(共25张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
C
见习题
见习题
见习题
A
见习题
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
见习题
见习题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的________与________的比叫做∠A的正弦，记作________，即sin A＝ ＝________.
对边
返回
斜边
sin A
对边
2．【教材P69习题T6改编】【中考·乐山】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论
的是( )
C
返回
3．【教材P63例1改编】【2022·滨州】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为________．
返回
4．【教材P64练习T1改编】【2022·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3.求AC的长和sin A的值．
返回
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sin A＝________，a＝________，c＝__________，b2＝__________．
c·sin A
返回
c2－a2
6．【2022·连云港】如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是
小正方形边的中点，则sin A＝________.
返回
7．【2022·黔东南州】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为( )
A
【点思路】连接OA，OB，易证△OAP≌△OBP，得∠AOP＝∠BOP，从而由圆周角定理得∠AOB＝∠AOP.在Rt△OAP中，根据正弦的定义即可求得sin∠AOP的值，问题得解．
返回
8．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径是4，AB＝8.
(1)求OB的长；
解：(1)由题意可知OC＝2.
∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.
∵OA＝OB，∴AC＝BC＝4.
在Rt△OBC中，由勾股定理得
8．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径是4，AB＝8.
(2)求sin A的值．
返回
9．【中考·潍坊】如图，点M是正方形ABCD的边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.
(1)求证：AE＝BF；
证明：∵∠BAF＋∠DAE＝90°，∠ADE＋∠DAE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE.
在△DEA和△AFB中，
∴△DEA≌△AFB(AAS)．∴AE＝BF.
(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
返回
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝nx＋2(n≠0)的图象与反比例函数y＝ (m≠0)在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段OA＝5，C为x轴正半轴上一点，且sin∠AOC＝ ，分别求一次函数和反比例函数的解析式．
返回
11．【2022·宜宾】如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
证明：连接OC，如图所示．∵EF⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴∠GFA＝90°，∠ACB＝90°.∴∠A＋∠AGF＝90°，∠A＋∠ABC＝90°.∴∠AGF＝∠ABC.∵EG＝EC，OC＝OB，∴∠EGC＝∠ECG，∠ABC＝∠BCO.
又∵∠ABC＝∠AGF＝∠EGC，∴∠ECG＝∠BCO.
∵∠BCO＋∠ACO＝90°，∴∠ECG＋∠ACO＝90°.
∴∠ECO＝90°，即OC⊥DE.
又∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)若点F是OA的中点，BD＝4，sin D＝ ，求EC的长．
【点方法】在圆中利用锐角三角函数求线段长的方法：
1.若已知的锐角和要求的线段在同一个直角三角形中，则直接运用三角函数求；
2.若不在同一个直角三角形中，则可利用圆中相等的角进行转化.
返回
12．【2021·菏泽】如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为 上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP.
(1)求证：FE是⊙O的切线；
证明：如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO.
∵CD⊥AB，∴∠AHP＝90°.
∵FE＝FP，∴∠FPE＝∠FEP.
又∵∠APH＝∠FPE，
∴∠A＋∠APH＝∠A＋∠FPE＝90°.
∴∠FEP＋∠AEO＝90°＝∠FEO.∴OE⊥EF.
又∵OE是⊙O的半径，∴FE是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为8，sin F＝ ，求BG的长．
解：∵∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G＋∠EOG＝∠G＋∠F＝90°.∴∠F＝∠EOG.
∴sin F＝sin∠EOG＝
设EG＝3x，OG＝5x，
∵OE＝8，∴x＝2.∴OG＝10.
∴BG＝OG－OB＝OG－OE＝10－8＝2.
【点思路】(1)连接OE，用“连半径，证垂直”的方法证明即可；(2)用“同角的余角相等”进行角的转换，即将∠F的正弦转化为∠EOG的正弦，利用勾股定理求解．
返回(共27张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦、正切
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
C
见习题
见习题
A
C
见习题
8
C
9
C
10
11
见习题
12
见习题
见习题
见习题
13
见习题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与________的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝________．
斜边
返回
2．【2022·贵港】如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是( )
C
返回
【点方法】在网格中求某一锐角的三角函数值时，先要借助网格的特点，利用勾股定理求出三角形的各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形．若是，则利用锐角三角函数的定义求出三角函数值；若不是，则构造直角三角形，将问题转化到直角三角形中求解.
3．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，且E为BC的中点，
则cos∠BFE的值是________．
【点拨】连接AC.∵E为BC的中点，AE⊥BC，∴AB＝AC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.
∵BD是菱形ABCD的一条对角线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.
∴在Rt△BEF中，BF＝2EF.∴cos∠BFE＝
返回
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．
解：∵MN⊥AB，∴∠ANM＝∠C＝90°.
