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第十九章 一次函数
素养集训
1.确定一次函数解析式的四种
常用方法
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1．若y－2与x＋2成正比例，且当x＝0时，y＝6，求y关于x的函数解析式．
解：设y－2＝k(x＋2)．
∵当x＝0时，y＝6，
∴6－2＝k×(0＋2)，解得k＝2.
将k＝2代入y－2＝k(x＋2)，得y＝2x＋6，
∴y关于x的函数解析式为y＝2x＋6.
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2．【中考·北京】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
解：(1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象
由函数y＝x的图象平移得到，∴k＝1.
将点(1，2)的坐标代入y＝x＋b，得1＋b＝2，
解得b＝1.∴这个一次函数的解析式为y＝x＋1.
2．【中考·北京】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．
(2)当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx＋b的值，直接写出m的取值范围．
m≥2.
【点思路】(2)确定x＝1时的函数值为2，根据一次函数的性质，利用数形结合的思想，确定m的取值范围．
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3．某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外需要承担制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元．
(1)分别写出y1，y2关于x的函数解析式(不用写自变量的取值范围)．
解：(1)y1＝8x，y2＝4x＋120.
(2)添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？
依题意得y1＝y2，即8x＝4x＋120，
解得x＝30.
故添置仪器30件时，两种方案所需的费用相同．
(3)若学校计划添置仪器50件，则采用哪种方案便宜？
把x＝50分别代入y1＝8x，y2＝4x＋120，
得y1＝8×50＝400，y2＝4×50＋120＝320.
因为400>320，所以若学校计划添置仪器50件，
则采用方案二便宜．
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4．【2022·新疆】A，B两地相距300 km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1 h．如图是甲、乙行驶路程y甲(km)，y乙(km)随甲的行驶时间x(h)变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为________km/h；
60
(2)分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式；
由(1)可知，y甲与x之间的函数解析式为y甲＝60x(0≤x≤5)．
设y乙与x之间的函数解析式为y乙＝kx＋b，
∴y乙＝100x－100(1≤x≤4)．
(3)求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．
根据题意，得60x＝100x－100，
解得x＝2.5.则60x＝60×2.5＝150，
∴点C的坐标为(2.5，150)．
故点C的实际意义是甲出发2.5 h后被乙追上，
此时甲、乙都行驶了150 km.
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第十九章 一次函数
素养集训
1.一次函数的两种常见应用
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D
A
1．【2022·临沂】甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个过程中，汽车离开A城的距离y(单位：km)与时间x(单位：h)的对应关系如图所示，下列说法中 的是( )
A．甲车行驶到距A城240 km处，被乙车追上
B．A城与B城的距离是300 km
C．乙车的平均速度是80 km/h
D．甲车比乙车早到B城
D
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2．【2021·白银】如图①，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计)．小刚离家的距离y(m)与他所用的时间x(min)的函数关系如图②所示．
(1)小刚家与学校的距离为________m，小刚骑自行车的速度为________m/min；
(2)求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式；
3 000
200
小刚从图书馆返回家的时间：5 000÷200＝25(min)．
总时间：25＋20＝45(min)．设返回时y与x的函数解析式为
y＝kx＋b.把点(20，5 000)，(45，0)的坐标代入，得
∴y＝－200x＋9 000(20≤x≤45)．
(3)小刚出发35 min时，他离家有多远？
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小刚出发35 min时，即x＝35时，
y＝－200×35＋9 000＝2 000.
答：他离家2 000 m.
3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(单位：件)与时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示．
(1)求甲组加工零件的数量y
与时间x之间的函数解析式．
解：(1)设甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式为y＝kx.因为当x＝6时，y＝360，所以k＝60.
即甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式为
y＝60x(0≤x≤6)．
(2)求乙组加工零件总量a的值．
更换设备后，乙组每小时加工零件100÷2×2＝100(个)，
则a＝100＋100×(4.8－2.8)＝300.
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
当工作2.8 h时共加工零件100＋60×2.8＝268(件)，
所以当x>2.8时才能装满第1箱．设经过x1 h装满第1箱，
则60x1＋100(x1－2.8)＋100＝300，解得x1＝3.
从x＝3到x＝4.8这一时间段内，甲、乙两组共加工零件
(4.8－3)×(100＋60)＝288(件)， 所以当x>4.8时，才能装满第2箱，此时只有甲组继续加工．设装满第1箱后再经过x2 h装满第2箱，则60x2＋(4.8－3)×100＝300，解得x2＝2.
故经过3 h恰好装满第1箱，再经过2 h恰好装满第2箱．
【点方法】解决与一次函数相关的实际应用问题的方法：
一要结合实际问题，提取等量关系，建立数学模型；
二要结合所求，建立方程进而解方程；
三要结合求得的结果来回答实际问题，且要注意实际问题中自变量的取值范围.
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4．【2022·十堰】某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的关系式是y＝ 销售单价p(元/件)与销售时间x(天)之间的
函数关系如图所示．
(1)第15天的日销售量为________件；
30
(2)0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
设日销售额为w元．由销售单价p(元/件)与销售时间x(天)之间的函数图象，得p＝
①当0＜x≤20时，
w＝40×2x＝80x.∵80＞0，
∴w随x的增大而增大．
∴当x＝20时，w最大，最大值为80×20＝1 600.
②当20＜x≤30时，w＝ ·2x＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500.
由和与加数的关系可知，当－(x－50)2最大，
即当x＝30时，w最大，最大值为2 100.
综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值为2 100元．
(3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
由题意得：当0＜x≤30时，2x≥48，解得24≤x≤30；
当30＜x≤40时，－6x＋240≥48，解得30＜x≤32.
∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件．
∵x为整数，∴x的整数值有9个.
∴“火热销售期”共有9天．
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5．【跨学科题】【2022·恩施州】如图①是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强p(单位：cmHg)与其离水面的深度h(单位：m)的函数解析式为p＝kh＋p0，其图象如图②所示，其中p0为青海湖水面大气压强，k为常数且k≠0.根据图中信息分析(结果保留一位小数)，下列结论正确的是( )
A．青海湖水深16.4 m处的压强为188.6 cmHg
B．青海湖水面大气压强为76.0 cmHg
C．函数解析式p＝kh＋p0中自变量h的取值范围是h≥0
D．p与h的函数解析式为p＝9.8×105h＋76
√
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6．【2022·葫芦岛】如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点， OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则 OCDE的面积为________．
2
【点拨】∵当x＝0时，y＝2×0＋4＝4，
∴点B的坐标为(0，4)．∴OB＝4.
∵点D为OB的中点，∴OD＝ OB＝ ×4＝2.
∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，
∴DE∥x轴，DE＝OC.
∵当y＝2时，2x＋4＝2，解得x＝－1.
∴点E的坐标为(－1，2)．∴DE＝1.
∴OC＝1.∴S OCDE＝OC·OD＝1×2＝2.
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7．【2022·杭州第十三中模拟】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D.如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)画出此函数的图象．
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函数图象如图所示．(共13张PPT)
第十九章 一次函数
素养集训
2.二元一次方程(组)与一次函数应用的四种常见题型
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A
C
B
见习题
B
B
B
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2．【2022·大连九中模拟】在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋4的图象如图所示．
(1)在同一平面直角坐标系中，作出一次函数y＝2x－5的图象；
解：(1)一次函数y＝2x－5的图象如图所示．
(2)用图象法解方程组
(3)求一次函数y＝－x＋4与y＝2x－5的图象与x轴所围成的三角形的面积．
直线y＝－x＋4与x轴的交点坐标为(4，0)，
直线y＝2x－5与x轴的交点坐标为
又由(2)知两直线的交点坐标为(3，1)，
∴一次函数y＝－x＋4与y＝2x－5的图象与x轴所围成的
三角形的面积为
【点方法】用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤：
1．变函数：把方程组化为两个一次函数；
2．画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
3．找交点：由图象确定两直线交点的坐标；
4．写结论：依据点的坐标写出方程组的解．
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A．(4，6)
B．(－4，6)
C．(4，－6)
D．(－4，－6)
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A
返回
C
B
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6．直线y＝－a1x＋b1与直线y＝a2x＋b2有唯一交点，则二元一次方程组 的解的情况是( )
A．无解
B．有唯一解
C．有两组解
D．有无数组解
B
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7．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(3，－3)，且与直线y＝4x－3的交点B在x轴上．
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)求直线AB与坐标轴所围成的△BOC(O为坐标原点，C为直线AB与y轴的交点)的面积．
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第十九章 一次函数
素养集训
2.一次函数的图象与系数的关系的
三种常见题型
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5
6
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D
B
二、三、四
B
B
B
8
A
9
5－2a
10
11
第三象限
12
A
C
见习题
13
C
1．一次函数y＝2x－3的图象 ( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B
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2．一次函数y＝kx－k(k＜0)的图象大致是( )
D
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3．若代数式 有意义，则一次函数y＝(k－1)x＋(1－k)的图象可能是( )
B
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4．已知直线y＝kx－b，若k－b＜0，kb＜0，则该直线经过第______________象限．
二、三、四
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5．若关于x的一次函数y＝(1－k)x＋k的图象如图，则k的取值范围是( )
A．k＞0
B．k＜1
C．0＜k＜1
D．k＞1
C
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6．【2021·柳州】若一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．k＞0
B．b＝2
C．y随x的增大而增大
D．x＝3时，y＝0
B
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7．【中考·陕西】在平面直角坐标系中，将直线y＝kx－6沿x轴向左平移3个单位长度后恰好经过原点，则k的值为( )
A．－2
B．2
C．－3
D．3
B
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8．【易错题】【中考·荆门】如果函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象 第二象限，那么k，b应满足的条件是( )
A．k≥0且b≤0
B．k＞0且b≤0
C．k≥0且b＜0
D．k＞0且b＜0
A
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【点易错】本题中函数并未指明是一次函数，故应考虑k＝0的情况；此外，不要忽略一次函数图象经过原点的情况.
5－2a
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【点拨】∵一次函数y＝(a－2)x＋1的图象不经过第三象限，∴a－2＜0，即a＜2.
|3－a|＝2－a＋3－a＝5－2a.
10．一次函数y＝kx－2的图象经过第二、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k的值等于________．
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11．在平面直角坐标系中，若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则直线y＝bx＋k 的象限是__________．
第三象限
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12．【2022·沈阳七中模拟】已知一次函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限，则一次函数y＝－bx＋kb的图象可能是( )
A
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13．【2022·大连格致中学模拟】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝(k－2)x＋k的图象和一次函数y＝kx的图象可能是( )
C
【点拨】由题意知，分三种情况：(1)当k＞2时，y＝(k－2)x＋k的图象经过第一、二、三象限；y＝kx的图象经过第一、三象限，且直线y＝kx比直线y＝(k－2)x＋k的倾斜程度大，B选项错误，C选项正确．(2)当0＜k＜2时，y＝(k－2)x＋k的图象经过第一、二、四象限；y＝kx的图象经过第一、三象限，A，D选项错误．(3)当k＜0时，y＝(k－2)x＋k的图象经过第二、三、四象限，y＝kx的图象经过第二、四象限，且直线y＝(k－2)x＋k比直线y＝kx的倾斜程度大．故选C.
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