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第二十八章 锐角三角函数
1.“化斜为直”构造直角三角形的四种常用方法
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1．【中考·乐山】如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝ ，则AB边的长为________．
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2．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋ ，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．
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3．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
【点技巧】本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决.
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B
【点拨】过点D作DM⊥CB，交CB的延长线于点M，如图所示．∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM.
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5．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin ∠BCD＝ ，求tan A的值．
解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD.
又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED(AAS)．∴CD＝DE，AC＝BE.
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6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝
∠BAC，求tan ∠BPC的值．
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第二十八章 锐角三角函数
素养集训
1.求锐角三角函数值的七种常用方法
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1．【2022·仙桃】由4个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝( )
C
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2．【2022·扬州】在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为________．
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3．由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B ＝ ，
求AB的长”．这时小明翻看了标准答案，显示AB＝10.你能帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么吗？
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【点方法】本题利用化斜为直法，过点C作AB边上的高，利用三角函数的定义求解．
4．【2022·广元】如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为( )
B
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5．【2022·南充】如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝
∠BAC，连接OD交BC于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：连接OC，如图所示．∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠B＝90°.∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC.∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠OCB＋∠DCB＝90°.∴OC⊥CD.
∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若CE＝OA，sin∠BAC＝ ，求tan∠CEO的值．
【点方法】当出现两边的比或数量关系时，可引入参数，用这个参数表示三角形的三边，再用定义求解.
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6．【2021·绍兴】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝ ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则
的值为( )
D
【点拨】设DE交AC于点F，过点E作EH⊥CD于点H.
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD＝DB＝DC.∴∠B＝∠DAB.∵∠B＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE.∴AB∥DE.∴∠DFC＝∠BAC＝90°.∵DF∥AB，BD＝DC，∴AF＝FC.∴EA＝EC＝ED.
∴∠EDC＝∠ECD.∵EH⊥CD，∴CH＝DH.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B.∴∠ECD＝∠B.
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7．【2022·百色】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD.
(1)求证：MC是⊙O的切线；
证明：∵AD⊥MC，∴∠D＝90°.∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC.∵AC平分∠MAD，∴∠DAC＝∠OAC.
∴∠OCA＝∠DAC.∴OC∥DA.∴∠OCM＝∠D＝90°.
∵OC是⊙O的半径，∴MC是⊙O的切线．
(2)若AB＝BM＝4，求tan ∠MAC的值．
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B
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【点方法】类比题干中的解法，将30°角换成45°角，15°角换成22.5°角，进而利用正切的定义求解.
9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，CD＝6，试求cos∠APC的值．
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第二十八章 锐角三角函数
2.解直角三角形的五种常见类型
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1．【教材P73例1改编】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2 ，b＝6，解这个直角三角形．
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2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．
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3．【教材P73例2改编】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.求：
(1)AC的长；
(2)BC的长．
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4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°.求AD的长．
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5．【中考·宿迁】如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__________．
【点拨】如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为点C1；BC2⊥AM，交AN于点C2.在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°，
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6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝4 ，求AD的长．
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7．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝ ，求∠A的三角函数值．
解：如图，过点D作CD的垂线ED交BC于点E.
在Rt△CDE中，∵tan ∠BCD＝
∴可设DE＝x，则CD＝3x.
∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°.
∵∠CDE＝90°，∴DE∥AC.
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【点技巧】本题出现了tan ∠BCD＝ ，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解.
8．【2022·长春】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC.点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF＝DE，连接AE，AF，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.
∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．
8．【2022·长春】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC.点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF＝DE，连接AE，AF，CF.
(2)若 ，则tan∠BCF的值为________．
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9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.
(1)判断△ABC的形状；
解：(1)将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，
则Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
(2)求sin A＋sin B的值．
由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.①
将①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2.
∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.
【点方法】解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的等式．从解题过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．
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第二十八章 锐角三角函数
2.巧用三角函数解学科内综合问题
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1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于
B，C两点，tan ∠OCB＝ .
(1)求点B的坐标和k的值；
(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上在第一象限内的一个动点，在点A的运动过程中，试写出△AOB的
面积S关于x的函数解析式．
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2．【2022·湖州】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝ ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是__________．
【点拨】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H.
