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第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
第1课时 平行四边形的边、角性质
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
C
C
对边；相等
B
相等；
互补
平行；
ABCD
8
见习题
9
D
10
11
△ABC；
△BCD
12
见习题
B
都相等；
相等
13
见习题
14
见习题
15
见习题
16
见习题
1．两组对边分别________的四边形叫做平行四边形；平行四边形ABCD记作“__________”．
平行
返回
ABCD
2．【教材P51习题T11变式】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
返回
3．【2022·大庆】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为( )
A．108°
B．109°
C．110°
D．111°
C
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠ABD＝∠CDB.由折叠的性质得∠EBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD.
∵∠1＝∠CDB＋∠EBD＝56°，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠ABD＝28°.
∴∠A＝180°－∠2－∠ABD＝180°－42°－28°＝110°.
返回
4．平行四边形的________平行．
平行四边形的对边________．
对边
返回
相等
5．【2022·内江】如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
B
返回
6．【2021·贵阳】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F.若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( )
A．1
B．2
C．2.5
D．3
B
返回
7．平行四边形的对角________，邻角________．
相等
返回
互补
8．【开放题】【2022·荆州】如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H.添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是_____________________(只需写一种情况)．
BE＝DF(答案不唯一)
返回
9．【2022·无锡】如图，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则 的值是( )
D
【点拨】如图，过点B作BH⊥AD于点H. 设∠ADB＝x.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°.
∴∠CBD＝∠ADB＝x.∵AD＝BD，
解得x＝30°.
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10．如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离________．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．夹在两条平行线间的平行线段__________．
都相等
返回
相等
11．【教材P50习题T7变式】如图，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，和△ABD面积相等的三角形是__________，和△ACD面积相等的三角形是__________．
△ABC
返回
△BCD
12．【2021·桂林】如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F.
(1)求证：∠1＝∠2；
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠1＝∠2.
(2)求证：△DOF≌△BOE.
返回
∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB.
在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(AAS)．
13．【2022·泸州】如图，E，F分别是 ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF.求证：DE＝BF.
返回
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
∴DE＝BF.
返回
14．【2022·宿迁】如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AB＝CD，∠B＝∠D.
∵点E，F分别是边AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝CF＝DF.
∴△EBC≌△FDA(SAS)．
∴AF＝CE.
15．【2022·广西】如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线．
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，
分别交AD，BC于点E，F
(不写作法，保留作图痕迹)；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，
AD＝BC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB(SSS)．
解：如图所示．
(3)连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．
解：如图所示．
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED.
∴∠BDE＝∠DBE＝25°.
∵∠AEB是△BED的外角，
∴∠AEB＝∠DBE＋∠BDE＝25°＋25°＝50°.
返回
16．【2022·昆明十中模拟】如图，在平行四边形ADBC中，∠C＝60°，AC＝BC，点E，F分别在BC，AC上，BE＝CF，AE与BF相交于点G.
(1)求∠EGB的度数；
解：∵∠C＝60°，AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)．
∴∠BAE＝∠CBF.
∴∠EGB＝∠ABG＋∠BAG＝
∠ABG＋∠CBF＝∠ABC＝60°.
(2)连接DG，求证：DG＝AG＋BG.
证明：延长GE至点H，使GH＝GB，
连接BH，如图所示．
∵∠BGE＝60°，∴△BGH为等边三角形．
∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°.
∵四边形ADBC是平行四边形，△ABC是等边三角形，
∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD，∠ABD＝60°.
∴∠ABD＝∠GBH.
∵∠ABH＝∠GBH＋∠ABG，∠DBG＝∠ABD＋∠ABG，
∴∠ABH＝∠DBG.
在△DBG和△ABH中，
∴△DBG≌△ABH(SAS)．∴DG＝AH.
∵AH＝AG＋GH，∴DG＝AG＋BG.
【思路点拨】(2)中延长GE至点H，使GH＝GB，连接BH，构造等边三角形GBH.证明△DBG和△ABH全等，利用全等三角形的对应边相等进行等线段转换，问题得证．
【点方法】截长法和补短法是证明线段的和、差关系常用的方法．
截长法——在长线段上截取一条线段使它等于两条相加线段中的一条线段，并证明长线段中余下线段等于另一条线段 .
补短法——即延长两条相加线段中的一条线段，使延长部分等于另一条线段，并证明这两条线段的和等于长线段 .
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第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
第2课时 平行四边形的对角线性质
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
A
见习题
见习题
C
B
见习题
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
底和高；
交点
见习题
13
见习题
1．平行四边形的对角线__________，并将平行四边形分成______对全等的三角形，______对面积相等的三角形．
互相平分
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4
12
2．【2021·遵义】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．OB＝OD
B．AB＝BC
C．AC⊥BD
D．∠ABD＝∠CBD
A
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3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，则CD的长为________．
返回
4．【2021·宿迁】在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，________(填写序号)．求证：BE＝DF.
(答案不唯一)②
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(SAS)．
∴BE＝DF.
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5．平行四边形的面积等于____________的积；过平行四边形对角线________的任一直线都将平行四边形分成面积相等的两部分．
底和高
返回
交点
6．【教材P51习题T15改编】如图，在 ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E的线段FG，HP分别交平行四边形四边于点F，G，H，P.若要确保图中两个阴影部分的面积相等，则需要添加的条件是( )
A．∠ABC＝90°
B．DE：EB＝2：3
C．FG∥BC，HP∥AB
D．ABC
【点方法】平行四边形的对角线等分面积：
由平行四边形的一条对角线所分得的两个三角形的面积相等，由平行四边形的两条对角线所分得的四个三角形的面积相等.
