2－(a－m)2，整理得a2＋b2＝c2＋2am.∴a2＋b2－c2＝c2＋2am－c2＝2am.∵2am＞0，∴a2＋b2＞c2.如图②，作AC边上的高BD.设CD＝n.在Rt△ABD和Rt△BDC中，有c2－(b＋n)2＝BD2＝a2－n2，整理得a2＋b2＝c2－2bn.∴a2＋b2－c2＝c2－2bn－c2＝－2bn.∵2bn＞0，∴－2bn<0.∴a2＋b2＜c2.
(3)在图②中，若AB的长为140 m，AC的长为130 m，BC的长为150 m，请你求出△ABC的面积．
【思路点拨】通过作差来比较a2＋b2与c2的大小．
如图①，设CD＝x m，则BD＝(150－x)m.同(2)可得a2＋b2＝
c2＋2ax.∵a＝150 m，b＝130 m，c＝140 m，∴x＝66.
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第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第2课时 勾股定理的实际应用
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
B
12
20
C
勾股
8
B
9
见习题
10
11
见习题
12
(1)20 (2)13
见习题
见习题
1．建立实际问题的数学模型时，关键是画出符合题意的图形，把实际问题转化为几何中的直角三角形问题，运用__________定理求解．
勾股
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2．【教材P28习题T2变式】【中考·巴中】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个折竹抵地问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原来高一丈(一丈为十尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？( )
A．4尺 B．4.55尺
C．5尺 D．5.55尺
B
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3．【教材P25例2变式】如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下移了( )
A．0.9米
B．1.3米
C．1.5米
D．2米
B
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4．【教材P29习题T10变式】【2021·宿迁】《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．题意是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图)，水深和
芦苇长各多少尺？则该问题的水深是____尺．
12
【点拨】如图所示．
设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝(x－1)尺．
∵C′E＝10尺，
∴C′B＝5尺．
在Rt△AC′B中，52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13.
∴AB＝13－1＝12(尺)，即水深为12尺．
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5．最短路线的求法：因为在平面内，两点之间________最短，所以在求立体图形中两点间的最短距离时，首先把立体图形转化为平面图形，然后利用__________求解，或利用“两点一线”型，用对称找点法找出点，然后用__________求解．
线段
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勾股定理
勾股定理
6．【中考·黄冈】如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计)．
20
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7．【直观想象】如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )
C
【点方法】解决几何体表面上两点间的最短路程问题的方法：将几何体表面展开，即将立体几何问题转化为平面几何问题，然后利用“两点之间，线段最短”去确定路线，最后利用勾股定理计算．它运用的是化折为直的思想方法.
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8．【中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
B
【点拨】由题易知∠CBA＝∠A＝45°.如图，作点C关于直线AB的对称点C′，CC′交AB于点O，则CC′⊥AB，OC′＝OC，连接DC′，交AB于P′，连接CP′，此时DP′＋CP′＝DP′＋P′C′＝DC′即为PC＋PD的最小值．连接BC′，由对称性可知∠C′BP′＝∠CBP′＝45°，BC′＝BC＝3＋1＝4，∴∠CBC′＝90°.根据勾股定理，
得
∴PC＋PD的最小值为5.
【点方法】在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离之和最短的方法：
先找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点的线段与该直线的交点即为所要找的点，连接对称点与另一个点的线段长就是最短的距离之和.
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9．【2022·西安交大附中模拟】八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝
的高度CE，他们进行了如下操作：
(1)测得BD的长度为15 m(注：BD⊥CE)；
(2)根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；
(3)测得牵线处离地面的高度AB为1.6 m.
求风筝的高度CE.
解：在Rt△CDB中，
易得DE＝AB＝1.6 m.
∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(m)．
答：风筝的高度CE为21.6 m.
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10．【教材P26练习T1变式】【2021·包头】某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为
km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°(A，
B，C，D在同一水平面内)．
(1)求A，D两点之间的距离；
解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°.∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
(2)求隧道AB的长度．
∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴∠ADE＝45°.
∵∠CDB＝135°，∴∠ADB＝135°－45°＝90°.
即隧道AB的长度为3 km.
