(共10张PPT)
第十九章 一次函数
19.1 函数
第1课时 变量
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1
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3
4
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5
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7
B
C
C
C
见习题
变量；
常量
8
见习题
y＝90－x；
x，y
1．在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，数值始终不变的量叫做________．
变量
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常量
2．【2022·吉林一中模拟】在圆的面积公式S＝πr2中，是常量的是( )
A．S B．π C．r D．S和r
B
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3．【教材P73思考(2)变式】下表是某报纸公布的世界人口的数据情况．上表中的变量是( )
A．仅有一个变量，是时间(年份)
B．仅有一个变量，是人口数
C．有两个变量，一个是时间(年份)，另一个是人口数
D．没有
变量
C
年份 1960 1974 1987 1999 2010 2022
人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿 79亿
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4．【2022·广东】水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是( )
A．2是变量
B．π是变量
C．r是变量
D．C是常量
C
返回
5．直角三角形的两个锐角的度数分别为x°，y°，其关系式为________________，即为两个变量__________之间的关系．
y＝90－x
返回
x，y
6．【教材P74练习(3)变式】【2022·常州】某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的数量关系式为( )
A．y＝x＋50
B．y＝50x
C
返回
7．如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，请你结合图片信息，解答下列问题：
(1)加油过程中常量是________，变量是______________；
(2)设加油数量是x升，金额是y元，请表示加油过程中变量之间的关系．
单价
返回
数量，金额
y＝8.40x.
8．【规律探索题】用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案．
(1)写出第n个图案中白色地砖的总块数N与n之间的关系式；
(2)在上述关系式中，常量、变量分别是什么？
解：(1)N＝4n＋2.
常量是4，2，
变量是N，n.
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第十九章 一次函数
19.1 函数
第2课时 函数
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1
2
3
4
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5
6
7
C
D
有意义；
实际问题
A
A
唯一；
x；函数
8
函数值
9
D
10
11
见习题
12
C
A
2
13
见习题
14
见习题
15
见习题
16
见习题
1．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有________确定的值与其对应，那么我们就说________是自变量，y是x的________．
注意：可以是“多对一”，但不可以是“一对多”．
唯一
返回
x
函数
2．【2022·包头二十九中模拟】有下列式子：
①y＝3x－5；②y2＝x；③y＝|x|；④y＝
其中，y是x的函数的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
返回
3．【易错题】下列说法正确的是( )
A．函数是一个数
B．若y是x的函数，则当y任取一个值时，一定有唯一的x值与它对应
C．若y是x的函数，则x也是y的函数
D．某地一天的温度T与时间t之间存在函数关系
D
【点易错】判断两个变量是否具有函数关系，只需看它是否符合定义中“三要素”即可，但要注意两点：
1．对于自变量x取不同的数值，与之对应的y的值不一定不同，只要有唯一值与之对应即可；
2．不能只看是否有关系式存在，有些函数关系是没有关系式的(如心电图中的时间与生物电流的关系).
返回
4．对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数关系式__________的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使____________有意义．
有意义
返回
实际问题
5．【2022·连云港】函数y＝ 中自变量x的取值范围是( )
A．x≥1
B．x≥0
C．x≤0
D．x≤1
A
返回
6．【2022·黑龙江】函数y＝ 的自变量x的取值范围是( )
A．x≥1且x≠3
B．x≥1
C．x≠3
D．x＞1且x≠3
A
返回
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，P是CD上的动点，且不与点C，D重合，设DP＝x，梯形ABCP的面积为y，则y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围分别是( )
A．y＝24－2x，0B．y＝24－2x，0C．y＝24－3x，0D．y＝24－3x，0A
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8．已知y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的__________．
函数值
返回
9．已知函数y＝ 中，当x＝a时的函数值为1，则a的值是( )
A．－1
B．1
C．－3
D．3
D
【点拨】∵函数y＝ 中，
当x＝a时的函数值为1，∴
＝1.∴2a－1＝a＋2，∴a＝3.
经检验，a＝3是分式方程的解．
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10．【教材P81习题T3变式】【2022·达州】如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y的值为________．
2
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11．【数学运算】已知函数y＝|x－1|＋2.
(1)求自变量等于5时的函数值；
(2)求函数值等于5时的自变量的值．
当y＝5时，5＝|x－1|＋2，
解得x＝4或x＝－2.
解：(1)当x＝5时，y＝|x－1|＋2＝4＋2＝6.
【点方法】求函数值及自变量值的方法：
1．当已知关系是函数关系时，求函数值实质就是利用代入法求代数式的值．
2．当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x2－1中，当y＝0时，x＝±1.
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12．【易错题】已知函数y＝ 当函数值y＝6时，自变量的值是( )
A．7
B．－3
C．－3或7
D．±3或7
C
返回
【点拨】当x2－3＝6时，x＝±3，由x≤2得x＝－3；由x－1＝6得x＝7.
13．已知x，y之间的对应关系如下表：
(1)y是x的函数吗？为什么？
解：(1)y是x的函数．理由：当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应．
x 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60
y 0.80 1.60 2.40
13．已知x，y之间的对应关系如下表：
(2)分别求当x＝5，10，30，50时的函数值．
当x＝5时，y＝0.80；当x＝10时，y＝0.80；
当x＝30时，y＝1.60；当x＝50时，y＝2.40.
返回
x 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60
y 0.80 1.60 2.40
14．某风景区集体门票的收费标准是：20人以内(含20人)，每人收费25元；超过20人，超过部分每人收费15元．
(1)写出应收门票费y(元)与人数x(x＞20)之间的函数解析式．
(2)利用(1)中的解析式计算，某班50人去游览该风景区，购买门票需多少元？
解：(1)y＝25×20＋15(x－20)＝15x＋200(x＞20)．
当x＝50时，y＝15×50＋200＝950.
答：购买门票需950元．
返回
14．某风景区集体门票的收费标准是：20人以内(含20人)，每人收费25元；超过20人，超过部分每人收费15元．
(3)若某班购买门票花了800元，则平均每人需交门票费多少元？
当y＝800时，15x＋200＝800，
解得x＝40. 800÷40＝20(元)．
答：平均每人需交门票费20元．
15．【数学建模】木材加工厂堆放木料的方式如图所示，随着层数的增加，木料总数也在变化．
(1)根据变化规律填写下表：
层数n 1 2 3 4
木料总数y
1 3 6 10
(2)求出y与n的函数解析式；
(3)当木料堆放的层数为10时，木料总数为多少？
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16．用40 m长的绳子围成长方形ABCD，设AB＝x m，长方形的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数解析式及x的取值范围．
解：(1)S＝x(20－x)．
故x的取值范围是0＜x＜20.
(2)填写下表中与x相对应的S的值．
x/m … 8 9 9.5 10 10.5 11 12 …
S/m2 … …
96 99 99.75 100 99.75 99 96
(3)请直接写出当x为何值时，S的值最大，最大值是多少？
(3)当x＝10时，S的值最大，最大值是100.
【思路点拨】从计算表中的数值观察比较得出最大值．
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第十九章 一次函数
19.1 函数
第3课时 函数的图象
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
C
C
见习题
增大而
增大
A
见习题
8
A
9
见习题
10
11
见习题
12
B
见习题
见习题
1．函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的________组成的，图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的__________，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与该自变量对应的________．
点
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一对对应值
函数值
2．【教材P82习题T7变式】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( )
C
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···
3．【新考法题】【2022·河北】某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对(m，n)，在坐标系中进行描点，则正确的是( )
C
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4．由函数的解析式画函数图象的一般步骤是________、________、________．
列表
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描点
连线
5．【数学建模】【2022·舟山】6月13日，某港口的潮水高度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下：
(1)数学活动：①根据表中数据，
通过描点、连线(光滑曲线)
的方式补全该函数的图象．
x/h … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y/cm … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
解：(1)①如图所示．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200；
当y的值最大时，x＝21.