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7．【2022·乐山】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为( )
B
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8．【2022·盘锦】如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝3.按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN.
若直线MN恰好经过点A，则平行四边形ABCD的面积是________．
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9．【教材P44例2拓展】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H.若AB＝2，BC＝2 ，求AH的长．
返回
10．【2022·无锡】如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点
E，F，连接DE，BF.求证：
(1)△DOF≌△BOE；
证明：(1)∵点O为对角线BD的中点，∴OD＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥EB.
∴∠DFE＝∠BEF.在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(AAS)．
(2)DE＝BF.
∵△DOF≌△BOE，
∴OF＝OE.
易证得△DOE≌△BOF，
∴DE＝BF.
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11．【逻辑推理】如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O任意作一条直线l，
分别交AD，BC于E，F两点．
(1)OE与OF相等吗？试说明理由．
解：(1)OE＝OF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF.在△ODE和△OBF中，
∴△ODE≌△OBF(ASA)．∴OE＝OF.
(2)若直线l分别交BA和DC的延长线于点M，N，OM与ON相等吗？试说明理由．
OM＝ON.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB∥CD.∴∠OBM＝∠ODN.
在△OBM和△ODN中，
∴△OBM≌△ODN(ASA)．
∴OM＝ON.
(3)由(1)(2)你发现了什么？用语言表述出来．
过平行四边形两条对角线交点的任意一条直线和这个平行四边形的两组对边所在直线相交，所得每组对边所在直线的交点到对角线交点的距离相等．
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12．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC?BD＝2∶3.求：
(1)AC的长；
(2)△AOD的面积．
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13．【2022·扬州】如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC, 交AC于点E，G.
(1)求证： BE∥DG, BE＝DG.
【思路点拨】过点E作BC边上的高，将S△ABC转化为S△ABE与S△BCE的和．
证明：在 ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA.
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ADG＝∠CBE.∵∠DGE＝∠DAC＋∠ADG，
∠BEG＝∠BCA＋∠CBE，∴∠DGE＝∠BEG.
∴BE∥DG.在△ADG和△CBE中，
∴△ADG≌△CBE(ASA)．
∴BE＝DG.
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56, EF＝6，求△ABC的面积．
解：过点E作EH⊥BC于点H.
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴EH＝EF＝6.
∵ ABCD的周长为56，∴AB＋BC＝28.
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第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
B
＝；＝
见习题
B
∥；＝
8
＝
9
B
10
11
见习题
12
见习题
B
见习题
13
见习题
14
见习题
1．在四边形ABCD中，若AB∥CD且AD______BC，或AB＝CD且AD______BC，则四边形ABCD是平行四边形．
∥
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＝
2．【中考·玉林】在四边形ABCD中：
①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC.
从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
B
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【点方法】由边的关系判定平行四边形的方法：
1．若已知一组对边平行，则可采用证这组对边相等或另一组对边平行这两种方法判定平行四边形；
2．若已知一组对边相等，则可采用证这组对边平行或另一组对边相等这两种方法判定平行四边形.
3．【2022·嘉兴】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8.点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是( )
A．8
B．16
C．24
D．32
B
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4．在四边形ABCD中，若∠A______∠C且∠B______∠D，则四边形ABCD是平行四边形．
＝
返回
＝
5．【易错题】在四边形ABCD中，∠A＝50°，能够使此四边形为平行四边形的条件是( )
A．∠D＝130°
B．∠B＝130°，∠C＝50°
C．∠C＝50°
D．∠B＝50°，∠C＝130°
B
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6．【教材P45图18.1－10变式】【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件_______________________(只添加一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
BO＝DO(答案不唯一)
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7．【中考·泸州】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC
D．AC⊥BD
B
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8．在四边形ABCD中，若AB∥CD且AB______CD，则四边形ABCD是平行四边形．
＝
返回
9．【2022·福建】如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是( )
B
【点拨】在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，
易求得BC＝8 .
由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形．
∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0，
∴AA′＝12.
∴S四边形ACC′A′＝12×8 ＝96 .
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10．【2022·河池】如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF.
(1)求证：∠ACB＝∠DFE；
证明：∵AF＝CD，
∴AF＋CF＝CD＋CF，即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
∴∠ACB＝∠DFE.
10．【2022·河池】如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF.
(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
解：四边形BFEC是平行四边形．
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11．【2022·株洲】如图，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于
点F，已知AE＝DE，FE＝CE.
(1)求证：△AEF≌△DEC；
证明：(1)在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(SAS)．
11．【2022·株洲】如图，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于
点F，已知AE＝DE，FE＝CE.
(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
∵△AEF≌△DEC，∴∠AFE＝∠DCE，
∴AB∥CD.∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
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12．【教材P46例3变式】【2022·内江】如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.求证：
(1)△ABE≌△CDF；
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
12．【教材P46例3变式】【2022·内江】如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.求证：
(2)四边形AECF是平行四边形．
由(1)可知△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∴180°－∠AEB＝180°－∠CFD，
即∠AEF＝∠CFE.∴AE∥CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
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13．【2021·聊城】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，
满足∠EAO＝∠DCO.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
证明：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD(ASA)．
∴OD＝OE.
又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形．
(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
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14．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.
(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的大小；
解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，
点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠DCE＝∠ACB＝30°，
∠DEC＝∠ABC＝90°.
∴∠CAD＝∠CDA＝ ×(180°－30°)＝75°.
