(共20张PPT)
第二十九章 投影与视图
29.1 投影
第1课时 平行投影与中心投影
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1
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B
D
平行投影；
平行投影
134
见习题
见习题
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9
D
10
11
见习题
12
见习题
C
见习题
1．一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的________，照射光线叫做__________，投影所在的平面叫做__________．形成投影应具备的条件有：________、________、________．
投影
返回
投影线
投影面
光源
物体
投影面
2．下列成语描述的情景与投影无关的是( )
A．形影相随
B．日上三竿
C．立竿见影
D．杯弓蛇影
B
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【点要点】形影相随、立竿见影、杯弓蛇影描述的情景都与投影有关，而日上三竿指的是太阳升起来，已有三根竹竿那么高，与投影无关．
．．
3．如图，有一座房子，太阳在房子后方，此时房子的影子的形状大致为( )
D
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4．由平行光线形成的投影叫做__________．例如：物体在太阳光的照射下形成的影子就是__________．
平行投影
返回
平行投影
5．【中考·安顺】下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( )
C
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6．【教材P39例4改编】【2022·广西】古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．
134
返回
7．由________________发出的光线形成的投影叫做中心投影．
中心投影的性质：(1)在中心投影下的多条光线交于一点，这一点就是________；(2)在中心投影下，光源固定时垂直于地面的物体水平移动，其投影也随着移动，并且物体离光源越近其投影__________．
同一点(点光源)
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光源
越短
8．【中考·北京】如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，
则路灯的高为________m.
3
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9．【2021·南京】如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯(看成一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是( )
D
【点要点】由题意知投影关于对角线对称，因为灯在纸板上方，所以上方投影比下方投影长．
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10．如图，已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的影长BC＝3 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的影子；
解：(1)如图，EF为此时DE在阳光下的影子．
10．如图，已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的影长BC＝3 m.
(2)若在测量AB的影长时，同时测量出DE在阳光下的影长为6 m，请你计算DE的长．
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11．如图，点P表示广场上的一盏照明灯．
(1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子(用线段表示)；
解：(1)如图，线段AC为小敏在照明灯P照射下的影子．
11．如图，点P表示广场上的一盏照明灯．
(2)若小丽到灯柱MO的距离为4.5 m，照明灯P到灯柱的水平距离为1.5 m，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6 m，试求照明灯P到地面的距离(结果精确到0.1 m；参考数据：tan 55°≈1.428，
sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574)．
如图，作QE⊥MO于点E，作PF⊥AB于点F，交QE于点D，则PF⊥EQ.在Rt△PDQ中，∠PQD＝55°，QD＝QE－DE＝4.5－1.5＝3(m)．∵tan 55°＝ ，
∴PD＝3tan 55°≈4.28(m)．
∵DF＝QB＝1.6 m，
∴PF＝PD＋DF≈4.28＋1.6≈5.9(m)．
答：照明灯P到地面的距离约为5.9 m.
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12．【2022·绍兴】圭表(如图①)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的
那一天定为夏至，
如图②是一个根据某市地理位置设的圭表平面示意图，表AC垂直于圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°，圭面上冬至线与夏至线之间
的距离(即DB的长)为4米．
(1)求∠BAD的度数．
解：(1)∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC＝84°－37°＝47°.
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第二十九章 投影与视图
29.1 投影
第2课时 正投影
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1
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D
D
A
C
见习题
见习题
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9
A
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见习题
12
见习题
A
见习题
13
见习题
14
见习题
1．投影线________于投影面产生的投影叫做正投影，它包含以下两个要素：
(1)正投影是特殊的____________，不是______________．
(2)正投影只要求__________与____________垂直，与物体的位置无关．
垂直
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平行投影
中心投影
投影线
投影面
2．【教材P89探究2改编】【中考·绥化】正方形的正投影不可能是( )
A．线段
B．矩形
C．正方形
D．梯形
D
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．．．
3．一张矩形的纸板(不考虑厚度，不折叠)，其正投影可能是( )
①矩形；②平行四边形；③线段；
④三角形；⑤任意四边形；⑥点．
A．①②③④ B．①②③④⑤⑥
C．①②③⑤ D．①②③
D
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4．【教材P92习题T3变式】【中考·南宁】把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A
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5．如图，关于球、正三棱锥、圆柱在平面P内的正投影，下列说法正确的是( )
A．球的正投影是圆
B．正三棱锥的正投影
不是等边三角形
C．圆柱的正投影是矩形
D．以上说法都不对
A
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6．【教材P90例题变式】如图，把正方体的一顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光线垂直，则正方体在纸上的投影是( )
C
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7．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．
线段正投影的规律：平行长________，倾斜长________，垂直成________；
平面图形正投影的规律：平行形________，倾斜形______，垂直成________．
不变
返回
缩短
一点
不变
改变
线段
8．【中考·贺州】小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是( )
B
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．．．
9．几何体在平面P内的正投影，取决于( )
①几何体的形状；
②投影面与几何体的位置关系；
③投影面P的大小．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
A
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【点要点】几何体在平面上的正投影与几何体的形状、投影面与几何体的位置关系有关，与投影面的大小无关．
10．如图，正三棱柱的面EFDC平行于投影面P，且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6.
