1．4 充分条件与必要条件
知识点一 充分条件与必要条件
“若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题
推出关系 p q p q
p 是 q 的充分条件 p 不是 q 的充分条件
条件关系
q 是 p 的必要条件 q 不是 p 的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
知识点二 充要条件
一般地，如果 p q，且 q p，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作 p q.
【题型目录】
题型一、充分不必要条件
命题点 1 判断命题的充分不必要条件
命题点 2 根据充分不必要条件求参数
命题点 3 充分条件的判定及性质
题型二、必要不充分条件
命题点 1 判断命题的必要不充分条件
命题点 2 根据必要不充分条件求参数
命题点 3 必要条件的判定及性质
题型三、充要条件
命题点 1 充要条件的判定
命题点 2 探究命题为真的充要条件
命题点 3 根据充要条件求参数
命题点 4 既不充分也不必要条件
题型一、充分不必要条件
命题点 1 判断命题的充分不必要条件
1．设 x R ，则“ 0 x 5 ”是“ x 2 3”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
命题点 2 根据充分不必要条件求参数
2．若不等式 x 2 a成立的一个充分条件为0 x 1，则实数 a 的取值范围是（ ）．
A． 2, B． 2, C． 2, D． 2,
命题点 3 充分条件的判定及性质
3．“ a b ”的一个充分条件是（ ）
1 1 2 1 1A． B． ab b C． 0 D． a2 ab
a b b a
4．(多选)下列“若 p，则 q”形式的命题中，p 是 q 的充分条件的有（ ）
A．若 x＜1，则 x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若|x|≠1，则 x≠1 D．若 ab＞0，则 a＞0，b＞0
题型二、必要不充分条件
命题点 1 判断命题的必要不充分条件
1．已知条件 p :x 0， 条件 q :x 3， 则 p 是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知 a,b R ，则“ a 1或 b 1”是“ a b 2”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分义非必要
命题点 2 根据必要不充分条件求参数
3．已知P {x | 2 x 10}，Q {x | m 1 x m 1}，若 P 是 Q 的必要条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 1 m 9 B． 1 m 9
C．m 1 D．m 9
命题点 3 必要条件的判定及性质
4．已知 a，b R，则“ ab 0 ”的一个必要条件是（ ）
1 1
A． a b 0 B． a2 b2 0 C． a3 b3 0 D． 0a b
5．（1）是否存在实数m ，使得“ 4x m 1”是“ x 3或 x 5”的充分条件？
（2）是否存在实数m ，使得“ 4x m 1”是“ x 2或 x 4 ”的必要条件？
题型三、充要条件
命题点 1 充要条件的判定
1．已知三条线段的长分别为 a，b，c，若 a b c，则“b c a ”是“a，b，c 为某三角形三边长”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
命题点 2 探究命题为真的充要条件
2．设集合 A x x 1 ，B x x 1 ，则“ x A且 x B ”成立的充要条件是（ ）
A． 1 x 1 B． x 1 C． x 1 D． 1 x 1
3 2．求关于 x 的方程 ax 2a 3 x 1 a 0 有一个正根和一个负根的充要条件．
命题点 3 根据充要条件求参数
4．设 n N*，一元二次方程 x2 - 4x n 0有实数根的充要条件是 n _________．
5．若“ 1 x 1 ”是“ 1 x m 1”的充要条件，则实数 m 的取值是_________．
命题点 4 既不充分也不必要条件
6．设集合 A x | 0 x 3 ，集合B x |1 x 3 ，那么“ m A”是“ m B ”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
1．设 x R ，则“ x 2 0 ”是“ x2 4 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 3
2．如果不等式 x m 1成立的充分不必要条件是 x ，则实数m 的取值范围是（ ）
2 2
1 3 1 3
A． m B． m
2 2 2 2
C．m
3 m 1 m 3 m 1 或 D． 或
2 2 2 2
1 1
3．（多选）下列式子中，能使 成立的充分条件有（ ）
a b
A． a 0 b B． b a 0 C． b 0 a D． 0 b a
4．下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？
(1)对角线相等的菱形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)有一个角是直角的菱形．
1 1
5．若 a、b R ，则“ a b ”是“ (a 1)2 (b 1)2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知 a 0，若不等式 x 1 a的一个必要条件为0 x 3，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a 1 B． a 2 C．0 a 1 D．0 a 2