∴∠ADE＝90°－75°＝15°.
(2)若α＝60°，点F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：如图，连接AD.设AC与BE交于点G.
由旋转的性质得AC＝DC，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∵F是AC的中点，∴DF⊥AC.
同理可证△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°.
∵∠ACE＝60°－∠ACB＝30°，∴∠EGC＝90°.
∴EB⊥AC.∴EB∥DF.
∵∠BAC＝90°－∠ACB＝60°，AB＝AF＝ AC，
∴△ABF是等边三角形．∴∠AFB＝60°.∴∠FBG＝30°.
由旋转的性质得∠DEC＝∠ABC＝90°，则∠DEB＋∠FBG＝90°＋60°＋30°＝180°，
∴ED∥BF.∴四边形BEDF是平行四边形．
【点思路】(2)连接AD，利用旋转可知△ACD，△ABF和△BCE均为等边三角形，根据等边三角形的性质可证得EB∥DF，ED∥BF，即可得到结论．
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第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
第4课时 三角形的中位线
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
A
见习题
D
见习题
见习题
8
见习题
9
C
10
11
见习题
12
见行四边形
见习题
13
见习题
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的________．三角形的中位线________三角形的第三边，并且等于第三边的________．
中位线
返回
平行于
一半
2．【教材P49练习T1变式】【2022·丽水】如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是( )
A．28
B．14
C．10
D．7
B
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3．【2022·黑龙江】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P.若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是( )
A．2.5 B．2
C．3.5 D．3
A
【点思路】过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，进而可得AD的长；由△ABC的面积是24，得BC的长，进而可得EG的长，最后由勾股定理可得结论.
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4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，FE交于点M，延长FE，CD交于点N.求证：∠AME＝∠N.(提示：连接AC并取AC中点构造中位线)
证明：如图，连接AC，取AC的中点G，连接EG，FG.
∵E为AD的中点，∴EG为△DAC的中位线．
∴EG∥DC，EG＝ DC.∴∠FEG＝∠N.
同理可得FG∥AB，FG＝ AB，∴∠EFG＝∠AME.
∵AB＝CD，∴EG＝FG.∴∠FEG＝∠EFG.∴∠AME＝∠N.
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5．顺次连接四边形各边中点所成的四边形一定是______________．
平行四边形
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6．如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为( )
A．10 cm
B．11 cm
C．12 cm
D．22 cm
D
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7．【2021·菏泽】如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D，E分别为AC，BC的中点，DE＝2，过点B作
BF∥AC，交DE的延长线于点F，则
四边形ABFD的面积为________．
【点思路】由三角形的中位线定理得DE∥AB，AB＝2DE＝4，进而证得四边形ABFD是平行四边形．
在Rt△ABC中，根据勾股定理求出
从而得
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8．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是BE的中点，连接CE.
求证：四边形ADCE是平行四边形．
证明：∵AD是△ABC的边BC上的中线，
F是BE的中点，∴BF＝EF，BD＝CD.
∴DF∥CE，即AD∥CE.
又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．
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9．【2021·宁波】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝ .若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
C
【点拨】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠B＝45°，BD＝ ，∴AD＝BD＝ .
∵∠C＝60°，∴∠CAD＝30°.
∴AC＝2CD.
∵AD2＋CD2＝AC2，
∴( )2＋CD2＝4CD2，解得CD＝1. ∴AC＝2.
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10．【中考·湖州】如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB.
∴四边形BEFD是平行四边形．
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
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解：∵∠AFB＝90°，F是AC的中点，
∴∠AFB＝∠CFB＝90°，AF＝CF.
又∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF(SAS)．∴AB＝BC＝6.
又∵四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD的周长为(3＋3)×2＝12.
11．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N.求证：MN∥AD，MN＝ AD.
证明：连接EF.
∵四边形ABCD为平行四边形，且DE＝CF，
∴四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形．
∴FM＝AM，FN＝DN.
∴MN∥AD，MN＝ AD.
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12．【新考法题】如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD和AC于点E，F，对角线AC和BD相交于点G.求证：GE＝GF.
证明：取BC的中点P，连接MP，NP.
∵AM＝BM，BP＝CP，
又∵AC＝BD，∴MP＝NP.∴∠PMN＝∠PNM.
∵MP∥AC，NP∥BD，
∴∠GFE＝∠PMN，∠GEF＝∠PNM.
∴∠GFE＝∠GEF.∴GE＝GF.
【点技巧】三角形的中位线具有角度、线段转化的功能，因此当遇到中点或三角形的中线时，应考虑是否作中位线，即“遇到中点想中位线”．
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13．如图，在 ABCD中，E，F分别是DC，AE的中点，FC与BE交于G.求证：GF＝GC.
证明：如图，取BE的中点H，连接FH，CH.
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线．
∴FH∥AB且FH＝ AB.
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在 ABCD中，AB∥DC，AB＝DC.
又∵点E是DC的中点，
∴FH＝EC.又∵AB∥DC，∴FH∥EC.
∴四边形EFHC是平行四边形．∴GF＝GC.