(1)正三棱柱在投影面P上形成的正投影是( )
A．一条线段 B．矩形
C．平行四边形 D．等腰梯形
(2)求该正投影的面积．
B
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由题意得该正投影的面积为S矩形EFDC＝6×2＝12.
【点思路】求投影的面积，先确定投影的形状，再根据相应的面积公式，有针对性地求出
相关线段的长．
11．(1)如图①，已知△ABC与线段DE都在投影面P的上方，且都平行于投影面，画出它们在投影面P上的正投影；
解：(1)如图①中△ABC的正投影为△A′B′C′，线段DE的正投影为D′E′.
(2)如图②，已知△ABC与线段DE都在投影面P的上方，且都垂直于投影面，画出它们在投影面P上的正投影．
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如图②中△ABC的正投影是线段A′B′，线段DE的正投影是点D′(或点E′)．
12．【教材P89探究1改编】如图，已知线段AB＝2 cm，投影面为P，太阳光线与投影面垂直．
(1)当AB垂直于投影面P时(如图①)，
请画出线段AB的正投影；
(2)当AB平行于投影面P时(如图②)，请画出它的正投影，并求出其正投影的长；
解：(1)图略．
图略，正投影的长为2 cm.
(3)在(2)的基础上，点A不动，线段AB绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转30°，请在图③中画出线段AB的正投影，并求出其正投影的长．
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13．【教材P93习题T4变式】一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是等腰三角形，如图所示．已知等腰三角形的腰长为13 cm，高为12 cm，求该圆锥的体积及表面积．
解：∵圆锥的轴截面平行于投影面，其正投影是等腰三角形，
∴圆锥的高等于等腰三角形的高，圆锥底面圆的半径等于等腰三角形底边长的一半．如图，作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC＝13 cm，AD＝12 cm，∴CD＝5 cm.
∴r＝CD＝5 cm，h＝12 cm.
∴V圆锥＝ πr2h＝100π cm3.
底面周长为l＝2πr＝10π cm，R＝AC＝13 cm，
∴S表＝ lR＋πr2＝90π cm2.
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14．操作与探究：如图，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于点D，AB在投影面上．
(1)指出图中AC的投影是什么，CD与BC的投影呢？
解：AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD.
(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB.此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边上的射影与斜边的乘积，
这一结论我们称为射影定理．
通过上述结论的推理，请证明以下两个结论：
①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD.
证明：①易证得△BCD∽△BAC，
可得BC2＝BD·AB；
②易证得△ACD∽△CBD，
可得CD2＝AD·BD.
【思路点拨】(1)用定义法判断；(2)用“三点定形法”找对应的相似三角形．
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第二十九章 投影与视图
29.2 三视图
第1课时 三视图——由几何体到
三视图
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1
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3
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7
见习题
A
B
A
见习题
视图
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B
9
C
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A
12
见习题
B
D
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见习题
14
7
15
见习题
1．当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个________．
视图
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2．对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察到的视图，叫做________；在水平面内得到的由上向下观察到的视图，叫做__________；在侧面内得到的由左向右观察到的视图，叫做__________．
主视图
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俯视图
左视图
3．【2022·武汉】如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是( )
A
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4．【2021·阜新】一个几何体如图所示，它的左视图是( )
B
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【点易错】从左面看该几何体，注意看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．
5．【2022·永州】我市江华县有“神州瑶都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是( )
B
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6．【2022·江西】如图是由四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为( )
A
返回
7．画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的________，主视图与左视图的________，左视图与俯视图的________；画图时规定：看得见部分的轮廓线画成________，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成________．
长对正
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高平齐
宽相等
实线
虚线
8．【2022·雅安】下列几何体的三种视图都是圆形的是( )
B
返回
9．【2021·德州】如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是( )
A．左视图和俯视图相同
B．三个视图都不相同
C．主视图和左视图相同
D．主视图和俯视图相同
C
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10．【中考·永州】如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是( )
D
返回
11．【中考·广元】我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是( )
A
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12．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示．俯视图中小正方形中的字母表示在该位置上小正方体的个数，请回答下列问题：
(1)a，b，c各为几？
解：(1)a为3，b为1，c为1.