7．设集合M x 0 x 3 , N x 0 x 2 ，那么“ a M ”是“ a N ”的___________条件．（填“充分”“必要”）
8．设 a，b R ，下面式子中哪个是哪个的充分条件，哪个是哪个的必要条件？
（1） ab 0；
（2） a2 b2 0 ；
（3） a2 b2 0 ；
（4） a 0；
（5） ab 0 ；
（6）b 0 ．
9 f x x2．函数 mx 1的图像关于直线 x 1对称的充要条件是（ ）
A．m 2 B．m 2
C．m 1 D．m 1
10 2．已知关于 x 的方程 1 a x a 2 x 4 0，则该方程有两个正根的充要条件是 __________ ．
11．若集合 A x x 2 ，B x bx 1 ，其中b 为实数．
（1）若A 是 B 的充要条件，则b ________；
（2）若A 是 B 的充分不必要条件，则b 的取值范围是：__________；（答案不唯一，写出一个即可）
12．已知 a R ，则“ a 0 ”是“ a2 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．已知集合M 0,1,2 ， N 1,0,1, 2 ，则“ a M ”是“ a N ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知 p :
1 1
2 2 ， q : a b 0，则 p 是q的（ ）a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．一元二次方程 x2 2x m 0有实数解的一个必要不充分条件为（ ）
A．m 1 B．m 1 C．m 1 D．m 2
4．方程 ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．0 a 1 B．a 1 C．a 1 D．0 a 1或 a 0
5．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
6．“一元二次方程 x2 ax 1 0 有两个不相等的正实根”的充要条件是（ ）
A． a 2 B． a 2 C． a 2 D． a 2 或 a 2
7．“x，y 为无理数”是“xy 为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（多选）下列能作为 x2 1的一个充分条件的是（ ）
A． x 1 B．0 x 1 C． 1 x 0 D． 1 x 1
9．（多选）下列各选项中，p 是 q 的必要不充分条件的有（ ）
A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形
B．p： a P Q ，q： a P
C．p： a P Q ，q： a P
D．p： x y ，q： x2 y2
10．（多选）对任意实数 a，b ， c，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“ a b ”是“ ac bc ”的充要条件
B．“ a b ”是“ a2 b2 ”的充分条件
C．“ a 5”是“ a 3”的必要条件
D．“ a 5是无理数”是“ a是无理数”的充分不必要条件
11．若不等式 | x | a 的一个充分条件为 2 x 0，则实数 a 的最小值是___________.
12．已知 ： x 2m 1或 x m ， ： x 2 或 x 4，若 是 的必要条件，则实数m 的取值范围是 __．
13．下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______．
①同位角相等；②内错角相等；
③同旁内角互补；④同旁内角相等．
14．设 p：x＞a，q：x＞3.
(1)若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围；
(2)若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围.
15．下列各题中，p 是 q 的什么条件？
(1) p : a b ， q : a b 1；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3) p : x 1或 x 2， q : x 1 x 1；
(4) p : m 1， q : x2 x m 0无实根．
16．求解下列问题：
(1)已知集合 A＝{x|a－2
(2)若任意 x∈R，函数 y＝mx2＋x－m－a 的图象和 x 轴恒有公共点，求实数 a 的取值范围.
17 2．已知M x, y y 2x ， N x, y x a 2 y2 9 ，求 M N 的充要条件.
18．若关于 x 的方程3x2 10x k 0有两个不相等的负实数根，求实数 k 的取值范围．
19．从①充分而不必要，②必要而不充分，③充要这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解
答．
问题：已知集合P x 1 x 4 ， S x 1 m x 1 m ．是否存在实数 m，使得 x P是 x S 的______条件．若存
在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．1．4 充分条件与必要条件
知识点一 充分条件与必要条件
“若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题
推出关系 p q p q
p 是 q 的充分条件 p 不是 q 的充分条件
条件关系
q 是 p 的必要条件 q 不是 p 的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
知识点二 充要条件
一般地，如果 p q，且 q p，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作 p q.
