湘教版2023年九年级下册第1章《二次函数》单元练习(含解析)
文档属性
| 名称 | 湘教版2023年九年级下册第1章《二次函数》单元练习(含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 383.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-07 11:29:22 | ||
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文档简介
湘教版2023年九年级下册第1章《二次函数》单元练习
一．选择题
1．与y＝2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A．y＝1+x2 B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2
2．二次函数y＝（x+3）2+5有（ ）
A．最大值5 B．最小值5 C．最大值﹣3 D．最小值﹣3
3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝﹣3（x+1）2+3 D．y＝3（x+1）2+3
4．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化成顶点式是（ ）
A．y＝2（x+1）2﹣1 B．y＝2（x﹣1）2﹣1
C．y＝2（x+1）2+1 D．y＝2（x﹣1）2+1
5．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则这条抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
6．如图，关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为（1，﹣2）
B．对称轴是直线x＝1
C．开口方向向上
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
7．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
8．抛物线y＝x2﹣mx﹣4与坐标轴的交点个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
9．抛物线y＝ax2+ax+1的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（2.5，0）
10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（2，﹣5）
11．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．3
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a+b＝0；④当y＝﹣2时，x的值只能取2；
⑤当﹣1＜x＜5时，y＜0．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题
13．如图所示的抛物线是二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的图象，那么m的值是 ．
14．将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 ．
15．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当x＝2时，y的值为 ．
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于C（0，﹣6），将其向上（下）或向左（右）平移m（m＞0）个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为 ．
17．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 ．
18．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（37，m）在此“波浪线”上，则m的值为 ．
三．解答题
19．在同一平面直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．
求：（1）一次、二次函数的解析式．
（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？
（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．
（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．
20．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，O为坐标原点，这条抛物线的对称轴是直线x＝﹣．
（1）求A、B两点坐标；
（2）求证：△ACO∽△CBO；
（3）在抛物线上是否存在点P（点C除外），使△APB的面积等于△ABC的面积？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
21．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A、C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；
（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若D点在此抛物线上，且AD∥CB，在x轴上是否存在点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，问在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点P（2，n）在此抛物线上，AP交y轴于点E，连接BE，BP，请判断△BEP的形状，并说明理由；
（3）设抛物线的对称轴交x轴于点D，在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：y＝2（x﹣1）2+3中，a＝2．
