(共26张PPT)
第二十七章 相似
27.1 图形的相似
第1课时 相似图形及成比例线段
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
A
D
比；长度
的比；比
D
D
见习题
8
9
10
11
12
B
B
13
C
14
见习题
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．我们把____________的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形____________得到．
形状相同
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放大或缩小
2．【教材P25练习T2变式】观察下列各组图形，其中不相似的是( )
A
返回
···
3．下图是世界休闲博览会的吉祥物“晶晶”，右边的“晶晶”可由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到？( )
A．轴对称
B．平移
C．旋转
D．相似
D
返回
4．对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的________(即它们__________)与另两条线段的______相等，如 ，我们就说这四条线段成比例．
比
返回
长度的比
比
5．【教材P27练习T1变式】已知北京地铁三号线一期工程的长度是15.6 km，则在比例尺是1：40 000的工程示意图上，它的长度是( )
A．3.9 cm
B．39 cm
C．390 cm
D．0.39 cm
B
返回
6．下列各组四条线段是成比例线段的是( )
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
D
【点技巧】根据成比例线段的概念，让最短的和最长的相乘，
另外两条相乘，看它们的积是否相等，即可得出答案．
返回
7．【2022·山西】神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳(如图)上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比值约为0.618，这体现了数学中的( )
A．平移
B．旋转
C．轴对称
D．黄金分割
D
返回
bc
返回
返回
10．【中考·湘潭】若 ________________.
返回
返回
B
返回
A．2 B．－1 C．2或－1 D．不存在
C
【点易错】分情况讨论：
当a＋b＋c≠0时，根据等比性质，得k＝ ＝2；
当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，
所以k＝－1 .
返回
14．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ACB和△DCE的顶点都在格点上．请问：AC，AB，CD，DE是成比例线段吗？请说明理由．
解：AC，AB，CD，DE是成比例线段．
理由：由题意得AC＝3，CD＝2，
∴AC，AB，CD，DE是成比例线段．
返回
15．已知线段a，b，c满足 ，且a＋2b＋c＝26.
(1)求线段a，b，c的长；
解：设
∴a＝3k，b＝2k，c＝6k.
∵a＋2b＋c＝26，
∴3k＋4k＋6k＝26，解得k＝2.
∴a＝6，b＝4，c＝12.
(2)若线段x是线段a，b的比例中项 ，求x.
解：∵线段x是线段a，b的比例中项，
∴x2＝ab.
又∵a＝6，b＝4，
∴x＝2 (负值舍去)．
返回
16．已知a，b，c是△ABC的三边长，且(a－c) ∶(a＋b) ∶(c－b)＝(－2) ∶7 ∶1，a＋b＋c＝24.
(1)求a，b，c的值；
解：∵(a－c):(a＋b):(c－b)＝(－2):7:1，
∵a＋b＋c＝24，∴3k＋4k＋5k＝24，解得k＝2.
∴a＝6，b＝8，c＝10.
(2)判断△ABC的形状．
解：∵a2＋b2＝62＋82＝102＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
返回
17．如图，在 ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(1)AB，BC，BF，DE这四条线段是否成比例？如果不成比例，请说明理由；如果成比例，请写出比例式．
【思路点拨】利用面积法(即S ABCD不变)建立等式，即可判断是否成比例．
【点思路】在平行四边形中，根据面积为定值，用不同的底和对应的高表示面积，可以得到不同的底和高之间的数量关系，从而解决问题．
解：∵在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，
∴S ABCD＝AB·DE＝AD·BF.
∵AD＝BC，∴AB·DE＝BC·BF，即
∴AB，BC，BF，DE这四条线段成比例，
比例式为
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
解：∵AB·DE＝BC·BF，
∴10×2.5＝5BC，解得BC＝5.
返回(共25张PPT)
第二十七章 相似
27.1 图形的相似
第2课时 相似多边形
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
见习题
见习题
B
B
见习题
8
C
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
相等；成比
例；相似比
见习题
13
见习题
1．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别________，边__________，那么这两个多边形叫做相似多边形．
判定两个边数相同的多边形相似，必须同时具备：
(1)所有________相等；
(2)所有________成比例．
相等
返回
成比例
对应角
对应边
2．【教材P27习题T2变式】如图所示的三个矩形中，相似的是( )
A．甲和乙
B．甲和丙
C．乙和丙
D．甲、乙和丙
B
返回
3．【教材P27习题T4变式】在图中画出一个与四边形ABCD相似但不全等的格点图形．
返回
解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求．(答案不唯一)
4．【教材P28习题T5变式】如图，点D，E分别在△ABC的边AB和AC上，AD＝2，BD＝4，AE＝3，CE＝1，DE＝2.5，BC＝5，∠ADE＝∠C.△ADE和△ACB相似吗？为什么？
返回
解：△ADE和△ACB相似．理由如下：
∵AD＝2，BD＝4，AE＝3，CE＝1，
∴AB＝2＋4＝6，AC＝3＋1＝4.
又∵△ADE和△ACB中，∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠B.
∴△ADE和△ACB相似．
5．相似多边形的对应角________，对应边________，对应边的比叫做__________．
相等
返回
成比例
相似比
6．如图，正五边形FGHMN和正五边形ABCDE相似 .若AB：FG＝2：3，则下列结论正确的是( )
A．2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
B
返回
7．【教材P27练习T3变式】一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
B
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【点要点】根据两个多边形的
最长边求出相似比是解题关键．
8．【教材P57复习题T4改编】【中考·重庆】制作一块3 m×2 m的长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A．360元 B．720元
C．1 080元 D．2 160元
C
返回
9．【教材P26例题改编】如图，已知等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′＝65°，A′B′＝6 cm，AB＝8 cm，AD＝5 cm .试求：
(1)梯形ABCD的各角的度数；
解：∵等腰梯形ABCD与
等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′＝65°，
∴∠A＝∠A′＝65°.∴∠B＝∠A＝65°.
∴∠D＝∠C＝180°－65°＝115°.
(2)A′D′，B′C′的长．
返回
10．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF.
(1)求证：BF平分∠ABC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠FAE＝∠AEB.
∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝EB.
∴四边形ABEF是菱形．
∴BF平分∠ABC.
(2)若AB＝6，且四边形ABCD与四边形CEFD相似，求BC的长．
解：∵四边形ABEF为菱形，
∴BE＝EF＝AB＝6.
∵四边形ABCD与四边形CEFD相似，
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11．【教材P28习题T6变式】如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图①，若在矩形ABCD的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似吗？请说明理由．
解：不相似．理由如下：
由题意得AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18.
∵
∴矩形A′B′C′D′与矩形ABCD不相似．
(2)如图②，当x为多少时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？
返回
解：由题意得AB＝30，A′B′＝30－2x，BC＝20，B′C′＝18.
若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，
解得x＝1.5或x＝9.
∴当x为1.5或9时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似．
12．为了铺设一矩形场地，特意选择某矩形地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，
且由8块地砖组成，问：
(1)每块矩形地砖的长与宽分别为多少？
解：设每块矩形地砖的长为a cm，宽为b cm，
由题图可知4b＝60，即b＝15.
∵a＋b＝60，∴a＝60－b＝45.
∴每块矩形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.