【题型目录】
题型一、充分不必要条件
命题点 1 判断命题的充分不必要条件
命题点 2 根据充分不必要条件求参数
命题点 3 充分条件的判定及性质
题型二、必要不充分条件
命题点 1 判断命题的必要不充分条件
命题点 2 根据必要不充分条件求参数
命题点 3 必要条件的判定及性质
题型三、充要条件
命题点 1 充要条件的判定
命题点 2 探究命题为真的充要条件
命题点 3 根据充要条件求参数
命题点 4 既不充分也不必要条件
题型一、充分不必要条件
命题点 1 判断命题的充分不必要条件
1．设 x R ，则“ 0 x 5 ”是“ x 2 3”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 x 2 3，得 1 x 5，
因为当0 x 5时， 1 x 5一定成立，
而当 1 x 5时，0 x 5不一定成立，
所以“ 0 x 5 ”是“ x 2 3”的充分而不必要条件，
故选：A
命题点 2 根据充分不必要条件求参数
2．若不等式 x 2 a成立的一个充分条件为0 x 1，则实数 a 的取值范围是（ ）．
A． 2, B． 2, C． 2, D． 2,
【答案】D
【详解】 x 2 a成立时， a 0，由 x 2 a解得 a 2 x a 2 ，
设集合 A a 2, a 2 ，B 0,1 ，
a 2 0
由依题意得B A，所以 a 2 1 ，解得
a 2 .
故选:D．
命题点 3 充分条件的判定及性质
3．“ a b ”的一个充分条件是（ ）
1 1 2 1 1A． B． ab b C． 0 D． a2 ab
a b b a
【答案】C
1 1
【详解】对于 A，当 a 0 b 时，满足 ，无法得到 a b，充分性不成立，A 错误；
a b
b 0
b 0
对于 B，当 ab b2 时，b a b 0， 或 ，充分性不成立，B 错误；
a b a b
1 1
对于 C，当 0时， a b 0，可得到 a b，C 正确；
b a
a 0 a 0
对于 D，当 a2 ab时， a a b 0， a b 或 a b，充分性不成立，D 错误.
故选：C.
4．(多选)下列“若 p，则 q”形式的命题中，p 是 q 的充分条件的有（ ）
A．若 x＜1，则 x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若|x|≠1，则 x≠1 D．若 ab＞0，则 a＞0，b＞0
【答案】ABC
【详解】由 x＜1，可以推出 x＜2，所以选项 A 符合题意；
由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项 B 符合题意；
由|x|≠1，可以推出 x≠1，所以选项 C 符合题意；
由 ab＞0，不一定能推出 a＞0，b＞0，比如 a b 1，所以本选项不符合题意，
故选：ABC
题型二、必要不充分条件
命题点 1 判断命题的必要不充分条件
1．已知条件 p :x 0， 条件 q :x 3， 则 p 是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】设 A 0, ，B 3, ,则 B A
所以q能推出 p ，由 p 不能推出q，所以 p 是q的必要不充分条件
故选：B
2．已知 a,b R ，则“ a 1或 b 1”是“ a b 2”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分义非必要
【答案】B
【详解】当 a 1或 b 1时，如 a 2，b 3，此时 a b 1 2，因此不充分，
若 a 1且 b 1，则 a b a b 2，因此是必要的．
即为必要不充分条件．
故选：B．
命题点 2 根据必要不充分条件求参数
3．已知P {x | 2 x 10}，Q {x | m 1 x m 1}，若 P 是 Q 的必要条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 1 m 9 B． 1 m 9
C．m 1 D．m 9
【答案】B
【详解】因为 P 是 Q 的必要条件，
∴ Q P ，又P {x | 2 x 10}，Q {x | m 1 x m 1}，
m 1 2
∴ ，解得 1 m 9
m 1 10
.
故选：B.
命题点 3 必要条件的判定及性质
4．已知 a，b R，则“ ab 0 ”的一个必要条件是（ ）
1 1
A． a b 0 B． a2 b2 0 C． a3 b3 0 D． 0a b
【答案】B
【详解】对于 A 选项，当 a 3,b 3时， ab 0，此时 a b 0，故 a b 0 不是 ab 0的必要条件，故错误；
对于 B 选项，当 ab 0时， a2 b2 0成立，反之，不成立，故 a2 b2 0是 ab 0的必要条件，故正确；
对于 C 选项，当 a 3,b 3时， ab 0，但此时 a3 b3 0，故 a3 b3 0不是 ab 0的必要条件，故错误；
1 1 1 1
对于 D 选项，当 a 3,b 3时， ab 0，但此时 0，故故 0不是 ab 0的必要条件，故错误.
