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第二十六章 反比例函数
1.反比例函数图象和性质的八种
应用题型
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1．【2022·广元】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x＋b的图象与函数y＝ (x＞0)的图象相交于点B(1，6)，并与x轴交于点A.点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3.
(1)求k和b的值；
解：∵函数y＝x＋b的图象与函数y＝ (x＞0)的图象相交于点B(1，6)，
∴6＝1＋b，6＝ .
∴b＝5，k＝6.
(2)若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝
(x＞0)的图象上，并说明理由．
解：点A′不在函数y＝ (x＞0)的图象上．
理由：如图，过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，过点A′作A′G⊥x轴于点G.∵点B(1，6)，
∴ON＝1，BN＝6.∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，
即点C的纵坐标为4.
把y＝4代入y＝x＋5，得x＝－1，
∴C(－1，4)．∴OC＝
∵y＝x＋5中，当y＝0时，x＝－5，∴OA＝5.
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2．【2021·河南】如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝ 的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.
(1)求反比例函数的解析式；
【点思路】(1)根据待定系数法求出k，即可得到反比例函数的解析式；
(2)先根据反比例函数的系数k的几何意义求出小正方形的面积为8，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．
解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A(1，2)，
∴2＝ ，即k＝2.
∴反比例函数的解析式为y＝ .
(2)求图中阴影部分的面积．
解：∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，
边分别与坐标轴平行，∴设B点的坐标为(m，m)．
∵反比例函数y＝ 的图象经过B点，∴m＝ ，即m2＝2.
∴小正方形的面积为4m2＝8.
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A(1，2)，
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(2，2)．
∴大正方形的面积为4×22＝16.
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积＝16－8＝8.
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3．【2022·乐山】如图，已知直线l：y＝x＋4与反比例函数y＝ (x＜0)的图象交于点A(－1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x＝－1对称．
(1)求反比例函数的解析式；
【点方法】根据关于某条直线对称的两个点的连线被这条直线垂直平分，可得点E的坐标，进而可求直线l′的解析式，由函数解析式得点的坐标，转化为线段长度，运用作差法求面积 .
解：∵点A(－1，n)在直线l：y＝x＋4上，
∴n＝－1＋4＝3.
∴A(－1，3)．
∵点A在反比例函数y＝ (x＜0)的图象上，
∴k＝－1×3＝－3.
∴反比例函数的解析式为y＝－ .
(2)求图中阴影部分的面积．
解：如图所示．易知直线l：y＝x＋4与x轴、y轴的交点分别为B(－4，0)，C(0，4)．∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝－1对称，∴直线l′与x轴的交点为E(2，0)．
设直线l′的解析式为y＝ax＋b，
返回
∴直线l′的解析式为y＝－x＋2.
∴l′与y轴的交点为D(0，2)．
∴S阴影＝S△BOC－S△ACD＝ ×4×4－ ×(4－2)×1＝7.
4．【2022·江西】如图，点A(m，4)在反比例函数y＝
(x＞0)的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1.
(1)点B的坐标为________，点D的坐标为
________，点C的坐标为___________
(用含m的式子表示)；
(0，2)
(1，0)
(m＋1，2)
(2)求k的值和直线AC的解析式．
∵点A和点C在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝4m＝2(m＋1)，解得m＝1.
∴A(1，4)，C(2，2)，k＝1×4＝4.
设直线AC的解析式为y＝ax＋b.将A(1，4)，C(2，2)的坐标分别代入，
∴直线AC的解析式为y＝－2x＋6.
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5．【中考·德阳】如图，一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝ 的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1.
(1)求a，b的值；
解：∵一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝ 的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A(2，2)，B(4，1)．
将点A(2，2)，B(4，1)的坐标分别代入y1＝ax＋b，
(2)在反比例函数y2＝ 第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．
解：过点P作直线PM∥AB，如图所示．
当直线PM与反比例函数的图象只有
一个交点时，点P到直线AB的距离
最短．
设直线PM的解析式为y＝－ x＋n(n＜0)．由
消去y得x2－2nx＋8＝0.