又∵∠A＝∠A，∴∠B＝∠AMN.
在Rt△AMN中，AN＝3，AM＝4，
返回
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与________的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝________．
邻边
返回
6．【教材P65练习T2改编】在Rt△ABC中，如果把各边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的各个三角函数值( )
A．不变
B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的
D．不能确定
A
返回
【点要点】锐角的三角函数值与角所在三角形的边长无关，只与角本身的大小有关．
7．如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴正半轴所夹的角为α，tan α＝ ，则t的值是( )
A．1
B．1.5
C．2
D．3
C
返回
8．【2022·陕西】如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为( )
C
返回
9．【2022·荆州】如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC＝1:2，连接AC，过点O作OP∥AB
交AC的延长线于P.若P(1，1)，
则tan∠OAP的值是( )
C
【点拨】如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q.
∵OP∥AB，∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP.
∴△OCP∽△BCA.∴CP:AC＝OC:BC＝1:2.
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ.
∴OQ:AO＝CP:AC＝1:2.∵P(1，1)，
∴PQ＝OQ＝1.∴AO＝2.
返回
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝ ，
BC＝2，过点B作BD⊥AC，垂足为D.
(1)求cos∠ACB的值；
(2)点E是BD延长线上一点，连接CE，当∠E＝∠BAC时，求线段CE的长．
返回
11．【2022·毕节】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切
于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：BF＝BD；
证明：如图，连接OE.
∵⊙O与AC相切于点E，∴OE⊥AC.
∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∴OE∥BC.
∴∠OED＝∠F.∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED.
∴∠BDE＝∠F.∴BF＝BD.
(2)若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．
解：如图，连接BE.∵∠BDE＝∠F，
∴tan∠BDE＝tan F＝2.又∵CF＝1，tan F＝
∴CE＝2.∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°.
∴∠BEF＝90°.∴∠BEC＋∠CEF＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠CBE＋∠BEC＝90°.
∴∠CEF＝∠CBE.
又∵∠ECF＝∠BCE＝90°，
∴△ECF∽△BCE.∴
∴EC2＝BC·CF.∴BC＝
∴BF＝BC＋CF＝5.
∴BD＝BF＝5，即⊙O的直径为5.
返回
12．如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上且横坐标为3，连接BC，CD，BD.
(1)求tan∠DBC的值．
解：(1)令y＝0，则－x2＋3x＋4＝－(x＋1)(x－4)＝0，
解得x1＝－1，x2＝4.∴A(－1，0)，B(4，0)．
当x＝3时，y＝－32＋3×3＋4＝4，∴D(3，4)．
当x＝0时，y＝－02＋3×0＋4＝4，∴C(0，4)．
∴CD∥AB.易知∠BCD＝∠ABC＝45°.
在Rt△OBC中，∵OC＝OB＝4，∴BC＝4
(2)P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．
返回
13．【2022·荆门】如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上(点C与A，B两点不重合)，OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠BDE＋∠ADC＝90°.
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.
∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC.
∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE.∴∠E＋∠ECB＝90°.
∴∠EBC＝180°－(∠E＋∠ECB) ＝90°.
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．
(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
解：设⊙O的半径为r.∵OC＝3，
∴AD＝AC＝AO＋OC＝3＋r.∵BE＝6，BE＝BD，
∴BD＝6.在Rt△ABD中，BD2＋AD2＝AB2，
∴36＋(r＋3)2＝(2r)2.∴r1＝5，r2＝－3(舍去)．
∴BC＝OB－OC＝5－3＝2.在Rt△EBC中，
【点方法】本题中∠CDA不在直角三角形中，不能直接求其余弦值，因此可以利用等角代换的方法，将求cos∠CDA转化为求cos∠ECB.
返回(共24张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
－1
见习题
A
C
见习题
8
A
9
见习题
10
11
B
12
见习题
见习题
A
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．特殊角的三角函数值：
sin 30°＝______，sin 45°＝______，sin 60°＝______；
cos 30°＝______，cos 45°＝______，cos 60°＝______；
tan 30°＝_____，tan 45°＝_____，tan 60°＝______．
返回
1
B
返回
－1
返回
4．【2022·绥化】定义一种运算：
sin(α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin(α－β) ＝sin αcos β－cos αsin β.