a b a b
故选：B
5．（1）是否存在实数m ，使得“ 4x m 1”是“ x 3或 x 5”的充分条件？
（2）是否存在实数m ，使得“ 4x m 1”是“ x 2或 x 4 ”的必要条件？
【详解】（1）欲使 4x m 1是 x 3或 x 5的充分条件，
x 1 m 1 m则只要 ∣x {x∣x 3或 x 5}，即只需 5，
4 4
所以m 19 .
故存在实数m 19 ，使得“ 4x m 1”是“ x 3或 x 5”的充分条件；
1 m
（2）欲使 4x m 1是 x 2或 x 4的必要条件，则只要{x∣x 2或 x 4} x∣x ，
4
这是不可能的.故不存在实数m ，使得“ 4x m 1”是“ x 2或 x 4 ”的必要条件.
题型三、充要条件
命题点 1 充要条件的判定
1．已知三条线段的长分别为 a，b，c，若 a b c，则“b c a ”是“a，b，c 为某三角形三边长”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】依题意，由 a b c，得 a c b， a b c，因b c a ，因此，a，b，c 能为一个三角形三边长，
a，b，c 是某三角形三边长，则有b c a ，
所以“b c a ”是“a，b，c 为某三角形三边长”的充要条件.
故选：C
命题点 2 探究命题为真的充要条件
2．设集合 A x x 1 ，B x x 1 ，则“ x A且 x B ”成立的充要条件是（ ）
A． 1 x 1 B． x 1 C． x 1 D． 1 x 1
【答案】D
【详解】由题意可知， x A x 1， x B x 1，即 1 x 1，
所以“ x A且 x B ”成立的充要条件是 A UB x 1 x 1 ．
故选：D．
3 x ax2．求关于 的方程 2a 3 x 1 a 0 有一个正根和一个负根的充要条件．
【答案】 a 0或 a 1
【详解】当 a 0开口向上，1 a 0，所以 a 1 ,当 a 0开口向下，1 a 0，所以 a 0满足充要条件
故答案为： a 0或 a 1 .
命题点 3 根据充要条件求参数
4．设 n N*，一元二次方程 x2 - 4x n 0有实数根的充要条件是 n _________．
【答案】1或 2或3或 4
【详解】 一元二次方程 x2 - 4x n 0有实数根,
4 2 4 1 n 16 4n 0 ，解得 n 4，
又 n N*， n 1,2,3,4 .
故答案为：1或 2或3或 4．
5．若“ 1 x 1 ”是“ 1 x m 1”的充要条件，则实数 m 的取值是_________．
【答案】0
【详解】 1 x m 1 m 1 x m 1，
m 1 1
则{x| 1 x 1 }＝{x| m 1 x m 1}，即 m 0m 1 1 .
故答案为：0.
命题点 4 既不充分也不必要条件
6．设集合 A x | 0 x 3 ，集合B x |1 x 3 ，那么“ m A”是“ m B ”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【详解】∵集合 A x | 0 x 3 ，集合B x |1 x 3 ，
∴由“ m A”推不出“ m B ”，反之由“ m B ”推不出“ m A”，
故“ m A”是“ m B ”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
1．设 x R ，则“ x 2 0 ”是“ x2 4 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当 x 2 0时， x 2 ，则 x2 4成立，
而当 x2 4时， x 2 或 x 2，
所以“ x 2 0 ”是“ x2 4 ”的充分而不必要条件，
故选：A
2．如果不等式 x m 1
1 3
成立的充分不必要条件是 x ，则实数m 的取值范围是（ ）
2 2
1 m 3 1A． B． m
3
2 2 2 2
m 3 m 1 3 1C． 或 D．m 或m
2 2 2 2
【答案】B
【详解】不等式 x m 1，即为m 1 x 1 m，
因为不等式 x m 1
1 3
成立的充分不必要条件是 x ，
2 2
m
1
1
2 1 3
所以 3 ，（等号不同时成立），解得
m ，
1 m 2 2
2
故选：B
1 1
3．（多选）下列式子中，能使 成立的充分条件有（ ）
a b
A． a 0 b B． b a 0 C． b 0 a D． 0 b a
【答案】ABD
1 1
【详解】对 A，因为 a 0 b ，所以 0 ，故 A 正确，
a b
1 1
对 B， b a 0，根据不等式的性质可得： ，故 B 正确
a b
1 1
对 C，由于 b 0 a ，所以 0 ，故 C 错误，
b a
1 1
对 D，由于 0 b a，根据不等式的性质可得： ，根 D 正确，
a b
故选：ABD.