由题意得Δ＝0，即4n2－32＝0，
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6．【2022·泸州】如图，直线y＝－ x＋b与反比例函数y＝
的图象相交于点A，B，已知点A的纵坐标为6.
(1)求b的值；
解：∵点A在反比例函数y＝ 的图象上，
且点A的纵坐标为6，
∴点A的坐标为(2，6)．
∵直线y＝－ x＋b经过点A，
∴6＝－ ×2＋b，解得b＝9.
(2)若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
解：设直线AB与x轴的交点为D，∴点D的坐标为(6，0)．
由题意可得
∴点B的坐标为(4，3)．∵S△ACB＝S△ACD－S△BCD，
∴3＝ ×CD×(6－3)，解得CD＝2.
∴点C的坐标为(4，0)或(8，0)．
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7．【2022·连云港】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝ (k≠0)的图象交于P，Q两点，点P(－4，3)，点Q的纵坐标为－2.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
解：将点P(－4，3)的坐标代入y＝ ，得k＝－4×3＝－12，
∴反比例函数的解析式为y＝－ .把y＝－2代入y＝－ ，
得x＝6.∴Q(6，－2)．
将点P(－4，3)和Q(6，－2)的坐标分别代入y＝ax＋b，
∴一次函数的解析式为y＝－ x＋1.
(2)求△POQ的面积．
解：设PQ与y轴的交点为M.
在y＝－ x＋1中，当x＝0时，y＝1，
∴OM＝1.
∴S△POQ＝S△POM＋S△OMQ＝ ×1×4＋ ×1×6＝2＋3＝5.
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8．【2021·菏泽】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB.反比例函数y＝ (x>0)的图象经过线段OB的中点D，并与AB，BC分别交于点E，F.一次函数y＝k2x＋b的图象经过E，F两点．
(1)分别求出一次函数和反比例
函数的解析式；
【点思路】(1)由矩形的性质及中点坐标公式可得D(2，1)，从而可得反比例函数的解析式，再求出点E，F的坐标，用待定系数法求得一次函数的解析式；
(2)作点E关于x轴的对称点E′，连接E′F交x轴于点P，则此时PE＋PF的值最小，求出直线E′F的解析式后，令y＝0，即可得到点P的横坐标.
解：∵四边形OABC为矩形，∴OA＝BC＝2.
又∵OC＝4，∴B(4，2)．∵D是OB的中点，∴D(2，1)．
∵反比例函数y＝ (x>0)的图象经过点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2.
∴反比例函数的解析式为y＝ .
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝ ，
∴点E的坐标为(1，2)，点F的坐标为 .
将点E，F的坐标分别代入y＝k2x＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－
(2)点P是x轴上一动点，当PE＋PF的值最小时，点P的坐标为____________．
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9．【2022·宁波】如图，正比例函数y＝－ x的图象与反比例函数y＝ (k≠0)的图象都经过点A(a，2)．
(1)求点A的坐标和反比例函数的解析式．
解：把点A(a，2)的坐标代入y＝－ x，得2＝－ a，
解得a＝－3，
∴A(－3，2)．
∵点A(－3，2)在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝－3×2＝－6.
∴反比例函数的解析式为y＝－ .
(2)若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴的距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
解：n的取值范围为n＞2或n＜－2.
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10．【2021·淄博】如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x＋b与双曲线y2＝ 相交于A(－2，3)，B(m，－2)两点．
(1)求直线和双曲线对应的函数解析式；
解：∵直线y1＝k1x＋b与双曲线y2＝ 相交于A(－2，3)，B(m，－2)两点，∴3＝ ，解得k2＝－6.
∴双曲线对应的函数解析式为y2＝－ .
把B(m，－2)的坐标代入y2＝－ ，得－2＝－ ，解得m＝3.