故选：D．
2．【解答】解：∵二次函数y＝（x+3）2+5，a＝1，
∴二次函数有最小值5．
故选：B．
3．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，
设二次函数y＝a（x﹣1）2+3，
把（0，0）代入得0＝a+3
解得a＝﹣3．
故二次函数的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+3．
故选：A．
4．【解答】解：y＝2x2﹣4x+1
＝2（x2﹣2x+1）﹣1
＝2（x﹣1）2﹣1，
故选：B．
5．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x＝＝1．
故选：A．
6．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，
A、因为顶点坐标是（1，﹣2），故说法正确；
B、因为对称轴是直线x＝1，故说法正确；
C、因为a＝1＞0，开口向上，故说法正确；
D、当x＞1时，y随x的增大而增大，故说法错误．
故选：D．
7．【解答】解：根据题意，得＝0，
解得c＝16．
故选：D．
8．【解答】解：∵△＝m2﹣4×1×（﹣4）＝m2+16＞0，
∴即抛物线y＝x2﹣mx﹣4与x轴有两个不同的交点；
当x＝0时，y＝﹣4，即抛物线y＝x2﹣mx﹣4与y轴有一个交点，
∴抛物线y＝x2﹣mx﹣4与两坐标轴的交点个数为3个．
故选：C．
9．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴抛物线与x轴的另一个交点与点（﹣3，0）关于直线x＝﹣对称，
∴抛物线y＝ax2+ax+1与x轴的另一个交点坐标为（2，0）．
故选：C．
10．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，
∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故选：C．
11．【解答】解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，
又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，
故当x＝2时，二次函数有最小值为﹣5，
故﹣9+c+1＝﹣5，
故c＝3．
故选：D．
12．【解答】解：①∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝＝2＞0，
又∵a＞0，
∴b＜0，
即a，b异号，错误；
②∵x＝1和x＝3关于x＝2对称，
∴当x＝1和x＝3时，函数值相等，正确；
③∵x＝＝2，
∴b＝﹣4a，
即4a+b＝0，正确；
④∵y＝﹣2正好为抛物线顶点坐标的纵坐标，
∴当y＝﹣2时，x的值只能取2，正确；
⑤∵对称轴为x＝2，
∴x＝﹣1和x＝5关于x＝2对称，
故当﹣1＜x＜5时，y＜0．
∴②、③、④、⑤正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6经过（0，0），
∴m2+m﹣6＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣3，
∵抛物线开口向下，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
15．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝2和x＝0时，y值相等．
∵当x＝0时，y＝2，
∴当x＝2时，y＝2．
故答案为：2．
16．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于C（0，﹣6），
∴其大致图象如图所示：
．
由图示知，当抛物线y＝ax2+bx+c向上平移6个单位或向右平移2个单位或向左平移3个单位后，平移后的抛物线恰好经过原点，
即m＝6或m＝2或m＝3，
所以m的最小值为2．
故答案是：2．
17．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
∴y＝x2﹣2x﹣3，B点坐标为（3，0），
假设存在一点Q，则QC⊥BC与C，
设经过C点和Q点的直线可以表示为：y＝mx﹣3，
而直线BC可以表示为：y＝x﹣3，
∵QC⊥BC，
∴m＝﹣1
∴直线CQ解析式为：y＝﹣x﹣3，
联立方程组：，
解得x＝0或者x＝1，
舍去x＝0（与点C重合，应舍去）的解，
从而可得点Q为（1，﹣4）；
同理如果点B为直角定点，同样得到两点（3，0）（同理舍去）和（﹣2，5），
从而可得：点Q的坐标为：（1，﹣4）和（﹣2，5）．
18．【解答】解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．
∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），
当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
19．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝ax+b，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入解析式，可得：，解得a＝1，b＝﹣3；
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得：，解得a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．
故一次函数的解析式为y＝x﹣3，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、点B（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，
当x≥1时，两函数的函数值都随x增大而增大；
（3）由图象可得：当0＜x＜3时，一次函数值大于二次函数值；
（4）由图示知，当x＜3时，一次函数值小于0，
当x＞3时，一次函数值大于0；
当x＜﹣1或x＞3时，二次函数值大于0，
当﹣1＜x＜3时二次函数值小于0．
综上可得，当x＜﹣1时，两函数的函数值的积小于0．