(2)这样的地砖与所铺成的每一部分矩形是否相似？试说明理由．
解：不相似．理由如下：
∵所铺成的每一部分矩形的长为2×45＝90(cm)，宽为60 cm，
即所铺成的每一部分矩形的长与宽和地砖的长与宽不成比例，
∴它们不相似．
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13．【教材P34练习T3变式】一个用钢筋焊接的三角形的三边长分别是20 cm，60 cm，50 cm，现要做一个与其相似的钢筋三角形．因为只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，所以要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，请问：有几种截法？请指出余料最少的截法截出的三边长分别为多少．
【点易错】利用相似多边形的对应边成比例可以求出相应的边长；由于对应边并没有给定，故需要分类讨论．
若截50 cm的钢筋，设截下的两段长分别为x cm和y cm(x＜y)．
① ，解得x＝12，y＝36.
∴x＋y＝12＋36＝48＜50.∴此截法成立．
解：若截30 cm的钢筋，设截下的两段长分别为a cm和b cm(a＜b)，则有
∴a＋b＝
∴此截法不成立．
② ，解得x＝10，y＝25.
∴x＋y＝10＋25＝35＜50.
∴此截法成立．
∴有两种截法．
∵50－48＝2(cm)，50－35＝15(cm)，
∴余料最少的截法截出的三边长分别为
12 cm，30 cm，36 cm.
返回(共23张PPT)
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第1课时 平行线分线段成比例
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
D
见习题
B
见习题
成比例
见习题
8
C
9
C
10
11
见习题
12
B
1.2
2
13
见习题
14
A
15
见习题
1．在相似多边形中，最简单的就是__________．在△ABC和△A′B′C′中，
相似三角形
返回
D
返回
3．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________．如图，若直线l1∥l2∥l3，则____________或____________或____________．
成比例
返回
4．【教材P31练习T1变式】【2021·阿坝州】如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是( )
A．4 B．6
C．7 D．12
B
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5．【2021·郴州】如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD，为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳(线段AD1)，量得AE＝0.4 m，则AD1＝______________m .
1.2
返回
6．【教材P31练习T1变式】如图，l1∥l2∥l3，AB＝ AC，DF＝9，求EF的长．
返回
7．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段_______________．
成比例
返回
8．【2022·哈尔滨】如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为( )
C
返回
9．【2022·丽水】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝3，则线段BC的长是( )
C
返回
【点思路】过点A作平行横线的垂线，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可．
10．【2022·随州】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝ 的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为________.
【点拨】如图，过点C作CH⊥x轴于点H.
∵直线y＝x＋1与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A(－1，0)，B(0，1)．∴OA＝OB＝1.
易知OB∥CH，∴ ＝1.
∴OA＝OH＝1.∴CH＝2OB＝2.∴C(1，2)．
∵点C在反比例函数y＝ 的图象上，∴k＝1×2＝2.
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【答案】2
11．【教材P31练习T1变式】如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF交于点O，已知DE＝3，EF＝6，AB＝4.
(1)求AC的长；
(2)若BE：CF＝1：3，求 .
返回
12．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D分别作DE∥BC，DH∥AC，分别交AC，BC于点E，H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论 的是( )
B
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13．如图，直线PQ经过菱形ABCD的顶点C，分别交边AB和AD的延长线于点P和Q，BP＝ AB.求证：DQ＝2AB.
返回
14．【2022·绍兴】将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉
的两个直角三角形的斜边长不可能是( )
．．．
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【答案】A
15．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD:AB＝1:3，
AE＝3.
(1)求EC的长；
【思路点拨】(1)由平行可得 ，可求得AC的长，由EC＝AC－AE可求得EC的长；(2)由平行得比例式，再利用比例的性质解答．
(2)求证：AD·AG＝AF·AB.
证明：∵DE∥BC，EF∥CG，
∴AD·AG＝AF·AB.
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第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第2课时 用平行线判定三角形相似
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
B
C
对应边；
成比例
C
见习题
相似；ABO；
CDO
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
C
见习题
13
见习题
1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形________．如图，若AB∥CD，则△______________∽△____________．
相似
返回
ABO
CDO
2．【教材P42习题T5变式】如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( )
A．0对
B．3对
C．2对
D．1对
B
返回
3．【中考·玉林】如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( )
A．3对
B．5对
C．6对
D．8对
【点拨】图中三角形有△AEG，△ADC，△CFG，△CBA.由AB∥EF∥DC，AD∥BC，易得△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，有6种组合，则相似三角形共有6对．
【答案】C
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4．相似三角形的________成比例．在涉及平行条件的三角形边(线段)的关系中，若这些边(线段)有的在平行线上，则应用相似三角形对应边____________求解．
对应边
返回
成比例
5．【教材P42习题T4变式】如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论
的是( )
C
返回
6．【中考·遂宁】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则 的值为( )
【点拨】设FD＝k，则AF＝2k，AD＝3k.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD.∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC.∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G.∴AB＝AF＝2k，FD＝DG＝k.∴CD＝2k.
∴CG＝CD＋DG＝3k.
∵AB∥CG，∴△ABE∽△CGE.
【答案】C
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7．【2022·嘉兴】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为________．
返回
【点拨】由题意得DE＝1，BC＝3.
在Rt△ABC中，∠A＝60°，易求得AB＝
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
8．【2022·上海】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，
＝________．
返回
【点拨】∵D为AB中点，∴
如图，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，
当DE′与BC不平行时，有DE′＝DE，可得
9．【教材P31练习T2改编】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC.若 ，DE＝4，求BC的长．
返回
10．【教材P31练习T2变式】如图，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，连接BE，CD，交于点O.
(1)写出图中的相似三角形；
解：△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB.
(2)求证：
返回
11．【2022·常德】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
【点方法】利用平行线分线段成比例的基本事实或推论求线段长的方法：先确定图中的平行线，再根据平行线截得的线段间的比例关系或由平行线得到相似三角形，写出一个含有待求线段和已知线段的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长.
证明：如图，连接OD.
∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠BOC＝∠DOC.
在△BOC和△DOC中，
∴△BOC≌△DOC(SAS)．
∴∠ODC＝∠OBC＝90°.
又∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长．
解：如图，过点D作DH⊥BC于H.
∵ED∥BC，∴∠OED＝180°－∠ABC＝90°.
∴四边形EBHD为矩形．
∴BH＝ED，DH＝BE＝AB－AE＝7.
∴OE＝BE－OB＝3.
∴ED＝
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∵△BOC≌△DOC，
∴BC＝CD.设BC＝CD＝x，则CH＝x－
在Rt△DHC中，DH2＋CH2＝CD2，即72＋(x－ )2＝x2，
解得x＝4 ，即BC＝4 .
∵ED∥BC，∴△AEF∽△ABC.
12．【2021·连云港】如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF＝3FE，则 ＝________.
【点拨】∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点．∴
如图，过点E作EG∥CD，交AD于点G，
∴△AGE∽△ADC.
∴DC＝2GE.
∵BF＝3FE，∴
返回
13．已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，点D为AO上一点，连接AC，BD交于点P.