∴B(3，－2)．把A(－2，3)和B(3，－2)的坐标分别代入y1＝k1x＋b，得
∴直线对应的函数解析式为y1＝－x＋1.
(2)过点B作BP∥x轴交y轴于点P，连接AP，求△ABP的面积；
解：过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，如图所示．
∵BP∥x轴，
∴AD⊥x轴，BP⊥y轴．
∵A(－2，3)，B(3，－2)，
∴BP＝3，AD＝3－(－2)＝5.
∴S△ABP＝ BP·AD＝ ×3×5＝ .
(3)根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x＋b< 的解集．
解：－2＜x＜0或x＞3.
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第二十六章 反比例函数
1.求反比例函数解析式的六种常用方法
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1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，求其函数解析式．
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解：由反比例函数的定义得
解得m＝3.
∴此反比例函数的解析式为y＝ .
2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，求其函数解析式．
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解：由题意得
解得n＝2.
∴此函数的解析式是y＝ .
3．【2022·武威】如图，B，C是反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x－1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3.
(1)求此反比例函数的解析式；
解：在y＝x－1中，当y＝0时，x＝1，
∴点A的坐标为(1，0)．∴OA＝1＝AD.∴OD＝2.
又∵CD＝3，
∴点C的坐标为(2，3)．
∵点C(2，3)在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝2×3＝6.
∴反比例函数的解析式为y＝ .
(2)求△BCE的面积．
解：∵方程组 的正数解为
∴点B的坐标为(3，2)．
在y＝x－1中，当x＝2时，y＝2－1＝1，
∴点E的坐标为(2，1)，即DE＝1.
∴EC＝3－1＝2.
∴S△BCE＝ ×2×(3－2)＝1.
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4．【2022·怀化】如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝ (a＞1)的图象于A，B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为( )
A．8
B．9
C．10
D．11
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D
【点拨】连接OB，
则S△OBD＝S△BCD.
所以 (a－1)＝5，
解得a＝11.
5．【教材P3练习T3改编】若y与x＋3成反比例，且x＝1时，y＝－2.
(1)写出y与x之间的函数解析式；
解：设y＝ .
∵当x＝1时，y＝－2，
∴－2＝ ，解得k＝－8.
∴y＝－ .
(2)当x＝－2时，求y的值；
(3)当y＝－2时，求x的值．
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解：当x＝－2时，y＝－ ＝－8.
解：当y＝－2时，－2＝－ ，解得x＝1.
6．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝ 的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A(－2，2)，∠ABC＝60°，则k的值是( )
A．4
B．6
C．4
D．12
【点拨】∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AC⊥BD.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∵点A(－2，2)，∴OA＝2 ，易求BO＝2 .
∵直线AC的解析式为y＝－x，
∴直线BD的解析式为y＝x.∴点B的坐标为
∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，
解得k＝12.
【答案】D
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7．如图，某科技小组准备用某种材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.
(1)求y与x之间的函数关系式(不用写出自变量的取值范围)．
【点思路】当问题中涉及几何图形时，可根据图形的面积公式或体积公式列出等式，通过变形得到函数关系式，并运用其性质解决问题，但要注意自变量的取值范围．
解：由题意得S矩形ABCD＝AD·DC＝xy＝60，
∴y与x之间的函数关系式为y＝
(2)根据实际情况，对于(1)中的函数自变量x能否取值为4？若能，求出y的值；若不能，请说明理由．
解：不能．理由如下：
当x＝4时，y＝ ＝15＞12，不符合题意．
故根据实际情况，对于(1)中的函数自变量x不能取值为4.
(3)若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
解：由y＝ ，且x，y都是正整数，可得x可取的值有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60.
∵2x＋y≤26，0＜y≤12，
∴符合条件的围建方案有如下三种：
①AD＝5 m，DC＝12 m；
②AD＝6 m，DC＝10 m；
③AD＝10 m，DC＝6 m.
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8．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是20 ℃，然后按照一次函数关系一直增加到70 ℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至35 ℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至70 ℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至35 ℃，如此循环下去．
(1)t的值为________；
(2)如果在0～t min内温度大于或等于50 ℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________min.