4．下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？
(1)对角线相等的菱形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)有一个角是直角的菱形．
【答案】(1)是充分条件；(2)是充分条件；(3)不是充分条件；(4)是充分条件
【详解】(1)菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件；
(2)矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件；
(4)菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件．
1 1
5．若 a、b R ，则“ a b ”是“ (a 1)2 (b 1)2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
1 1 1
【详解】取 a 1,b 2 ，满足 a b，而 (b 1)2 无意义，即 a b不能推出 (a 1)2 (b 1)2 ；
1 1
若 (a 1)2 (b 1)2 ，则必有 a 1 b 1 0，即 a b成立，
1 1
所以“ a b ”是“ (a 1)2 (b 1)2 ”的必要不充分条件.
故选：B
6．已知 a 0，若不等式 x 1 a的一个必要条件为0 x 3，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a 1 B． a 2 C．0 a 1 D．0 a 2
【答案】C
【详解】因为 x 1 a，所以1 a x 1 a ，因为不等式 x 1 a的一个必要条件为0 x 3，
1 a 0,
所以 得0 a 1.
1 a 3,
故选：C．
7．设集合M x 0 x 3 , N x 0 x 2 ，那么“ a M ”是“ a N ”的___________条件．（填“充分”“必要”）
【答案】必要
【详解】由题可知： N M ，所以“ a M ”是“ a N ”的必要条件
故答案为：必要
8．设 a，b R ，下面式子中哪个是哪个的充分条件，哪个是哪个的必要条件？
（1） ab 0；
（2） a2 b2 0 ；
（3） a2 b2 0 ；
（4） a 0；
（5） ab 0 ；
（6）b 0 ．
【详解】若 ab 0，则 a,b至少一个为 0，但不能确定 a 0，
当 a 0，则必有 ab 0，
所以（4） a 0是（1） ab 0的充分条件，
（1） ab 0是（4） a 0的必要条件；
若 a2 b2 0 ，则 a 0且b 0，
若 a 0，当b 0 时， a2 b2 0，
所以（2） a2 b2 0 是（4） a 0的充分条件，
（4） a 0是（2） a2 b2 0 的必要条件；
若 a2 b2 0 ，则 a,b不同时为 0，即 a 0或b 0 ，
当b 0 时，则 a2 b2 0 成立，
所以（3） a2 b2 0 是（6）b 0 的必要条件，
（6）b 0 是（3） a2 b2 0 的充分条件；
若 ab 0 ，则 a,b异号，则 a,b均不为 0，则 a2 b2 0 成立，
若 a2 b2 0 ，则 a,b不同时为 0，当 a 0,b 0时， ab 0，
所以（5） ab 0 是（3） a2 b2 0 的充分条件，
（3） a2 b2 0 是（5） ab 0 必要条件；
若 ab 0 ，则 a,b异号，则 a,b均不为 0，则b 0 ，
若b 0 ，当 a 0时， ab 0，
所以（5） ab 0 是（6）b 0 的充分条件，
（6）b 0 是（5） ab 0 的必要条件；
若 a2 b2 0 ，则 a 0且b 0，则 ab 0，
若 ab 0，当 a 0,b 0时， a2 b2 0 ，
所以（2） a2 b2 0 是（1） ab 0的充分条件，
（1） ab 0是（2） a2 b2 0 必要条件.
9 f x x2．函数 mx 1的图像关于直线 x 1对称的充要条件是（ ）
A．m 2 B．m 2
C．m 1 D．m 1
【答案】B
2 m
【详解】∵函数 f x x mx 1的图像的对称轴为 x ，
2
m
∴函数 f x x2 mx 1的图像关于直线 x 1对称的充要条件是 x 1，即m 2 .
2
故选：B.