(1)如图①，当点D为AO的中点时，求 的值；
【思路点拨】过一点作平行于三角形一边的线段，构造相似三角形来解决以上两题．12题过AC边的中点E作平行于CD的线段；13题以AP，PC为三角形的对应边，通过作平行线构造相似三角形．
解：如图①，过点C作CE∥OA，交BD于点E，
∴△BCE∽△BOD.
∵CE∥OA，∴△ECP∽△DAP.
(2)如图②，当 的值．
解：如图②，过点C作CE∥OA，交BD于点E，
∴△BCE∽△BOD.∴
设AD＝x，则OA＝4x，OD＝3x，
∴CE＝ ＝x.
由OA∥CE得△DAP∽△ECP，
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第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第3课时 用三边关系判定三角形
相似
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
C
C
见习题
B
见习题
成比例；
对应
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
相等；
不相似
见习题
1．三边________的两个三角形相似．这里必须注意的是“一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，这两个三角形才相似”，一定要讲究“________”关系．
成比例
返回
对应
2．【教材P33例1变式】已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似？( )
A．2 cm，3 cm
B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm
D．6 cm，7 cm
C
返回
3．【教材P57复习题T2改编】一个三角形三边的长分别是3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边的和是( )
A．19
B．17
C．24
D．21
C
返回
4．【教材P34练习T1变式】(1)根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm；
A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝21 cm.
(2)若(1)中两三角形不相似，那么要使它们相似，不改变AC的长，A′C′的长应当改为多少？
解：A′C′的长应当改为8×3＝24(cm)．
返回
5．利用三边成比例判定网格中两个三角形相似，先把两个三角形的三边长算出来并按照从小到大的顺序排列，再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等，若______，这两个三角形就相似，否则就__________．
相等
返回
不相似
6．【中考·连云港】在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似？( )
A．①处 B．②处
C．③处 D．④处
【答案】B
返回
【点思路】设小正方形的边长为1，则“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为2， .“车”“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为 ，“车”②之间的距离为2 .因为 ，所以“马”应落在②处．
7．【教材P42习题T3(1)变式】如图，在网格图中有△ABC和△DEF(每个小正方形的边长都为1)．
(1)这两个三角形相似吗？为什么？
【点思路】计算出三角形的三边长，验证是否满足三边对应成比例，从而判断两个三角形是否相似．
(2)求∠A的度数．
解：如图，取AC的中点O，连接BO，易得△ABO是等腰直角三角形，∴∠A＝45°.
(3)在网格图中再画一个三角形，使它与△ABC相似，并求出其相似比．
解：(答案不唯一)如图，△A′B′C′与△ABC相似，
它们的相似比是 .
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8．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC三边上的点，AE＝BF＝CD.求证：△ABC∽△DEF.
证明：∵△ABC是等边三角形，AE＝BF＝CD，
∴BE＝CF＝AD，∠A＝∠B＝∠C.
∴△ADE≌△BEF≌△CFD(SAS)．
∴EF＝FD＝ED，即△DEF是等边三角形．
又∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC∽△DEF.
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9．如图，四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFGH是大小相同的正方形．
(1)△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由．
解：相似．理由如下：
设正方形ABCD、正方形DCFE、正方形EFGH的边长都为a，则△ACF的三边长分别为AC＝ a，CF＝a，AF＝ a；
△ACG的三边长分别为AC＝ a，CG＝2a，AG＝ a.
∴△ACF∽△GCA.
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：∵△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF.
∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.
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10．【原创题】如图，
(1)求证：∠BAD＝∠CAE；
证明：∵
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
(2)若∠ADE＝50°，∠CBE＝20°，求∠ABE的度数．
解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE＝50°.
∵∠CBE＝20°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝50°－20°＝30°.
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11．【教材P42习题T3(1)变式】【中考·菏泽】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)求证：△ABC为直角三角形；
【点要点】本题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理与其逆定理的应用，根据已知得出三角形各边的长度是解题的关键．
证明：根据勾股定理，得
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形．
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
解：△ABC和△DEF相似．
理由：根据勾股定理，得
∴△ABC∽△DEF.
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点且与△ABC相似，并说明理由．
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解：如图，连接P2P5，P2P4，P4P5，则△P2P4P5符合要求．
理由：根据勾股定理，得
∴△P4P5P2∽△ABC.(共27张PPT)
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第4课时 用边角关系判定三角形
相似
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
C
B
见习题
A
见习题
成比例；
相等
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
对应边
见习题
1．两边________且夹角________的两个三角形相似．利用这种方法判定两个三角形相似时，寻找的条件必须满足“两边夹一角”，如果改为“两边成比例且一组对应角相等”，这两个三角形就不一定相似了．
成比例
返回
相等
2．【教材P33例1(2)变式】下列三角形中，与△ABC(如图)相似的是( )
C
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3．【教材P34练习T2(2)变式】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论一定正确的是( )
A．①和②相似
B．①和③相似
C．①和④相似
D．②和④相似
B
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4．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED.
【点方法】利用两边成比例且夹角相等证两个三角形相似的方法：
先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例，则两个三角形相似，否则不相似．
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证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，
即∠BAC＝∠EAD.
∴△ABC∽△AED.
5．运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定三角形相似时，相等的角必须是对应成比例的两组________的夹角．此外，找相等的角时，要注意隐含条件，比如对顶角或公共角，平行线中的内错角、同位角等．
对应边
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6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC∽△AED，还需满足下列条件中的( )
A
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7．【2021·南充】如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝ AB＝3BD，则AD：AC的值为________．
返回
8．【教材P44习题T13变式】【中考·苏州】如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD.若E是AD的中点，求EC的值．
返回
解：∵BD＝2CD，∴ ＝2.
∵E为AD的中点，∴AD＝2ED.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠EDC＝90°.
∴△ADB∽△EDC.
又∵AB＝2，∴EC＝1.
9．【2021·盐城】如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA·PB.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
证明：如图，连接OC.
∵PC2＝PA·PB，∴
又∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB.∴∠PCA＝∠B.
又易知∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.
∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA.
∴∠PCA＋∠OCA＝90°.∴OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
(2)若AB＝3PA，求 的值．
解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝ PA，PO＝ PA.
∵OC⊥PC，
∴PC＝ ＝2PA.
∵△PAC∽△PCB，
返回
10．【中考·扬州】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C 顺时针旋转90°至CE的位置，连接AE.
(1)求证：AB⊥AE；
证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°.
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE.
∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠CAE＝45°.
∴∠BAE＝45°＋45°＝90°，即AB⊥AE.
(2)若BC2＝AD·AB，求证：四边形ADCE是正方形．
∵BC2＝AD·AB，BC＝AC，∴
又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB.
∴∠CDA＝∠BCA＝90°.
∵∠DAE＝90°，∠DCE＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
又∵CD＝CE，∴四边形ADCE是正方形．
返回
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED， ，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，连接BE.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
证明：在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.
∴△ABE∽△DEF.
(2)若正方形的边长为8，求BG的长．
解：∵AD∥CG，∴△EFD∽△GFC.
∴CG＝12.
∴BG＝BC＋CG＝8＋12＝20.
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12．如图，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设
点P，Q移动的时间为t s.
(1)求直线AB对应的函数解析式；
【点思路】(1)设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，用待定系数法求出k，b的值即可；
(2)在△APQ和△AOB中，夹∠BAO的两边分别为AP，AQ和AO，AB，对应边的比有两种情况，因此可分类求出t的值.