例如：当α＝45°，β＝30°时，
则sin 15°的值为____________．
【点技巧】把15°看成45°与30°的差，再代入公式计算即可．
返回
5．含30°角的直角三角形的三边之比为________，等腰直角三角形的三边之比为____________．已知特殊三角函数值求角，即可看这个比值(数)想到三角形哪两边的比(形)，从而确定它所对应的角．
返回
6．已知∠α为锐角，且sin α＝ ，则∠α＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
A
返回
7．若△ABC中，sin A＝cos B＝ ，则下列最确切的结论是( )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
C
返回
8．【教材P67练习T2改编】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ，则∠B的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
返回
9．在△ABC中，∠C＝90°，则：
(1)sin2A＋cos2A＝________；
(2)tan A＝________；
(3)sin A＝________．
1
返回
cos B
10．【教材P70习题T10变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
B．sin2 A＋cos2 A＝1
C．sin2 A＋sin2 B＝1
D．tan A·tan B＝1
A
返回
B
返回
原式＝3－2×1＋1－1＝3－2＋1－1＝1.
【点方法】实数的运算通常会结合一些特殊角的三角函数值、整数指数幂(包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂)、二次根式、绝对值等来考查．运算时应先“各个击破”，准确记忆特殊角的三角函数值及相关运算的法则，如a－p＝
(a≠0)，a0＝1(a≠0)．
返回
13．【教材P70习题T9拓展】(1)比较大小：
sin 30°____sin 45°；sin 45°____sin 60°；
cos 30°____cos 45°；cos 45°____cos 60°.
(2)如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的
变化规律．
＜
＜
＞
＞
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC.
综上可知，随着锐角度数的增大，它的正弦值增大，它的余弦值减小．
(3)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°这些角的正弦值的大小和余弦值的大小 .
(4)比较大小(在横线上填写“＞”“＝”或“＜”)：
若α＝45°，则sin α________cos α；
若α＜45°，则sin α________cos α；
若α＞45°，则sin α________cos α.
sin 88°＞sin 65°＞sin 52°＞sin 34°＞sin 18°；
cos 88°＜cos 65°＜cos 52°＜cos 34°＜cos 18°.
＝
＜
＞
(5)比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
∵cos 30°＝sin 60°，cos 70°＝sin 20°，
且sin 60°＞sin 50°＞sin 20°＞sin 10°，
∴cos 30°＞sin 50°＞cos 70°＞sin 10°.
返回
14．【2022·郴州】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，
垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.
(1)求证：直线PE是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∴∠ACB＝∠ODB.
∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即PE⊥OD.
∵OD是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．
解：如图，连接AD.∵DE⊥AC，∴∠AEP＝90°.
∵∠P＝30°，∴∠PAE＝60°.又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．∴BC＝AB，∠C＝60°.
∵⊙O的半径为6，∴BC＝AB＝12.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
又∵AB＝AC，∴BD＝CD＝ BC＝6.
在Rt△CDE中，CE＝CD·cos C＝6×cos 60°＝3.
返回
15．【2022·绥化】如图，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30 m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10 m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度(结果保留小数点后一位)(参考数据：
≈1. 732，sin 48°≈0. 743，
cos 48°≈0.669，tan 48°≈1.111)．
解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30 m，
∴CD＝AC·tan 30°＝30×
∵AC＝30 m，AB＝10 m，∴BC＝AC－AB＝20 m.
在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，
∴EC＝BC·tan 48°≈20×1.111＝22.22(m)．
∴ED＝EC－DC≈22.22－10 ≈4.9(m)．
答：广告牌ED的高度约为4.9 m.
返回(共10张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第4课时 求锐角三角函数值
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
D
见习题
D
见习题
见习题
见习题
A
1．利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为先按__________键或__________键或__________键，再按角度值，最后按 键就可求出相应的三角函数值．
返回
D
返回
三角函数值
返回
4．【中考·淄博】已知sin A＝0.981 6，运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)，按下的第一个键是( )
D
返回
5．已知∠α为锐角，且tan α＝3.387，则下列各值中与∠α最接近的是( )
A．73°33′
B．73°27′
C．16°27′
D．16°21′
A
返回
6．【教材P69习题T5改编】根据下列锐角三角函数值，用计算器求锐角的度数(精确到0.01°)：
(1)sin A＝0.675，求∠A的度数；
(2)cos B＝0.078 9，求∠B的度数；
(3)tan C＝35.6，求∠C的度数．
解：(1)∵sin A＝0.675，∴∠A≈42.45°.
返回
∵cos B＝0.078 9，
∴∠B≈85.47°.
∵tan C＝35.6，∴∠C＝88.39°.
7．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF的长)．
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF的大小；
7．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF的长)．
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是
锐角，且α>β，请判断PE，PF的大小．
返回(共12张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第5课时 同角或互余两角的三角
函数关系的应用
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
见习题
C
见习题
见习题
见习题
见习题
返回
2．若α为锐角，sin α－cos α＝ ，求sin α＋cos α的值．
返回
3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( )
A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)
B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1
C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1
D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1
C
【点拨】∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，
∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)．
∴sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝cos2(45°＋α)＋sin2(45°＋α)＝1.
返回
4．求tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．
解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.
返回
【点要点】互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.