(2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
(答案不唯一)如：
当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；
当x＝14时，y有最小值为80.
(3)数学应用：根据研究，当潮水高度超过260 cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
由图象知，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，
∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260.
即当5＜x＜10或18＜x＜23时，适合货轮进出此港口．
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6．函数图象的变化规律揭示了两个变量的值之间的变化规律，若图象从左至右呈上升趋势，则y的值随x值的______________，反之也成立．
增大而增大
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7．【2022·北京】下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.
其中，变量y与变量x之间的函数关系
可以用如图所示的图象表示的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
A
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8．【教材P76例2变式】【2022·温州】小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是( )
A
【点技巧】根据实际情境确定函数图象的技巧：
1．自变量变化而函数值不变的图象用水平线段表示；
2．自变量的变化量相同，而函数值变化越大的函数图象与x轴所成的锐角就越大；
3．注意确定函数图象的最低点和最高点.
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9．【教材P79练习T1变式】利用描点法画出函数y＝2x－3的图象．
x 0 1 2 3
y －3 －1 1 3
解：列表如下：
描点、连线，函数y＝2x－3
的图象如图所示．
(1)判断点A(－3.5，－10.5)，B(2.5，2)，C(4，6)是否在函数y＝2x－3的图象上；
当x＝－3.5时，y＝2×(－3.5)－3＝－10≠－10.5，故点A(－3.5，－10.5)不在函数y＝2x－3的图象上．
当x＝2.5时，y＝2×2.5－3＝2，故点B(2.5，2)在函数y＝2x－3的图象上．
当x＝4时，y＝2×4－3＝5≠6，故点C(4，6)不在函数y＝2x－3的图象上．
(2)观察图象，找出函数值y随自变量x的变化规律．
观察图象知，函数值y随自变量x的增大而增大．
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10．【中考·咸宁】小慧家与文具店相距960 m，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12 min来到文具店买笔记本，停留3 min，因家中有事，便沿着
原路匀速跑步6 min返回家中．
(1)小慧返回家中的速度比去文具店
的速度快多少？
10．【中考·咸宁】小慧家与文具店相距960 m，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12 min来到文具店买笔记本，停留3 min，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6 min返回家中．
(2)请你在图中画出这个过程中，
小慧离家的距离y与时间x
的函数图象．
如图所示．
10．【中考·咸宁】小慧家与文具店相距960 m，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12 min来到文具店买笔记本，停留3 min，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6 min返回家中．
(3)根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家的距离为720 m
根据图象可得，小慧从家出发后9 min或16.5 min离家的距离为720 m.
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11．【教材P83习题T9变式】小明骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚才经过的某书店，买到书后继续去学校．如图是小明离家的距离与所用时间关系的示意图．根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)小明家到学校的距离是多少米？
解：(1)根据题图知，小明家到学校的距离是1500米．
(2)在本次整个上学的途中，哪个时间段小明骑车的速度最快？最快的速度是多少米/分？
根据题图知，当12≤x≤14时，直线最陡，
故在12分～14分小明骑车的速度最快，
(3)小明在书店停留了多少分？
(4)在本次整个上学的途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分？
由题图知，12－8＝4(分)，故小明在书店停留了4分．
由题图可得，小明一共行驶了1200＋600＋900＝2700(米)，
一共用了14分．
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12．【直观想象】【2022·齐齐哈尔】如图①(图中各角均为直角)，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x(秒)之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是( )
A．AF＝5 B．AB＝4
C．DE＝3 D．EF＝8
B
【点要点】从函数图象中获取信息时应注意三点：
其一是函数的最大值或最小值；
其二是随着自变量逐渐增加时，函数值是增加了还是减少了，还是不变(变化趋势)；
其三是观察图象是否是几种变化情况的组合，以便分情况讨论变化规律.
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第十九章 一次函数
19.1 函数
第4课时 函数的表示法
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
D
D
B
C
A
见习题
8
A
9
见习题
10
11
D
12
见习题
见习题
见习题
1．函数的表示方法有三种，分别是______法、________法和________法．
列表
返回
解析式
图象
2．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如表)：
下列说法 的是( )
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．当空气温度为20 ℃时，声速为342 m/s
C．温度越高，声速越快
D．温度每升高10 ℃，声速增加8 m/s
D
温度/℃ －20 －10 0 10 20 30
声速/(m/s) 318 324 330 336 342 348
返回
3．【教材P83习题T12变式】【中考·柳州】已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/时，若用x表示行走的时间(时)，y表示余下的路程(千米)，则y关于x的函数解析式是( )
D
返回
4．【2022·雅安】一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站，乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？( )
B
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5．三种函数表示法各自的特点：
________可以由表中已有自变量的每一个值直接得出相应的函数值；
__________能准确地反映整个变化过程中函数与自变量的关系；
________能直观、形象地表示函数关系．
列表法
返回
解析式法
图象法
6．要形象、直观地表示某市某天的气温与时间的函数关系，适宜用( )
A．列表法
B．解析式法
C．图象法
D．以上都可以
C
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7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂重物的质量x(kg)有如下关系：
那么y与x之间的函数解析式为( )
A．y＝0.5x＋12
B．y＝x＋10.5
C．y＝0.5x＋10
D．y＝x＋12
A
x/kg 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
【点拨】由题表可知，x每增加1，y就增加0.5.因为当x＝0时，y＝12，所以y与x之间的函数解析式为y＝0.5x＋12.
【点方法】根据表格数据求函数解析式的方法
先认真观察表格中所给的数据，确定自变量与函数，再探究函数随自变量的变化规律，进而写出函数解析式，最后将表格中的数值代入函数解析式验证.
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8．【教材P108复习题T8改编】【2022·武汉】匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)．这个容器的形状可能是( )
A
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9．【教材P83习题T13变式】已知甲、乙两人同时从相距18 km的A，B两地相向而行，甲以4 km/h的平均速度步行，乙以每小时比甲快1 km的平均速度步行，相遇为止．
(1)求甲、乙两人之间的距离y(km)和所用的时间x(h)之间的函数解析式；
解：(1)y＝18－(5x＋4x)＝－9x＋18.
故甲、乙两人之间的距离y(km)和所用的时间x(h)之间的函数解析式为y＝－9x＋18.
x/h 0 1 2
y/km 18 9 0
列表：
描点、连线，画出的函数图象如图所示．
自变量x的取值
范围为0≤x≤2.
(2)画出函数的图象，并求出自变量x的取值范围；
(3)求当甲、乙两人相距6 km时所用的时间．
返回
10．【2022·广东】物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)满足函数关系y＝kx＋15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
(1)求y与x的函数关系式；
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
解：(1)把x＝2，y＝19代入y＝kx＋15，
得19＝2k＋15，解得k＝2.
所以y与x的函数关系式为y＝2x＋15(x≥0)．
(2)当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量．
把y＝20代入y＝2x＋15，
得20＝2x＋15，
解得x＝2.5.
答：所挂物体的质量为2.5 kg.
返回
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
11．【2022·江西】甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示，
则下列说法中，错误的是( )
A．甲、乙两种物质的溶解度均
随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2 ℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0 ℃时，甲、乙的溶解度都小于20 g
D．当温度为30 ℃时，甲、乙的溶解度相等
D
返回
··
12．【教材P108复习题T9改编】用8 cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为x cm，底边长为y cm.
(1)求y关于x的函数解析式；
解：(1)由题意知2x＋y＝8，
∴y＝－2x＋8.
(2)求自变量x的取值范围；
根据三角形的两边之和大于第三边，
得2x＞－2x＋8，解得x＞2.
∵y＞0，∴x＜4.
∴自变量x的取值范围为2＜x＜4.