12．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示．俯视图中小正方形中的字母表示在该位置上小正方体的个数，请回答下列问题：
(2)这个几何体最少由几个小正方体搭成？最多呢？
最少由9个小正方体搭成，
最多由11个小正方体搭成．
12．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示．俯视图中小正方形中的字母表示在该位置上小正方体的个数，请回答下列问题：
(3)当d＝e＝1, f＝2时，画出这个几何体的左视图．
当d＝e＝1, f＝2时，
该几何体的左视图
如图所示．
【点思路】由主视图与俯视图可知a为3，b与c均为1，而d，e，f中至少有一个应为2 .
当均为2时，共有11个小正方体；
当其中有两个为2，一个为1时，共有10个小正方体；
当其中有一个为2，另外两个为1时，共有9个小正方体 .
当a，b，c，d，e，f的值确定时，就只有一种情况，由此即可画出它的左视图．
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13．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．
(1)该几何体的体积是________(立方单位)，表面积是________(平方单位)．
(2)画出该几何体的主视图和左视图．
5
返回
22
如图所示．
返回
14．某三棱柱的三视图如图，在△EFG中，FG＝18 cm，EG＝14 cm，∠EGF＝30°，则AB的长为________cm.
7
15．一透明的敞口正方体容器ABCD A′B′C′D′内装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α.
探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的三种视图及尺寸如图②所示，那么图①中，液体形状为________(填几何体的名称)；利用图②中的数据，可以算出图①中液体的体积
为________dm3(提示：
V＝底面积×高)．
三棱柱
24
拓展：在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，液面与棱C′C或CB交于点P，点Q始终在棱BB′上，设PC＝x dm，请你画出此时容器的主视图，并用含x的代数式表示BQ的长度．
当容器向左旋转时，如图①所示．
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第二十九章 投影与视图
29.2 三视图
第2课时 三视图——由三视图到
几何体
答案显示
1
2
3
4
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5
6
7
D
B
C
数
B
见习题
8
C
9
C
10
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见习题
12
见习题
A
见习题
13
A
14
见习题
15
见习题
1．由三视图想象几何体时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的________、________和________，再综合起来考虑整体图形．从________线和________线想象几何体看得见的部分和看不见的部分的轮廓线，然后综合起来确定几何体．
前面
返回
上面
左侧面
实
虚
2．【教材P99练习(1)改编】【2021·长春】如图是一个几何体的三视图，这个几何体是( )
A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱
D
返回
3．【2022·扬州】如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是( )
A．四棱柱
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱锥
B
返回
4．【教材P97例2变式】【2021·安徽】一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )
C
返回
5．【2022·黑龙江】如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图，这个几何体只能是( )
A
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6．由几何体的三视图推断组成几何体的小正方体的个数时，往往在俯视图上操作，参照主视图和左视图，在俯视图上标上相应的__________(表示这一位置小正方体的个数)．
数
返回
7．【2021·日照】一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为( )
A．10
B．12
C．14
D．18
B
返回
8．【教材P98例3(2)变式】【2021·东营】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为( )
A．214° B．215°
C．216° D．217°
C
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【点拨】由三视图可知，该几何体为圆锥．
由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为6，半径为3，高为4，则母线长为 ＝5.
所以该几何体的侧面展开图圆心角的度数为π×6÷(π×5×2)×360°＝216°.
9．【2022·齐齐哈尔】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为( )
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
C
【点思路】由俯视图知最下面一层一定有四个小正方体，由主视图和左视图知上面一层至少有处在对角的位置上的两个小正方体，故可得出结论．
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10．如图，根据主视图和俯视图找出物体(连线)．
返回
11．由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示．
(1)请你画出这个几何体的一种俯视图；
解：(1)这个几何体的一种俯视图如图所示．(答案不唯一)
11．由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示．
(2)组成这个几何体的小正方体的个数最多是多少？
组成这个几何体的小正方体的个数最多是5.
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12．根据如图所示的三视图，在右边画出立体图形．
(1)
(2)【教材P97例2变式】
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解：如图所示．
如图所示．
【点易错】由三视图画几何体时，注意几何体中看不见的轮廓线用虚线．
13．【2021·兴安盟】根据三视图，求出这个几何体的侧面积为( )
A．200 π
B．100 π
C．100 π
D．500 π
A
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【点拨】由题意可知，这个几何体是圆柱，侧面积是：π×10×20＝200 π.
