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第二十七章 相似
1.相似三角形判定的七种常见应用
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B
1．【2021·恩施州】如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
证明：∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC.
又∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE＋∠ACE＝ ×(∠OCE＋∠OEC＋∠AOC)＝ ×180°＝90°.
∴OC⊥AB.
又∵OC为⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线．
(2)若AO＝20，BO＝15，求CE的长．
解：如图，作EH⊥AC于点H.
∵AO＝20，BO＝15，
∴OC＝12.∴OE＝12.∴AE＝OA－OE＝20－12＝8.
∵EH⊥AC，OC⊥AC，∴EH∥OC.∴△AEH∽△AOC.
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2．【教材P42习题T3(1)变式】如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(2，－1)，P(2，2)．
(1)△ADP与△ABC相似吗？说明理由．
【点方法】利用三边成比例判定两个三角形相似的方法：先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大三组对应边的比；最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似．若三边的对应关系不明确时，则需分类讨论．
(2)在图中标出点D关于y轴的对称点D′，连接AD′，
CD′，判断△ACD′的形状，并说明理由．
解：如图，△ACD′是等腰直角三角形．
理由：由(1)知AC＝ ，易知AD′＝ ，D′C＝2 ，
∴AD′＝AC，AD′2＋AC2＝ ＝20＝D′C2.
∴△ACD′是等腰直角三角形．
(3)求∠OCA＋∠OCD的度数．
解：∵点D与点D′关于y轴对称，
∴∠OCD＝∠OCD′.
∴∠OCA＋∠OCD＝∠OCA＋∠OCD′＝∠ACD′＝45°.
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3．如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F.
(1)若AD2＝DF·DB，求证：AD＝BF.
证明：∵AD2＝DF·DB，∴
∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA.
∴∠ABD＝∠FAD.
∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACD＝60°.∴∠ACD＝∠BAF.
∴△ADC≌△BFA(ASA)．∴AD＝BF.
(2)过D作DG⊥CE，垂足为G，若∠BAD＝90°，BE＝6，求：① 的值；② DF的长．
解：①∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°.
∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝90°.∴DC＝ AC.∴CE＝ BC.
∵BE＝6，∴CE＝2，BC＝4.∴CD＝2.
∵CD＝DE，DG⊥CE，∴CG＝EG＝ CE＝1.
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②在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝ ，BG＝5，
∵∠ABC＝∠DCE＝60°，∴CD∥AB.∴△CDF∽△ABF.
4．【2022·广元】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连接DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
【点方法】相似三角形与圆的综合题，证明相似时，通常是利用圆的性质(如圆内接四边形对角互补、直径所对的圆周角是90°、圆的半径相等、切线的性质等)寻找两个角对应相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”来证明．
证明：如图，连接OD，CD.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∴∠CDB＝180°－∠ADC＝90°.
∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝ BC.∴∠DCE＝∠CDE.
∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∴∠ODE＝90°.
又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD＋BD＝4＋9＝13.
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACB∽△ADC.
∴AC2＝AD·AB＝4×13＝52.
∴AC＝2 .
∴⊙O的半径为 .
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5．【2022·乐山】如图，等腰三角形ABC的面积为2 ，AB＝AC，BC＝2，作AE∥BC且AE＝ BC，点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为( )
A. B．3
C．2 D．4
【点拨】如图，过点A作AH⊥BC于点H.
当点P′与A重合时，点F′与C重合，点M的对应点为M′；当点P″与B重合时，点F的对应点为F″，点M的对应点为M″.连接M′M″，则点M的运动轨迹是线段M′M″，M′M″＝ CF″.
易知EC⊥BF″，AH＝EC.
∵BC＝2，S△ABC＝2 ，
∴ ×2×AH＝2 .
∴AH＝EC＝2 .
【答案】B
∵∠BEF″＝∠ECB＝∠ECF″＝90°，
∴∠BEC＋∠CEF″＝90°，∠CEF″＋∠F″＝90°.
∴∠BEC＝∠F″.