∵tan∠ABO＝ ＝3，∴设OB＝a，OA＝3a.
由四边形ABCD是正方形，易证△AOB≌△BTC.
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a.
∴OT＝BT－OB＝2a.
∴C(a，2a)．∵点C在y＝ 的图象上，∴2a2＝1.
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易证△CHD≌△BTC，∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a.
∴D(－2a，3a)．设图象经过点D的反比例函数的解析式为
y＝ ，则有－2a·3a＝k，∴k＝－6a2＝－3.
∴图象经过点D的反比例函数的解析式是y＝－ .
3．已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD＝2：3.
(1)求A，B两点的坐标；
解：(1)如图，过点P作PE⊥x轴于点E.
∵二次函数的解析式为y＝ax2－2ax＋c，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝1.∴OE＝1.
∵OC∥BD，∴CP ∶PD＝OE ∶EB.∴OE∶EB＝2∶3.
如图，过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G.
把x＝1代入y＝ax2－2ax＋c，得y＝c－a；
把x＝0代入y＝ax2－2ax＋c，得y＝c.∴PG＝a.
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4．【2022·张家界】我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH
的面积是4，那么tan∠ADF＝______．
【点思路】根据两个正方形的面积可得AD＝10，DF－AF＝2.设AF＝x，则DF＝x＋2，由勾股定理得x2＋(x＋2)2＝102，解方程可得x的值，从而得出AF，DF的长，根据正切的定义求解即可.
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5．【2022·贺州】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AE∥FC.又∵ED＝BF，
∴AD－ED＝BC－BF.∴AE＝FC.
∴四边形AFCE是平行四边形．
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6．【2022·赤峰】如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E.连接AD，CD，且∠DCA＝∠OCA.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
证明：∵AC＝BC，点O为AB的中点，∴CO⊥AB.
∵DF是AC的垂直平分线，∴DC＝DA.∴∠DCA＝∠DAC.
∵∠DCA＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA.∴DA∥OC，
∴DA⊥OA.又∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线．
(2)若CD＝6，OF＝4，
求cos∠DAC的值．
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拓展探究
如图②，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
解决问题
如图③，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60 m，∠A＝75°，∠C＝60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
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第二十八章 锐角三角函数
3.应用三角函数解实际中的四种
常见问题
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10.2
1．【教材P81活动2变式】【2022·衡阳】回雁峰(如图①)坐落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”，峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图②，AE＝10 m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°.已知测角仪DA
的高度为1.5 m，则大雁雕塑BC的
高度约为________m(结果精确到
0.1 m，参考数据： ≈1.732)．
10.2
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2．【2022·内江】如图，九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A，B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60 m的C，D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°.
(1)求河的宽度；
解：(1)如图，过点A作AE⊥l，垂足为点E.
设CE＝x m.∵CD＝60 m，∴DE＝CE＋CD＝(x＋60) m.
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°－∠ACB－∠BCD＝45°.
在Rt△AEC中，AE＝CE·tan 45°＝x m.
(2)求古树A，B之间的距离．(结果保留根号)
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3．【2022·广元改编】如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80 m的C处测得山顶A的仰角为30°，在与F点相距10 m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C，E，F，D在同一直线上，则隧道EF的长度为________________．
【点方法】1．当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解．
2．若相关的角不是直角三角形的内角，应将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解．
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4．【教材P77练习T2变式】如图①，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3 m，背水坡AD的坡度i为1：0.5，坝底AB＝14 m.
(1)求坝高；
解：(1)如图①，过点D作DM⊥AB，垂足为点M，
过点C作CN⊥AB，垂足为点N.∵背水坡AD的坡度i为1：0.5，
∴tan∠DAB＝ ＝2.设AM＝x m，则DM＝2x m.
易知四边形DMNC是矩形，∴DM＝NC＝2x m，MN＝DC＝3 m.
(2)如图②，为了提高水坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：
如图②，过点D作DM⊥AB于点M，过点F作FH⊥AB，
垂足为H，则FH＝DM≈6 m.设DF＝y m，则AE＝2y m，EH≈3＋2y－y＝3＋y(m)，BH≈14＋2y－(3＋y)＝11＋y(m)．
由FH⊥BE，EF⊥BF，易得△EFH∽△FBH，
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