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
解：由题易知AO＝6，BO＝8，则AB＝10.
易得AP＝t，AQ＝10－2t.
返回(共29张PPT)
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第5课时 用角的关系判定三角形
相似
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
见习题
D
C
见习题
C
分别相等
8
D
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
见习题
见习题
13
见习题
1．两角____________的两个三角形相似．
分别相等
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2．【2022·宜宾】如图，在△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠1＝∠2.若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝________．
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3．【2022·扬州】如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F.下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD.其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【点拨】由旋转的性质得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，然后得出∠ADB＝∠ADE，所以DA平分∠BDE，可判断结论②正确；
由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出△AFE∽△DFC，可判断结论①正确；由∠BAC＝∠DAE得出∠BAD＝∠FAE，由△AFE∽△DFC得出∠FAE＝∠CDF，进而得出∠BAD＝∠CDF，可判断结论③正确．
【答案】D
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4．【2022·达州】如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处．若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为( )
A．9 B．12
C．15 D．18
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC, ∠A＝∠B＝∠C＝90°.
∵将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，
∴DF＝AD＝BC, ∠DFE＝∠A＝90°.
∴∠BFE＋∠DFC＝90°.
∵∠B＝90°，∴∠BFE＋∠BEF＝90°.
∴∠BEF＝∠CFD.
【答案】C
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又∵∠B＝∠C，∴△BEF∽△CFD.∴
∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12.
设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x＋12.
∵∠C＝90°，∴CD2＋CF2＝DF2.
∴ (3x) 2＋122＝ (x＋12) 2，
解得x＝3或x＝0(舍去)．∴AD＝DF＝3＋12＝15.
5．【2022·湘潭】如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
证明：∵∠C＝∠B，
∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB.
(2)连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，
∴∠B＝30°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴AB＝2AD＝6.
∴⊙O的半径为3.
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6．(1)若两个直角三角形满足_________________或____________________，则这两个直角三角形相似．
(2)斜边和一条直角边对应________的两个直角三角形相似．
有一个锐角相等
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两组直角边对应成比例
成比例
7．【教材P36练习T2改编】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，则图中相似三角形共有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
C
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8．【教材P36思考变式】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，若添加一个条件，使得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则下列条件中 要求的是( )
D
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9．【2022·陕西】如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.
(1)求证：∠CAB＝∠APB；
证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM＝90°.
又∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD.
∴∠CDB＝∠APB.
∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB.
(2)若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
解：如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠CDB＋∠ADC＝90°.∵∠CAB＋∠C＝90°，
∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C.∴AD＝AC＝8.
∵AB＝10，∴BD＝ ＝6.
∵∠BDA＝∠BAP＝90°，∠ABD＝∠PBA，
∴△ADB∽△PAB.
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10．【2022·江西】如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求证：△ABC∽△AEB；
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA.
∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE.
又∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB.
(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
返回
11．【中考·恩施州】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax－3a(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝ (x>0)的一个交点为C，且BC＝ AC.
(1)求点A的坐标；
解：令y＝ax－3a(a≠0)中y＝0，
即ax－3a＝0，解得x＝3，
∴点A的坐标为(3，0)．
(2)当S△AOC＝3时，求a和k的值．
解：过点C作y轴的垂线交y轴于点M，作x轴的垂线交x轴于点N，如图所示．
易知CM∥OA，
∴△BCM∽△BAO.
∵点A的坐标为(3，0)，∴AO＝3.
∵S△AOC＝ OA·CN＝3，∴ ×3×CN＝3，
则CN＝2.∴点C的坐标为(1，2)．将点C(1，2)的坐标代入y＝ax－3a(a≠0)，得2＝a－3a，∴a＝－1.
再将点C(1，2)的坐标代入y＝ ，
∴k＝2.
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12．【2022·无锡】如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点(点A，C除外)，BD的延长线交⊙O于点E，连接CE.
(1)求证：△CED∽△BAD；
证明：∵∠CDE＝∠BDA，
∠A＝∠E，
∴△CED∽△BAD.
(2)当DC＝2AD时，求CE的长．
解：如图，过点D作DF⊥EC于点F.
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝6.
∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4.
∵△CED∽△BAD，
∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，
∴∠EDF＝90°－60°＝30°.∴DE＝2EF.
设EF＝x，则DE＝2x，DF＝ x，
∴EC＝6x.∴FC＝5x.
在Rt△DFC中，DF2＋FC2＝DC2，∴( x)2＋(5x)2＝42，
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13．【2021·青海】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于点G.
(1)求证：△BGD∽△DMA；
【点思路】(1)欲证△BGD∽△DMA，已知一组直角相等，
只需另一组角相等即可，可以利用“直径所对的圆角角是直
角”证得；
(2)用“连半径，证垂直”的方法证明切线．
证明：∵MN⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD＝∠DMA＝90°.
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°.
∴∠ADM＋∠CDM＝90°.
∵∠DBG＋∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠ADM.∴△BGD∽△DMA.
(2)求证：直线MN是⊙O的切线．
解：如图，连接OD.
∵BO＝OA，BD＝DC，
∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥AC.
又∵MN⊥AC，∴OD⊥MN.
∴直线MN是⊙O的切线．
返回(共23张PPT)
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第6课时 相似三角形的性质
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
3.2
B
见习题
B
B
相似比；
相似比
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
相似比；
相似比的平方
见习题
1．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于__________，即相似三角形对应线段的比等于________．
相似比
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相似比
2．已知△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC，△A1B1C1的角平分线，BC＝6 cm，B1C1＝4 cm，AD＝4.8 cm，则A1D1的长为________cm.
3.2
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3．【教材P58复习题T11改编】如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( )
A．15
B．20
C．25
D．30
B
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4．【教材P38例3变式】如图，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分别是斜边AB，DF上的中线，已知AC＝9，CB＝12，DE＝3.
(1)求CM和EN的长．
【点要点】相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高线的比相等，都等于相似比.
(2) 的值与相似比有什么关系？你能得到什么结论？
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结论：相似三角形对应中线的比等于相似比．
5．相似三角形周长的比等于________，面积的比等于______________．
相似比
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相似比的平方
6．【2022·云南】如图，在△ABC中，D，E分别为线段BC，BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则 ＝( )
B
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7．【2022·贵阳】如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ACB的周长比是( )
A．1： B．1：2
C．1：3 D．1：4
【点要点】相似三角形的面积比等于相似比的平方，也等于“对应三线”的比的平方．相似三角形的周长比等于相似比，也等于“对应三线”的比．
【答案】 B
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8．【2021·玉林】如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.
(1)求证：△DFC∽△AED；
证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∠DCF＝∠ADE.
∴∠DFC＝∠AED.
∴△DFC∽△AED.
(2)若CD＝ 的值．
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由(1)知△DFC∽△AED，
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC，交DE于点G.如果AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，求AF:AG的值．
解：∵AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，
∴AC＝4，AB＝6.
∴AB:AE＝AC:AD＝2.
∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.
又∵AF为△ABC的角平分线，AG为△AED的角平分线，
∴AF:AG＝AC:AD＝2.
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10．【2022·杭州】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，
(1)若AB＝8，求线段AD的长；
解：∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BF，即DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.