∴△ECB∽△F″CE.
∴M′M″＝3，即点M的运动路径长为3.
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6．【2021·乐山】如图，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数y＝ (k≠0)的图象于P，Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4.
(1)求k的值；
解：∵AB＝2BP，且△AOB的面积为4，
∴△POB的面积为2.
如图，作PM⊥y轴于点M，∴PM∥OA.
∴△PBM∽△ABO.
∴S△POM＝1＋2＝3.
∵S△POM＝ |k|，∴|k|＝6.由题意知k<0，∴k＝－6.
(2)当点P的横坐标为－1时，求△POQ的面积．
解：∵点P的横坐标为－1，∴PM＝1.∵△PBM∽△ABO，
得OA＝2.∴A(2，0)．
把x＝－1代入y＝－ ，得y＝6，∴P(－1，6)．
设直线AB的解析式为y＝mx＋n，把P，A的坐标代入，
∴直线AB的解析式为y＝－2x＋4.
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7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为H.点D在边BC上，连接AD，交CH于点E，且CE＝CD.
(1)求证：△ACE∽△ABD；
证明：∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴∠ACB＝∠AHC＝90°.
∴∠ACH＋∠BCH＝∠BCH＋∠CBH＝90°.
∴∠ACH＝∠CBH.
∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE.
∴180°－∠CED＝180°－∠CDE，
即∠AEC＝∠ADB.∴△ACE∽△ABD.
(2)求证：△ACD的面积的平方等于△ACE的面积与△ABD的面积的积．
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解 ：如图，过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，则∠CAD＝∠G.∵△ACE∽△ABD，∴ ，∠CAD＝∠BAD.∴∠BAD＝∠G.∴AB＝BG.∵BG∥AC，∴△ADC∽△GDB.
∴△ACD的面积的平方等于△ACE
的面积与△ABD的面积的积．(共22张PPT)
第二十七章 相似
1.证比例式或等积式的七种常用技巧
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1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.
求证：AE·CF＝BF·EC.
【点要点】作平行线构造相似三角形是最常用的方法，关键是找准点和对边．
证明：如图，过点C作CM∥AB，交DF于点M，
∴△CMF∽△BDF.
∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.
∵D为AB的中点，∴BD＝AD.
即AE·CF＝BF·EC.
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2．如图，在 ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E.
∴△FCD∽△DAE.
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3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于点D，交AB于点E.
求证：AM2＝MD·ME.
【点方法】三点定型法是证明线段等积式
或比例式时找相似三角形的最常用且最有效的方法，它就是设法找出比例式或等积式中(或转化后的式子中)所蕴含的几个字母，是否存在可由“三点”确定的两个相似的三角形．
证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.
∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.
∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA，∴△AME∽△DMA.
∴ ，即AM2＝MD·ME.
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4．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.
证明：如图，连接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分线，
∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.
∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.
又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7.
∴△BPM∽△CNP.∴
即BP·CP＝BM·CN.
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5．如图，P是 ABCD的边BC延长线上一点，
AP分别交BD和CD于点M和N.
求证：AM2＝MN·MP.
【点方法】先利用平行线判定三角形相似，再由相似三角形对应边的比相等，可求某些线段的长或证明比例式或证明等积式．当直接利用相似三角形对应边的比相等或平行线截得的对应线段成比例无法解决时，可找中间比进行过渡，而找“中间比”是证比例关系常用的方法.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DN，AD∥BP.∵AB∥DN，∴△AMB∽△NMD.
∵AD∥BP，∴△BMP∽△DMA.
∴ ，即AM2＝MN·MP.
6．【2022·上海】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：
(1)∠CAE＝∠BAF；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵CF＝BE，∴CF－EF＝BE－EF，即CE＝BF.
在△ACE和△ABF中，
∴△ACE≌△ABF(SAS)．∴∠CAE＝∠BAF.
(2)CF·FQ＝AF·BQ.
证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF.
又∵AE2＝AQ·AB, AC＝AB，∴
又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ACE∽△AFQ.
