2022-2023学年安徽省亳州市蒙城县涡南片区九年级（上）期中数学试卷 (含解析)

2022-2023学年安徽省亳州市蒙城县涡南片区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（4分）已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
3．（4分）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
4．（4分）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
5．（4分）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（　　）
A．△BFE B．△BDA C．△BDC D．△AFD
6．（4分）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍，则点A的对应点为（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
7．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，则正方形PQRS的边长为（　　）
A． B． C．1 D．
8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的两点，下列命题正确的是（　　）
A．若x1＞x2＞1，则x1＞y2 B．若x1＜x2＜1，则x1＜y2
C．若y1＝y2，则x1＝x2 D．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2
10．（4分）菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是AB，AD上的动点，且BE＝AF，连接EF，交AC于G，则下列结论：①△BEC≌△APC；②△ECF为等边三角形；③CE的最小值为2．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝　 　．
12．（5分）若抛物线y＝x2+2x+m的图象与x轴有交点，那么m的取值范围是 　 　．
13．（5分）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上的一点，AE和BD相交于点P，已知△ABF的面积等于12，△BEF的面积等于8，则四边CDFE形的面积是 　 　．
14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点B、C．
（1）点B的坐标为 　 　．
（2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
16．（8分）如图，等边△ABC的边长为6，点P，D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝60°，BP＝2，求CD的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣3，﹣2），C（﹣2，﹣4）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．
18．（8分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，＝，BF＝6cm，求EF和FC的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求k的值．
（2）求△ABC的面积．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的中线，点E为线段CD上一点（不与点C、D重合），连接BE，作EF⊥BE与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF．
（1）求证：△CFG∽△EBG；
（2）求∠EFB的度数．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某超市需购进某种商品，每件的进价为10元．该商品的销售单价不低于进价，且不高于20元，在销售过程中发现，该商品的日销售量y件与销售单价x元之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
x 10 15 20
y 180 150 120
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该商品的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大？最大利润是多少？
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD．
求证：
（1）△BFD∽△CAB；
（2）AF＝DF．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A，B两点，与y轴交点为（0，﹣3），顶点为C．
（1）求a的值；
（2）求顶点C的坐标；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，连接BC，BC的垂直平分线MN交直线PC于点M，交BC于点N，求线段PM的长．
2022-2023学年安徽省亳州市蒙城县涡南片区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．
【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；
B．因为＝，所以mn＝20，故此选项不符合题意；
C．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；
D．因为＝，所以4m＝5n，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（4分）已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：因为反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
所以k＜0，
A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；
B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；
C．3×0＝0，故本选项不符合题意；
D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（4分）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
【分析】利用相似三角形的性质可得，代入即可得出EF的长．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵＝，BC＝2，
∴，
∴EF＝4，
故选：A．
4．（4分）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【分析】根据黄金比值为计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，
故选：D．
5．（4分）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（　　）
A．△BFE B．△BDA C．△BDC D．△AFD
【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：B．
6．（4分）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍，则点A的对应点为（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【分析】连接AO并延长，根据位似变换的概念判断即可．