∵AB＝8，∴AD＝2.
(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
解：∵△ADE∽△ABC，
∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积为16.
∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB.∴△EFC∽△ABC.
∴△EFC的面积为9.∴平行四边形BFED的面积为16－9－1＝6.
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11．【2022·深圳福田区模拟】某小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块四边形空地ABCD上种植花木，如图，其中AD∥BC，AD＝10 m，BC＝20 m.
(1)他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，价格为8元/m2.当△AMD地带上种满太阳花后(图中阴影部分)，共花了160元，请计算种满△CMB
地带所需要的费用
【思路点拨】建立相似三角形模型，利用“面积比等于相似比的平方”和“对应高的比等于相似比”计算．
解：∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB.
∵种满△AMD地带花了160元，
∴S△AMD＝160÷8＝20(m2)．∴S△CMB＝20×4＝80(m2)．
∴种满△CMB地带所需要的费用为80×8＝640(元)．
(2)若其余地带有玫瑰和茉莉两种花木可供选择，价格分别为12元/m2和10元/m2，则应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？
解：设△AMD的边AD上的高为h1，△CMB的边BC上的高为h2，梯形ABCD的高为h.∵S△AMD＝20 m2，∴h1＝20×2÷10＝4(m)．
∵ ，∴h2＝2h1＝2×4＝8(m)．
∴h＝h1＋h2＝4＋8＝12(m)．
∴S梯形ABCD＝ (AD＋BC)·h＝ ×(10＋20)×12＝180(m2)．
∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80(m2)．
若种植玫瑰，共需花费160＋640＋80×12＝1 760(元)；
若种植茉莉，共需花费160＋640＋80×10＝1 600(元)．
∴选择种植茉莉可以刚好用完所筹集的资金．
返回(共27张PPT)
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第7课时 相似三角形应用举例
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
A
B
9.88
对应边的比
B
成比例；
相等
8
C
9
见习题
10
11
见习题
见习题
见习题
1．利用影长测量物体的高度，通常利用“相似三角形对应边________”的原理来解决，在同一时刻物高的比与影长的比______．
成比例
返回
相等
2．【2021·盘锦】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示的示意图获得，设井深为x尺，所列方程正确的是( )
A
返回
3．【2021·兰州改编】如图，小明探究视力表，当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“ ”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“ ”字高度为( )
A．121.17 mm
B．43.62 mm
C．29.08 mm
D．4.36 mm
B
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4．【教材P39例4变式】【2022·杭州】某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图)，同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72 m，EF＝2.18 m.已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，
DE⊥EF，DE＝2.47 m，则AB＝
________m.
【点思路】被测物体的高度可通过判定两三角形相似，利用对应边成比例求得．
【答案】 9.88
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5．【教材P43习题T9改编】【2021·南通】如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C，若测得AE＝1 m，DE＝1.5 m，CE＝5 m，则楼高BC是多少？
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解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°.
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
解得BC＝9 m.
答：楼高BC是9 m.
6．测量河宽、管状物体的口径等问题时，可以构造两个相似三角形，借助相似三角形的______________相等来求解．
对应边的比
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7．【教材P57复习题T7改编】【2022·十堰】如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA:OC＝OB:OD＝3，且量得CD＝3 cm，则零件的厚度x为( )
A．0.3 cm
B．0.5 cm
C．0.7 cm
D．1 cm
【点拨】∵OA:OC＝OB:OD＝3，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB.∴AB:CD＝3.∵CD＝3 cm，∴AB＝9 cm.
∵零件的外径为10 cm，
∴零件的厚度x为(10－9)÷2＝0.5(cm)．
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【答案】B
8．【2021·河北】如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示(相关数据图中已标注)，此时液面AB为( )
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
C
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【点思路】由题意知，图中的两个三角形相似．根据相似三角形的性质即可得出结果.
9．【2021·菏泽】如图，某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离
分别是多少？
解：如图，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D.
由题意可得∠CAD＝60°，∠CBD＝30°，
∴∠DCA＝30°＝∠CBD.∴AD＝ AC.
又∵∠CDA＝∠BDC＝90°，∴△CDA∽△BDC.
设AC＝2x海里，则AD＝x海里，
∴CD＝ x海里．
∴ ，解得x＝100.
∴AC＝200海里，CD＝100 海里．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200 海里．
故位于A处的济南舰距C处的距离为200海里，位于B处的西安舰距C处的距离为200 海里．
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10．【教材P41练习T1变式】【2022·陕西】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知
小明的身高EF为1.8米，求旗杆的
高AB.
【点方法】用阳光下的影子、工具、镜子反射测量物高，核心方法都是构造相似三角形，利用相似比求解．
解：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF.∵AO⊥OD，EF⊥FG，∴∠AOD＝∠EFG＝90°.∴△AOD∽△EFG.
解得AO＝15米．
同理可得△BOC∽△AOD，
解得BO＝12米．
∴AB＝AO－BO＝15－12＝3(米)．
答：旗杆的高AB是3米．
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11．【2021·宁夏】阅读理解：
如图①，AD是△ABC的高，点E，F分别在AB和AC边上，且EF∥BC，可以得出以下结论：
拓展应用：
(1)如图②，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E，F分别在AB，AC上，则正方形EFGM的边长是多少？
解：如图①，过点A作AD⊥BC于点D，交EF于点H.
由阅读理解的结论可得
设正方形EFGM的边长为x，
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100 cm，底边长为160 cm的等腰三角形展台，现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10 cm分隔出一排，再将一排尽可能多地分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图③所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度(单位：cm)随着排数(单位：排)的变化而变化，请完成下表：
若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式．
排数/排 0 1 2 3 …
隔板长度/cm 160 …
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？
【点拨】当n＝1时，隔板长 cm，
∴可以做正方体的个数为 ÷10≈13(个)；
当n＝2时，隔板长 cm，∴可以做10个正方体；
当n＝3时，隔板长80 cm，∴可以做8个正方体；
当n＝4时，隔板长 cm，∴可以做5个正方体；
当n＝5时，隔板长 cm，∴可以做2个正方体；
当n＝6时，隔板长0 cm，∴不能做正方体．
∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排不能摆放葡萄酒．
∴13＋10＋8＋5＋2＝38(瓶)．
综上所述，最多可以摆放38瓶葡萄酒．
解：该展台最多可以摆放38瓶葡萄酒．
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第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第8课时 相似三角形与其他知识的综合应用
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①②③④
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8
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1．【中考·广州】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A ，点D的坐标为(0，1)．
(1)求直线AD对应的函数解析式；
(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
解：由(1)得直线AD对应的函数解析式为y＝ x＋1.
令y＝0，得x＝－2，即B(－2，0)．
∵直线AC对应的函数解析式为y＝－x＋3，
∴令y＝0，得x＝3，即C(3，0)．
①当E1C⊥BC时，如图，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1BC，∴△BOD∽△BCE1.此时点C和点E1的横坐标相同．
②当CE2⊥AD时，如图，∠BOD＝∠BE2C＝90°，
∠DBO＝∠CBE2，∴△BOD∽△BE2C.
过点E2作E2F⊥x轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.
又∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，∠CE2F＋∠BE2F＝90°，∴∠E2BF＝∠CE2F.∴△E2BF∽△CE2F.