(3)用描点法画出该函数的图象．
x/cm 2.5 3
y/cm 3 2
列表：
描点、连线，画出的
函数图象如图所示．
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第十九章 一次函数
19.2 一次函数
第1课时 正比例函数
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
A
B
A
y＝－3x；
正比例
D
y＝kx；k
8
见习题
9
见习题
y＝3x
1．一般地，形如____________(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中______叫做比例系数．
y＝kx
返回
k
2．【教材P87练习T1改编】下列函数中，正比例函数是( )
A．y＝－8x
B．y＝
C.y＝8x2
D．y＝8x－4
A
返回
3．已知函数y＝(m＋2)x|m|－1是正比例函数，则m的值为( )
A．－2
B．2
C．1
D．－1
B
【点方法】根据正比例函数的定义确定解析式中字母的取值(范围)时，要先根据比例系数k≠0、自变量x的次数是1列方程或不等式，再求解．应用定义求字母值时，不要忽略比例系数k≠0这一条件.
返回
4．【2022·兰州树人中学模拟】如果y＝x＋2a－1是正比例函数，那么a的值是( )
A
返回
5．随着海拔的升高，含氧量y(单位：g/m3)与大气压强x(单位：kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，请写出y与x的函数解析式：______________.
y＝3x
返回
6．根据下表，写出y与x之间的函数解析式：____________，这个函数是__________函数．
y＝－3x
返回
x －1 0 1 2 3
y 3 0 －3 －6 －9
正比例
7.如果每盒圆珠笔有12支，每盒的售价是18元，那么圆珠笔的销售额y(单位：元)与销售量x(单位：支)之间的函数解析式为( )
D
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8．【数学运算】已知y－5与3x－4成正比例关系，并且当x＝1时，y＝2.
(1)写出y与x之间的函数关系式．
解：(1)设y－5＝k(3x－4)．
当x＝1时，y＝2，则(3－4)·k＝2－5，
解得k＝3.
∴y与x之间的函数关系式为y＝9x－7.
8．【数学运算】已知y－5与3x－4成正比例关系，并且当x＝1时，y＝2.
(2)当x＝－2时，求y的值．
(3)当y＝－2时，求x的值．
(4)当x为何值时，y＜0？若y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．
当x＝－2时，y＝－25.
返回
9．【教材P87练习T2改编】列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数：
(1)圆的半径为x，周长为y；
(2)每本练习本的价格为0.5元，购买练习本的总费用y(元)与购买练习本的数量x(本)；
解：(1)由题意得y＝2πx，是正比例函数．
由题意得y＝0.5x，是正比例函数．
9．【教材P87练习T2改编】列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数：
(3)水箱中有水10 L，以0.5 L/min的流速往外放水，水箱中的剩余水量y(L)随放水时间x(min)的变化而变化．
由题意得y＝10－0.5x，不是正比例函数．
返回(共13张PPT)
第十九章 一次函数
19.2 一次函数
第2课时 正比例函数的图象和性质
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
D
1；－1；
减小
(1)增大
(2)减小
B
见习题
见习题
8
见习题
9
见习题
A
1．正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过________的直线，也称它为直线y＝kx；
当k＞0时，直线经过第一、________象限；
当k＜0时，直线经过________、第四象限．
原点
返回
第三
第二
2．已知正比例函数y＝(3k－1)x的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是( )
D
返回
3．正比例函数y＝－ x的图象如图所示，当x＝－2时，y＝________；
当x＝2时，
y＝________．
由此可知，y随x的增大
而________．
1
返回
－1
减小
4．(1)当k>0时，函数y＝kx，y随x的增大而________；
(2)当k<0时，函数y＝kx，y随x的增大而________．
增大
返回
减小
5．已知在正比例函数y＝(a－1)x中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是( )
A．a＜1
B．a＞1
C．a≥1
D．a≤1
A
返回
6．【2022·沈阳实验中学模拟】下列关于正比例函数y＝－5x的说法中，正确的是( )
A．当x＝1时，y＝5
B．它的图象是一条经过原点的直线
C．y随x的增大而增大
D．它的图象经过第一、三象限
B
返回
7．【2021·上海】已知函数y＝kx的图象经过第二、四象限，且不经过(－1，1)，请写出一个符合条件的函数解析式：_____________________．
y＝－2x(答案不唯一)
返回
8．已知正比例函数y＝(2m＋4)x.
(1)当m为何值时，函数图象经过第一、第三象限？
(2)当m为何值时，y随x的增大而减小？
解：(1)∵函数图象经过第一、第三象限，
∴2m＋4＞0，解得m＞－2.
∵y随x的增大而减小，
∴2m＋4＜0，解得m＜－2.
8．已知正比例函数y＝(2m＋4)x.
(3)当m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上？
返回
∵点(1，3)在该函数的图象上，
∴2m＋4＝3，解得m＝
9．在如图所示的坐标系中画出y＝x的图象．
(1)若点A是该函数图象第一象限上的点，且OA＝2 ，求点A的坐标；
解：画图略．
设A(a，a)，过点A作AB⊥x轴于B，
则∠ABO＝90°，AB＝a，OB＝a.
在Rt△ABO中，AB2＋OB2＝AO2，
∴a2＋a2＝(2 )2，解得a＝±2.∵点A在第一象限，
∴a＝2.∴点A的坐标是(2，2)．
9．在如图所示的坐标系中画出y＝x的图象．
(2)在x轴上求作一点P，使△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
返回(共22张PPT)
第十九章 一次函数
19.2 一次函数
第3课时 一次函数
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
A
C
b＝0；
特殊
D
A
y＝kx＋b
8
见习题
9
见习题
10
11
C
12
见习题
－2；≠2
B
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．形如________________(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．
y＝kx＋b
返回
2．下列函数中，y是x的一次函数的是( )
A．y＝－2x＋5 B．y＝－2x2
A
返回
【点方法】判断函数是否为一次函数的方法：
先看函数解析式是否是整式的形式，再将函数解析式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征.
3．将一次函数y＝3(x－2)＋1写成y＝kx＋b的形式，则k与b的值分别为( )
A．k＝3，b＝1
B．k＝－2，b＝1
C．k＝3，b＝－5
D．k＝3，b＝－2
C
返回
4．在y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，当__________时，它是一个正比例函数，即正比例函数是__________的一次函数．
b＝0
返回
特殊
5．对于函数y＝(m－2)x＋(m＋2)，当m＝______时，它是正比例函数；当m__________时，它是一次函数．
－2
返回
≠2
6．下列说法 的是( )
A．正比例函数y＝－2x也是一次函数
B．函数y＝3x－2是一次函数
C．函数y＝2x2－2不是一次函数
D．函数y＝kx＋b一定是一次函数
D
返回
7．函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是( )
A
返回
8．已知关于x的函数y＝(m－3)x|m|－2＋n－2.
(1)当m，n为何值时，它是一次函数？
(2)当m，n为何值时，它是正比例函数？
解：(1)由题意知|m|－2＝1且m－3≠0，解得m＝－3.