∴∠AEC＝∠AQF.∴∠AEF＝∠BQF.
∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE.∴∠BQF＝∠AFE.
又∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ.
∴ ，即CF·FQ＝AF·BQ.
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7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.
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证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB
＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.
∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴
即AE·BE＝PE·DE.∵∠CEA＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.
又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.
∴∠ACE＝∠CBE.∵∠CEA＝∠BEC＝90°，∴△AEC∽△CEB.∴ ，
即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：
证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AED＝90°.
又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ABD∽△ADE.
∴ ，即AD2＝AE·AB.
同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.
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9．【中考·怀化】如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°.
(1)求证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OC，如图所示．
∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°.
∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°.
∴∠COD＝∠CAD＋∠ACO＝30°＋30°＝60°.
∴∠OCD＝180°－∠D－∠COD＝
180°－30°－60°＝90°，
即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)分别过A，B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E，F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G.求证：CG2＝AE·BF.
∵∠COB＝60°，且OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形．∴∠CBG＝60°.
∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°.
∴∠GCB＝90°－∠CBG＝30°.
又∵∠GCD＝90°－∠D＝60°，∴CB是∠GCD的平分线．
∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG.
又∵BC＝BC，∴Rt△BCF≌Rt△BCG(HL)．∴CF＝CG.
∵∠D＝30°，AE⊥ED，∴∠EAD＝60°.
又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的平分线．
∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG.
∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，
∴△AEC∽△CFB.∴ ，即CF·CE＝AE·BF.
又∵CE＝CG，CF＝CG，∴CG2＝AE·BF.
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第二十七章 相似
2.利用相似三角形巧证线段的数量和
位置关系
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1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.
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2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于点E.
求证：AC＝2CE.
证明：如图，延长CE，交AM的延长线于点F.∵AB∥CF，
∴∠BAM＝∠F，△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM.
又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.
∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM.
∴∠CAM＝∠F.∴AC＝CF.∴AC＝2CE.
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3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN.
(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？并说明理由．
解： MN∥AC∥ED.理由如下：
由EF∥BC，得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，
∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．
又∵DF∥AB，∴D为BC的中点．∴BD＝CD.∴EM＝MF.
∵F为AC的中点，FN∥AE，∴N为EC的中点．∴MN∥AC.
又∵D为BC的中点，E为AB的中点，
∴ED∥AC.∴MN∥AC∥ED.
(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．
解：MN∥AC.理由如下：
由EF∥BC，得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，
又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.
∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.
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4．如图，已知矩形ABCD，AD＝ AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G.求证：EG⊥DF.
证明：∵AD＝ AB，点E，F把AB三等分，
∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k(k>0)，则AF＝2k，AB＝CD＝3k.
∵CD∥AB，∴△AFG∽△CDG.
设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.
在Rt△AFD中，DF＝
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又∵∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.
∴∠EGF＝∠DAF＝90°，即EG⊥DF.(共11张PPT)
第二十七章 相似
2.用线段成比例法解几何问题的三种
常见类型
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1．请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 .下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
问题：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
解：∵CE∥AD，
∴ ，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E.
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∴∠ACE＝∠E.
∴AE＝AC.
(2)填空：如图③，已知在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________．
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2．如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接DP，并延长交AB的延长线于点Q.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，BC∥AD.∴BQ∥CD，BP∥AD.
(2)若点P为BC边上任意一点，求证：
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【点思路】(2)由平行得到比例式，利用合比性质进行证明．
3．【2022·新疆】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E.
(1)求证：∠ABC＝∠CAD；
【点要点】圆中存在很多相等的角，
为利用“两角相等得相似”创造条件．
证明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC.
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD.
(2)求证：BE⊥CE；
证明：连接OC，如图所示．
∵CE与⊙O相切于C，∴∠OCE＝90°.
∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠CAD＋∠DBC＝180°.
∵∠DBC＋∠CBE＝180°，∴∠CAD＝∠CBE.