10．已知关于 x 的方程 1 a x2 a 2 x 4 0，则该方程有两个正根的充要条件是 __________ ．
【答案】1 a 2或 a 10
2 2
【详解】关于 x 的方程 1 a x a 2 x 4 0，即 a 1 x a 2 x 4 0，
a 1 0
a 2
则该方程有两个正根的充要条件是 0，且 [ a 2 ]2 16 a 1 0，
a 1
4
0 a 1
解得：1 a 2或 a 10 ，
因此该方程有两个正根的充要条件是：1 a 2或 a 10 ．
故答案为：1 a 2或 a 10 ．
11．若集合 A x x 2 ，B x bx 1 ，其中b 为实数．
（1）若A 是 B 的充要条件，则b ________；
（2）若A 是 B 的充分不必要条件，则b 的取值范围是：__________；（答案不唯一，写出一个即可）
1
【答案】 1 , 2 （答案不唯一） 2
1
【详解】（1）由已知可得 A B ，则 x 2是方程bx 1的解，且有b 0，解得b ；
2
（2）若不等式bx 1对任意的 x 2恒成立，则b
1
对任意的 x 2恒成立，
x
1 1x
1
当 2时， 0, ，则b ，x 2 2
1
因为A 是 B 的充分不必要条件，故b 的取值范围可以是 , （答案不唯一）.
2
1 1
故答案为：（1） 2 ；（2） , （答案不唯一）. 2
12．已知 a R ，则“ a 0 ”是“ a2 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】当 a 1时，满足 a 0，但不满足 a2 1；又当 a 2 时，满足 a2 1，但不满足 a 0 .
故“ a 0 ”是“ a2 1”的既不充分也不必要条件
故选：D
1．已知集合M 0,1,2 ， N 1,0,1,2 ，则“ a M ”是“ a N ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为M N ,所以“ a M ” “ a N ”，但“ a N ”推不出“ a M ”，
所以“ a M ”是“ a N ”的充分不必要条件.
故选：A.
1 1
2．已知 p : p q
a2
b2
， q : a b 0，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
1 1
【详解】当 a b 0时， a2 b2 0，则 ，即 q pa2
，
b2
取 a 2,b 1
1 1
，满足 2 2 ，而有 a b ，即有 p q，a b
所以 p 是q的必要不充分条件.
故选：B
3．一元二次方程 x2 2x m 0有实数解的一个必要不充分条件为（ ）
A．m 1 B．m 1 C．m 1 D．m 2
【答案】D
【详解】因为方程 x2 2x m 0有实数解，所以 4 4m 0 ，解得m 1，
所以方程 x2 2x m 0有实数解的一个必要不充分条件为m 2 .
故选：D.
4．方程 ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．0 a 1 B．a 1 C．a 1 D．0 a 1或 a 0
【答案】C
【详解】当 a 0
1 1
时，方程为 2x 1 0有一个负实根 x ，反之， x 时，则 a 0，于是得 a 02 2 ；
当 a 0时， 4 4a，
1
若 a 0，则 0，方程有两个不等实根 x1, x2 ， x1x2 0，即x1与x2一正一负，a
1
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积 小于 0， a 0，于是得 a 0a ，
x
2
1 x2 0
若 a 0，由 0 0 a 1 a，即 知，方程有两个实根 x1, x2 ，必有 x1 ，此时 1与
x2都是负数，
x1x2 0 a
4 4a 0
2
反之，方程 ax2 2x 1 0两根 x1, x2 都为负，则 x1 x2 0，解得0 a 1，于是得0 a 1，
a
x x 1 0
1 2 a
综上，当a 1时，方程 ax2 2x 1 0至少有一个负实根，反之，方程 ax2 2x 1 0至少有一个负实根，必有
a 1 .
所以方程 ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件是a 1 .
故选：C
5．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为 A， B ，C ，D，
由甲是乙的充分不必要条件得，A B，
由乙是丙的充要条件得， B C ，
由丁是丙的必要不充分条件得，C D，
所以A D，，故甲是丁的充分不必要条件.
故选：A.