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11．【教材P28习题T3改编】如图，有一个高为12 cm，底面直径为10 cm的圆锥．现有一只蚂蚁在圆锥的顶点M处，它想吃圆锥底部N处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程．
解：如图，设O为圆锥底面圆的圆心，连接MO，NO，MN，则MO⊥NO，MN的长度就是蚂蚁爬行的最短路程．由题意知MO＝12 cm，NO＝5 cm，
∴在Rt△MNO中，MN＝
答：蚂蚁需要爬行的最短路程为13 cm.
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12．【数学建模】【中考·河北】勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直的铁路经过A，B两地．
(1)A，B间的距离为________km；
20
【点拨】(1)由A，B两点的纵坐标相同可知AB∥x轴，则AB＝12－(－8)＝20(km)．
13
(2)计划修一条从C到铁路AB的 l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间
的距离为________km.
如图，过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交l于点D，连接AD.易知CE＝1－(－17)＝18 (km)，AE＝12 km.设CD＝x km，则AD＝CD＝x km.由勾股定理得x2＝(18－x)2＋122，
解得x＝13.故CD＝13 km.
【点拨】
【思路点拨】(1)根据A，B两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；
(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交l于点D，连接AD.根据A，B，C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x km，根据勾股定理即可求出x的值．
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第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第3课时 勾股定理的几何应用
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
C
(2，0)
5
B
D
3，2；
斜边长
8
C
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
见习题
见习题
1．在数轴上找表示无理数的点，其实质是确定两直角边长分别为正整数的直角三角形斜边的长．例如：在数轴上找表示± 的点时，是以原点O为圆心，以两直角边长分别为________的直角三角形的________为半径画弧，与数轴的两个交点即为表示± 的点．
3，2
斜边长
【点方法】在数轴上作出表示的点的步骤：
第1步：利用勾股定理画出长为的线段；
第2步：在数轴上以原点为圆心，以长为的线段长为半径画弧与数轴的正半轴相交，交点即为所求作的点.
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2．【教材P27练习T1变式】如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为( )
C
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3．【2022·吉林】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为__________．
(2，0)
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4．【中考·辽阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为________．
5
返回
5．【2022·金华】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2 cm，把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为________cm.
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6．【2022·遵义】如图①是第七届国际数学教育大会(ICME 7)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC，若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为( )
B
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7．【中考·枣庄】如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )
D
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8．【中考·陕西】如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( )
C
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9．【教材P29习题T14变式】如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：
(1)△ACE≌△BCD；
证明：(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CE＝CD，
∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD.
∴∠BCD＝∠ACE.∴△ACE≌△BCD(SAS)．
9．【教材P29习题T14变式】如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：
(2)AD2＋AE2＝DE2.
∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠DBC.
∵∠DBC＋∠DAC＝90°，
∴∠EAC＋∠DAC＝∠EAD＝90°.
∴AD2＋AE2＝DE2.
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10．【中考·绍兴】如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
解：(1)①AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20.
②当A，D，M三点为同一直角三角形
的顶点时，求AM的长．
显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，
当∠ADM为直角时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1 000，
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1旋转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
如图，连接CD1.由题意知∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 .∵∠AD2C＝135°，
∴∠CD2D1＝90°.
∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，
∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，
即∠BAD2＝∠CAD1.又∵AB＝AC，AD2＝AD1，
∴△BAD2≌△CAD1(SAS)．∴BD2＝CD1＝30 .
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11．【思维逻辑】如图，AD是△ABC的中线．
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
证明：过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ABE，Rt△ACE和Rt△ADE中，根据勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋EC2，AE2＝AD2－DE2，∴AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋EC2＝2(AD2－DE2)＋(BD－DE)2＋(CD＋DE)2＝2AD2－2DE2＋BD2－2BD·DE＋DE2＋CD2＋2CD·DE＋DE2＝2AD2＋BD2＋CD2－2BD·DE＋2CD·DE.
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∴AB2＋AC2＝2AD2＋2CD2，
即AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
【点方法】证明三角形各边之间的平方关系的方法：
先观察各边是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定理进行证明；若不在，需作垂线，化斜为直，使各边在直角三角形中，再利用勾股定理进行证明.