20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣．
∴﹣＝﹣，
解得：b＝，
∴y＝x2+x﹣2，
令y＝0，得y＝x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣4，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（﹣4，0）；
（2）证明：当x＝0时，y＝﹣2，
∴点C坐标为（0，﹣2），
∵A点坐标为（1，0），B点坐标为（﹣4，0），
∴AO＝1，BO＝4，CO＝2，
∴，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△ACO∽△CBO；
（3）抛物线上存在点P，使△APB的面积等于△ABC的面积，
设点P的纵坐标为n，
由面积公式得AB |n|＝AB CO，
∴|n|＝2，
∴n＝±2，
当y＝2时，x2+x﹣2＝2，
解得，x＝，
当y＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，
解得，x＝0或﹣3（0舍去），
∴点p坐标为（，2）或（，2）或（﹣3，﹣2）．
21．【解答】解（1）当y＝0时，解得x1＝﹣1或x2＝3，
∴A（﹣1，0）B（3，0）．
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝﹣1．
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）
∵P点在E点的上方，
∴PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+．
∴当x＝时，PE的最大值为．
∴S△ACE＝×PE×（xC﹣xA）＝××3＝．
（3）当AC为平行四边形的对角线时．设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴依据中点坐标公式可知：，．
∴y＝﹣3，x＝1﹣a．
∵点G在抛物线上，
∴﹣3＝（1﹣a）2﹣2（1﹣a）﹣3，整理得：a2﹣1＝0，解得a＝1或a＝﹣1（舍去）．
∴点F的坐标为（1，0）．
当AC为平行四边形的边，CF为对角线时．设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴依据中点坐标公式可知：，＝．
∴y＝﹣3，x＝a+3
∵点G在抛物线上，
∴﹣3＝（a+3）2﹣2（a+3）﹣3，整理得：a2+4a+3＝0，将a＝﹣3或a＝﹣1（舍弃），
∴点F的坐标为（﹣3，0）．
当AC为平行四边形的边，CG为对角线时．设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴依据中点坐标公式可知：，＝．
∴y＝3，x＝a﹣3
∵点G在抛物线上，
∴3＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）﹣3，整理得：a2﹣8a+9＝0，解得a＝4+或a＝4．
∴点F的坐标为（4+，0）或（4﹣，0）．
综上所述，点F的坐标为（1，0）或（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．
22．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0）
∵AD∥CB，
∴两直线的斜率相等，
∴kAD＝kBC，
∴＝＝，
∴y+1＝x，
又∵点D在抛物线上，
∴y＝x2﹣x﹣2，
联立两式解得D点的坐标为（5，3），
连接AC，AC＝，BC＝2，AB＝5，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
①若Rt△ACB∽RtEDA，如图1所示，
∵AD∥AC，
∴∠DAB＝∠ABC，
∵Rt△ACB∽RtEDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
当a＝5时，等式成立，
∴当E点坐标为（5，0）时，Rt△ACB∽RtAED；
②若Rt△ACB∽RtADE，如图2所示，
同理可知＝，即＝，
解得a＝，
∴AE＝，根据勾股定理求出DE＝，
检验：＝＝，
∴存在E点坐标（，0）使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
综上这样的点有两个，分别是（5，0），（，0）；
（3）由（1）（2）可知：AB＝5，D点坐标为（5，3），C点坐标为（0，﹣2），
假设存在P点（x，y）使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等，
S四边形ACBD＝S△ABD+S△ACB＝×5×3+×5×2＝，
S△APD＝×AD×h＝，解得h＝，
∴P到直线AD的距离为，
直线AD的解析式为y＝x+，
P点到直线AD的距离d＝＝，
又知y＝x2﹣x﹣2，
解得x＝
∴这样的P点存在，坐标为（，﹣+）、（，﹣﹣）．
23．【解答】解：（1）∵抛物线上A、B、C三点坐标代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c
得，，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）结论：△BEP为等腰直角三角形，理由如下：
∵点P（2，n）在此抛物线上，
∴n＝﹣4+6+4＝6，
∴P点坐标为（2，6）．
设直线AP解析式为y＝kx+b，
把A、P两点坐标代入可得，
解得，，
∴直线AP的解析式为y＝2x+2，（
令x＝0可得y＝2，则E点坐标为（0，2）．
∵B（4，0），P（2，6），
∴BP＝＝＝2，BE＝＝＝2，EP＝＝＝2，
∴BE2+EP2＝20+20＝40＝BP2，且BE＝EP，
∴△BEP为等腰直角三角形．
（3）存在．
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点的坐标为（，），
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，∠ABC＝45°．
以下分两种情况：
①若BQ＝DQ，BQ1⊥DQ1，∠BDQ＝45°，如图，过点Q1作Q1M⊥OB，垂足为M，
∵BQ1＝DQ1，BD＝4﹣＝，