故当m＝－3，n为任意实数时，它是一次函数．
由题意知|m|－2＝1，m－3≠0且n－2＝0，解得m＝－3，
n＝2.故当m＝－3，n＝2时，它是正比例函数．
返回
9．【教材P90思考(3)变式】某种手机月租费为15元，每通话一次话费为0.2元，则每月所交费用y(单位：元)与通话次数x(单位：次)之间的函数解析式为________________，自变量x的取值范围是______________________．
y＝15＋0.2x
返回
x≥0且x为整数
10．【2022·扬州梅岭中学模拟】有一块长为5 m，宽为2 m的长方形木板，现要在长边上截去长为x m的一个小长方形(如图)，则剩余木板的面积y(m2)与x(m)之间的关系式为( )
A．y＝2x
B．y＝10－2x
C．y＝5x
D．y＝10－5x
B
返回
11．【教材P99习题T11变式】某通讯公司最近推出的无线市话的收费标准为：前3 min(不足3 min按3 min计)收费0.2元，3 min后每分收费0.1元．则通话一次的时间x(单位：min)(x>3)与这次通话费用y(单位：元)之间的关系式是( )
A．y＝0.1x B．y＝0.2＋0.1x
C．y＝0.2＋0.1(x－3) D．y＝0.1x＋0.5
C
返回
12．【数学运算】已知y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x＋1成正比例，当x＝－3时，y＝－4；当x＝3时，y＝2.求y与x的函数解析式，并判断y是否为x的一次函数．
解：设y1＝k1x，y2＝k2(x＋1)，∴y＝k1x－k2(x＋1)．
∴y＝2x－(x＋1)，即y＝x－1，y是x的一次函数．
返回
13．如图，在边长为12 cm的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点P从点A出发，在正方形边上沿A→B→C→D的方向以大于1 cm/s的速度匀速移动，点Q从点D出发，在CD边上沿D→C方向以1 cm/s的速度匀速移动，P，Q两点同时出发，当点P，Q相遇时即停止移动．设点P移动的时间为t(s)，正方形ABCD与∠PMQ的内部重叠部分的面积为y(cm2)．已知点P移动到点B处时，y的值为96(即此时正方形ABCD与∠PMQ的内部重叠部分的面积为96 cm2)．
(1)求点P的速度；
解：(1)∵在边长为12 cm的正方形ABCD中，
M是AD边的中点，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝12 cm，AM＝MD＝6 cm.根据题意，得12×12－ ×12×6－ ×6t＝96，解得t＝4.故点P的速度为12÷4＝3(cm/s)．
(2)求y关于t的函数解析式，并直接写出t的取值范围．
返回
14．【教材P90思考改编】写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否是x的一次函数：
(1)某商品的原价是x元/件，在销售时每件加价20元，再降价15%，现在的售价是y元/件；
解：(1)根据题意，得y＝(1－15%)×(x＋20)＝0.85x＋17，
y是x的一次函数．
(2)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，旅客需交的行李费y(元)与携带行李质量x(x＞20)(千克)之间的关系．
根据题意，得y＝1.5(x－20)＝1.5x－30(x＞20)，
y是x的一次函数．
返回
【点方法】列一次函数解析式的方法：
根据实际问题列出一次函数解析式的方法类似于列方程解应用题．
只要找出自变量与函数之间存在的等量关系，列出等式即可，但应注意一定要整理成用含自变量的式子表示函数的形式.
15．【数学建模】小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如下操作(如图)：根据图中的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球后水桶中水面升高________ cm；
(2)求放入小球后(水未溢出)水桶中水面的高度
y(单位：cm)与小球个数x(单位：个)之间的一次函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；
2
因为每放入一个小球后，水面升高2 cm，所以y＝30＋2x.
(3)水桶中至少放入几个小球时才有水溢出？
由2x＋30>49，得x>9.5.
即水桶中至少放入10个
小球时才有水溢出．
返回(共23张PPT)
第十九章 一次函数
19.2 一次函数
第4课时 一次函数的图象和性质
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
D
D
k2
A
k＜0
见习题
8
y＝－x＋2
(答案不唯一)
9
D
10
11
见习题
12
见习题
D
B
13
见习题
14
见习题
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过(0，____)，(____，0)两点的一条直线，________是直线y＝kx＋b与y轴的交点的纵坐标．
当k＞0时，直线y＝kx＋b从______向______上升，若b＞0，则直线经过第一、二、三象限；若b＜0，则直线经过第__________________象限．
当k______时，直线y＝kx＋b从左向右______，若b______，则直线经过第一、二、四象限；若b＜0，则直线
经过第_____________象限．
b
返回
b
左
右
一、三、四
＜0
下降
＞0
二、三、四
2．【教材P93练习T1变式】【2022·凉山州】一次函数y＝3x＋b(b≥0)的图象一定 ( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D
返回
3．【2022·安徽】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是( )
D
【点拨】当x＝1时，两函数的值都是a2＋a，
故两直线的交点的横坐标为1.
若a＞0，则一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的函数值都随x的增大而增大，且图象都与y轴正半轴相交．
若a＜0，则一次函数y＝ax＋a2的函数值随x的增大而减小，且图象与y轴正半轴相交；一次函数y＝a2x＋a的函数值随x的增大而增大，且图象与y轴负半轴相交．
故选D.
返回
4．k1＝________ 直线y1＝k1x＋b1∥直线y2＝k2x＋b2(b1≠b2)，直线y2可由直线y1向上(下)平移|b2－b1|个单位长度得到．
k2
返回
5．【2022·广安】在平面直角坐标系中，将函数y＝3x＋2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是( )
A．y＝3x＋5
B．y＝3x－5
C．y＝3x＋1
D．y＝3x－1
D
返回
6．【教材P91例2变式】【2021·陕西】在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x＋m－1的图象向左平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为( )
A．－5
B．5
C．－6
D．6
A
返回
7．一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大；当____________时，y随x的增大而减小．
k＜0
返回
8．【开放题】【2022·宿迁】甲、乙两名同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其解析式是______________________．
y＝－x＋2(答案不唯一)
返回
【点要点】1．由k，b的符号可以确定直线y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限；反之，由直线y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限也可以确定k，b的符号．
2．k决定一次函数y＝kx＋b( k，b是常数，k≠0)的增减
性，b决定函数图象与y轴的交点位置.
9．【2022·遵义】若一次函数y＝(k＋3)x－1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是( )
D
返回
10．【2022·眉山】一次函数y＝(2m－1)x＋2的值随x的增大而增大，则点P(－m，m)所在象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B
返回
11．已知一次函数y＝(3－m)x＋m－4的图象不经过第一象限且m为整数．
(1)求m的值；
解：由一次函数y＝(3－m)x＋m－4的
图象不经过第一象限，可得
解得3＜m≤4.∵m是整数，
∴m＝4.
(2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)当－3＜x≤1时，根据图象
求出y的取值范围．
当－3＜x≤1时，根据图象得y的取值
范围为－1≤y＜3.
∵m＝4，∴一次函数的解析式为y＝－x，该函数的图象如图所示．
返回
12．已知函数y＝(8－2m)x＋m－2.
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围．
解：(1)由题意得m－2＝0，则m＝2.
返回
由题意得8－2m＜0，则m＞4.
由题意得8－2m＞0，
m－2＞0，则2＜m＜4.
13．【2021·北京】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝ x的图象向下平移1个单位长度得到．
(1)求这个一次函数的解析式；
解：(1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝ x的图象向下平移1个单位长度得到，∴这个一次函数的解析式为y＝ x－1.
13．【2021·北京】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝ x的图象向下平移1个单位长度得到．
(2)当x>－2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx＋b的值，直接写出m的取值范围．
返回
14．【2022·黑龙江改编】如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，且OA，OC(OA＞OC)的长分别
是方程(x－6)(x－8)＝0的两个实数根．
(1)求C点坐标；
解：(1)由(x－6)(x－8)＝0，得x＝6或x＝8.
∵OA，OC(OA＞OC)的长分别是该方程的两个实数根，
∴OC＝6，OA＝8.∴C(0，6)．
(2)求直线MN的解析式；
(3)在直线MN上存在点P，使以P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
返回(共26张PPT)
第十九章 一次函数
19.2 一次函数
第5课时 一次函数的解析式的求法
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
A
C
A
B
B
见习题
8
一般形式
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
k
见习题
13
见习题
1．用点的坐标确定一次函数的解析式的一般步骤：
(1)设：设出一次函数解析式的一般形式：______________；
(2)列：将已知点的__________代入函数解析式，列出方程(组)；
(3)解：解方程(组)，求出待定系数；
(4)写：写出一次函数的解析式．
y＝kx＋b(k≠0)
返回
坐标
2．下表中是某个一次函数的自变量x与函数y的三组对应值，则这个一次函数的解析式为( )
A.y＝－x＋1
B．y＝－x－1
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
A
返回
x －2 1 2
y 3 0 －1
3．【教材P99习题T7变式】若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则a的值等于( )
A．－1
B．0
C．3
D．4
C
【点思路】利用(1，4)，(2，7)两点求出所在直线的函数解析式，再将点(a，10)的坐标代入解析式即可求出a的值.