解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．∴E2(2，2)．
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③当∠EBC＝90°时，此情况不存在．
综上所述，点E的坐标为 或(2，2)．
2．【2022·广东】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q.
(1)求该抛物线的解析式；
解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，
∴B(－3，0)．
∴该抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
【点思路】(2)作QE⊥x轴于点E，设P(m，0)，则PA＝1－m.
由PQ∥BC可证△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性质即可求出QE的长．
又因为S△CPQ＝S△PCA－S△PQA，
进而得到△CPQ面积和m的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积的最大值．
解：如图，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F.设P(m，0)，则PA＝1－m.
∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴C(－1，－4)．∴CF＝4.
∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA.
∴QE＝1－m.
∴S△CPQ＝S△PCA－S△PQA
∵－3≤m≤1，
∴当m＝－1时，S△CPQ有最大值2.
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为(－1，0)．
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3．【2021·湖州】已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝ (x>0)图象上的一个动点，连接AO，AO的延长线交反比例函数y＝ (k>0，x<0)的
图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E.
(1)如图①，过点B作BF⊥x轴于点F，连接EF.
①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
证明：设点A的坐标为 ，
则当k＝1时，点B的坐标为 ，
∴AE＝OF＝a.
∵AE⊥y轴，∴AE∥OF.
∴四边形AEFO是平行四边形．
②连接BE，若k＝4，求△BOE的面积．
解：如图，过点B作BD⊥y轴于点D.
∵AE⊥y轴，∴AE∥BD.∴△AOE∽△BOD.
当k＝4时，S△BOD＝2.
又由题意知S△AOE＝ ，
∴S△BOE＝2S△AOE＝1.
(2)如图②，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝ (k>0，x<0)的图象于点P，连接OP.试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
解：不会发生变化．理由如下：
如图，过点P作PH⊥x轴于点H，设PE与x轴交于点G，
∵a，b异号，k>0，
∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．
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4．【2021·遂宁】如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：
①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；
⑤若CE:DE＝1:3，则BH:DH＝17:16.
你认为其中正确的是________(填写序号)．
【点拨】①由正方形ABCD和正方形BGEF可知△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴∠ABD＝∠FBE＝45°.
∴∠ABD－∠FBD＝∠FBE－∠FBD，
即∠ABF＝∠DBE，故①正确．
②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
又∵∠ABF＝∠DBE，∴△ABF∽△DBE，故②正确．
③∵△ABF∽△DBE，∴∠FAB＝∠EDB＝45°.
延长AF交BD于点M，可得∠AMB＝90°，
即AF⊥BD，故③正确．
④∵∠BEH＝∠BDE＝45°，∠EBH＝∠DBE，
∴△BEH∽△BDE.∴
即BE2＝BH·BD.易得BE＝ BG，
∴2BG2＝BH·BD，故④正确．
⑤∵CE：DE＝1：3，∴设CE＝x，DE＝3x，则BC＝AD＝AB＝DC＝4x.∴BD＝4 x.
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝ x.
∵BE2＝BH·BD，∴17x2＝4 x·BH.
∴BH：DH＝17：15，故⑤错误．
【答案】①②③④
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5．【教材P58复习题T11拓展】【中考·舟山】小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作推理与拓展．
(1)温故：如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝a，AD＝h，求正方形PQMN的边长(用a，h表示)．
【点要点】对于相似三角形与正方形的综合性问题，解题关键是利用“相似三角形对应高的比等于相似比”列出比例式，进而解决相关问题．
解：由正方形PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC.
(2)操作推理：如何画出这个正方形PQMN呢？
如图②，小波画出了图①的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使点Q′，M′在BC边上，点N′在△ABC内，然后连接BN′，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN.
请证明四边形PQMN是正方形．
证明：由画法得∠QMN＝∠PNM＝∠PQM＝90°，
∴四边形PQMN是矩形．∵N′M′⊥BC，MN⊥BC，
∴N′M′∥NM.∴△BN′M′∽△BNM.
∵N′M′＝P′N′，∴NM＝PN.
∴四边形PQMN是正方形．
(3)拓展：小波把图②中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE＝NM，连接EQ，EM，如图③.当∠QEM＝90°时，求“波利亚线”BN的长(用a，h表示)．
请帮助小波解决以上问题．
解：如图，过点N作NR⊥EM于点R.
∵NE＝NM，∴∠NEM＝∠NME，
ER＝RM＝ EM.
∵∠EQM＋∠EMQ＝∠EMQ＋∠EMN＝90°，
∴∠EQM＝∠EMN.
又∵∠QEM＝∠NRM＝90°，NM＝QM，
∴△EQM≌△RMN(AAS)．∴EQ＝RM.
∴EQ＝ EM.
∵∠QEM＝90°，∴∠BEQ＋∠NEM＝90°.
∴∠BEQ＝∠EMB.
又∵∠EBM＝∠QBE，∴△BEQ∽△BME.
设BQ＝x，则BE＝2x，BM＝4x，
∴QM＝BM－BQ＝3x＝MN＝NE.∴BN＝BE＋NE＝5x.
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6．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN.
(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，并说明理由．
解： PM＝PN，PM⊥PN.理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD.
又∵∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠EAC＋∠BDC＝90°.
∵点M，N分别是AB，DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM＝ BD，PN＝ AE，PM∥BD，PN∥AE.
∴PM＝PN，∠NPD＝∠EAC，∠APM＝∠BDC.
又∵∠EAC＋∠BDC＝90°，
∴∠MPA＋∠NPD＝90°.
∴∠MPN＝90°，即PM⊥PN.
(2)现将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD分别交于点G，H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)中的结论仍然成立．证明：设BC与AE交于点O.
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE.∴∠ACE＝∠BCD.
∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD.
又∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BHO＝∠ACO＝90°.
∵点P，M，N分别为AD，AB，DE的中点，
∴PM＝ BD，PM∥BD，PN＝ AE，PN∥AE.
∴PM＝PN，∠MGE＋∠BHA＝180°，∠MGE＝∠MPN.
∴∠MPN＝∠MGE＝90°，即PM⊥PN.
(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
解：PM＝kPN.证明如下：
∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.
∵BC＝kAC，CD＝kCE，∴
∴△BCD∽△ACE.∴BD＝kAE.
∵点P，M，N分别为AD，AB，DE的中点，
∴PM＝ BD，PN＝ AE.∴PM＝kPN.
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7．【2022·岳阳】如图，在⊙O中，AB为直径，AB＝8，BD为弦，过点A的切线与BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点(不与点B重合)，且OE＝DE.
(1)若∠B＝35°，则 的长为________(结果保留π)；
【点拨】∵∠AOD＝2∠B＝70°，
(2)若AC＝6，则 ＝________．
【点拨】如图，连接AD.
∵AC是切线，AB是直径，∴AB⊥AC.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.
∵OB＝OD，EO＝ED，∴∠EDO＝∠EOD＝∠B.
∴△DOE∽△DBO.
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8．【2022·营口】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.
(1)求证：∠D＝∠EBC；
证明：∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠DAO＝90°.∴∠D＋∠ABD＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴∠BEC＝180°－∠AEB＝90°.∴∠ACB＋∠EBC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC.∴∠D＝∠EBC.