∴BM＝Q1M＝，OM＝4﹣＝，
∴Q1的坐标为Q1（，）．
②若DQ2＝BD＝，DQ2⊥BD，易得BC所在的直线解析式为y＝﹣x+4，
代入x＝，得y＝﹣+4＝，
∴DQ2＝BD＝，∴△BDQ2是等腰直角三角形，
所以Q2的坐标为Q2（，），
综上所述，Q的坐标为Q1（，）或Q2（，）．
一．选择题
1．与y＝2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A．y＝1+x2 B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2
2．二次函数y＝（x+3）2+5有（ ）
A．最大值5 B．最小值5 C．最大值﹣3 D．最小值﹣3
3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝﹣3（x+1）2+3 D．y＝3（x+1）2+3
4．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化成顶点式是（ ）
A．y＝2（x+1）2﹣1 B．y＝2（x﹣1）2﹣1
C．y＝2（x+1）2+1 D．y＝2（x﹣1）2+1
5．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则这条抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
6．如图，关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为（1，﹣2）
B．对称轴是直线x＝1
C．开口方向向上
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
7．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
8．抛物线y＝x2﹣mx﹣4与坐标轴的交点个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
9．抛物线y＝ax2+ax+1的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（2.5，0）
10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（2，﹣5）
11．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．3
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a+b＝0；④当y＝﹣2时，x的值只能取2；
⑤当﹣1＜x＜5时，y＜0．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题
13．如图所示的抛物线是二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的图象，那么m的值是 ．
14．将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 ．
15．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当x＝2时，y的值为 ．
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于C（0，﹣6），将其向上（下）或向左（右）平移m（m＞0）个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为 ．
17．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 ．
18．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（37，m）在此“波浪线”上，则m的值为 ．
三．解答题
19．在同一平面直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．
求：（1）一次、二次函数的解析式．
（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？
（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．
（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．
20．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，O为坐标原点，这条抛物线的对称轴是直线x＝﹣．
（1）求A、B两点坐标；
（2）求证：△ACO∽△CBO；
（3）在抛物线上是否存在点P（点C除外），使△APB的面积等于△ABC的面积？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
21．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A、C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；
（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若D点在此抛物线上，且AD∥CB，在x轴上是否存在点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，问在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点P（2，n）在此抛物线上，AP交y轴于点E，连接BE，BP，请判断△BEP的形状，并说明理由；
（3）设抛物线的对称轴交x轴于点D，在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：y＝2（x﹣1）2+3中，a＝2．
故选：D．
2．【解答】解：∵二次函数y＝（x+3）2+5，a＝1，
∴二次函数有最小值5．
故选：B．
3．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，
设二次函数y＝a（x﹣1）2+3，
把（0，0）代入得0＝a+3