【思路点拨】欲证GF＝GC，联想平行四边形的对角线互相平分构造平行四边形．由于F为AE的中点，故取BE的中点H，连接FH，CH，利用三角形中位线的性质易证FH EC.(共25张PPT)
第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形
第1课时 矩形及其性质
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
直角；平
行；相等
C
C
见习题
见习题
8
等于斜边
的一半
9
A
10
11
48
12
见习题
相等；互相
平分；4
D
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．有一个角是________的平行四边形是矩形，它包含两层含义：一是____________＋一个直角可得矩形；二是矩形一定是____________且有一个角是________．
直角
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平行四边形
平行四边形
直角
2．【2022·无锡】雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为( )
A．扇形 B．平行四边形
C．等边三角形 D．矩形
B
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3．矩形的四个角都是__________；
矩形的对边________且________．
直角
返回
平行
相等
4．【2022·安徽】两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝( )
A．α－90° B．α－45°
C．180°－α D．270°－α
C
【点拨】如图所示．∵∠1＝90°＋∠3，∠1＝α，
∴∠3＝α－90°.∵∠3＋∠2＝90°，
∴∠2＝90°－∠3＝90°－(α－90°)
＝90°－α＋90°＝180°－α.
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5．矩形的对角线________且____________，它的两条对角线把矩形分成________个等腰三角形．
相等
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互相平分
4
6．矩形具有而平行四边形 的性质是( )
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
C
返回
7．【教材P53例1变式】【2022·吉林】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝ AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝________．
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8．根据矩形的两条对角线相等且互相平分，将矩形沿一条对角线切去一半后，可得出直角三角形斜边上的中线______________．
等于斜边的一半
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9．【2021·新疆】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A
【点拨】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.
∵E是AB的中点，AB＝4，
∴△BCE为等边三角形．
∵CD⊥AB，∴DE＝BD＝
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10．【2022·宁波】如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点，若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为( )
D
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11．【2022·宜昌】如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为________．
48
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【点思路】由矩形的性质得出∠BAE＝∠CDE＝90°， AD∥BC；由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质得出BE＝6, CE＝8，BC＝10；由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，进而求出S△BCE＝
BE·CE＝24，即可求出矩形ABCD的面积 .
12．【2022·鄂州】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD.
(1)求证：DF＝CF；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD.∴∠ACD＝∠BDC.
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.
(2)若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．
解：由(1)可知DF＝CF.∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形．∴CD＝DF＝6.
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形．∴OC＝OD＝6.∴BD＝2OD＝12.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°.
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13．【2022·杭州】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB.∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B.
∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°.
∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°.∵∠A＝50°，∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°.∴∠MEC＝∠EMC.
∴CE＝CM.
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
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14．【2022·丽水】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.
(1)求证：△PDE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD.
由折叠得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°，
∴PD＝CD，∠PDF＝∠ADC.∴∠PDE＝∠CDF.
在△PDE和△CDF中，
∴△PDE≌△CDF(ASA)．
(2)若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长．
解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGF＝90°.
易得EG＝CD＝4 cm.在Rt△EGF中，由勾股定理得
FG＝ ＝3(cm)．设CF＝x cm，则PE＝AE＝BG＝
x cm，CG＝DE＝(x＋3)cm.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE.
由折叠得∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE.∴DE＝DF＝
(x＋3)cm.在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2＝CD2＋CF2，
∴42＋x2＝(x＋3)2，
【点方法】解决矩形折叠问题的方法：
1．利用折叠的性质：折叠前后的图形能够完全重合，折叠前后的图形对应边相等，对应角相等；
2．此类问题往往通过图形间的折叠找出折叠部分与原图形中线段或角的关系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形中线段或角的关系.
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15．【2021·青岛】如图，在 ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED
至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG.
(1)求证：△BCE≌△FDE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DFE＝∠CBE.∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE.在△BCE和△FDE中，
∴△BCE≌△FDE(AAS)．
(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
解：四边形AEFG是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.
由(1)得△BCE≌△FDE，∴BC＝FD，BE＝FE.
∴FD＝AD.又∵DG＝DE，∴四边形AEFG是平行四边形．
∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABF.∴∠AFB＝∠ABF.
∴AF＝AB.∵BE＝FE，∴AE⊥FE.∴∠AEF＝90°.
∴平行四边形AEFG是矩形．
返回(共22张PPT)
第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形
第2课时 矩形的判定
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
见习题
D
见习题
A
见习题
见习题
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
见习题
见习题
1．对角线________的平行四边形是矩形；
对角线________且____________的四边形是矩形．
相等
返回
相等
互相平分
2．【2021·黑龙江】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件：______________________，使平行四边形ABCD是矩形．
AC＝BD(答案不唯一)
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3．【2022·陕西】在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是( )
A．AB＝AC
B．AC⊥BD
C．AB＝AD
D．AC＝BD
D
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4．【2022·泰州】如图，线段DE与AF分别为
△ABC的中位线与中线．
(1)求证：AF与DE互相平分．
证明：∵点D是AB的中点，∴AD＝ AB.
∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．∴EF∥AB，EF＝ AB.
∴EF＝AD.∴四边形ADFE是平行四边形．
∴AF与DE互相平分．
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
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5．有一个角是直角的______________是矩形．
有三个角是________的__________是矩形．
平行四边形
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直角
四边形
6．【中考·重庆】下列命题正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
A
【点要点】判定一个四边形是矩形分两种情况：
一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；
二是在四边形的基础上判定矩形，此时可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明其是矩形．
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7．【开放题】【2022·甘肃】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是______________________．
∠A＝90°(答案不唯一)
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8．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E.
求证：四边形ADCE是矩形．
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.∴∠ADC＝90°.
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN.
∵∠MAN＋∠CAN＋∠CAD＋∠BAD＝180°，
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝90°.
∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°.∴四边形ADCE是矩形．
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9．【2022·十堰】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
(1)求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，OA＝OC.∵E，F分别为OA，OC的中点，
∴四边形DEBF是平行四边形．∴BE＝DF.