50
20
【点思路】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令y＝35时即可求出t的值；再利用待定系数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得y＝50时对应的x的值，求差即可．
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9．【2022·北京西城模拟】跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一．下图是某跳台滑雪场的截面示意图，平台AB长1 m(即AB＝1 m)，平台AB距地面18 m，以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的
直线为y轴，取1 m为单位长度，
建立平面直角坐标系．
已知滑道对应的函数解析式为y＝ (x≥1)，运动员(看成点)在BA方向获得速度v m/s后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置(忽略空气阻力)．设运动员飞出时间为t s，运动员与点A的竖直距离为h m，运动员与点A的水平距离为l m，经实验表明：h＝6t2，l＝vt.
(1)求k的值；
解：由题意知A(1，18)．
把A(1，18)的坐标代入y＝ ，得18＝ ，
解得k＝18.
(2)当v＝5，t＝1时，通过计算判断运动员是否落在滑道上；
解：当v＝5，t＝1时，h＝6t2＝6，l＝vt＝5，
xM＝1＋5＝6，yM＝18－6＝12，即M(6，12)．
把x＝6代入y＝ ，得y＝3≠12，
∴运动员不在滑道上．
(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，已知甲离开点A的速度是5 m/s，当甲距x轴4.5 m时，乙恰好位于甲右侧4.5 m的位置，求t的值与运动员乙离开A的速度．
解：由题意知h甲＝18－4.5＝6t2，
解得t＝1.5(负值舍去)．
∵v乙t－v甲t＝4.5，
∴1.5(v乙－5)＝4.5，解得v乙＝8.
∴运动员乙离开A的速度为8 m/s.
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第二十六章 反比例函数
2.反比例函数与一次函数、二次函数综合的常见类型
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①②④⑤
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见习题
见习题
D
8
见习题
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1．【2022·广西】已知反比例函数y＝ (b≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx－a(c≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
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【点方法】利用排除法求解．根据反比例函数y＝ (b≠0)的图象位置，可判断b＞ 0 ；
再由二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质，排除A，B；
再根据一次函数y＝cx－a(c≠0)的图象和性质，排除C.
【答案】D
2．已知函数y1＝x(x≥0)，y2＝ (x>0)的图象如图所示，以下结论：
①两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；
②当x>2时，y1>y2；③图中BC＝2；
④一次函数与反比例函数图象构成的图形是轴对称图形；
⑤当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
其中正确结论的序号是____________．
①②④⑤
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3．【2022·孝感】如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与函数y2＝ (x＞0)的图象交于A 两点，与y轴交于点C.将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F.
(1)求y1与y2的解析式；
(2)观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
解：当 ＜x＜6时，y1＜y2.
(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为________．
【点拨】在y1＝x－ 中，令x＝0，则y1＝－ ，
∴C .
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，
∴直线DE的解析式为y＝x－ ＋t.
∴F点的坐标为 .
如图，过点F作FG⊥AB于点G，连接AF.
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4．【2022·杭州】设函数y1＝ ，函数y2＝k2x＋b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0)．
(1)若函数y1和函数y2的图象交于点A(1，m)，点B(3，1)．
①求函数y1，y2的解析式；
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小(直接写出结果)．
解：①把点B(3，1)的坐标代入y1＝ ，得1＝ ，解得k1＝3，
∴函数y1的解析式为y1＝ .
把点A(1，m)的坐标代入y1＝ ，解得m＝3.
把点A(1，3)，点B(3，1)的坐标分别代入y2＝k2x＋b，
∴函数y2的解析式为y2＝－x＋4.
②当2＜x＜3时，y1＜y2.
(2)若点C(2，n)在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．
解：由平移可得点D的坐标为(－2，n－2)，
∴－2(n－2)＝2n，解得n＝1.
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5．【2021·南充】如图，反比例函数的图象与过点A(0，－1)，B(4，1)的直线交于点B和C.