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12．【教材P27图17.1－11变式】图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA8的长；
(2)求出S12＋S22＋S32＋…＋S82的值．
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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
逆定理
B
0
见习题
C
互逆命题；
逆命题
8
B
9
A
10
11
①
12
m2＋1
直角三角形
勾股数
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这样的两个命题叫做__________，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的________．
互逆命题
返回
逆命题
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为__________．
逆定理
返回
3．下列说法正确的是( )
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
B
返回
4．【教材P33练习T2变式】已知下列命题：
①若a＞b，则a2＞b2；
②若a＞1，则(a－1)0＝1；
③两个全等三角形的面积相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是________．
0
返回
5．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是__________．
直角三角形
返回
6．【2022·海口一中模拟】阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
错解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②
所以c2＝a2＋b2.③
所以△ABC为直角三角形．④
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：________．
(2)错误的原因是___________________________．
(3)本题正确的结论是________________________________．
③
返回
不能确定a2－b2是否为0
△ABC为等腰三角形或直角三角形
7．【教材P34习题T1改编】下列以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是( )
C
返回
8．【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
B
返回
9．【教材P33练习T1变式】若△ABC的三边长为a，b，c且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．a边的对角是直角
B．b边的对角是直角
C．c边的对角是直角
D．△ABC不是直角三角形
A
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10．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为__________．
勾股数
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11．下列各组数能构成勾股数的是__________(填序号)．
① 6，8，10；② 7，8，10；③ 0.6，0.8，1.
【点方法】确定勾股数的方法：
首先看这三个数是否是正整数，然后看较小的两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度.
①
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12．【新考法题】【2022·黄冈】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五．”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是__________(结果用含m的式子表示)．
m2＋1
【点拨】∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a＋2.
∴(2m)2＋a2＝(a＋2)2，解得a＝m2－1.
∴弦是m2＋1.
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13．【中考·呼和浩特】如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
解：∠A＋∠B<∠C.
13．【中考·呼和浩特】如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(2)求证：△ABC的内角和等于180°；
证明：如图，过点B作MN∥AC，
则∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C.
∵∠MBA＋∠ABC＋∠NBC＝180°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
即△ABC的内角和等于180°.
【点技巧】通过作平行线将三角形内角和转化为平角.
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14．【中考·河北】已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0.
尝试 化简整式A.
发现 A＝B2，求整式B.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值．
直角三角形三边 n2－1 2n B
勾股数组Ⅰ / 8
勾股数组Ⅱ 35 /
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解：尝试 A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2
＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2.
发现 ∵A＝B2，B>0，
∴B＝n2＋1.
联想 17；37
15．【探究题】(1)【操作发现】
如图①，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝________.
45°
解：(1)如图①所示．
(2)【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝
，PC＝1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A，连接PP′，则AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝ ，∠PBP′＝60°，
∠AP′B＝∠BPC，∴△BPP′是等边三角形．
∴PP′＝BP＝ ，∠BP′P＝60°.
又∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2＋PP′2＝AP2.
∴△PP′A是直角三角形，且∠AP′P＝90°.
∴∠BPC＝∠AP′B＝90°＋60°＝150°.
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
则∠MP′B＝180°－150°＝30°，
【思路点拨】解答本题要紧扣两个切入点：一是将分散的已知线段(PA，PB，PC)集中到同一个三角形中去；二是用旋转法进行转化．
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第十七章 勾股定理
全章热门考点整合专训
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
C
C
见习题
C
见习题
见习题
8
见习题
9
见习题
10
11
北偏东50°
12
见习题
见习题
B
13
见习题
1．【教材P38复习题T6改编】【2022·无锡】请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题：
_________________________．
如果b－a＜0，那么a＞b
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2．下面三个定理中，存在逆定理的有( )
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②全等三角形的对应角相等；
③同位角相等，两直线平行．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C
【点方法】判断一个定理是否有逆定理的方法：
先把定理作为原命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题的真假．如果是假命题，举一个反例即可判断原定理没有逆定理；如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理.