6．“一元二次方程 x2 ax 1 0 有两个不相等的正实根”的充要条件是（ ）
A． a 2 B． a 2 C． a 2 D． a 2 或 a 2
【答案】B
【详解】 一元二次方程 x2 ax 1 0 有两个不相等的正实根，
设两根分别为： x1, x2 ，
a2 4 0
故 x1 x2 a 0，解得： a 2 ，
x1x2 1 0
故“一元二次方程 x2 ax 1 0 有两个不相等的正实根”的充要条件是 a 2 .
故选：B.
7．“x，y 为无理数”是“xy 为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
2
【详解】充分性：取 x e,y= 符合“x，y 为无理数”，但是 xy 2不符合“xy 为无理数”，故充分性不满足；
e
必要性：当“xy 为无理数”时，可以取 x e,y=2，但是不符合“x，y 为无理数”，故必要性不满足.
故“x，y 为无理数”是“xy 为无理数”的既不充分也不必要条件.
故选：D
8．（多选）下列能作为 x2 1的一个充分条件的是（ ）
A． x 1 B．0 x 1 C． 1 x 0 D． 1 x 1
【答案】BCD
【详解】由 x2 1得： 1 x 1；
对于 A， x 1 1 x 1，充分性不成立，A 错误；
对于 B，0 x 1 1 x 1，充分性成立，B 正确；
对于 C， 1 x 0 1 x 1，充分性成立，C 正确；
对于 D， 1 x 1 x2 1，充分性成立，D 正确.
故选：BCD.
9．（多选）下列各选项中，p 是 q 的必要不充分条件的有（ ）
A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形
B．p： a P Q ，q： a P
C．p： a P Q ，q： a P
D．p： x y ，q： x2 y2
【答案】AC
【详解】对于 A，如果三角形是等边三角形，那它也一定是等腰三角形，
如果是等腰三角形，不一定是等边三角形，故 p 是 q 的必要不充分条件；
对于 B，如果 a P Q ，则 a P 并且 a Q ，反之如果 a P ，
则不一定有 a Q ，即不一定有 a P Q ，所以 p 是 q 的充分不必要条件；
对于 C，如果 a P Q ，则可能是 a P，也可能是 a Q，
如果 a P，则必定有 a P Q ，所以 p 是 q 的必要不充分条件；
对于 D，如果 x＞y ，比如 x=-1，y=-2， x2 1, y2 4 ，即不能推出 x2＞y2 ，
如果 x2＞y2 ，比如 x=-3，y=1 也不能推出 x＞y ，
所以 p 与 q 既不是充分条件也不是必要条件；
故选：AC.
10．（多选）对任意实数 a，b ， c，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“ a b ”是“ ac bc ”的充要条件
B．“ a b ”是“ a2 b2 ”的充分条件
C．“ a 5”是“ a 3”的必要条件
D．“ a 5是无理数”是“ a是无理数”的充分不必要条件
【答案】ABD
【详解】A：由 a b有 ac bc ，当 ac bc 不一定有 a b成立，必要性不成立，假命题；
B：若 a 1 b 2时 a2 b2 ，充分性不成立，假命题；
C： a 5不一定 a 3，但 a 3必有 a 5，故“ a 5”是“ a 3”的必要条件，真命题；
D：a 5是无理数则 a是无理数，若 a是无理数也有a 5是无理数，故为充要条件，假命题.
故选：ABD
11．若不等式 | x | a 的一个充分条件为 2 x 0，则实数 a 的最小值是___________.
【答案】2
【详解】由不等式 | x | a ，
当 a 0时，不等式 | x | a 的解集为空集，显然不成立；
当 a 0时，不等式 | x | a ，可得 a x a，
要使得不等式 | x | a 的一个充分条件为 2 x 0，则满足 x∣ 2 x 0 x∣ a x a ，
所以 2 a，即 a 2 ∴实数 a 的最小值是 2.
故答案为：2
12．已知 ： x 2m 1或 x m ， ： x 2 或 x 4，若 是 的必要条件，则实数m 的取值范围是 __．
m 1【答案】
3
【详解】因为 是 的必要条件，所以 ，
即由 x 2 或 x 4 x 2m 1或 x m ；
m 1 时， 2m 1 m ，此时 ： x R ，有 成立；
3
m 1
1
② 3时，
: x R 且 x ， ；
3
1 2m 1 2 3
③ m 时，有 ，即m m 4 ，此时无解，
3 ； 2
1
综上，m ．
3
1
故答案为：m ．
3
13．下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______．
①同位角相等；②内错角相等；
③同旁内角互补；④同旁内角相等．
【答案】①②③
【详解】由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；由④不能推出
“两条直线平行”的结论．
所以可作为“两条直线平行”的充要条件的是①②③.