(1)求直线AB和反比例函数的解析式；
解：设反比例函数的解析式为y＝ ，
直线AB的解析式为y＝ax＋b.
∵反比例函数的图象过点B(4，1)，∴k＝4×1＝4.
把点A(0，－1)，B(4，1)的坐标分别代入y＝ax＋b，
∴直线AB的解析式为y＝ x－1，
反比例函数的解析式为y＝ .
(2)已知点D(－1，0)，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，求点E的坐标和△BCE的面积．
∴C(－2，－2)．设直线CD的解析式为y＝mx＋n，
把C(－2，－2)，D(－1，0)的坐标分别代入，
∴直线CD的解析式为y＝2x＋2.
∴E(1，4)．如图所示．
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6．【2021·贵港】如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数y＝ 的图象相交，其中一个交点的横坐标是1.
(1)求k的值；
解：将x＝1代入y＝x＋2，得y＝3，
∴其中一个交点的坐标为(1，3)．
将点(1，3)的坐标代入y＝ ，得3＝ ，
解得k＝3.
(2)若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．
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7．【中考·枣庄】如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝ (x＞0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
【点思路】(1)用待定系数法求反比例函数的
解析式；(2)利用三角形面积公式求△EFA的面
积与k的函数解析式，求二次函数的最大值以及此时k的值.
解：∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴A(3，0)，B(3，2)．
∵F为AB的中点，∴F(3，1)．
∵点F在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，∴k＝3.
∴当F为AB的中点时，该函数的解析式为y＝ (x＞0)．
(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
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8．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝ 的图象经过点A(1，4)，B(m，n)．
(1)求代数式mn的值；
解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A(1，4)，
∴k＝4.∴反比例函数的解析式为y＝ .
∵反比例函数y＝ 的图象经过点B(m，n)，
∴mn＝4.
(2)若二次函数y＝(x－1)2的图象经过点B，求代数式m3n－2m2n＋3mn－4n的值；
解：∵二次函数y＝(x－1)2的图象经过点B(m，n)，
∴n＝(m－1)2.∴n＝m2－2m＋1.∴m2－2m＝n－1.
由(1)得mn＝4，
∴原式＝4m2－8m＋12－4n＝4(m2－2m)＋12－4n＝
4(n－1)＋12－4n＝8.
(3)若反比例函数y＝ 的图象与二次函数y＝a(x－1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．
解：由(1)得反比例函数的解析式为y＝ .令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2.∴反比例函数y＝ 的图象与直线y＝x交于点(2，2)，(－2，－2)．如图，当二次函数y＝a(x－1)2的图象经过点(2，2)时，可得a＝2；当二次函数y＝a(x－1)2的图象经过点(－2，－2)时，可得a＝－ .
∵二次函数y＝a(x－1)2图象的顶点为(1，0)，
∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是
0＜a＜2或a＜－ .
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第二十六章 反比例函数
2.用反比例函数解与面积相关的问题
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1．【2022·乐山】如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在反比例函数y＝ (k＞0)的图象上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E.若S△ABE＝ ，则k＝________．
【答案】3
【点拨】如图，设BC与x轴交于点F，连接DF，OD.
∵四边形ABCD为平行四边形，AD⊥x轴，
∴y轴∥AD∥BC，AD＝BC.
∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC.
∴S△OAD＝S△ABE＝ .
∴k＝3.
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2．【2021·凉山州】如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝ (x>0)的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝ .
(1)求k的值；
解：设N(a，b)，易知a≠0，则OB＝a，BN＝b.
∵AN＝ ，∴AB＝b＋ .∴A
∵M为OA的中点，∴M
∵反比例函数y＝ (x>0)的图象经过点M和点N，
∵S△AOB＝12，∠ABO＝90°，
∴ OB·AB＝12，
即 a(b＋ )＝12.