(2)若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．
解：∵CD＝2BC，∴BD＝3BC.
∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，
∴△DAB∽△BEC.
∴AB＝3EC.
∵AB＝AC, ∴AE＋EC＝AB.∴3＋EC＝3EC，解得EC＝1.5.
∴AB＝3EC＝4.5.∴⊙O的半径为2.25.
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第二十七章 相似
27.3 位似
第1课时 位似图形
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D
C
见习题
A
C
见习题
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见习题
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见习题
12
见习题
B
见习题
13
见习题
1．一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做____________，点O叫做__________. 实际上，______就是这两个相似多边形的相似比．位似图形必须满足两个条件：(1)是________图形；(2)对应点连线________________________．
位似多边形
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位似中心
k
相似
相交于一点
2．如图，两个图形之间的变换方式是( )
A．平移
B．旋转
C．对称
D．位似
D
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3．如图所示的四个图形中的两个三角形都是相似的，其中是位似图形(不添加任何辅助线)的有( )
【点要点】根据位似图形的定义可知，只有第三个图形中的两个三角形不是位似图形．
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C
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．位似图形的四个基本性质：
(1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质；
(2)位似图形的对应点的连线相交于一点；
(3)位似图形的对应边__________或在_____________上；
(4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__________．
互相平行
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同一直线
相似比
5．【2021·温州】如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，相似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.若AB＝6，则A′B′的长为( )
A．8 B．9
C．10 D．15
B
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6．【2022·重庆】如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A．1：2
B．1：4
C．1：3
D．1：9
A
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7．【2022·百色】已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，相似比是1:3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是( )
A．1:3
B．1:6
C．1:9
D．3:1
C
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8．利用位似将多边形缩放的一般步骤：
(1)选取一个点为____________；
(2)找出图形的关键点(对于多边形来说为顶点)，并分别画出过这些点与位似中心的直线(或直线的一部分，如线段、射线)；
(3)在这些线上取图形关键点的对应点，使对应点与关键点到位似中心的距离之比等于__________；
(4)顺次连接这些对应点，即得所求图形．
位似中心
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相似比
9．【教材P51习题T1变式】下面与△ABC位似的图形的画法中，正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
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10．【教材P51习题T4变式】如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是线段OA，OB，OC，OD的中点，那么 ABCD与四边形EFGH是不是位似图形？为什么？
解：是位似图形．理由如下：
∵E，F分别是OA，OB的中点，∴FE＝ AB，FE∥AB.
∵G，H分别是OC，OD的中点，
∴HG＝ CD，HG∥CD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴EF＝HG，FE∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形．
∵FE∥AB，∴∠OEF＝∠OAB.同理，∠OEH＝∠OAD.
∴∠HEF＝∠DAB.同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA.
∴ EFGH∽ ABCD.又∵对应点的连线相交于点O，
∴ ABCD与四边形EFGH是位似图形．
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11．如图，某小区内有一矩形花坛ABCD，现对该小区进行规划，按要求作出相应的位似图形．
(1)在原地将花坛扩建，使各边的对应边为原来的3倍；
【点规律】画一个图形的位似图形与画一个图形经过平移、旋转或轴对称后得到的图形的方法基础相同，都是先确定原图形上的关键点，然后根据相应的性质画出这些关键点的对应点，顺次连接得到的图形即为所求．
解：取矩形ABCD的对角线的交点O为位似中心，
①作射线OA，OB，OC，OD；②分别在射线OA，OB，OC，OD上取点E，F，G，H，使得
③连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH即为所求作的图形，如图所示．(答案不唯一)
(2)在异地修建一块矩形草坪，使它与花坛的对应边的比为4:1，你能设计出图纸吗？
解：能．在矩形ABCD外取一点O′为位似中心，
①作射线O′A，O′B，O′C，O′D；
②分别在射线O′A，O′B，O′C，O′D上取点E′，F′，G′，H′，
③连接E′F′，F′G′，G′H′，H′E′，
则四边形E′F′G′H′即为所求作的矩形草坪图，如图所示．(答案不唯一)
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12．如图，已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，且OA＝2AA′，S△ABC＝8，求S△A′B′C′.
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13．印刷一张矩形的张贴广告(如图)，它的印刷面积是32 dm2，上下空白各1 dm，左右空白各0.5 dm，被印刷部分从上到下的长是x dm，四周空白处的面积为S dm2.
(1)求S关于x的关系式．
【点思路】(1)观察图形，可得矩形的总面积＝印刷面积＋空白部分面积；
(2)令S＝18得出方程即可求得印刷部分的长，进而就能求出用来印刷广告的纸张的长和宽；
(3)紧扣定义来说明.
(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷广告的纸张的长和宽各是多少．
解：由题意得S＝x＋2＋ ＝18.
整理得x2－16x＋64＝0，解得x1＝x2＝8.
经检验，x＝8是原方程的解．
∴用来印刷广告的纸张的长为AB＝8＋2＝10(dm)，
宽为AD＝ ＋1＝5(dm)．
(3)在(2)的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？请说明理由．
解 ：内外两个矩形是位似图形．理由如下：
∵印刷部分的长为A′B′＝8 dm，
∴内外两个矩形相似．
由题图可知，四对对应点(A与A′，B与B′，C与C′，D与D′)的连线都过点O，∴它们是以点O为位似中心的位似图形．
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第二十七章 相似
27.3 位似
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
答案显示
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2
A
A
位似中心；
相似比
(4，2)
见习题
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
见习题
见习题
1．一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为____________或____________．
(kx，ky)
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(－kx，－ky)
2．【教材P50练习T1变式】【2022·黔西南州】如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O.若点A(4，0)，点C(2，0)，则△OAB与△OCD周长的比值是________．
2
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3．【教材P49例题变式】【中考·邵阳】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，则CD的长度是( )
A．2 B．1
C．4 D．2
A
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4．【2021·东营】如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是( )
A．－2a＋3 B．－2a＋1
C．－2a＋2 D．－2a－2
【点拨】设点B′的横坐标为x.由题意得：B，C间的水平距离为a－1，B′，C间的水平距离为－x＋1.
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2(a－1)＝－x＋1，解得x＝－2a＋3.
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【答案】A
5．【教材P50练习T1，T2变式】如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD.
(1)求△OAB与△OCD的相似比；
解：∵B(4，0)，D(6，0)，
∴△OAB与△OCD的相似比是2:3.
(2)若点A的坐标是(3，－3)，求点C的坐标．
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6．在平面直角坐标系中画位似图形时，先确定__________，再根据________找出关键点的对应点，最后连线，得到放大或缩小后的图形．
位似中心
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相似比
7．【2021·嘉兴】如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是__________．
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(4，2)
【点拨】如图所示．
点G(4，2)即为所求的位似中心．
8．【教材P50练习T2变式】【2022·河池】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2)．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的
△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内
画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．
解：(1)如图，△A1B1C1为所作．
(2)如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为(－4，－6)．
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9．【教材P49例题变式】【中考·宁夏】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标
分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，相似比为
2的△A2B2C2.