解得a＝﹣3．
故二次函数的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+3．
故选：A．
4．【解答】解：y＝2x2﹣4x+1
＝2（x2﹣2x+1）﹣1
＝2（x﹣1）2﹣1，
故选：B．
5．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x＝＝1．
故选：A．
6．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，
A、因为顶点坐标是（1，﹣2），故说法正确；
B、因为对称轴是直线x＝1，故说法正确；
C、因为a＝1＞0，开口向上，故说法正确；
D、当x＞1时，y随x的增大而增大，故说法错误．
故选：D．
7．【解答】解：根据题意，得＝0，
解得c＝16．
故选：D．
8．【解答】解：∵△＝m2﹣4×1×（﹣4）＝m2+16＞0，
∴即抛物线y＝x2﹣mx﹣4与x轴有两个不同的交点；
当x＝0时，y＝﹣4，即抛物线y＝x2﹣mx﹣4与y轴有一个交点，
∴抛物线y＝x2﹣mx﹣4与两坐标轴的交点个数为3个．
故选：C．
9．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴抛物线与x轴的另一个交点与点（﹣3，0）关于直线x＝﹣对称，
∴抛物线y＝ax2+ax+1与x轴的另一个交点坐标为（2，0）．
故选：C．
10．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，
∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故选：C．
11．【解答】解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，
又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，
故当x＝2时，二次函数有最小值为﹣5，
故﹣9+c+1＝﹣5，
故c＝3．
故选：D．
12．【解答】解：①∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝＝2＞0，
又∵a＞0，
∴b＜0，
即a，b异号，错误；
②∵x＝1和x＝3关于x＝2对称，
∴当x＝1和x＝3时，函数值相等，正确；
③∵x＝＝2，
∴b＝﹣4a，
即4a+b＝0，正确；
④∵y＝﹣2正好为抛物线顶点坐标的纵坐标，
∴当y＝﹣2时，x的值只能取2，正确；
⑤∵对称轴为x＝2，
∴x＝﹣1和x＝5关于x＝2对称，
故当﹣1＜x＜5时，y＜0．
∴②、③、④、⑤正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6经过（0，0），
∴m2+m﹣6＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣3，
∵抛物线开口向下，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
15．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝2和x＝0时，y值相等．
∵当x＝0时，y＝2，
∴当x＝2时，y＝2．
故答案为：2．
16．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于C（0，﹣6），
∴其大致图象如图所示：
．
由图示知，当抛物线y＝ax2+bx+c向上平移6个单位或向右平移2个单位或向左平移3个单位后，平移后的抛物线恰好经过原点，
即m＝6或m＝2或m＝3，
所以m的最小值为2．
故答案是：2．
17．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
∴y＝x2﹣2x﹣3，B点坐标为（3，0），
假设存在一点Q，则QC⊥BC与C，
设经过C点和Q点的直线可以表示为：y＝mx﹣3，
而直线BC可以表示为：y＝x﹣3，
∵QC⊥BC，
∴m＝﹣1
∴直线CQ解析式为：y＝﹣x﹣3，
联立方程组：，
解得x＝0或者x＝1，
舍去x＝0（与点C重合，应舍去）的解，
从而可得点Q为（1，﹣4）；
同理如果点B为直角定点，同样得到两点（3，0）（同理舍去）和（﹣2，5），
从而可得：点Q的坐标为：（1，﹣4）和（﹣2，5）．
18．【解答】解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．
∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），
当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
19．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝ax+b，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入解析式，可得：，解得a＝1，b＝﹣3；
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得：，解得a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．
故一次函数的解析式为y＝x﹣3，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、点B（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，
当x≥1时，两函数的函数值都随x增大而增大；
（3）由图象可得：当0＜x＜3时，一次函数值大于二次函数值；
（4）由图示知，当x＜3时，一次函数值小于0，
当x＞3时，一次函数值大于0；
当x＜﹣1或x＞3时，二次函数值大于0，
当﹣1＜x＜3时二次函数值小于0．
综上可得，当x＜﹣1时，两函数的函数值的积小于0．
20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣．
∴﹣＝﹣，
解得：b＝，
∴y＝x2+x﹣2，
令y＝0，得y＝x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣4，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（﹣4，0）；