将b＝ 代入，
(2)求直线MN的解析式．
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3．【教材P7例4变式】【2021·泰州】如图，点A(－2，y1)，B(－6，y2)在反比例函数y＝ (k＜0)的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C，D，AC与BD相交于点E.
(1)根据图象直接写出y1，y2的大小关系，并通过计算加以验证；
【点技巧】根据面积求k时，注意图象所在的象限．运用数形结合思想，借助图形，使问题变得更简单.
解：根据图象可知y1＞y2.证明如下：
∵点A(－2，y1)，B(－6，y2)在反比例函数
y＝ (k＜0)的图象上，
即y1＞y2.
(2)结合以上信息，从“①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE”这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．
你选择的条件是______(只填序号)．
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解：(答案不唯一)①
由(1)可得A
∴OC＝2，OD＝－ .易知四边形OCED为矩形．
∵四边形OCED的面积为2，∴2× ＝2，解得k＝－6.
4．如图是由四条曲线围成的广告牌，上面写着：树立道德新风，弘扬时代正气．建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析式分别为y＝－ ，y＝ ，现用四根钢条固定这四条曲线．这四根钢条所围成的矩形ABCD的面积是多少？
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解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD分成四个全等的小矩形．
设AD交x轴于H，AB交y轴于E.
∵点A为y＝ 的图象上的一点，
∴S矩形AEOH＝6.
∴S矩形ABCD＝4×6＝24.
5．【2022·南充】如图，直线AB与双曲线交于A(1，6)，B(m，－2)两点，直线BO与双曲线在
第一象限交于点C，连接AC.
(1)求直线AB与双曲线的解析式．
【点方法】当反比例函数图象中的几何图形
的面积无法直接求出时，可将其转化为与比例系数k相关的矩形或直角三角形的面积，通过面积的和或差进行计算.
解：设双曲线的解析式为y＝ .
∵点A(1，6)在该双曲线上，∴6＝ ，解得k＝6.
∴双曲线的解析式为y＝ .
∵B(m，－2)在双曲线y＝ 上，∴－2＝ ，解得m＝－3.
设直线AB的解析式为y＝ax＋b，将A(1，6)，B(－3，－2)的坐标分别代入，
∴直线AB的解析式为y＝2x＋4.
(2)求△ABC的面积．
解：如图，作BG∥x轴，CG∥y轴，CG和BG交于点G，作BE∥y轴，EA∥x轴，BE和EA交于点E，EA的延长线与GC的延长线交于点F，则四边形EBGF为矩形．
由B(－3，－2)可得直线BO的解析式为y＝ x.
∴点C的坐标为(3，2)．
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∵A(1，6)，B(－3，－2)，C(3，2)，
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4.
∴S△ABC＝S矩形EBGF－S△AEB－S△BGC－S△AFC＝
＝48－16－12－4＝16.
6．【2021·德州】已知点A为函数y＝ (x＞0)图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC.
(1)如图①，若点A的坐标为(4，n)，求点C的坐标；
解：将点A(4，n)的坐标代入y＝ ，得4n＝4，∴n＝1.
∴点A的坐标为(4，1)．
∵AB＝OA，O(0，0)，∴点B的坐标为(8，2)．
∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为2.
令y＝2，则 ＝2，∴x＝2.
∴点C的坐标为(2，2)．
(2)如图②，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．
解：设A .∵AB＝OA，∴点B的坐标为 .
∵BC∥x轴，∴BC⊥y轴．又∵AD⊥BC，∴AD∥y轴．
∴点D的坐标为 .∵BC∥x轴，且点C在函数图象上，
∴C .∴S四边形OCDA＝S△OBC－S△ADB＝
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7．【2022·德阳】如图，一次函数y＝－ x＋1与反比例函数y＝ 的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为－2.
(1)求反比例函数的解析式；
解：∵一次函数y＝－ x＋1与反比例函数y＝ 的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为－2，
∴A(－2，4)．
将A(－2，4)的坐标代入y＝ ，得4＝ ，解得k＝－8.
∴反比例函数的解析式为y＝－ .