5．已知sin α·cos α＝ (α为锐角)，求一个关于x且二次项系数为1的一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.
返回
【点要点】此题用到两方面的知识：
1．公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；
2．若x1＋x2＝p，x1x2＝q(p2－4q≥0)，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0.
6．已知α为锐角且sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求
的值．
返回(共23张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
6；45°；
45°
D
A
C
见习题
见习题
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
2
见习题
1．解直角三角形的依据：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：
(1)三边之间的关系：______________；
(2)两锐角之间的关系：______________；
(3)边角之间的关系：
sin A＝______，sin B＝______，
cos A＝______，cos B＝______，
tan A＝______，tan B＝______．
a2＋b2＝c2
返回
∠A＋∠B＝90°
2．【教材P73例1变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°.若c＝6 ，a＝6，则b＝________，∠B＝________，∠A＝________．
6
返回
45°
45°
3．【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝( )
D
返回
4．【2022·广西】如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是( )
A．12sin α米 B．12cos α米
A
返回
2
返回
C
【点思路】作DE⊥AB于点E，由正切的定义得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的长，利用勾股定理得AB的长，从而得DE的长，问题便迎刃而解.
返回
7．【2022·凉山州】如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝ ，BD＝5，
则⊙O的半径为________．
返回
8．【教材P74练习变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形：
(1)已知∠A＝60°，b＝4；
8．【教材P74练习变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形：
8．【教材P74练习变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形：
【点方法】解直角三角形选择关系式常遵循的原则：
当已知或求解中有斜边时，优先考虑用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解时，优先考虑用乘法；在解题过程中，既可以用原始数据又可以用解题过程中得到的数据时，优先考虑用原始数据．
返回
9．【2022·广州】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6.
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；
解：(1)如图所示．
(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
返回
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝120°，AB＝AD，E是BC的中点，DE＝15，DC＝24，求四边形ABCD的周长．
解：如图，过点A作AF⊥BD于点F.
∵∠BAD＝120°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°.
∵∠ADC＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝120°－30°＝90°.
返回
11．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sin B＝ ，AC＝8，D为线段BC上一点，并且CD＝2.
(1)求BD的长；
11．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sin B＝ ，AC＝8，D为线段BC上一点，并且CD＝2.
(2)求cos∠DAC的值．
返回
12．【2022·乐山】如图，线段AC为⊙O的直径，点D，E在⊙O上， ，过点D作DF⊥AC，
垂足为点F，连接CE交DF于点G.
(1)求证：CG＝DG；
证明：(1)如图，连接AD.∵线段AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.∴∠ADF＋∠CDG＝90°.
∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠DAF＋∠ADF＝90°.
∴∠CDG＝∠DAF.∵
∴∠DAF＝∠DCG.∴∠CDG＝∠DCG.∴CG＝DG.
(2)已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝ ，延长AC至点B，使BC＝4，求证：BD是⊙O的切线．
又∵∠COH＝∠BOD，∴△COH∽△BOD.
∴∠BDO＝∠CHO＝90°.∴OD⊥BD.
又∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线．
【点方法】(2)中利用等比进行转换，得到新的比例式，为证明三角形相似创造条件．
返回(共33张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
第2课时 应用举例——一般应用
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
B
见习题
见习题
见习题
见习题
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
4.4 m
见习题
1．利用解直角三角形解实际应用的一般方法：
(1)建立数学模型，将________问题转化为________问题；
(2)根据问题中的已知条件，将数学问题转化为解____________问题；
(3)当有些图形不是直角三角形时，可采用“化斜为直”法，添加辅助线构造直角三角形．
实际
返回
数学
直角三角形
2．【教材P78习题T2变式】【2022·福建】如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)( )
A．9.90 cm B．11.22 cm
C．19.58 cm D．22.44 cm
B
返回
3．【2022·金华】一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6 m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为( )
A．(4＋3sin α)m B．(4＋3tan α)m
B
返回
4．【2022·桂林】如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走，已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40 m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是________m.
【点拨】如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于点E，以MN为直径作⊙F.
∵MN＝2OM＝40 m，点F是MN的中点，
∴OM＝MF＝FN＝20 m.∴OF＝40 m.
∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20 m，OE＝ m.
∴EF＝MF.又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E.
易得当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，
此时OP＝ m.
返回
5．【2022·泰安】如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8 m，则CP的长度约为________(结果精确到0.1 m)．
4.4 m
返回
【点拨】∵∠DPC＝30°，由题意可知AD∥CP，
∴∠ADB＝30°.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝0.8 m，
∴AB＝AD×tan∠ADB＝0.8× ≈0.46(m)．
又∵AF＝2 m，CF＝1 m，∴BC≈2.54 m.