（2）证明：当x＝0时，y＝﹣2，
∴点C坐标为（0，﹣2），
∵A点坐标为（1，0），B点坐标为（﹣4，0），
∴AO＝1，BO＝4，CO＝2，
∴，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△ACO∽△CBO；
（3）抛物线上存在点P，使△APB的面积等于△ABC的面积，
设点P的纵坐标为n，
由面积公式得AB |n|＝AB CO，
∴|n|＝2，
∴n＝±2，
当y＝2时，x2+x﹣2＝2，
解得，x＝，
当y＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，
解得，x＝0或﹣3（0舍去），
∴点p坐标为（，2）或（，2）或（﹣3，﹣2）．
21．【解答】解（1）当y＝0时，解得x1＝﹣1或x2＝3，
∴A（﹣1，0）B（3，0）．
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝﹣1．
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）
∵P点在E点的上方，
∴PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+．
∴当x＝时，PE的最大值为．
∴S△ACE＝×PE×（xC﹣xA）＝××3＝．
（3）当AC为平行四边形的对角线时．设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴依据中点坐标公式可知：，．
∴y＝﹣3，x＝1﹣a．
∵点G在抛物线上，
∴﹣3＝（1﹣a）2﹣2（1﹣a）﹣3，整理得：a2﹣1＝0，解得a＝1或a＝﹣1（舍去）．
∴点F的坐标为（1，0）．
当AC为平行四边形的边，CF为对角线时．设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴依据中点坐标公式可知：，＝．
∴y＝﹣3，x＝a+3
∵点G在抛物线上，
∴﹣3＝（a+3）2﹣2（a+3）﹣3，整理得：a2+4a+3＝0，将a＝﹣3或a＝﹣1（舍弃），
∴点F的坐标为（﹣3，0）．
当AC为平行四边形的边，CG为对角线时．设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴依据中点坐标公式可知：，＝．
∴y＝3，x＝a﹣3
∵点G在抛物线上，
∴3＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）﹣3，整理得：a2﹣8a+9＝0，解得a＝4+或a＝4．
∴点F的坐标为（4+，0）或（4﹣，0）．
综上所述，点F的坐标为（1，0）或（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．
22．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0）
∵AD∥CB，
∴两直线的斜率相等，
∴kAD＝kBC，
∴＝＝，
∴y+1＝x，
又∵点D在抛物线上，
∴y＝x2﹣x﹣2，
联立两式解得D点的坐标为（5，3），
连接AC，AC＝，BC＝2，AB＝5，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
①若Rt△ACB∽RtEDA，如图1所示，
∵AD∥AC，
∴∠DAB＝∠ABC，
∵Rt△ACB∽RtEDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
当a＝5时，等式成立，
∴当E点坐标为（5，0）时，Rt△ACB∽RtAED；
②若Rt△ACB∽RtADE，如图2所示，
同理可知＝，即＝，
解得a＝，
∴AE＝，根据勾股定理求出DE＝，
检验：＝＝，
∴存在E点坐标（，0）使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
综上这样的点有两个，分别是（5，0），（，0）；
（3）由（1）（2）可知：AB＝5，D点坐标为（5，3），C点坐标为（0，﹣2），
假设存在P点（x，y）使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等，
S四边形ACBD＝S△ABD+S△ACB＝×5×3+×5×2＝，
S△APD＝×AD×h＝，解得h＝，
∴P到直线AD的距离为，
直线AD的解析式为y＝x+，
P点到直线AD的距离d＝＝，
又知y＝x2﹣x﹣2，
解得x＝
∴这样的P点存在，坐标为（，﹣+）、（，﹣﹣）．
23．【解答】解：（1）∵抛物线上A、B、C三点坐标代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c
得，，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）结论：△BEP为等腰直角三角形，理由如下：
∵点P（2，n）在此抛物线上，
∴n＝﹣4+6+4＝6，
∴P点坐标为（2，6）．
设直线AP解析式为y＝kx+b，
把A、P两点坐标代入可得，
解得，，
∴直线AP的解析式为y＝2x+2，（
令x＝0可得y＝2，则E点坐标为（0，2）．
∵B（4，0），P（2，6），
∴BP＝＝＝2，BE＝＝＝2，EP＝＝＝2，
∴BE2+EP2＝20+20＝40＝BP2，且BE＝EP，
∴△BEP为等腰直角三角形．
（3）存在．
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点的坐标为（，），
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，∠ABC＝45°．
以下分两种情况：
①若BQ＝DQ，BQ1⊥DQ1，∠BDQ＝45°，如图，过点Q1作Q1M⊥OB，垂足为M，
∵BQ1＝DQ1，BD＝4﹣＝，
∴BM＝Q1M＝，OM＝4﹣＝，
∴Q1的坐标为Q1（，）．
②若DQ2＝BD＝，DQ2⊥BD，易得BC所在的直线解析式为y＝﹣x+4，
代入x＝，得y＝﹣+4＝，
∴DQ2＝BD＝，∴△BDQ2是等腰直角三角形，
所以Q2的坐标为Q2（，），
综上所述，Q的坐标为Q1（，）或Q2（，）．