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第十七章 勾股定理
素养集训
1．利用勾股定理解题的十种
常见题型
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1．【教材P27练习T1改编】在如图所示的数轴上找到表示实数－ 的点(要求简要说明作图过程)．
解：作法：如图，过原点O作OC垂直于数轴，使OC＝1，以点C为圆心，2为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点A即为所求的点．
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2．【新考法题】【2022·泰州】如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为________．
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【点拨】如图，第一步到①，第二步到②. 故走两步后的落点与出发点间的最短距离为
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
解：如图，连接BD.
∵在等腰直角三角形ABC中，
点D为AC边的中点，∠ABC＝90°，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝∠CBD＝45°.
又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.
∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC，
∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF＝90°.
∴∠FDC＝∠EDB.在△EDB和△FDC中，
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4．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，
即△ADC是直角三角形．由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.
∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．
由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2.
∴BC2＝AB2，即AB＝BC.
【点方法】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：
1．找出图中证明结论所要用到的直角三角形；
2．根据勾股定理写出三边长的平方关系；
3．联系已知，等量代换，求之即可．
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5．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.
求证：BP2＝BC2＋AP2.
证明：如图，连接BM.∵MP⊥AB，
∴△BMP和△AMP均为直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2，∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.
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6．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.
求BC的长．
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7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4.将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′的长为多少？
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝5.
由折叠的性质得AB′＝AB＝3，B′E＝BE，∠AB′E＝∠B＝90°，则B′C＝AC－AB′＝5－3＝2，∠EB′C＝90°.
设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x.
在Rt△B′CE中，由勾股定理得B′E2＋B′C2＝CE2，
即x2＋22＝(4－x)2，
【点要点】关于折叠问题要紧扣折叠前后的对应边相等，对应角相等，解题时应注意：
1．利用重合的图形传递数据，一般不用重合的图形进行计算；
2．选择直角三角形，这个直角三角形一般已知一边，另两边可通过重合图形找到数量关系.
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8．【数学建模】海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时通过植被、下沉式绿地、渗透塘等设施吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水“释放”并加以利用．镇江市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地(如图中的四边形ABCD)．经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20 m，∠B＝60°，∠D＝45°，
求该绿地边界的周长(结果保留根号)．
解：连接AC，过点A作AE⊥CD于E，如图，则∠AEC＝∠AED＝90°.∵AB＝BC＝20 m，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝20 m，
∠BAC＝60°.∵AB∥CD，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°.∴∠CAE＝30°.
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9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿A－C－B－A运动，设运动时间为t(秒)(t＞0)．
(1)若点P在AC上，且PA＝PB，求此时t的值；
解：(1)如图①，PA＝PB.
在Rt△ACB中，由勾股定理得
由题意知PB＝PA＝t，则PC＝8－t.
在Rt△PCB中，由勾股定理得(8－t)2＋62＝t2，
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求此时t的值．
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10．【阅读探究题】【几何模型】
条件：如图①，A，B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则PA＋PB＝A′P＋PB＝A′B，由“两点之间，线段最短”可知，P即为所求的点．
【模型应用】
如图②，两个村子A，B在一条河CD的同侧，A，B两村到河边的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km.现要在河边CD上建造一水厂，向A，B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米200元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W.
解：【模型应用】如图，延长AC至点A′，使A′C＝AC，连接BA′交CD于点P，则点P即为所求的水厂位置．过点A′作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，连接AP，则四边形CA′ED为长方形，∴DE＝A′C＝AC＝1 km，A′E＝CD＝3 km.
∴BE＝BD＋DE＝4 km.在Rt△A′BE中，由勾股定理得A′B＝ ＝5(km)，∴PA＋PB的
最小值为A′B的长，是5 km.故最省的铺设
水管的费用W＝200×5＝1 000(元)．
【拓展延伸】
如图③，在△ABC中，点D在BC边上，过点D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA，PE.若PA＋PE的值最小，则点P应该满足( )
A．∠APC＝∠EPD
B．PA＝PE
C．∠APE＝90°
D．∠APC＝∠DEP
A
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第十七章 勾股定理
素养集训
2.勾股定理及其逆定理的八种应用
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A
C
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B
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A
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北偏西40°
见习题
1．【教材P23图17.1－5变式】【2021·攀枝花】如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形
的两条直角边分别为a，b，斜边为c.请你
运用此图形证明勾股定理：a2＋b2＝c2.
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证明：由题图知
S大正方形＝4× ab＋(b－a)2＝2ab＋b2＋a2－2ab＝a2＋b2.