返回
4．【2021·呼和浩特】在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，4)．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为( )
A
【点拨】过D点作DH⊥x轴于点H，如图所示．
∵点A(3，0)，B(0，4)，∴OA＝3，OB＝4.
∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.
∴∠OAB＋∠DAH＝90°.∵∠OBA＋∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠DAH.∴△ABO≌△DAH(AAS)．
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3.∴D(7，3)．设直线BD的解析式为y＝kx＋b，把D(7，3)，B(0，4)的坐标
返回
5．直线的位置变换包含平移(平行)、对称、旋转等；平移(平行)时，直线y＝kx＋b的__________不变；对称、旋转变换时，要注意特殊点的坐标变化．
k
返回
6．【2022·娄底】将直线y＝2x＋1向上平移2个单位长度，相当于( )
A．向左平移2个单位长度
B．向左平移1个单位长度
C．向右平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度
B
返回
B
【点拨】∵点A(4，2)，点P(0，2)，∴PA⊥y轴，PA＝4.
由题意得∠APB＝60°，AP＝PB＝4.
如图，过点B作BC⊥y轴于C，易得∠BPC＝30°.
∴BC＝2，∴PC＝2 .∴B(2，2＋2 )．
设直线PB的函数解析式为y＝kx＋b，
返回
8．求一次(正比例)函数的解析式，首先应通过审题找出题目中的等量关系，再把这个等量关系转化为关于x，y的等式，最后整理为一次(正比例)函数的____________即可．
一般形式
返回
9．【2022·呼和浩特】某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折，若某人付款14元，则他购买了________千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x＞10)的函数解析式为____________．
3
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10．【2022·铜仁】在平面直角坐标系内有三点A(－1，4)，B(－3，2)，C(0，6)．
(1)求过其中两点的直线的函数解析式(选一种情形作答)；
解：(1)(答案不唯一)设A(－1，4)，B(－3，2)两点所在
直线的函数解析式为y＝kx＋b，
∴直线AB的函数解析式为y＝x＋5.
10．【2022·铜仁】在平面直角坐标系内有三点A(－1，4)，B(－3，2)，C(0，6)．
(2)判断A，B，C三点是否在同一条直线上，并说明理由．
A，B，C三点不在同一条直线上．理由如下：
当x＝0时，y＝0＋5≠6，
∴点C(0，6)不在直线AB上．
即A，B，C三点不在同一条直线上．
【点方法】求一次函数解析式的步骤，可以简化为“一设
二代三解四写”：
1．设出函数解析式；
2．将已知数据代入；
3．求出未知系数的值；
4．写出一次函数解析式．
返回
11．如图，直线y＝kx＋b与x轴，y轴分别交于点A，B，点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(0，4)．
(1)求直线AB的函数解析式；
解：(1)∵直线y＝kx＋b与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴把A(－2，0)和B(0，4)的坐标代入y＝kx＋b，
∴直线AB的函数解析式为y＝2x＋4.
11．如图，直线y＝kx＋b与x轴，y轴分别交于点A，B，点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(0，4)．
(2)如图，将△AOB向右平移6个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；
∵∠AOB＝90°，∴∠A1O1B1＝90°，
由平移得OO1＝6，O1B1＝OB＝4.
11．如图，直线y＝kx＋b与x轴，y轴分别交于点A，B，点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(0，4)．
(3)求四边形AO1B1B的面积．
返回
12．【数学运算】【2022·陕西】如图是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x … －6 －4 －2 0 2 …
输出y … －6 －2 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入的x值为1时，输出的y值为________；
(2)求k，b的值；
8
将x＝－2，y＝2和x＝0，y＝6
分别代入y＝kx＋b，
即k的值为2，b的值为6.
(3)当输出的y值为0时，求输入的x值．
把y＝0代入y＝8x，得8x＝0，
∴x＝0(不符合题意，舍去)．
由(2)可得，当x<1时，y＝2x＋6.
把y＝0代入y＝2x＋6，得2x＋6＝0，
∴x＝－3＜1.
∴当输出的y值为0时，输入的x值为－3.
返回
13．【2022·鄂州】在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y(km)与他所用的
时间x(min)的关系如图所示．
(1)小明家离体育场的距离为
______km，小明跑步的平均速度为_________km/min；
2.5
(2)当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数解析式；
当15≤x≤45时，y关于x的函数解析式为
(3)当小明离家2 km时，求他离开家所用的时间．
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第十九章 一次函数
19.2 一次函数
第6课时 一次函数(图象)的应用
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1
2
3
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5
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A
见习题
横轴；
纵轴
见习题
见习题
见习题
8
见习题
9
见习题
C
1．一次函数在实际问题中的应用：在实际问题中经常抽象出函数的________和________，利用函数的____________和____________解决实际问题．在解决分段函数问题时，要特别注意自变量的_________的划分，要准确而又符合实际．
解析式
返回
图象
解析式
图象
取值范围
2．【教材P99习题T3变式】公式L＝L0＋KP表示当重力为P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是( )
A．L＝10＋0.5P B．L＝10＋5P
C．L＝80＋0.5P D．L＝80＋5P
A
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3．【2022·恩施州】某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用1辆甲种客车和1辆乙种客车共需500元，租用2辆甲种客车和3辆乙种客车共需1 300元．甲种客车每辆可坐15名师生，乙种客车每辆可坐25名师生．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
解：(1)设租用甲种客车每辆x元，租用乙种客车每辆y元．
答：租用甲种客车每辆200元，租用乙种客车每辆300元．
(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元，则租用乙种
客车(8－m)辆．根据题意，得w＝200m＋300(8－m)＝
－100m＋2 400.∵15m＋25(8－m)≥180，且m≥0，∴0≤m≤2.∵－100＜0，∴w随m的增大而减小．
∴当m＝2时，w取得最小值．∴8－m＝6.
答：当租用甲种客车2辆，租用乙种客车6辆时，
可使总费用最少．
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4．从一次函数图象中获取信息，首先要看______、______所代表的意义，其次要理解图象上特殊点的含义．
横轴
返回
纵轴
5．【2022·玉林】龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场，图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程(x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子与乌龟所走的路程)，下列说法 的是( )
A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
C
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6．【教材P100习题T15变式】【2022·通辽】为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个体育专卖店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价的8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲体育专卖店购买实付y甲元，去乙体育专卖店购买
实付y乙元，其函数图象如图所示．
(1)分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
解：(1)由题意可得，y甲＝0.85x.当0≤x≤300时，y乙＝x；
当x＞300时，y乙＝300＋(x－300)×0.7＝0.7x＋90.
(2)两图象交于点A，求点A坐标；
令0.85x＝0.7x＋90，解得x＝600.
将x＝600代入y甲＝0.85x，得y甲＝0.85×600＝510，
即点A的坐标为(600，510)．
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
由图象可得，当x＜600时，
去甲体育专卖店购买体育
用品更合算；
当x＝600时，去两个体育专卖店购买体育用品一样合算；
当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
【点方法】用一次函数解决实际问题的策略：
一要利用好图表中的信息；
二要采用待定系数法求出函数解析式；
三要注意分段函数的应用；
四要注意自变量在不同阶段的取值范围.
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7．【2022·遵义】遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30 000元购买A型设备的数量比用15 000元购买B型设备的数量多4台．
(1)求A型，B型设备的单价分别是多少元；
解：(1)设每台B型设备的价格为x元，则每台A型设备的价格为1.2x元．根据题意，
解得x＝2 500.经检验，x＝2 500是原方程的解且符合题意．
∴1.2x＝3 000.