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C
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3．下列各组数中，是勾股数的一组为( )
A．0.7，0.24，0.25
B．32，42，52
C．40，41，9
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．
解：设CD＝x.在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，
整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①
在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，
整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②
由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，
解得x＝1.4.即CD的长是1.4.
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5．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n＞1)的式子表示：a＝________，b＝________，c＝________；
n2－1
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
2n
n2＋1
(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．
以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
证明：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
∴a2＋b2＝c2.
∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
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6．【直观想象】【2022·金华】如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是( )
C
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7．如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝10 km，BD＝30 km，且CD＝30 km，现在要在河边建一自来水厂，分别直接向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．请你在河岸l上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少．
解：如图，作点A关于直线l的对称点A′，
连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．
连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD，交BD的延长线于点E.在Rt△A′BE中，A′E＝30 km，BE＝BD＋DE＝BD＋A′C＝40 km.由勾股定理得A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402＝502，∴A′B＝50 km.∴MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50 km.∴铺设水管的最少费用为50×3＝150(万元)．
【点技巧】利用对称法将两点到直线上一点的最短距离和转化为两点间的距离，用勾股定理求解即可．
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8．【新考法题】如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．
解：如图，连接EE′.
由题意可知△ABE≌△CBE′，∠EBE′＝90°，
∴E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2.
在△EE′C中，EE′2＋CE′2＝BE2＋BE′2＋CE′2＝9，EC2＝9，
∴EE′2＋CE′2＝EC2.∴△EE′C为直角三角形，
且∠EE′C＝90°.∵BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.
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9．如图，已知等腰三角形ABC的底边长BC＝20 cm，D是AC上的一点，且BD＝16 cm，CD＝12 cm.
(1)求证：BD⊥AC；
证明：∵122＋162＝202，
∴CD2＋BD2＝BC2.
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.
∴BD⊥AC.
(2)求△ABC的面积．
解：设AD＝x cm，则AC＝(x＋12)cm.
∵AB＝AC，∴AB＝(x＋12)cm.在Rt△ABD中，
AB2＝AD2＋BD2，∴(x＋12)2＝x2＋162，
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10．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB＝2.5 m，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名身高1.6 m的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2 m的地方时(BC＝1.2 m)，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于( )
A．1.2 m B．1.5 m
C．2.0 m D．2.5 m
B
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【点拨】如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵AB＝2.5 m，BE＝CD＝1.6 m，
∴AE＝AB－BE＝2.5－1.6＝0.9(m)．
易知ED＝BC＝1.2 m，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
11．【教材P33例2改编】【2021·玉林】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿____________方向航行．
北偏东50°
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12．如图，将长方形ABCD的边AD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝6，△ABF的面积是24，求EF的长．
解：∵S△ABF＝ AB·BF＝24，AB＝6，∴BF＝8.
在Rt△ABF中，AF2＝AB2＋BF2＝100，∴AF＝10.
由折叠的性质可得AD＝AF＝10，DE＝EF.
∵四边形ABCD是长方形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6.
∴FC＝BC－BF＝10－8＝2.设EF＝x，
则DE＝x，EC＝6－x.在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋FC2，
即x2＝(6－x)2＋22，
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13．【教材P39复习题T12变式】如图，已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？
解：分三种情况：
如图①，连接AB′.在Rt△ABB′中，由勾股定理得AB′2＝AB2＋BB′2＝(2＋1)2＋42＝25；如图②，连接AB′.在Rt△ACB′中，由勾股定理得AB′2＝AC2＋B′C2＝22＋(4＋1)2＝4＋25＝29；
如图③，连接AB′.在Rt△ADB′中，由勾股定理得AB′2＝AD2＋B′D2＝12＋(4＋2)2＝1＋36＝37.∵25＜29＜37，
∴第一种情况路程最短，此时AB′＝5 cm.
∴蚂蚁爬行的最短路程是5 cm.
【点方法】确定几何体上的最短路线的方法：确定几何体上的最短路线时，我们往往无法直接求解，这时就需要利用转化思想把曲面转化为平面，把曲线转化为直线，再通过构造直角三角形，利用勾股定理求出未知线段的长.
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