【解答】解：连接AO并延长，延长线经过点D、点G，
∵OG＝2OA，
∴点A的对应点为点G，
故选：D．
7．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，则正方形PQRS的边长为（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】由四边形PQRS是正方形，可得SR∥BC，即可证得△ASR∽△ABC，设正方形PQRS的边长为x，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：＝，解此方程即可求得答案．
【解答】解：如图：
设正方形PQRS的边长为x，
∵AD是△ABC的高，SR∥BC，
∴AE是△ASR的高，
则AE＝AD﹣ED＝2﹣x，
∵四边形PQRS是正方形，
∴SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴正方形PQRS的边长为．
故选：A．
8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【解答】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
9．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的两点，下列命题正确的是（　　）
A．若x1＞x2＞1，则x1＞y2 B．若x1＜x2＜1，则x1＜y2
C．若y1＝y2，则x1＝x2 D．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴，然后分类讨论开口方向求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
当a＜0，x＞1时，y随x增大而减小，
∴选项A错误，不符合题意．
当a＞0，x＜1时，y随x增大而减小，
∴选项B错误，不符合题意．
当y1＝y2，P1（x1，y1），P2（x2，y2）关于抛物线对称轴对称或重合，
∴选项C错误，不符合题意．
若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，P1（x1，y1），P2（x2，y2）到对称轴距离相等，
∴y1＝y2.选项D正确，符合题意．
故选：D．
10．（4分）菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是AB，AD上的动点，且BE＝AF，连接EF，交AC于G，则下列结论：①△BEC≌△APC；②△ECF为等边三角形；③CE的最小值为2．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
【分析】由“SAS”可证△CBE≌△CAF，故①正确，由全等三角形的性质可得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，可证△ECF是等边三角形，故②正确；当CE⊥AB时，CE最小，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CB＝CA，∠ACB＝60°，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△CBE≌△CAF（SAS），
故①正确；
∵△CBE≌△CAF，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠ACB＝∠BCE+∠ECA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60°，即∠ECF＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
故②正确；
当CE⊥AB时，CE最小，
在Rt△CBE中，∠B＝60°，BC＝4，
∴CE＝BC sinB＝4×＝2，
∴EF的最小值是2，
故③正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝　15　．
【分析】利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴CB2＝AB BD＝225，
∵CB＞0，
∴BC＝15，
故答案为：15．
12．（5分）若抛物线y＝x2+2x+m的图象与x轴有交点，那么m的取值范围是 　m≤1　．
【分析】由抛物线y＝x2+2x+m的图象与x轴有交点可知Δ＝b2﹣4ac≥0，从而可求得m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+m的图象与x轴有交点，
∴令y＝0，有x2+2x+m＝0，即该方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴m≤1．
故答案是：m≤1．
13．（5分）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上的一点，AE和BD相交于点P，已知△ABF的面积等于12，△BEF的面积等于8，则四边CDFE形的面积是 　22　．
【分析】利用三角形面积公式得到AF：FE＝3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，则可判断△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S△AFD＝18，所以S△ABD＝S△CBD＝30，然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．
【解答】解：∵△ABF的面积等于12，△BEF的面积等于8，
即S△ABF：S△BEF＝12：8＝3：2，
∴AF：FE＝3：2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，
∴△AFD∽△EFB，
∴，
∴S△AFD＝×8＝18，
∴S△ABD＝S△CBD＝12+18＝30，
∴四边形CDFE的面积＝30﹣8＝22．
故答案为：22．
14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点B、C．
（1）点B的坐标为 　（2，2）　．
（2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是 　0＜a＜2　．
【分析】（1）观察图象即可得到a＞0，求得对称轴为直线x＝1，即可求得BC＝2，即可求出点B的坐标；
（2）易求得c＝2，得到抛物线为y＝ax2﹣2ax+2，根据题意得到，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c开口向上，
∴a＞0．
∵对称轴为直线，且经过点B、C，
∴BC＝2，
∴正方形的边长为2，
∴B（2，2），
故答案为：B（2，2）；
（2）可求得点C坐标为（0，2），
∴c＝2．
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+2．
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，
∴，
解得0＜a＜2，
∴0＜a＜2．
故答案为：0＜a＜2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
【分析】根据比例中项的定义，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝4cm，b＝7cm，c＞0，
∴c＝2cm．
故线段c的长为2cm．
16．（8分）如图，等边△ABC的边长为6，点P，D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝60°，BP＝2，求CD的长．