(2)点B的坐标是(－3，0)，若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．
解：设P(0，m)．
∵△AOP的面积与△AOB的面积相等，
∴ ×|m|×2＝ ×3×4，解得m＝±6.
∴点P的坐标为(0，6)或(0，－6)．
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第二十六章 反比例函数
3.巧用根的判别式解图象的公共点问题
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1．【教材P22复习题T10变式】【中考·安顺】如图，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数y＝ 的图象相交，其中一个交点的横坐标是2.
(1)求反比例函数的解析式；
解：将x＝2代入y＝x＋1，得y＝3，
∴两图象其中一个交点的坐标为(2，3)．
将点(2，3)的坐标代入反比例函数的解析式y＝ ，得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝ .
(2)将一次函数y＝x＋1的图象向下平移2个单位长度，求平移后的图象与反比例函数y＝ 图象的交点坐标；
解：一次函数y＝x＋1的图象向下平移2个单位长度得到的图象对应的函数解析式为y＝x－1.
联立得
∴平移后的图象与反比例函数y＝ 图象的交点坐标为(－2，－3)和(3，2)．
(3)直接写出一个一次函数，使其图象过点(0，5)，且与反比例函数y＝ 的图象没有公共点．
解：一次函数的解析式为y＝－2x＋5.(答案不唯一)
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2．【中考·常德】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(3，18)和B(－2，8)两点．
(1)求一次函数的解析式；
解：把点A(3，18)，B(－2，8)的坐标分别代入一次函数的解析式y＝kx＋b(k≠0)，得
∴一次函数的解析式为y＝2x＋12.
(2)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝ (m≠0)的图象只有一个交点，求交点坐标．
∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝ (m≠0)的图象只有一个交点，∴ 只有一组解，
即2x2＋12x－m＝0有两个相等的实数根．
∴Δ＝122－4×2×(－m)＝0.∴m＝－18.
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把m＝－18代入2x2＋12x－m＝0，
求得该方程的解为x1＝x2＝－3.
把x＝－3代入y＝2x＋12，得y＝6，
∴所求的交点坐标为(－3，6)．
3．如图，一次函数y＝－x＋8与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内有两个不同的公共点A，B，且一次函数的图象与y轴交于点C.
(1)求实数k的取值范围；
解：∵一次函数与反比例函数的图象有两个公共点，
∴ 有两组解．
整理得x2－8x＋k＝0，即此方程有两个不相等的实数根．
由Δ＞0，得82－4k＞0，解得k＜16.
易知k＞0，
∴0＜k＜16.
(2)若△AOB的面积为24，求k的值．
解：令一次函数y＝－x＋8中x＝0，得y＝8，故OC＝8.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S△COB＝ OC·x2，S△COA＝ OC·x1.
∴S△AOB＝S△COB－S△COA＝ OC·(x2－x1)＝24.∴4(x2－x1)＝24.
∴(x2－x1)2＝36.∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36.
由(1)知x1，x2为方程x2－8x＋k＝0的两根，
∴x1＋x2＝8，x1x2＝k.∴82－4k＝36，解得k＝7.
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4．【中考·玉林】若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝ 在第一象限的图象有公共点，则有( )
A．mn≥－9
B．－9≤mn≤0
C．mn≥－4
D．－4≤mn≤0
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【点要点】两个函数图象有公共点，即将两个函数的解析式组成方程组，方程组有解．
5．如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于点A，B，若反比例函数y＝ (x＞0)的图象与△ABC的边有公共点，求k的取值范围．
解：当点C(1，2)在反比例函数y＝ (x>0)的图象上时，k的值最小，k＝2.
由 ＝－x＋6，得x2－6x＋k＝0.
当(－6)2－4k＝0，即k＝9时，k的值最大，直线与双曲线有且只有一个公共点(3，3)，点(3，3)在线段AB上 .
因此，反比例函数y＝ (x＞0)的图象与△ABC的边有公共点时，k的取值范围是2≤k≤9.
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