故答案为：①②③
14．设 p：x＞a，q：x＞3.
(1)若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围；
(2)若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围.
【详解】(1)设 A x | x a , B x | x 3 ，
∵p 是 q 的必要不充分条件，∴ B A ，
∴ a 3
(2)∵p 是 q 的充分不必要条件，∴ A B ，
∴ a 3．
15．下列各题中，p 是 q 的什么条件？
(1) p : a b ， q : a b 1；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3) p : x 1或 x 2， q : x 1 x 1；
(4) p : m 1， q : x2 x m 0无实根．
【详解】(1) a b 推不出 a b 1，而 a b 1 a b
p是q的必要不充分条件．
(2) 四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，
而四边形是矩形 四边形的对角线相等，
p是q的必要不充分条件．
(3)由 x 1 x 1 ， x 1 0，化为： (x 1)(x 2) 0，解得 x 1或 x 2，
x 1或 x 2 x 1 x 1 ，
p是q的充要条件．
(4)若方程 x2 x m 0无实根，
m 1则 1 4m 0，即 ．
4
m 1 1 m
4 ，
1
而m 推不出m 1，
4
p是q的充分不必要条件．
16．求解下列问题：
(1)已知集合 A＝{x|a－2(2)若任意 x∈R，函数 y＝mx2＋x－m－a 的图象和 x 轴恒有公共点，求实数 a 的取值范围.
a 2 4
【详解】(1) A B 0 a 2，所以 A B a 2 2 成立的充要条件是
0 a 2 .
(2)当m 0时， y x a 与 x 轴恒有公共点， a R .
当m 0 2时， 1 4m m a 4m 4am 1 0恒成立，
16a2 16 0 1 a 1 .
综上所述，当m 0时 a R ；当m 0 时， 1 a 1.
17．已知M x, y y2 2x ， N x, y x a 2 y2 9 ，求 M N 的充要条件.
y
2 2x
2
【详解】 M N 的充要条件是方程组 2 至少有一组实数解，即方程 x 2 1 a x a2 9 0至少有
x a y2 9
一个非负根，方程有根则 4 1 a 2 4 a2 9 0，解得 a 5 .
2 1 a 0
上述方程有两个负根的充要条件是 x1 x2 0且 x1x2 0，即 ，
a
2 9 0
∴ a 3 .
于是这个方程至少有一个非负根的 a的取值范围是 3 a 5 .
故 M N 的充要条件为 3 a 5 .
18．若关于 x 的方程3x2 10x k 0有两个不相等的负实数根，求实数 k 的取值范围．
【详解】设关于 x 的方程3x2 10x k 0有两个不相等的负实数根为x1，x2．
由根与系数的关系知： x
10
1 x2 0，3
100 12k 0
25
∴方程有两个不相等的负实数根的充要条件为 ，解得0 k ．
x
k
1
x2 0 33
k 25故实数 的取值范围为0 k ．
3
19．从①充分而不必要，②必要而不充分，③充要这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解
答．
问题：已知集合P x 1 x 4 ， S x 1 m x 1 m ．是否存在实数 m，使得 x P是 x S 的______条件．若存
在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【详解】由题意，集合P x 1 x 4 ， S x 1 m x 1 m ，
选择条件①：
因为 x P是 x S 的充分而不必要条件，所以 P S ，
1 m 1
则满足1 m 1 m且 1 m 4（两个等号不同时成立），解得
m 3，
经验证，当m 3时，满足题意，所以实数m 的取值范围是[3, )．
选择条件②：
因为 x P是 x S 的必要而不充分条件，所以S P ，
当 S 时，1 m 1 m，解得m 0，此时满足题意；
1 m 1
当 S 时，有1 m 1 m且 m 0
1 m 4
（两个等号不同时成立），解得 ．
综上可得，实数m 的取值范围是 ( ,0]．
选择条件③：
1 m 1
因为 x P是 x S 的充要条件，所以P S ，即 1 m 4，此方程组无解，
则不存在实数m ，使得 x P是 x S 的充要条件．