人教版八年级下册16.1 二次根式的概念 （第1课时 ） 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
二次根式的概念与性质
二次根式的乘除
二次根式的加减
二次根式
概念
性质
乘法
除法
加减
混合运算
新知一览
二次根式的概念与性质
二次根式
概念
人教版八年级（下）
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
正数有 个平方根且
互为 数
0 的平方根是_______
负数_____平方根
非负数 a 的平方根表示为 .
平方根的性质
1
两
相反
零
没有
复习导入
正数只有____个算术平方根
0 的算术平方根是_____
负数_____算术平方根
非负数 a 的算术平方根
表示为 .
算术平方根的性质
2
没有
零
一
自学提示
自学教材第2页：
完成教材思考上提出的问题.
思考 用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1) 如图①的海报为正方形，
若面积为 3 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m．
图①
知识点1：二次根式的概念及有意义的条件
探究新知
正方形的面积 3 = 边长(x)×边长(x) (x＞0)
解析：
x2 = 3
同理：正方形的面积 S
边长
(2) 如图②的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为_____m．
图②
解析：
长方形的面积 130 = 长(2x)×宽(x) (x＞0)
2x2 = 130
x2 = 65
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下的高度 h (单位：m) 满足关系 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 ．
开始落下的高度 h = 5t2 (t＞0)
解析：
h = 5t2
被开方数(式)大于 0
不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根.
问题1 这些式子还有什么共同特征？
含有“ ”，根指数是 2
问题2 是否存在 ，为什么呢？
3
S
65
0
a
a
a
a
a
那对于形如 的式子我们怎么去定义它呢？
注意：a 可以是数，也可以是式.
通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？
一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外在特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数(式) a≥0
二次根式的定义
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
√
√
√
×
×
典例精析
有意义
例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义
答案：当 x≥2 时， 在实数范围内有意义.
【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) 答案：x≤5.
总结
(1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
答案：2≤x≤3.
多个二次根式相加如 有意义的
条件：
总结
答案：x＞1.
二次根式要求：
x - 1＞0
二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0.
分式要求：
总结
x - 1≥0
分式要求：x - 1≠0
二次根式要求：x + 3≥0
二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0 且 B≠0.
总结
x≥-3 且 x≠1
知识点2：二次根式的双重非负性
那么当 a≥0 时， 的大小是怎样的呢？
有意义
a≥0
回顾之前思考的过程.
分别表示 3，S，65， ，0 的 根．
算术平方
探究
形如 ( 一般 ) 意义 大小 总结
(a＞0)
(a = 0)
表示 a 的算术平方根
表示 0 的算术平方根
＞0
＝0
当 a≥0 时，
≥0
实例
( 特殊 )
二次根式的被开方数或式非负(a≥0)
二次根式的值非负
( ≥0)
二次根式 的双重非负性
二次根式的实质是表示一个非负数 (或式) 的算术平方根.对于任意一个二次根式
归纳总结
答：前者 x 为全体实数；后者 x≥0.
问题 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
呢？
答案：a - b + c＝3.
分析：
a - 2＝0，b - 3＝0，c - 4＝0
a，b，c 的值
| a - 2 |≥0， ≥0，(c - 4)2≥0
总结
多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
例3 若 ，求 a - b + c 的值.
定义
在有意义条件下求字母的取值范围
二次根式的双重非负性
二次根式
抓住被开方数必须为_________，从而建立不等式求出其解集
我们把形如___________的式子叫做二次根式
课堂小结
非负数
二次根式 中，____________
a≥0且 ≥0
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
3. 当 x =____ 时，二次根式 取最小值，
其最小值为______．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
-1
0
基础练习
当堂练习
4.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
能力提升
5. 已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足
，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
∴此三角形的周长是 10或14.