在Rt△BCP中，∠BPC＝30°，BC≈2.54 m，
6．【2022·泰州】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验，如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少(结果精确
到0.1 m，参考数据：sin 34°≈0.56，
tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)
解：如图，连接MC，过点M作HM⊥NM.
由题意得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝
∠HMN＝90°，AB＝MC＝8 m，AB∥MC.
∴∠CMN＝180°－∠MNB＝180°－118°＝62°.
∴∠CMH＝∠HMN－∠CMN＝90°－62°＝28°.
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°.
在Rt△CMD中，CD＝CM·tan 56°≈8×1.48≈11.8(m)．
答：能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约是11.8 m.
【点方法】解直角三角形的实际应用问题的求解方法：
1.根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系．
2.若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解．
返回
7．【2022·成都】2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑(如图①)的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图②，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的
长度为10 cm，此时用眼
舒适度不太理想．
小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想，求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长(结果精确到1 cm；参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)．
解：∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°.
在Rt△ACO中，AC＝10 cm，∴AO＝2AC＝20 cm.
由题意得A′O＝AO＝20 cm.∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°.
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O·sin 72°≈20×0.95＝19(cm)，
答：此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为19 cm.
返回
8．【2022·舟山】小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图①，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图②.已知AD＝BE＝10 cm，CD＝CE＝5 cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.
(1)连接DE，求线段DE的长；
解：(1)如图，过点C作CF⊥DE于点F.
∵CD＝CE＝5 cm，∠DCE＝40°，
∴∠DCF＝ ∠DCE＝20°，DF＝EF.
∴DF＝CD·sin 20°≈5×0.34＝1.7(cm)．
∴DE＝2DF≈3.4 cm，
即线段DE的长约为3.4 cm.
(2)求点A，B之间的距离．
(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
如图，横截面是一个轴对称图形．延长CF交AD，BE的延长线于点G，连接AB.由题意易得DE∥AB，AG＝BG，∴∠A＝∠GDE，CG⊥AB.∵AD⊥CD，∴∠GDF＋∠FDC＝90°.又∵∠DCF＋∠FDC＝90°，∴∠GDF＝∠DCF＝20°.∴∠A＝20°，DG＝ ≈1.81(cm)．∴AG＝
AD＋DG≈10＋1.81＝11.81(cm)．∴易得AB＝2AG·cos 20°≈2×11.81×0.94≈22.2(cm)，即
点A，B之间的距离约为22.2 cm.
返回
9．【2022·湘潭】湘潭县石鼓油纸伞(如图①)因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图②所示的伞骨结构(其中 ≈0.618)：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20 cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°.请问最少需要准备多长的伞柄(结果
保留整数，参考数据： ≈1.732)
解：如图，过点B作BE⊥AH于点E.
∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC，∴∠BAE＝60°.
【点方法】此类问题的求解思路是作三角形的高，构造具有公共边的两个直角三角形，进而借助公共边解两个直角三角形．解决问题的关键是先解其中一个直角三角形，求出公共边的长，然后将公共边的长度作为已知条件解另一个直角三角形．
返回
10．【2022·宁波】每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图①，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20 m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2 m，当云梯顶端A
在建筑物EF所在直线上时，
底部B到EF的距离BD为9 m.
(1)若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
解：(1)在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9 m，
答：此时云梯AB的长约为15 m.
(2)如图②，若在建筑物底部E的正上方19 m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)
返回
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
理由：由题意得DE＝BC＝2 m.∵AE＝19 m，
∴AD＝AE－DE＝19－2＝17(m)．
又∵在Rt△ABD中，BD＝9 m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
11．【教材P84复习题T10改编】【2022·宜昌】知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°.如图，现有一架长4 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上(参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08, sin 66°≈0.91，cos 66°≈0.41，tan 66°≈2.25)．
(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
解：(1)∵当人安全使用梯子时，梯子与地面所成的角α
满足53°≤α≤72°，∴当α＝72°时，AO取最大值．
在Rt△AOB中，sin∠ABO＝ ，
∴AO＝AB·sin∠ABO＝4×sin 72°≈4×0.95＝3.8(m)．
答：梯子顶端A与地面距离的最大值约为3.8 m.
(2)当梯子底端B距离墙面1.64 m时，计算∠ABO等于多少度，并判断此时人是否能安全使用这架梯子．
在Rt△AOB中，
∴∠ABO≈66°.∵53°＜66°＜72°，
∴人能安全使用这架梯子．
返回
【点规律】sin α的值随锐角α的增大而增大．因为53°≤α≤72°，所以当α＝72°时，sin α的值最大．而sin α＝
AB的长为定值，因此当α＝72°时，AO取得最大值．
12．【2022·达州】某老年活动中心欲在一房前3 m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC，使正午时刻房前能有2 m宽的阴影处(AD)以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°.如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷BC的长度(结果精确到0.1 m；参考数据：sin 10°≈0.17，
cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18；sin 63.4°≈
0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00)．
解：如图，过点D作DF⊥CE于点F，易得四边形ADFE为矩形，∴AD＝EF＝2 m，AE＝DF.∵EC∥AD，
∠CDG＝63.4°，∴∠FCD＝∠CDG＝63.4°.