答：A型设备的单价是3 000元，B型设备的单价是2 500元．
(2)该校计划购买两种型号的设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的 ，设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
由题易知w＝3 000a＋2 500(50－a)＝500a＋125 000.
∵500＞0，∴w随a的增大而增大．
∴当a＝13时，w的最小值为500×13＋125 000＝131 500.
∴w＝500a＋125 000，最少购买费用为131 500元．
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8．【2022·苏州】某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表：
‘
(1)求甲、乙两种水果的进价；
进货
批次 甲种水果质量
(单位：千克) 乙种水果质量
(单位：千克) 总费用
(单位：元)
第一次 60 40 1 520
第二次 30 50 1 360
解：(1)设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得解得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3 360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元，乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
设第三次购进x千克甲种水果，则购进(200－x)千克乙种水果．根据题意，得12x＋20(200－x)≤3 360，解得x≥80.设获得的利润为w元．根据题意，得w＝(17－12)×(x－m)＋(30－20)×(200－x－3m)＝－5x－35m＋2 000.∵－5＜0，∴w随x的增大而减小．∴当x＝80时，w的值最大，最大值为－35m＋1 600.根据题意，得－35m＋1 600≥800，解得m≤ .
∴正整数m的最大值为22.
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9．【2022·湖州】某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动，大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/时，轿车行驶的速度是60千米/时．
(1)轿车出发后多少小时追上大巴？
此时，两车与学校相距多少千米？
解：(1)设轿车出发后x小时追上大巴．
依题意得40(x＋1)＝60x，解得x＝2.
60×2＝120(千米)．
答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．
(2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间t(小时)的函数关系的图象，试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，
∴大巴行驶了3小时．∴B(3，120)．由图象得A(1，0)．
设AB所在直线的解析式为s＝kt＋b.
∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60.
9．【2022·湖州】某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动，大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/时，轿车行驶的速度是60千米/时．
(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，
轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
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第十九章 一次函数
19.2 一次函数
第7课时 一次函数与一元一次方程、不等式
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C
B
C
见习题
x＜－1
见习题
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A
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见习题
12
见习题
见习题
D
13
见习题
14
见习题
1．一元一次方程kx＋b＝0(k≠0，k，b是常数)的解即为函数y＝____________的图象与________的交点的______坐标；反之，函数y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的图象与______的交点的______坐标即为方程kx＋b＝0(k≠0)的解．
kx＋b(k≠0)
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x轴
横
x轴
横
2．【教材P96思考变式】【2021·贺州】直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，1)，B(2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为( )
A．x＝0
B．x＝1
C．x＝2
D．x＝3
C
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3．一元一次方程ax－b＝0的解是x＝3，则函数y＝ax－b的图象与x轴的交点坐标是( )
A．(－3，0)
B．(3，0)
C．(a，0)
D．(－b，0)
B
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4．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( )
C
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5．【2022·合肥寿春中学模拟】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与
分别交x轴于点B和点C.
(1)求点B，C的坐标；
解：(1)当y＝0时，由x＋1＝0，解得x＝－1，
∴点B的坐标是(－1，0)．
当y＝0时，由－ x＋3＝0，解得x＝4，
∴点C的坐标是(4，0)．
5．【2022·合肥寿春中学模拟】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与
分别交x轴于点B和点C.
(2)求△ABC的面积．
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6．一次函数与一元一次不等式的关系：一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)(k，b是常数，且k≠0)的解集，就是一次函数______________的图象在x轴________(或________)相应的自变量x的取值范围．
y＝kx＋b(k≠0)
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上方
下方
7．【2022·扬州】如图，函数y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点P，则关于x的不等式kx＋b＞3的解集为__________．
x＜－1
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8．【2021·娄底】如图，直线y＝x＋b和y＝kx＋4与x轴分别相交于点A(－4，0)，点B(2，0)，则 的解集为( )
A．－4＜x＜2
B．x＜－4
C．x＞2
D．x＜－4或x＞2
A
返回
9．【2022·鄂州】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k＜0)的图象与直线y＝ x都经过点A(3，1)，当kx＋b＜ x时，根据图象可知，x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x＜3
C．x＜1 D．x＞1
A
【点方法】利用图象法解一元一次不等式的一般步骤：
1．将不等式转化为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)的形式；
2．画出函数图象并确定函数图象与x轴的交点坐标；
3．根据函数图象确定对应不等式的解集.
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10．【2021·嘉兴】已知点P(a，b)在直线y＝－3x－4上，且2a－5b≤0，则下列不等式一定成立的是( )
D
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11．【2022·北京】在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(4，3)，(－2，0)，且与y轴交于点A.
(1)求该函数的解析式及点A的坐标；
11．【2022·北京】在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(4，3)，(－2，0)，且与y轴交于点A.
(2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
n≥1.
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12．【2022·广安】某企业下属A，B两厂向甲、乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲、乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲、乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
(1)求A，B两厂各运送多少吨水泥；
解：(1)设A厂运送x吨水泥，则B厂运送(x＋20)吨水泥．
根据题意，得x＋x＋20＝520，解得x＝250.此时x＋20＝270.
答：A厂运送250吨水泥，B厂运送270吨水泥．
(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨，受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多为150吨，设从A厂运往甲地a吨水泥，A，B两厂运往甲、乙两地的总运费为w元，求w与a之间的函数关系式；请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
根据题意，得w＝40a＋35(250－a)＋28(240－a)＋25(a＋30)＝40a＋8 750－35a＋6 720－28a＋25a＋750＝2a＋16 220.∵B厂运往甲地的水泥最多为150吨，
∴240－a≤150，解得a≥90.∵2＞0，∴w随a的增大而增大．∴当a＝90时，总运费最低．∴250－a＝160，240－a＝150，a＋30＝120.∴总运费最低的运输方案为：A厂运往甲地90吨水泥，运往乙地160吨水泥；B厂运往甲地
150吨水泥，运往乙地120吨水泥．
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13．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(2，3)，与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A.
(1)一次函数的解析式为____________；
(2)关于x的方程kx＋b＝0的解为__________；
(3)求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．
x＝8
由(2)得一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点A的坐标为(8，0)，所以OA＝8.又易知OB＝4，所以该函数图象与两坐标轴围成的三角形的
【点要点】任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴的交点的横坐标，即“形”题用“数”解，“数”题用“形”解，充分体现了数形结合思想．
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14．【2022·黑龙江】为了迎接“十一”小长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋价格 甲 乙
进价/(元/双) m m－20
售价/(元/双) 240 160
已知：用3 000元购进甲种运动鞋的数量与用2 400元购进乙种运动鞋的数量相同．
(1)求m的值．
解：(1)根据题意，
解得m＝100.
经检验，m＝100是原方程的解且符合题意．
∴m＝100.