解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形．理由如下：
∵AE＝OE，OF＝CF，
由(1)知四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
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10．【2022·云南】如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD.∴∠BAE＝∠FDE.
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.
在△BEA和△FED中，
∴△BEA≌△FED(ASA)．
∴EF＝EB.
又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形．
又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形．
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.
解：由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD.
∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3.
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18.
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11．【阅读推理题】【中考·兰州】阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，
有如下思路：连接AC.
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．
解：(1)四边形EFGH还是平行四边形．
理由：连接AC.∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝ AC.∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG∥AC, HG＝ AC.∴EF∥HG，EF＝HG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论．
当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
【思路点拨】本题的实质是判断中点四边形的形状，而中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的．
返回(共25张PPT)
第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形
第3课时 菱形及其性质
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
四条边；
12 cm
C
见习题
52
邻边；
邻边相等
8
C
9
C
10
11
见习题
12
见习题
见习题
见习题
13
B
14
见习题
1．有一组________相等的平行四边形叫做菱形，因此有：平行四边形＋__________ 菱形．
邻边
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邻边相等
2．【2021·德州】下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( )
A．AB＝CD
B．AB＝BC
C．∠BAD＝90°
D．AC＝BD
B
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3．菱形的__________都相等．
例如：边长为3 cm的菱形的周长为__________．
四条边
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12 cm
4．【2021·成都】如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AD
D．∠AEB＝∠AFD
C
返回
5．【2022·南充】如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF
分别与AC交于点M，N.求证：
(1)△ADE≌△CDF；
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB.∵BE＝BF，
∴AE＝CF.在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(SAS)．
(2) ME＝NF.
由(1)知△ADE≌△CDF，
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF.
∵DA＝DC，∴∠DAM＝∠DCN.
∴∠DMN＝∠DNM.∴DM＝DN.
∴DE－DM＝DF－DN.∴ME＝NF.
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6．菱形的对角线__________________，且每条对角线______________．菱形的面积等于两条对角线长的乘积的_______；__________所在的直线是菱形的对称轴．
互相垂直平分
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平分一组对角
一半
对角线
7．【教材P57练习T2改编】【2022·达州】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为________．
52
返回
8．【2022·河池】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中 的是( )
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠DAC＝∠BAC
C
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9．【2022·河南】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为( )
A．6
B．12
C．24
D．48
C
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10．【教材P56例3变式】如图，四边形ABCD是边长为10 cm的菱形，其中对角线BD的长为16 cm.求：
(1)对角线AC的长；
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝10 cm，OD＝8 cm，∠AOD＝90°.
在Rt△AOD中，AO＝ ＝6 cm，
∴AC＝2AO＝12 cm.
10．【教材P56例3变式】如图，四边形ABCD是边长为10 cm的菱形，其中对角线BD的长为16 cm.求：
(2)菱形ABCD的面积．
返回
11．【2022·遂宁】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF.
(1)求证：△AOE≌△DFE；
证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.
∵DF∥AC，∴∠OAE＝∠FDE.
又∵∠AEO＝∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．
(2)判断四边形AODF的形状，并说明理由．
解：四边形AODF为矩形．理由如下：
∵△AOE≌△DFE，∴AO＝DF.
∵DF∥AC，∴四边形AODF为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°.
∴平行四边形AODF为矩形．
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12．【2022·滨州】如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积；
解：如图，过点A作AG⊥BC，垂足为点G.
∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，
(2)求证：AE＝EF.
证明：如图，连接EC.∵四边形ABCD是菱形，点E在对角线BD上，∠ABC＝60°，∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°.∴EA＝EC，∠DCA＝60°.∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°.∵∠AEF＝120°，∴∠EAC＋∠EFC＝360°－∠AEF－∠ACF＝360°－120°－120°＝120°.∵∠ECA＋∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF.∴EC＝EF.∴AE＝EF.
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13．【直观想象】【中考·新疆】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是( )
B
【点思路】先作点M关于AC所在直线的对称点M′，连接M′N交AC于点P，此时MP＋NP有最小值，然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP＋NP的最小值为M′N＝AB＝1.
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14．【2022·天津四十三中模拟】在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G.
(1)如图①，连接BD，求证：△ADE≌△DBF；
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝60°.
∴△ABD和△CBD都是等边三角形．
∴AD＝DB，∠BDF＝∠DAE＝60°.
在△ADE和△DBF中，
∴△ADE≌△DBF(SAS)．
(2)如图②，连接CG，求证：BG＋DG＝CG.
如图，延长GB到点H，使BH＝DG，连接CH，BD.
由(1)知△ADE≌△DBF，△CBD是等边三角形，
∴∠ADE＝∠DBF，∠CBD＝∠BCD＝60°.
∴∠DBF＋∠CBH＝180°－∠CBD＝120°.
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴BC＝CD，∠ADC＝180°－∠BAD＝120°.
∴∠ADE＋∠CDG＝120°.∴∠CBH＝∠CDG.
在△CBH和△CDG中，
∴△CBH≌△CDG(SAS)．
∴CH＝CG，∠BCH＝∠DCG.
∵∠BCD＝∠DCG＋∠BCG＝60°，
∴∠BCH＋∠BCG＝60°，即∠GCH＝60°.
∴△CGH是等边三角形．∴GH＝CG.
∵GH＝BG＋BH＝BG＋DG，∴BG＋DG＝CG.