返回
【思路点拨】作OF⊥CE于点F，设CF＝x m，表示出BE，CE的长，根据tan∠BCE＝ 建立分式方程，求出BE的长，再利用正弦的定义求解．(共32张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
第3课时 应用举例——视角应用
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
D
见习题
16
见习题
见习题
见习题
8
见习题
9
见习题
①③④
1．在进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做________，如图中的________；当视线在水平线下方时叫做__________，如图中的________．
仰角
返回
α
俯角
β
2．【教材P81活动2改编】【2022·随州】如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝a，则建筑物AB的高度为( )
D
返回
9
3．【2022·金华】光伏发电场景的示意图如图①，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜(介绍见图②)，绕各中心点(A，A′)旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A′B′＝1 m，EB＝8 m，EB′＝8m，
在点A观测点F的仰角为45°.
(1)点F的高度EF为________m；
(2)设∠DAB＝α，∠D′A′B′＝β，则α与β的数量关系是
__________．
α－β＝7.5°
【点拨】(1)如图，连接A′A并延长交EF于点H，易知AA′⊥EF，则四边形HEB′A′、四边形HEBA均为矩形，
∴HE＝AB＝1 m，HA＝EB＝8 m，HA′＝EB′＝8 m.
∵在点A观测点F的仰角为45°，
∴∠HAF＝45°.
∴∠HFA＝45°.
∴HF＝HA＝8 m.
∴EF＝HF＋HE＝8＋1＝9(m)．
【点拨】（2）如图，作KA⊥DC于点A，RA′⊥D′C′于点A′，
则∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R.
∵HF＝8 m，HA′＝8 m，∴tan∠HFA′＝ .
∴∠HFA′＝60°.∴∠AFA′＝60°－45°＝15°.
∵太阳光线是平行光线，∴A′N∥AM.
∴∠NA′M＝∠AMA′.∵∠AMA′＝∠AFM＋∠FAM，
∴∠NA′M＝∠AFM＋∠FAM.∴2∠FA′R＝15°＋2∠FAK.
∴∠FA′R＝7.5°＋∠FAK.
∵AB∥EF，A′B′∥EF，∴∠BAF＝180°－45°＝135°，∠B′A′F＝180°－60°＝120°.
∴∠DAB＝∠BAF＋∠FAK－∠DAK＝135°＋∠FAK－90°＝45°＋∠FAK，∠D′A′B′＝120°＋∠FA′R－90°＝30°＋∠FA′R＝30°＋7.5°＋∠FAK＝37.5°＋∠FAK.
∴∠DAB－∠D′A′B′＝45°＋∠FAK－(37.5°＋∠FAK)＝7.5°，即α－β＝7.5°.
返回
4．【教材P84复习题T8改编】【2022·孝感】如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离，已知乙建筑物的高度CD为6 m，则甲建筑物的高度AB为________m(sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，结果保留整数)．
16
【点方法】求解有关仰角与俯角问题，关键是根据仰角、俯角的定义画出水平线，找准视角，建立数学模型后构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形．
返回
5．【教材P75例4变式】【2022·黔东南州】如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论：
①AB≈18.8米；
②CD≈8.4米；
③若直接从点A处砍伐，树干倒向
教学楼CD方向会对教学楼有影响；
④若第一次在距点A 8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害．
其中正确的是__________(参考数据：
①③④
【点拨】如图，作DE⊥AB，垂足为点E，则AE＝DC，DE＝AC＝12米．在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴AE＝DE·tan 30°＝12× ≈6.8(米)．
∴AD＝2AE≈13.6米，CD＝AE≈6.8(米)，
故②不正确．
在Rt△BED中，BE＝DE·tan 45°＝12(米)，
∴AB＝BE＋AE≈12＋6.8＝18.8(米)，
故①正确．
∵AD≈13.6米，AB≈18.8米，∴AB＞AD.
∴若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响，
故③正确．
∵18.8－8＝10.8(米)，10.8＜12，
∴若第一次在距点A 8米处的树干上砍伐，
不会对教学楼CD造成危害，故④正确．
返回
6．【2021·广元】如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15 米．
(1)求此时无人机的高度；
解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，
过点C作CF⊥DE于点F，
如图所示．
则四边形BCFE是矩形．
由题意得AB＝45米，
∠DAE＝75°，∠DCF＝45°.