解：(1)(2)如图所示．
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10．【教材P50练习T2变式】【2021·黑龙江】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在
平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位
似图形△A1B1C，使其与△ABC的
相似比为2：1，且△A1B1C与△ABC位于点C的异侧，并写出点A1的坐标；
(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
【点易错】运用坐标的变化规律时容易忽视前提，即一般以坐标原点为位似中心，而在此题中，位似中心为点C，并非原点，所以不能直接将坐标扩大到原来的2倍．
解： (1)如图，△A1B1C即为所作，点A1的坐标为(3，－3)．
(2)如图，△A2B2C即为所作．
(3)在(2)的条件下，求出点B所经过的路径长．
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11．【中考·盐城】如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数y＝kx＋b与
y＝－2x＋4是“平行一次函数”．
(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，求b的值；
解：由已知得k＝－2，把点(3，1)的坐标和k＝－2
代入y＝kx＋b，得1＝－2×3＋b，
∴b＝7.
(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1：2，求函数y＝kx＋b的解析式．
解：根据相似比为1：2得函数y＝kx＋b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过点(1，0)和(0，2)，这时解析式为y＝－2x＋2；
②不经过第一象限时，过点(－1，0)和(0，－2)，
这时解析式为y＝－2x－2.
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12．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，求这两个正方形的位似中心的坐标．
【点思路】当位似中心在两个图形同旁时，位似中心是直线CF与x轴的交点，这时只需求出直线CF对应的函数解析式，即可求出交点坐标；当位似中心在两个图形之间时，其位似中心是直线OC，BG的交点，这时只需求出两直线OC，BG对应的函数解析式，即可求出其交点坐标.
解：①当位似中心在两个正方形同旁时，连接CF，位似中心就是直线CF与x轴的交点．
设直线CF对应的函数解析式为y＝kx＋b，将点C(4，2)，F(1，1)的坐标代入，
当y＝0时，x＝－2，∴直线CF交x轴于点(－2，0)，
即位似中心的坐标为(－2，0)．
②当位似中心在两个正方形之间时，连接OC，BG，位似中心就是直线OC与直线BG的交点．
易得直线OC对应的函数解析式为y＝ x，直线BG对应的函数
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∴位似中心的坐标为
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标为
(－2，0)或(共34张PPT)
第二十七章 相似
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答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
见习题
B
见习题
B
C
8
①②③
9
见习题
10
11
2.7
12
C
D
见习题
13
见习题
14
见习题
1．下列各组线段中，是成比例线段的是( )
A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm
B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm
C．3 cm，9 cm，6 cm，1.8 dm
D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C
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2．【2022·衡阳】在设计人体雕像时S，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m，参考数据 )( )
A．0.73 m B．1.24 m
C．1.37 m D．1.42 m
B
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3．如图，已知∠1＝∠1′，∠2＝∠2′，∠3＝∠3′，∠4＝∠4′，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
理由：∵∠1＝∠1′，∠3＝∠3′，∴∠A＝∠A′.
同理，∠C＝∠C′.∵∠2＝∠2′，
∴∠1＋∠2＝∠1′＋∠2′，即∠ADC＝∠A′D′C′.
同理，∠ABC＝∠A′B′C′.
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
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4．【2022·重庆】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是( )
A．4
B．6
C．9
D．16
B
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5．【中考·成都】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为( )
A．2
B．3
C．4
D.
D
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6．【2022·河北】如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
(1)AB与CD是否垂直？______(填“是”或“否”)．
(2)AE＝________．
是
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7．【2021·遂宁】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3 cm2，则四边形BDEC的面积为( )
A．12 cm2
B．9 cm2
C．6 cm2
D．3 cm2
B
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8．【2022·娄底】如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点(与B，C不重合)，将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′.给出下列结论：
①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；
③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．
其中正确的结论有__________(填序号)．
【答案】①②③
【点拨】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，
∴△ACD≌△ABD′(SAS)，故①正确．∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，
∴△ACB∽△ADD′，故②正确．
易知当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值，而AB＝AC，∴此时BD＝CD.
∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确．
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9．【中考·杭州】如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F.设 ＝λ(λ＞0)．
(1)若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
解：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F.
又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG.
∴∠EAG＝∠F.∴EA＝EF.
∵BC＝AB＝2， ＝1，∴BE＝EC＝1.
∵AB＝2，∠B＝90°，∴AE＝
∴EF＝ .∴CF＝EF－EC＝ －1.
(2)连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点；
证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG.
又∵∠DAG＝∠F，∠AGD＝∠FGC，
∴△ADG≌△FCG(ASA)．
∴DG＝CG，即点G为CD边的中点．
②求λ的值．
解：设CD＝2a，则CG＝a.
∵△ADG≌△FCG，∴CF＝DA＝CD＝2a.
∵EG⊥AF，∠GCE＝90°，
∴∠EGC＋∠CGF＝90°，∠F＋∠CGF＝90°，
∠ECG＝∠GCF＝90°.
∴∠EGC＝∠F.
∴△EGC∽△GFC.
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10．【2022·张家界】如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是 的中点，延长AD交BC的延长线于点E.
(1)求证：CE＝CD；
证明：如图，连接AC.
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACE＝90°.
∵点C是 的中点，
∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB.
又∵AC＝AC，∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴△ACE≌△ACB(ASA)．
∴CE＝CB.∴CE＝CD.
(2)若AB＝3，BC＝ ，求AD的长．
解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3，∴AE＝AB＝3.
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABE.
又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA.
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11．【教材P43习题T9变式】【2021·吉林】如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.
2.7
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12．【2022·盐城】“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，步骤如下：
第一步：水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10(人的手臂长度与眼距的比值一般为10)，得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则
汽车到观测点的距离约为( )
A．40米 B．60米
C．80米 D．100米
【点思路】观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍．
因为汽车的长度大约为4米，所以横向距离大约是8米．
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，所以汽车到观测点的距离约为80米．
【答案】 C
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13．【2021·绥化】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个
顶点均在格点上，连接对角线OB.
(1)在平面直角坐标系内，以原点O为位似
中心，把△OAB缩小，作出它的位似
图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于 ；
【点技巧】画位似图形的技巧：
1.对应点可以在位似中心的同侧，也可以在位似中心的异侧，所以一个图形按照给定的相似比可以画出它的两个位似图形；
2.在网格中画位似图形时，可采用数格的方法确定关键点的位置；
3.在坐标系内画位似图形时，可计算对应点的坐标确定关键点的位置．
解：如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．
(2)将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．
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14．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
[发现]如图①，点D在BC边上，CD：BD＝1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则 的值为________．
【点拨】∵AF∥BC，∴∠F＝∠EBC.
∵BE是AC边上的中线，∴AE＝EC，
又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△CEB(AAS)．
∴AF＝BC.设CD＝x，则DB＝2x，∴AF＝BC＝3x.
由AF∥BC可得△APF∽△DPB，
[解决问题]如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，AC边上的中线BE的延长线交AD于点P，DC：BC＝1：2.
(1)求 的值；
解：如图，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F.
设DC＝k，由DC:BC＝1:2，得BC＝2k，∴DB＝DC＋BC＝3k.∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE.∵AF∥DB，
∴∠F＝∠1.在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(AAS)．
∴EF＝BE，AF＝BC＝2k.
∵AF∥CB，∴△AFP∽△DBP.
(2)若CD＝2，AC＝6，则BP＝________．
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