【思路点拨】(2)通过延长GB构造与△CDG全等的三角形，从而实现等线段的转化．
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第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形
第4课时 菱形的判定
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
见习题
见习题
见习题
A
A
见习题
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
见习题
见习题
1．对角线______________的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直平分的__________是菱形．
互相垂直
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四边形
2．【教材P57例4变式】【2022·齐齐哈尔】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是____________________
(只需写出一个条件即可)．
AB＝CD(答案不唯一)
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3．【新情境题】【2022·嘉兴】小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，
OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，
并将自己的证明过程与同学小洁交流．
若赞同小惠的证法，请在第一个框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
小惠
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD，
CB＝CD.∴四边形ABCD是菱形． 小洁
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明.
解：赞成小洁的说法．
补充条件：OA＝OC.证明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
(补充的条件不唯一)
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4．有__________________的平行四边形是菱形；
四条边相等的________是菱形．
一组邻边相等
返回
四边形
5．【开放题】【2022·营口】如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是____________________
(写出一个即可)．
AB＝AD(答案不唯一)
【点易错】识别一个四边形为菱形常见的错误说法：
1．一组邻边相等的四边形是菱形；
2．对角线互相垂直的四边形是菱形；
3．两组邻边相等的四边形是菱形.
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6．【中考·通辽】如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是( )
A．∠BAC＝90°
B．∠DAE＝90°
C．AB＝AC
D．AB＝AE
A
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7．【2022·泰安】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F.∠ABC＝60°，BC＝2AB，下列结论：
①AB⊥AC；②AD＝4OE；
③四边形AECF是菱形；
④S△BOE＝ S△ABC.
其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
A
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8．【2022·岳阳】如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF，请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为菱形．
(1)你添加的条件是________(填序号)；
①或③
(2)添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
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9．【2022·北京】如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
证明：(1)在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∴四边形EBFD是平行四边形．
(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.∴∠BAC＝∠DCA.
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC.
∴DA＝DC.∵OA＝OC，∴DB⊥EF.
∴平行四边形EBFD是菱形．
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10．【2022·聊城】如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.
(1)求证：AD＝CF.
证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠CFE，∠DAE＝∠FCE.
∵点E是AC的中点，∴AE＝CE.
∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AD＝CF.
(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？证明你的结论．
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解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形．
证明：由(1)知AD＝CF.∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．
∵点D是AB的中点，∴CD＝ AB＝AD.
∴四边形ADCF是菱形．
11．【2022·广元】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连接CE.
(1)求证：四边形AECD为菱形；
证明：∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝2BE.
∵AB＝2CD，∴CD＝AE.又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形．∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC.∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠EAC.
∴∠DCA＝∠DAC.∴AD＝CD. ∴平行四边形AECD是菱形．
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
解：∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，DC＝2，
∴AD＝DC＝CE＝AE＝2，∠AEC＝∠D＝120°.
∴AE＝CE＝BE＝2，∠CEB＝60°.
∴∠CAE＝∠ACE＝30°，△CEB是等边三角形．
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°.
【点方法】判定菱形的方法：
1．若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；
2．若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等.
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12．【中考·泰安】如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.
(1)求证：△ECG≌△GHD；
证明：∵AF＝FG，∴∠FAG＝∠FGA.∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG.∴∠CAG＝∠FGA.∴AC∥FG.
∵DE⊥AC，∴FG⊥DE.∵FG⊥BC，∴DE∥BC.
∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED.∴∠C＝∠DHG＝90°.
由F是AD的中点，FG∥AE，易得H是ED的中点．
∴FG是线段ED的垂直平分线．∴GE＝GD.
∴∠GDE＝∠GED.∴∠CGE＝∠GDE.
∴△ECG≌△GHD(AAS)．
(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC，请你帮助小亮同学证明这一结论；
证明：如图，过点G作GP⊥AB于点P. 易得GC＝GP，
又∵AG＝AG，∴Rt△CAG≌Rt△PAG(HL)．∴AC＝AP.
由(1)得EG＝DG，又∵GC＝GP，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG(HL)．∴EC＝PD.
∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.
(3)若∠B＝30°，判断四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
解：四边形AEGF为菱形．理由如下：
∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°.∴AE＝ AD＝AF.
∴AE＝AF＝FG.由(1)得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形．
又∵AE＝AF，∴四边形AEGF为菱形．
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第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形
第5课时 正方形及其性质
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1．有一组________相等，并且有一个角是________的平行四边形是正方形，因此正方形既是__________，又是__________．
邻边
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直角
菱形
矩形
2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90°
B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
D
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3．【2022·贵阳】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是( )
A．4 B．8
C．12 D．16
B
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4．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的________、特殊的________，因此它具有矩形、菱形的性质．
(1)边：四条边都________，对边平行．
(2)角：四个角都是________．
(3)对角线：对角线__________、__________、__________，并且每条对角线平分一组对角．
矩形
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菱形
相等
直角
相等
互相垂直
互相平分
5．【2021·常德】如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P，连接PC.则下列结论成立的是( )
A．BE＝ AE
B．PC＝PD
C．∠EAF＋∠AFD＝90°
D．PE＝EC
C
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6．【2022·重庆】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为( )
A．50°
B．55°
C．65°
D．70°
C
【点拨】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝∠AOD＝∠BOC＝90°，OA＝OB＝OC.
∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形．
∴∠OEF＝∠OFE＝45°.∵∠AFE＝25°，
∴∠AFO＝∠AFE＋∠OFE＝70°.
∴△AOF≌△BOE(SAS)．
∴∠FAO＝∠EBO＝20°.