(2)在(1)的条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线(假定点A，B，C，D都在同一平面内；参考数据：tan 75°＝2＋ ，tan 15°＝2－ ，计算结果保留根号)
返回
7．【教材P81活动2变式】【2022·河南】开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁(如图①)是园内最高的建筑，某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图②，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15 m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°，已知测角仪的高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度(结果精确到1 m；
参考数据：sin 34°≈0.56，
cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)．
解：如图，延长EF交DC于点H.由题意得∠DHF＝90°，EF＝AB＝15 m，CH＝BF＝AE＝1.5 m.设FH＝x m，∴EH＝EF＋FH＝(15＋x)m.在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴DH＝FH·tan 45°＝x m.在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，
∴tan 34°＝ ≈0.67，解得x≈30.5.
经检验，x≈30.5是原方程的根．
∴DC＝DH＋CH≈30.5＋1.5＝32(m)．
答：拂云阁DC的高度约为32 m.
返回
8．【2022·山西】随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离(如图)，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24 m到达点F，测得点E处的俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．
请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1 m；参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75， ≈1.73)．
解：如图，延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG＝60 m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°.
在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，
∵∠HFE是△OFE的一个外角，∴∠OEF＝∠HFE－∠FOE＝30°.∴∠FOE＝∠OEF.∴OF＝EF＝24 m.在Rt△EFH中，∠HFE＝60°，∴FH＝EF·cos 60°＝24× ＝12(m)．
∴AC＝GH＝OG＋OF＋FH≈21.8＋24＋12≈58(m)．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58 m.
【点方法】解直角三角形应用题时，通常会利用仰角、俯角来构造直角三角形，方法如下：
1．如果题中仰角和俯角在同一点上，就从这个点作垂线，构造直角三角形；
2．如果仰角和俯角分别在两个点上，那么过第三点引垂线构造直角三角形．
返回
9．【教材P81活动1拓展】【2022·自贡】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
(1)探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在
量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A，B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC＝∠GON.请说明这两个角相等的理由．
解：(1)∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，
∴∠POC＋∠CON＝∠GON＋∠CON＝90°.
∴∠POC＝∠GON.
(2)实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH( ≈1.73，结果精确到0.1米)．
(3)拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E，F(E，F，H在同一直线上)，分别测得点P的仰角为α，β，再测得E，F间的距离为m米，点O1，O2到地面的距离O1E，O2F均为1.5米，
求PH(用α，β，m表示)．
返回(共26张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
第4课时 应用举例——方位角、
坡角应用
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
87
见习题
见习题
A
见习题
见习题
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
A
见习题
1．方位角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角，方位角一般表示为__________偏__________．
北(或南)
返回
东(或西)
2．【教材P76例5变式】【2022·岳阳】喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为__________米(结果保留整数)．
87
返回
3．【教材P77练习T1改编】【2022·邵阳】如图，一艘轮船从点A处以30 km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1 h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40 km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．
解：安全．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
由题意可得∠CAD＝90°－60°＝30°，
∠CBD＝90°－45°＝45°，AB＝30×1＝30(km)．
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠BCD.∴BD＝CD.
设CD＝BD＝x km，
则AD＝(x＋30)km.
返回
4．坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的________(或坡比)，记作i，即i＝________.坡面与水平面的夹角称为________，记作α，则有i＝ ＝________．
坡度
返回
坡角
tan α
A
返回
6．【2022·十堰】如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC的长为m，则大树AB的高为( )
A．m(cos α－sin α) B．m(sin α－cos α)
C．m(cos α－tan α)
A
【点思路】过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于点D.根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出CD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，计算即可．
返回
7．【教材P84复习题T10(1)改编】【2022·台州】如图①，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图②，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3 m，求梯子
顶部离地竖直高度BC(结果精确到0.1 m)．
解：在Rt△ABC中，AB＝3 m，∠BAC＝75°，
sin∠BAC＝sin 75°＝ ≈0.97，∴BC≈2.9 m.
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9 m.
返回
8．【2022·重庆】如图，湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援，位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且
在C的正南方向900米处．
(1)求湖岸A与码头C的距离(结果精确到1米) .
解：(1)如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D.
根据题意可知∠NAC＝30°，∠NAB＝60°，BC＝900米，
BC∥AN，∴∠C＝∠NAC＝30°，∠CAB＝∠NAB－∠NAC＝30°，∠BAD＝90°－∠NAB＝30°.