∵S大正方形＝c2，
∴a2＋b2＝c2.
2．【中考·衢州】把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为( )
A
【点拨】由折叠过程补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是长方形，∴∠ADC＝∠A＝90°，
AD＝BC＝1，CD＝AB.由第一次折叠得∠ADE＝∠A′DE＝
【点技巧】折叠问题中的解题技巧：
1．折叠的实质是轴对称，折叠前后的图形是全等图形，从而实现线段、角的转化；
2．折痕常作为“角平分线”使用；
3．折叠后形成的新直角三角形的三边关系是利用勾股定理求解的关键.
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3．【教材P39复习题T12改编】【中考·东营】如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是( )
C
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4．【逻辑推理】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．
锐角
钝角
(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2______c2时，△ABC为钝角三角形．(填“＞”或“＜”)
(3)判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
＞
＜
∵c为最长边，∴4≤c＜6.
①当a2＋b2＞c2时，c2＜20，即4≤c＜2，△ABC为锐角三角形；②当a2＋b2＝c2时，c2＝20，即c＝2，△ABC为直角三角形；
③当a2＋b2＜c2时，c2＞20，即2＜c＜6，△ABC为钝角三角形．
【点要点】当两短边的平方和等于最长边的平方时，该三角形为直角三角形；当两短边的平方和大于最长边的平方时，该三角形为锐角三角形；当两短边的平方和小于最长边的平方时，该三角形为钝角三角形.
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5．【教材P33例2改编】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙两船每小时分别航行6海里和8海里，1.5小时后两船分别位于点A，B处，且相距15海里，如果知道乙船沿北偏东50°方向航行，则甲船沿__________方向航行．
北偏西40°
【点拨】由题意可知AP＝9海里，BP＝12海里，AB＝15海里．
∵92＋122＝152，
∴△APB是直角三角形，且∠APB＝90°.
由题意知∠BPN＝50°，
∴∠APN＝90°－∠BPN＝90°－50°＝40°.
即甲船沿北偏西40°方向航行．
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6．【中考·淄博】如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为( )
B
【点拨】如图，延长BG交CH于点E.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD.
又∵AG＝CH，BG＝DH，∴△ABG≌△CDH(SSS)．
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6.∵AG＝8，BG＝6，AB＝10，
∴AG2＋BG2＝AB2.∴△ABG是直角三角形，
且∠AGB＝90°.∴△CDH也是直角三角形，∠CHD＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°，∠5＋∠6＝90°.
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又∵∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠5＝90°，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠6＝∠2.
又∵AB＝BC，∴△ABG≌△BCE(ASA)．
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°.
∴GE＝BE－BG＝8－6＝2，HE＝CH－CE＝8－6＝2.
在Rt△GHE中，GH＝
7．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE＝ BC.
求证：∠AFE是直角．
证明：如图，连接AE，
设CE＝a，则BC＝4a，BE＝3a.
∵四边形ABCD为正方形，且F为DC的中点，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝4a，DF＝CF＝2a.
由勾股定理得AF2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2 ，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2，
AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2.
∵AF2＋EF2＝20a2＋5a2＝25a2，
∴AF2＋EF2＝AE2.
∴△AEF为直角三角形，且∠AFE＝90°.
∴∠AFE是直角．
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8．【教材P39复习题T9改编】如图是由边长为
1的小正方形组成的网格．
(1)求四边形ABCD的面积．
解：(1)如图所示，四边形ABCD可分
成4个小直角三角形，分别为Rt△AED，Rt△CED，Rt△AFB，Rt△CFB，发现每个小直角三角形的面积恰好是以其直角边为邻边的长方形(或正方形)面积的一半，因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半，即 ×52＝12.5.
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗？请说出你的理由．
AD⊥CD.理由如下：在△ADC中，
∵AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，
AC2＝52＝25，∴AD2＋CD2＝AC2.
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°.
∴AD⊥CD.
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9．【传统文化】【中考·长沙】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为( )
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
A
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10．【数学建模】2022年10月10日是辛亥革命111周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得AB＝AD＝26 m，BC＝16 m，CD＝12 m，且BD＝20 m.
(1)求证：∠BCD＝90°；
证明：∵在△BCD中，BC＝16 m，CD＝12 m，BD＝20 m，
∴BC2＋CD2＝162＋122＝400，BD2＝202＝400.
∴BC2＋CD2＝BD2.
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°.
(2)求四边形展区(阴影部分)的面积．
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