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC＝∠OCB＝45°.
∴∠CBE＝∠EBO＋∠OBC＝65°.
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7．【2022·宁波】将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A．正方形纸片的面积
B．四边形EFGH的面积
C．△BEF的面积
D．△AEH的面积
C
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8．【教材P62习题T15变式】【2022·恩施州】如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°.
∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFD＝90°.
∴∠BCE＋∠CBE＝90°＝∠BCE＋∠DCF.
∴∠CBE＝∠DCF.在△CBE和△DCF中，
∴△CBE≌△DCF(AAS)．
∴CF＝BE，CE＝DF.
∵CE＝EF＋CF，∴DF＝BE＋EF.
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9．【2022·遵义】将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
(1)求证：△ADE≌△CDG；
证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，菱形EFGH的对角线HF经过点B，
∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EDB＝∠GDB.
∴∠ADB－∠EDB＝∠CDB－∠GDB，
即∠ADE＝∠CDG.
在△ADE和△CDG中，
∴△ADE≌△CDG(SAS)．
(2)若AE＝BE＝2，求BF的长．
解：如图，过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，
AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°.
∴∠QEB＝45°＝∠EBQ.∴EQ＝BQ.
由BE＝2，易得EQ＝BQ＝ .
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【点要点】利用正方形的性质求线段长时要把握两个关键点：
一是正方形的对角线将正方形分成的三角形都是等腰直角三角形；
二是灵活地运用三角形全等和勾股定理.
10．【2022·雅安】如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°.
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积．
解：如图，连接AC，交BD于点O.∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO.又∵DF＝BE，
∴OE＝OF.∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
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11．【2021·哈尔滨】已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.
(1)如图①，求证：CE＝BH；
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°.∵BM⊥CE，
∴∠HMC＝∠ADC＝90°.
∴∠H＋∠HCM＝90°＝∠E＋∠ECD.∴∠H＝∠E.
在△EDC和△HCB中，
∴△EDC≌△HCB(AAS)．
∴CE＝BH.
(2)如图②，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．
△BCG，△DCF，△DHF，△ABF.
【思路点拨】(1)证明CE与BH所在的三角形全等即可；
(2)可以先通过观察作出初步判断，再进一步求证即可．
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第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形
第6课时 正方形的判定
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1．正方形是轴对称图形，它有______条对称轴．若正方形的边长为a，则它的对角线长为________，面积为________．
4
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a2
2．【2021·新疆】下列图形中， 轴对称图形的是( )
B
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3．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有( )
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
B
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4．判定一个四边形是正方形，就要判定它既是________，又是________．具体判定方法如下：
对角线互相垂直的________是正方形；
对角线相等的________是正方形；
对角线互相垂直且相等的____________是正方形；
有一个角是直角的________是正方形；
有一组邻边相等的________是正方形．
矩形
菱形
矩形
菱形
平行四边形
菱形
矩形
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5．【开放题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件_____________________，使矩形ABCD是正方形．
AB＝AD(答案不唯一)
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6．【教材P60练习T3变式】【2022·滨州】下列命题中，是真命题的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
D
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7．【2022·绍兴】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列4种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF.
其中正确的有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
C
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8．【2022·包头】如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB.AF与BE相交于点O，连接OC，若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是( )
A
【点拨】如图，过点O作OH⊥BC于点H.
∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，
∴四边形ABFE是正方形．
∵BF＝2CF，∴CH＝EF＝2OH.
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9．【2021·兴安盟】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H.
(1)求证：AD⊥EF.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS)．
∴AE＝AF.∴AD⊥EF.
(2)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
解：△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
∵AD⊥EF，∴矩形AEDF是正方形．
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10．【2022·邵阳】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，
且BE＝DF，OE＝OA.
求证：四边形AECF是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，
OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.∴四边形AECF是菱形．
∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.
∴菱形AECF是正方形．
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11．【2021·衡阳】如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
(1)试判定四边形AFHE的形状，
并说明理由．
解：(1)四边形AFHE是正方形．理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF.∴AE＝AF，BE＝DF，
∠AEB＝∠AFD＝90°，∠DAF＝∠BAE.∴∠AFH＝90°.
∵∠DAF＋∠FAB＝90°，∴∠BAE＋∠FAB＝90°，
即∠FAE＝90°.∴四边形AFHE是矩形．
又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形．
(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
∵四边形AFHE和四边形ABCD都是正方形，
∴AE＝EH＝FH，AB＝BC＝13.
设AE＝x.在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋BE2，
即132＝x2＋(x＋7)2，解得x＝5(x＝－12舍去)．
∴BE＝BH＋EH＝7＋5＝12.∴DF＝BE＝12.
又∵DH＝DF＋FH，∴DH＝12＋5＝17.
【点技巧】(2)中方程132＝x2＋(x＋7)2是一元二次方程，它的解法还没有学，这里可以使用因式分解的方法求解．
首先将方程化简为x2＋7x－60＝0，左边因式分解，得(x＋12)(x－5)＝0，从而得x＋12＝0或x－5＝0，即x＝－12或x＝5.
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12．【阅读探究题】【中考·天水】如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
解：四边形ABCD是垂美四边形．
理由：连接BD，AC.
∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴直线AC是线段BD的垂直平分线．
∴AC⊥BD，即四边形
ABCD是垂美四边形．
(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.试证明：
AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°.
由勾股定理得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，
AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
解：如图，连接CG，BE，设CE与AB交于点M.
∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°.
∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE.
在△GAB和△CAE中，
∴△GAB≌△CAE(SAS)．
∴∠ABG＝∠AEC.