∴∠C＝∠CAB.∴AB＝BC＝900米．
∵∠BAD＝30°，∴BD＝450米．
答：湖岸A与码头C的距离约为1 559米．
(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由(接送游客上下船的时间忽略不计)．
能．理由如下：
设快艇将该游客送上救援船的时间为x分钟．
根据题意，得150x＋(400x－900)≈1 559，
解得x≈4.5.∵4.5＜5，
∴快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
返回
9．【2022·重庆】如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道，经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°方向上，点D在点E的北偏东45°方向上．
(1)求步道DE的长度(精确到个位)．
解：(1)过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F，
如图所示．由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米．
∵点D在点E的北偏东45°方向上，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形．
答：步道DE的长度约为283米．
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请通过计算说明她走哪一条路较近．
返回
10．【2022·宜宾】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2 200周年之际的2018年，新建成的东楼成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处(如图)测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的
高度DE(结果精确到1米)．
解：由题意得tan∠BAF＝
AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°.
设BF＝7a米，AF＝24a米，∴(7a)2＋(24a)2＝252，解得a＝1.
∴AF＝24米，BF＝7米．∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°.∴AC＝DC.设DE＝x米，
则DC＝(x＋7)米，BE＝CF＝x＋7－24＝x－17(米)．
答：东楼的高度DE约为40米．
返回
11．【2022·鄂州】亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻，如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°.若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米(点E，G，
C，B在同一水平线上)．求：
(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；
(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)
如图，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，
则DG＝BH＝30米，DH＝BG.
设BC＝x米，则DH＝BG＝(x＋90)米．
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC·tan 45°＝x米．
∴AH＝AB－BH＝(x－30)米．
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，
返回(共21张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
全章热门考点整合专训
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
8
D
9
见习题
见习题
1．【教材P84复习题T1改编】【2022·西宁】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，则cos A＝____________.
返回
2．【2022·常州】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC.若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝________．
返回
【点思路】作DE⊥BC于点E，利用平行线的性质和角平分线的定义判定△BCD是等腰三角形，进而利用勾股定理求得DE和BD的长，最后根据正弦的定义求解即可．
3．【2022·齐齐哈尔】在△ABC中，AB＝3 ，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝__________________.
当△ABC为钝角三角形时，过点A作
AD⊥BC交BC的延长线于点D，
如图②所示．
返回
【点方法】解非直角三角形的方法：
运用“遇斜化直”的思想求解，先作三角形的高，构造直角三角形，然后利用已知条件分别解这两个直角三角形，即可得出要求的值．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝ ，D是BC边上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9.求BE，CE的长．
如图，过点C作CF⊥AB于点F，则CF∥DE.
返回
5．【教材P84复习题T3改编】计算：
(1)【2022·乐山】sin 30°＋ －2－1；
(2)tan 30°tan 60°＋cos230°－sin2 45°tan 45°.
返回
6．【2022·扬州】如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：(1)直线BC与⊙O相切．理由：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.
∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP.∵OC⊥OA，
∴∠A＋∠APO＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝90°.又∵OB为⊙O的半径，∴直线BC与⊙O相切．
∵CP＝CB，OB＝OA＝8，∴BC2＋82＝(BC＋4)2，
解得BC＝6.∴CB的长为6.
∵∠OBC＝90°，∴BC2＋OB2＝OC2.
返回
7．【2022·常德】第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图①)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成，如图②是其示意图．已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°.
求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)．
解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH－EM＋EN.根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40米．∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°.
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50米，
∴AH＝AF·sin∠AFH≈50×0.64＝32(米)．
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，
则FM＝(7－m)米，
∴EM＝MG·tan∠EGM＝mtan 36°(米)，
EM＝FM·tan∠EFM＝(7－m)tan 25°(米)．
∴mtan 36°＝(7－m)tan 25°，
解得m≈2.74.
∴EM≈2.0米．
∴AB＝AH－EM＋EN≈32－2.0＋40＝70(米)．
答：此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
返回
8．【2022·泸州】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝ ，若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，
则直线l的解析式为( )
A．y＝3x B．y＝－x＋
C．y＝－2x＋11 D．y＝－2x＋12
D
【点拨】连接OB，AC，交于点M；连接AE，BF，交于点N，则直线MN为符合条件的直线l，如图所示．∵四边形OABC是矩形，∴OM＝BM.∵点B的坐标为(10，4)，
∴M(5，2)，AB＝10，BC＝4.
∵四边形ABEF为菱形，
∴BE＝AB＝10.
如图，过点E作EG⊥AB于点G.
∴5k＝10，即k＝2.∴EG＝8，BG＝6.∴AG＝4.
∴E(4，12)．∵点B的坐标为(10，4)，AB∥x轴，
∴A(0，4)．易知点N为AE的中点，∴N(2，8)．
设直线l的解析式为y＝ax＋b，
∴直线l的解析式为y＝－2x＋12.
返回
9．【2022·青海】随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实，如图①是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．如图②是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD
的面积．
解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点F；过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.易得四边形AECF是矩形，
∴∠ECD＝90°，AF＝CE，FC＝AE.∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°－60°＝30°.
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8.
返回