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润＝售价－进价)不少于21 700元，且不超过22 300元，问该专卖店有几种进货方案？
设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋(200－x)双，
易知m－20＝80.根据题意，得：
∴不等式组的解集是95≤x≤105.∵x是正整数，
∴该专卖店有105－95＋1＝11(种)进货方案．
(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a元(50＜a＜70)出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
设总利润为W元，则W＝(240－100－a)x＋(160－80)(200－x)＝(60－a)x＋16 000(95≤x≤105)．
①当50＜a＜60时，60－a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x＝105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
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②当a＝60时，60－a＝0，W＝16 000，(2)中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60－a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x＝95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．(共25张PPT)
第十九章 一次函数
19.2 一次函数
第8课时 一次函数与二元一次方程(组)
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B
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见习题
见习题
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见习题
B
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见习题
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见习题
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见习题
1．以关于x，y的二元一次方程y－kx＝b(k≠0)的解为坐标的点组成的图象就是一次函数________________的图象．直线y＝kx＋b(k≠0)对应的函数解析式就是一个关于x，y的__________方程．
y＝kx＋b(k≠0)
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二元一次
B
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3．以方程y－2x－2＝0的解为坐标的点组成的图象是( )
C
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4．以下四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( )
C
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5．【中考·呼和浩特】若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－ x＋b－1上，则常数b等于( )
A. B．2 C．－1 D．1
B
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6．【2021·苏州】已知点 在一次函数y＝2x＋1的图象上，则m与n的大小关系是( )
A．m>n
B.m＝n
C.mD.无法确定
C
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7．确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的__________________；反过来，解一个_____________相当于确定两条相应直线交点的坐标．
二元一次方程组的解
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二元一次方程组
8．【2022·杭州】已知一次函数y＝3x－1与y＝kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组
的解是________．
返回
B
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10．小明用作图象的方法解二元一次方程组时，他作出了相应的两个一次函数的图象(如图)，则他解的这个方程组是( )
D
【点思路】由图象可知，两条直线的一次项系数都是负数，且一条直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，b为正数，另一条直线与y轴的交点在y轴的负半轴上，b为负数，符合条件的方程组只有D.
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B
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12．【2021·陕西】某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1 h后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的关系如图所示．
(1)求货车B距甲地的距离
y与时间x的关系式；
解：(1)设货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝kx＋b.
∴货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝60x－60(1≤x≤5)．
(2)求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．
当x＝3时，y＝60×3－60＝120，
故货车A的速度为(240－120)÷3＝40(km/h)，
货车A到达甲地所需时间为
240÷40＝6(h)，6－5＝1(h)．
答：货车B到乙地后，货车A还需1 h到达甲地．
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13．已知一次函数y＝3x＋6与y＝2x＋b(b为常数)的图象的交点为P(－10，－24)，求方程组 的解和b的值．
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14．【中考·滨州】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝
－ x－1与直线y＝－2x＋2相交于点P，两直线分别与x轴相交于点A，B.
(1)求交点P的坐标；
(2)求△PAB的面积；
∴A(－2，0)．在y＝－2x＋2中，令y＝0，
则－2x＋2＝0，解得x＝1，∴B(1，0)．∴AB＝3.
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(3)请把图象中直线y＝－2x＋2在直线y＝－ x－1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
如图所示．
此时自变量x的
取值范围是x<2.
15．【2022·南昌三中模拟】如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(2，b)．
(1)求b的值；
解：(1)将点P(2，b)的坐标代入y＝x＋1，得b＝2＋1＝3.
15．【2022·南昌三中模拟】如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(2，b)．
(2)直接写出方程组 的解；
(3)若l1交x轴于点A，l2交x轴于点B，且S△PAB＝9，求l2对应的函数解析式．
S△PAB＝ ×AB×3＝9，解得AB＝6.由题易知A(－1，0)，
∴OA＝1.∴OB＝5.∴B点的坐标为(5，0)．
将点P(2，3)，B(5，0)的坐标分别代入直线l2对应的函数解析式，
∴l2对应的函数解析式为y＝－x＋5.
【点思路】
(1)将点P的坐标代入y＝x＋1，即可求出b的值；
(2)利用数形结合思想可得出方程组的解就是两直线的交点坐标；
(3)由S△PAB＝9可求出点B的坐标，将点P和点B的坐标分别代入y＝mx＋n，即可求出l2对应的函数解析式.
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第十九章 一次函数
19.3 课题学习 选择方案
答案显示
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见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
8
见习题
见习题
1．【2022·德阳】习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4 000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
(1)求A，B两种树苗的单价分别是多少元；
解：(1)设A种树苗的单价是x元，B种树苗的单价是y元．
答：A种树苗的单价是4元，B种树苗的单价是5元．
(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
设购买A种树苗a株，总费用为w元，则购买B种树苗(100－a)株．根据题意，得a≤25，w≤480.∵w＝4a＋5(100－a)＝－a＋500，∴－a＋500≤480，解得a≥20.∴20≤a≤25.∵a是整数，∴a取20，21，22，23，24，25.∴共有六种购买方案．
方案一：购买A种树苗20株，购买B种树苗80株；
方案二：购买A种树苗21株，购买B种树苗79株；
方案三：购买A种树苗22株，购买B种树苗78株；
方案四：购买A种树苗23株，购买B种树苗77株；
方案五：购买A种树苗24株，购买B种树苗76株；
方案六：购买A种树苗25株，购买B种树苗75株．
∵w＝－a＋500，－1＜0，∴w随a的增大而减小．
∴当a＝25时，w最小，此时w＝－a＋500＝475.
∴第六种方案费用最低，最低费用是475元．
答：共有六种购买方案，购买A种树苗25株，B种树苗75株费用最低，最低费用是475元．
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2．【教材P100习题T15变式】【2021·宜昌】甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4 kg以上的苹果，超过4 kg的部分按标价的6折售卖．
x(单位：kg)表示购买苹果的质量，y(单位：元)表示付款金额．
(1)文文购买3 kg苹果需付款________元，购买5 kg苹果需付款________元．
30
46
(2)求付款金额y关于购买苹果的质量x的函数解析式．
由题意得：当0≤x≤4时，y＝10x；
当x>4时，y＝4×10＋(x－4)×10×0.6＝6x＋16.
∴付款金额y关于购买苹果的质量x的函数解析式为
(3)当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买10 kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
文文在甲超市购买10 kg苹果需付费6×10＋16＝76(元)，
文文在乙超市购买10 kg苹果需付费10×10×0.8＝80(元)．
∵76<80，∴文文在甲超市购买更划算．
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3．【2021·福建】某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
(1)已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4 600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
解：(1)设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品(100－x)箱．依题意得70x＋40(100－x)＝4 600，
解得x＝20.∴100－x＝100－20＝80.
答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱．
(2)经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1 000箱这种农产品．问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品(1 000－m)箱．依题意得0设该公司获得的总利润是y元．
依题意得y＝70m＋40(1 000－m)，即y＝30m＋40 000.
∵30>0，∴y随着m的增大而增大．∴当m＝300时，
y取得最大值，此时y＝30×300＋40 000＝49 000(元)．
∴批发这种农产品的数量是1 000－300＝700(箱)．
答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱、700箱时，才能使总利润最大，最大总利润是49 000元．
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4．【2021·河南】猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别
价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价/(元/个) 40 30
销售价/(元/个) 56 45
(1)第一次小李用1 100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个.
解：(1)设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进(30－x)个．
由题意得40x＋30(30－x)＝1 100，
解得x＝20.
则30－x＝30－20＝10.
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个．
(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
设A款玩偶购进a个，获利y元，则B款玩偶购进(30－a)个．
由题意得y＝(56－40)a＋(45－30)(30－a)＝a＋450.
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
∴a≤ (30－a)，解得a≤10.∵y＝a＋450，
∴y随a的增大而增大．∴a＝10时，y最大，
此时y＝a＋450＝460，30－a＝20.
答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元．
【点方法】利用方程(组)、不等式(组)求解方案类问题的策略：
求解方案类问题时，应先正确建立函数模型，确定自变量的取值范围，然后可利用函数的性质求最大(小)值；或计算出各种方案的值进行大小比较，注意自变量的整数取值问题．
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5．【2021·云南】某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示
该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1(单位：元)和y2(单位：元)与其当月鲜花销售量x(单位：千克)(x≥0)的函数关系．
(1)分别求y1，y2与x的函数解析式；
解：(1)设y1＝k1x，根据题意，得40k1＝1 200，解得k1＝30，
∴y1＝30x(x≥0)．设y2＝k2x＋b，根据题意，
∴y2＝10x＋800(x≥0)．
(2)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2 000元，这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
当x＝70时，y1＝30×70＝2 100>2 000；
y2＝10×70＋800＝1 500<2 000.