【分析】证明△ABP∽△PCD后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【解答】解：∵∠B＝∠APD＝∠C＝60°，
∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，
即∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴＝，
∵AB＝BC＝6，BP＝2，
∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，
∴＝，
∴CD＝．
答：CD的长为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣3，﹣2），C（﹣2，﹣4）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．
【分析】（1）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，再顺次连接即可得到△A1B1C1；
（2）根据位似图形的性质即可画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2即可．
【解答】解：（1）如图△A1B1C1即为所求，
（2）如图△A2B2C2即为所求．
18．（8分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，＝，BF＝6cm，求EF和FC的长．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AE∥DF得＝，可计算出EF＝4，则BE＝BF+EF＝10，然后再由DE∥AC得到＝，可计算出CE＝，所以CF＝CE+EF＝．
【解答】解：∵AE∥DF，
∴＝，即＝，
∴EF＝4，
∴BE＝BF+EF＝6+4＝10，
∵DE∥AC，
∴＝，即＝，
∴CE＝，
∴CF＝CE+EF＝．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求k的值．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到一次函数解析式中，可以求得B点坐标，从而求得k；
（2）因为BC⊥y轴，所以C（0，4），利用一次函数解析式可以求得它与y轴交点A的坐标（0，﹣4），由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC∥x轴，所以S△ABC＝AC BC，即可求解．
【解答】解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，
∴B点坐标满足一次函数解析式，
∴m﹣4＝4，
∴m＝6，
∴B（6，4），
∴k＝6×4＝24；
（2）∵BC⊥y轴，
∴C（0，4），BC∥x轴，
∴BC＝6，
令x＝0，则y＝x﹣4＝﹣4，
∴A（0，﹣4），
∴AC＝8，
∴S△ABC＝AC BC＝＝24，
∴△ABC的面积为24．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的中线，点E为线段CD上一点（不与点C、D重合），连接BE，作EF⊥BE与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF．
（1）求证：△CFG∽△EBG；
（2）求∠EFB的度数．
【分析】（1）得出∠FCG＝∠BEG＝90°，∠CGF＝∠EGB，则结论得证；
（2）证明△CGE∽△FGB，得出∠EFB＝∠ECG＝∠ACB＝45°．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥BE，
∴∠FCG＝∠BEG＝90°，
又∵∠CGF＝∠EGB，
∴△CFG∽△EBG；
（2）解：由（1）得△CFG∽△EBG，
∴，
∴＝，
又∵∠CGE＝∠FGB，
∴△CGE∽△FGB，
∴∠EFB＝∠ECG＝∠ACB＝45°．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某超市需购进某种商品，每件的进价为10元．该商品的销售单价不低于进价，且不高于20元，在销售过程中发现，该商品的日销售量y件与销售单价x元之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
x 10 15 20
y 180 150 120
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该商品的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设y＝kx+b，由题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（2）由题意得到w＝﹣6x2+300x﹣2400，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意得，
解得，
∴y＝﹣6x+240（10≤x≤20）；
（2）由题意得w＝（x﹣10）（﹣6x+240），
＝﹣6x2+300x﹣2400，
当x＝﹣＝25时，w最大；
∵x的取值范围为：10≤x≤20，
而当10≤x≤20时，w随x的增大而增大，
∴x＝20时，w最大＝（20﹣10）（﹣6×20+240）＝1200，
答：当该商品的销售单价定价为20元时，日销售利润最大，最大利润是1200元．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD．
求证：
（1）△BFD∽△CAB；
（2）AF＝DF．
【分析】（1）由垂直平分线的性质得出BE＝CE，进而得出∠C＝∠EBD，由等腰三角形的性质得出∠FDB＝∠ABD，即可证明△BFD∽△CAB；
（2）由DE垂直平分BC，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出FD＝AB，由AB＝AD，得出FD＝AD，即可得出AF＝FD．
【解答】证明：（1）∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBD，
∵AB＝AD，
∴∠FDB＝∠ABD，
∴△BFD∽△CAB；
（2）∵DE垂直平分BC，
∴，
∵△BFD∽△CAB，
∴，
∴FD＝AB，
∵AB＝AD，
∴FD＝AD，
∴AF＝FD；
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A，B两点，与y轴交点为（0，﹣3），顶点为C．
（1）求a的值；
（2）求顶点C的坐标；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，连接BC，BC的垂直平分线MN交直线PC于点M，交BC于点N，求线段PM的长．
【分析】（1）将点（0，﹣3）代入抛物线解析式求解即可；
（2）根据顶点式求解即可；
（3）根据题意求得A，B的坐标，根据物线的对称轴求得点P的坐标，进而利用勾股定理求得BC的长，证明△MCN∽△BCP，根据相似三角形的性质求得CM的长，根据PM＝PC﹣CM即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与y轴交点为（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，即a的值为1；
（2）∵a＝1，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点C的坐标为（1，﹣4）；
（3）∵顶点C的坐标为（1，﹣4），
∴物线的对称轴为直线x＝1，
∴P（1，0），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴BP＝2，PC＝4，
∴BC＝＝2．
∵MN垂直平分BC，
∴CN＝BC＝．∠MNC＝90°，
∴∠BPC＝∠MNC．
又∠MCN＝∠BCP，
∴△MCN∽△BCP，
∴，即，
∴CM＝，
∴PM＝PC﹣CM＝4﹣＝．
即线段PM的长为．