∵∠ABC＝∠CAD，∴∠CBE＝∠ABC.∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC.∴∠OCB＝∠CBE.∴OC∥BE.
∴∠E＝180°－∠OCE＝90°.∴BE⊥CE.
(3)若AC＝4，BC＝3，求DB的长．
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第二十七章 相似
3.成比例线段的证明和计算的五种常用作辅助线的方法
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1．如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上的一点，BE＝AD，DE交AB于点F.
求证：EF·BC＝AC·DF.
【点方法】此题运用了转化思想，通过作平行线的方法，构造相似三角形，从而将两条线段的比转换为另外两条线段的比．
证明：如图，过点D作DG∥BC交AB于点G，
则△DFG∽△EFB.
由DG∥BC得△ADG∽△ACB，
∴EF·BC＝AC·DF.
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2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是AB上一点，Q是PC上一点(不是中点)，MN过点Q且MN⊥CP，分别交AC，BC于点M，N.求证：PA:PB＝CM:CN.
证明：如图，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥CB于点F，则四边形CEPF为矩形．
∴PF∥EC，PF＝EC.∴∠A＝∠FPB.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝∠FPB＝45°.
∴Rt△AEP∽Rt△PFB.
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∵MN⊥CP于点Q，∴∠QCN＋∠QNC＝90°.
又∵∠QCN＋∠QCM＝90°，∴∠QCM＝∠QNC.
∴Rt△PEC∽Rt△MCN.
3．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，FG⊥AB于点G.求证：FG2＝CF·BF.
【点方法】通过作延长线构造相似三角形，再由相似三角形的性质和等量代换得到几个比例式或等积式，从而得到结论．
证明：如图，延长GF与AC，交于点H.
∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG.
∴△AED∽△AFG，△AEC∽△AFH.
又∵ED＝EC，∴FG＝FH.
易证Rt△CFH∽Rt△GFB，∴
∴FG·FH＝CF·BF.
∵FG＝FH，∴FG2＝CF·BF.
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4．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于点E，点D在AC边上．若BD＝DC＝EC＝1，则AC的长为________．
【点拨】如图，取BC的中点M，连接AM.
∵AB⊥AC，∴AM＝CM.∴∠MAC＝∠C.
又∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠C.∴∠CAM＝∠C＝∠DBC.
∴△MAC∽△DBC.∴
又∵DC＝1，MC＝ BC，∴AC＝
易知Rt△AEC∽Rt△BAC，∴
又∵EC＝1，∴AC2＝CE·BC＝BC.②
由①②得AC＝ AC4，∴AC＝ .
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5．【2022·陕西】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7.若M，N分别是边AD，BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E，F，则ME＋NF的值为_____________．
【点拨】如图，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD为菱形，
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第二十七章 相似
巧用位似解三角形中的内接
多边形问题
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1．如图，用下面的方法可以画△AOB的
内接等边三角形，阅读后证明相应问题．
(1)在△AOB内画等边三角形CDE，使点
C在OA上，点D在OB上；
(2)连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，
交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；
(3)连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
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证明：∵EC∥E′C′，∴△OCE∽△OC′E′.
∴ ，∠CEO＝∠C′E′O.
∵ED∥E′D′，∴△ODE∽△OD′E′.
∴ ，∠DEO＝∠D′E′O.∴
又∵∠CED＝∠CEO＋∠DEO，
∠C′E′D′＝∠C′E′O＋∠D′E′O，
∴∠CED＝∠C′E′D′.∴△CDE∽△C′D′E′.
∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．
2．【2021·扬州】如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D，E在AB上，点F，G分别在BC，AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为________．
【点思路】设EF＝x，根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得AB＝ ；证明△ADG≌△BEF，得到AD＝BE＝ x.在Rt△BEF中，利用勾股定理求出x的值即可．
【答案】
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3．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10 .
四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是________．
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4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：
证明：∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.
同理可得△AEP∽△ACQ，
(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图③，求证：MN2＝DM·EN.
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