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
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6．【教材P103问题2变式】某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示．
A型客车 B型客车
载客量/(人/辆) 45 28
租金/(元/辆) 400 250
经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
(1)用含x的代数式填写下表：
28(13－x)
车辆数/辆 载客量/人 租金/元
A型客车 x 45x 400x
B型客车 13－x
250(13－x)
(2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？
设租车的总费用为W元，则有W＝400x＋250(13－x)＝150x＋3 250.由已知得45x＋28(13－x)≥500，解得x≥8.
因为在W＝150x＋3 250中，150＞0，所以W随x的增大而增大．所以当x＝8时，W取得最小值，最小值为4 450，此时13－x＝5.故租A型客车8辆、B型客车5辆时，总的租车费用最低，最低为4 450元.
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7．【中考·郴州】某工厂有甲种原料130 kg，乙种原料144 kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5 kg，乙种原料4 kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3 kg，乙种原料6 kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：
(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种？
解：(1)根据题意，得
解得18≤x≤20.
∵x是正整数，∴x＝18，19，20.
∴共有三种方案．
方案一：生产A产品18件、B产品12件；
方案二：生产A产品19件、B产品11件；
方案三：生产A产品20件、B产品10件．
(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润．
根据题意，得y＝700x＋900(30－x)＝－200x＋27 000.
∵－200＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝18时，
y有最大值，最大值为－200×18＋27 000＝23 400.
∴利润最大的方案是方案一：生产A产品18件、B产品12件，
最大利润为23 400元．
【点方法】用一次函数选择方案的一般步骤：
1．“析”：分析题意，弄清数量关系；
2．“列”：列出函数解析式、不等式或方程；
3．“求”：求出自变量取不同值时对应的函数值的大小，或函数的最大(最小)值；
4．“选”：结合实际需要选择最佳方案．
注意：在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊解(如正整数解).
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8．【教材P102问题1变式】【2021·宁波】某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A，B，C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系如图所示．
A方案 B方案 C方案
每月基本费用/元 20 56 266
每月免费使用流量/兆 1 024 m 无限
超出后每兆收费 n n
(1)请直接写出m，n的值．
(2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1 024兆时，求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数解析式．
解：(1)m＝3 072，n＝0.3.
设在A方案中，每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
把点(1 024，20)，点(1 144，56)的坐标代入，得
∴y与x之间的函数解析式为y＝0.3x－287.2(x≥1 024)．
(3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
3 072＋(266－56)÷0.3＝3 772(兆)，
∴当每月使用的流量超过3 772兆时，选择C方案最划算．
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第十九章 一次函数
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D
见习题
见习题
B
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见习题
8
D
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a＜2
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3
12
C
C
①②⑤⑥；
②⑤
13
B
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(2，0)
15
400；22 800
16
A
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见习题
18
见习题
1．(1)设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V＝πR2h，在这个变化过程中常量是________，变量是___________________；
(2)设圆柱的高h不变，在圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式V＝πR2h中，常量是__________，变量是__________．
π，R
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V，h
π，h
V，R
2．【2022·无锡】函数y＝ 中自变量x的取值范围是( )
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
D
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3．【2021·嘉兴】根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30 m称为“加速期”，30 m～80 m为“中途期”，80 m～100 m为“冲刺期”，市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(m/s)与路程x(m)之间的观测
数据，绘制成曲线如图所示．
(1)y是关于x的函数吗？为什么？
解：(1)y是关于x的函数．因为在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．
3．【2021·嘉兴】根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30 m称为“加速期”，30 m～80 m为“中途期”，80 m～100 m为“冲刺期”，市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(m/s)与路程x(m)之间
的观测数据，绘制成曲线如图所示．
(2)“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
“加速期”结束时，小斌的速度为10.4 m/s.
3．【2021·嘉兴】根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30 m称为“加速期”，30 m～80 m为“中途期”，80 m～100 m为“冲刺期”，市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(m/s)与路程x(m)之间的
观测数据，绘制成曲线如图所示．
(3)根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
答案不唯一，例如：根据图象信息，小斌在80 m前后速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．
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4．当m，n为何值时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数？当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？
解：若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数，则有5m－3≠0且2－n＝1，解得m≠ ，n＝1.所以当m≠ 且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数．若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数，则有5m－3≠0，2－n＝1且m＋n＝0，解得n＝1，m＝－1.所以当m＝－1且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数．
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5．【2022·河池】东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是( )
C
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6．【2022·随州】已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是( )
A．张强从家到体育场用了15 min
B．体育场离文具店1.5 km
C．张强在文具店停留了20 min
D．张强从文具店回家用了35 min
B
【点技巧】观察图象的小技巧：
观察图象时，与横轴平行的图象的实际意义取决于纵轴表示的量．若纵轴表示路程，则与横轴平行的图象表示停止运动；若纵轴表示速度，则与横轴平行的图象表示匀速运动.
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7．【中考·辽阳】若一次函数y＝2x＋2的图象经过点(3，m)，则m＝________．
8
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8．【2022·本溪】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是( )
A．k1·k2＜0
B．k1＋k2＜0
C．b1－b2＜0
D．b1·b2＜0
D
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9．【2022·盘锦】点A(x1，y1)，B(x2，y2)在一次函数y＝(a－2)x＋1的图象上，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是__________．
a＜2
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10．下列函数：
④y＝－x2－1；⑤2x－y＝0；⑥y＝－2(x－1)．
其中，一次函数有______________，正比例函数有______________．(填序号)
①②⑤⑥
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②⑤
11．如图，已知一次函数y＝ax＋b的图象为直线l，则关于x的方程ax＋b＝1的解为x＝________.
3
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12．【中考·乐山】直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx＋b≤2的解集是( )
A．x≤－2
B．x≤－4
C．x≥－2
D．x≥－4
C
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13．【2022·贵阳】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示，小墨根据图象得到如下结论：
①在一次函数y＝mx＋n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
③方程mx＋n＝0的解为x＝2；
④当x＝0时，ax＋b＝－1.其中结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B
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14．【2021·永州】如图，A，B两点的坐标分别为A(4，3)，B(0，－3)，在x轴上找一点P，使线段PA＋PB的值最小，则点P的坐标是__________．
(2，0)
【点拨】连接AB，根据“两点之间线段最短”可知，AB与x轴的交点的坐标即为所求．
15．【数学建模】某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表：
已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为________包时，每日所获总售价最大，最大总售价为________元．
规格 每包食材含量 每包售价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
400
22 800
【点拨】设A包装的数量为x包，B包装的数量为y包，总售价为W元．根据题意，得
∴y＝－4x＋2 000.
由x≥－4x＋2 000，得x≥400.
W＝45x＋12y＝45x＋12(－4x＋2 000)＝－3x＋24 000.
∵－3<0，∴W随x的增大而减小．∴当x＝400时，W最大，
最大为－3×400＋24 000＝22 800(元)．
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16．【2022·哈尔滨】一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35 L时，那么该汽车已行驶的路程为( )
A．150 km
B．165 km
C．125 km
D．350 km
A
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17．【2022·长春】已知A，B两地之间有一条长440千米的高速公路，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y(千米)与各自的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示．
(1)m＝________，n＝________；
2
6
(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
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18．【2022·梧州】梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干(又叫带壳圆肉)则有利于较长时间保存．已知3 kg的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成1 kg的龙眼干．
(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/千克？
解：(1)设龙眼干的售价为x元/kg，新鲜龙眼共3m kg(m＞0)，
则新鲜龙眼的销售收益为12×3m＝36m(元)．
加工成龙眼干后共m kg，龙眼干的销售收益为mx元．
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴mx≥36m，解得x≥36.
答：龙眼干的售价应不低于36元/kg.
(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出100 kg，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有a kg新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．
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