又∵∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMC，
∴∠ABG＋∠BMC＝90°.∴CE⊥BG.
∴四边形CGEB是垂美四边形．
由(2)得CG2＋BE2＝CB2＋GE2.∵AC＝4，AB＝5，
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【思路点拨】(1)根据垂直平分线的判定定理说明即可；(2)根据垂直的定义和勾股定理证明即可；(3)根据垂美四边形的定义、勾股定理，结合(2)的结论计算．(共33张PPT)
第十八章 平行四边形
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1．【2022·广东】如图，在 ABCD中，一定正确的是( )
A．AD＝CD
B．AC＝BD
C．AB＝CD
D．CD＝BC
C
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2．【教材P50习题T8变式】【2021·天津】如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
A．(－4，1)
B．(4，－2)
C．(4，1)
D．(2，1)
C
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3．【2021·岳阳】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是___________________；
(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
(答案不唯一)AE＝CF
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证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF.又∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
4．【教材P53例1变式】【2021·西藏】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
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5．【2022·聊城】要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是不是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
C
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6．【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为__________．
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7．【教材P60习题T5变式】【2022·甘肃】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为________cm.
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8．【2022·郴州】如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形．
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证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，
∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，CA平分∠DCB.
∴∠DAC＝∠BAC＝ ∠DAB，∠DCA＝∠BCA＝ ∠DCB.
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA.又∵AE＝CF，
∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)．
∴DE＝BE＝BF＝DF.∴四边形DEBF是菱形．
9．【2021·绵阳】如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是( )
C
【点拨】如图，设CF与DE交于点O.∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3.
在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，∴CE＝ DE.
设CE＝x，则DE＝2x.
根据勾股定理，得DC2＋CE2＝DE2，
即32＋x2＝(2x)2，
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∵DE⊥CF，∴∠DOC＝90°.
∴∠DCO＝60°.
∴∠BCF＝90°－60°＝30°＝∠CDE.
∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，
∴△DCE≌△CBF(ASA)．
∴BF＝CE＝ .
10．【2021·玉林】如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；
③a→b→c.则正确的是( )
A．① B．③
C．①② D．②③
C
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11．【2021·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为________．
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12．【2022·眉山】在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为( )
A．9 B．12
C．14 D．16
A
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13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处．求阴影部分的周长．
解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
根据轴对称的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋5＋5＝
AB＋(FD＋FC)＋5＋5＝10＋10＋5＋5＝30.
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14．【教材P63实验与探究变式】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O旋转，两个正方形重叠部分(阴影部分)的面积大小有什么规律？请说明理由．
解：两个正方形重叠部分(阴影部分)的面积保持不变，始终是 .理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.∵四边形A′B′C′O是正方形，∴∠EOF＝90°.∴∠EOF＝∠BOC.∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF(ASA)．∴S△BOE＝S△COF.∴两个正方形重叠部分(阴影部分)的面积等于S△BOC.∵S正方形ABCD＝1×1＝1，∴S△BOC＝ S正方形ABCD＝ .即两个正方形重叠
部分(阴影部分)的面积保持不变，始终是 .
【点方法】特殊位置法：
求证在某种规律变化的条件下，有着不变的结论产生(如定值、定点、定长等)，这类问题统称为几何定值问题，解决几何定值问题通常用特殊位置法．
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15．【中考·恩施州】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
B
【点拨】如图，连接ED交AC于点F′，连接BF′.
∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称．
∴BF′＝DF′.∴△BF′E的周长为BF′＋EF′＋BE＝DF′＋EF′＋BE＝DE＋BE.易知当F在F′处时，△BFE的周长最小．
∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，
∠DAB＝90°.∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3.
∴DE＋BE＝5＋1＝6，即△BFE周长的最小值为6.
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16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
证明：如图，连接AO并延长，交BC于点H.
∵AB＝AC，OB＝OC，∴AH是BC的垂直平分线，
即AH⊥BC于H，BH＝HC.
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.∵DE∥AH，
∴DE⊥EF，即∠DEF＝90°.∴四边形DEFG是矩形．
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
解：∵D，E，F分别是AB，OB，OC的中点，
△BOC是等腰直角三角形，
∴BC＝2EF＝2OH＝2×3＝6，
AH＝OA＋OH＝2DE＋EF＝2×2＋3＝7.
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17．如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B落在点D处，点C落在点C′处，折痕EF与BD交于点O.
已知AB＝16，AD＝12，求折痕EF的长．
解：根据已知条件，得∠C′DF＝∠CDA＝90°，
∴∠C′DE＝∠ADF.∵∠A＝∠C＝∠C′＝90°，
AD＝BC＝DC′，∴△DAF≌△DC′E(ASA)．
∴DF＝DE＝BF.∵四边形ABCD是矩形，∴AB綉DC.
连接BE，易得四边形DFBE是菱形，
∴OE＝OF，BD⊥EF.设AF＝x，则DF＝BF＝16－x.
在Rt△DAF中，AD2＋AF2＝DF2，
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18．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，
PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF.
证明：如图，连接PC.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.∴四边形PECF是矩形．
∴PC＝EF.在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)．
∴PA＝PC.∴PA＝EF.
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19．【直观想象】【2022·丽水】如图，标号为①②③④的矩形不重叠地围成矩形PQMN.已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.
AE＝a，DE＝b，且a＞b.
(1)若a，b是整数，则PQ的长是________；
(2)若代数式a2－2ab－b2的值为0，则
的值是________．
a－b
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