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14．如图是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)若主视图的长为10 cm，俯视图的直径为4 cm，求这个几何体的侧面积(结果保留π)．
解：(1)该几何体是圆柱．
由题意知该圆柱的底面直径为4 cm，高为10 cm，则该几何体的侧面积为4π×10＝40π(cm2)．
15．由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示．
(1)请你画出这个几何体的一种左视图；
解：(1)左视图的所有可能的结果有如图所示五种情况(画出一种即可)
(2)若组成这个几何体的小正方体的个数为n，请你写出n的所有可能值．
n的所有可能值为8，9，10，11.
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【思路点拨】运用分类思想摆出所有符合主视图、俯视图的模型，再按要求解答即可．(共23张PPT)
第二十九章 投影与视图
29.2 三视图
第3课时 三视图——求几何体的表面积和体积
答案显示
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
B
C
c；a；b
见习题
D
平面
图形
8
A
9
B
10
11
见习题
12
见习题
C
D
13
见习题
14
见习题
1．由一个几何体的三视图得到几何体的展开图，我们可先画出它对应的立体图形，再将这个立体图形沿着一些线剪开，就可以把立体图形的表面展开成一个____________．
平面图形
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2．如图，一个几何体上半部分为正四棱锥，下半部分为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是( )
B
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3．一个几何体的三视图如图所示，它的平面展开图可能是( )
C
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4．如图是三个物体的三视图和展开图，请将同一物体的三视图和展开图搭配起来．
A与______；B与______；C与______．
c
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a
b
5．如图是一个多面体的表面展开图，如果向里折后，面F在前面，从左面看是面B，那么从上面看是面______(填字母)．
C
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6．由几何体的三视图进行有关面积及体积的计算问题，先分别根据__________、__________、__________的特征推测几何体的前面、上面和左面，再综合考虑几何体的形状，结合图形的面积、体积的计算方法进行计算．
主视图
返回
俯视图
左视图
7．【教材P98例3(1)变式】【中考·荆州】某几何体的三视图如图所示，则下列说法 的是( )
A．该几何体是长方体
B．该几何体的高是3
C．底面有一边的长是1
D．该几何体的表面积为18
D
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8．【教材P103习题T10改编】【2021·赤峰】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是( )
A．24π cm2
B．48π cm2
C．96π cm2
D．36π cm2
A
【点拨】观察三视图发现该几何体为圆锥，其底面直径为6 cm，母线长为8 cm，所以其侧面积为×6π×8＝24π(cm2)．
返回
9．【2021·菏泽】如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为( )
A．12π
B．18π
C．24π
D．30π
B
【点拨】由三视图可得，该几何体是空心圆柱，其底面的小圆半径为1，大圆半径为2，则大圆面积为π×22＝4π，小圆面积为π×12＝π.故这个几何体的体积为6×4π－6×π＝24π－6π＝18π.
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10．【中考·济宁】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A．24＋2π
B．16＋4π
C．16＋8π
D．16＋12π
D
【点拨】该几何体的形状如图所示．
该几何体的表面积等于两个半圆形、
一个正方形、一个曲面的面积之和．
由主视图可知，底面的直径为4，所以两个半圆形的面积和为π×22＝4π；正方形的面积就是主视图的面积，即为4×4＝16；
曲面展开后是一个长方形，它的一边长为π×2＝2π，相邻的一边长由主视图知为4，所以曲面的面积为2π×4＝8π.
则该几何体的表面积为4π＋16＋8π＝16＋12π.
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11．【教材P110复习题T5变式】如图所示是某几何体的三视图．
(1)指出该几何体的名称；
解：(1)该几何体是正六棱柱．
(2)画出该几何体的侧面展开图并求出其面积；
(3)求出该几何体的体积．
画图略．S侧＝4×2×6＝48(cm2)．
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12．如图是一个物体的三视图．
(1)根据物体的三视图描述物体的形状；
解：(1)主视图和左视图均为矩形，俯视图为圆环，故该物体为空心圆柱．
12．如图是一个物体的三视图．
(2)要给物体的表面全部涂上防腐材料，根据图中数据计算需要涂上防腐材料的面积(π取3.14，结果精确到1 cm2)．
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13．【教材P99例5改编】如图是一个包装纸盒的三视图(单位：cm)．
(1)该包装纸盒的形状是__________；
(2)画出该纸盒的表面展开图；
正六棱柱
如图所示．(答案不唯一)
13．【教材P99例5改编】如图是一个包装
纸盒的三视图(单位：cm)．
(3)计算制作一个这样的纸盒所需纸板的面积(结果保留整数)．
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由表面展开图可知该纸盒的上、下底面都是边长为5 cm的正六边形，侧面是6个边长为5 cm的正方形，则该纸盒的表面积为
≈280(cm2)．
答：制作一个这样的纸盒所需纸板的面积约为280 cm2.
14．某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按1:1的比例画出准确的三视图如图②所示．已知在△EFG中，EF＝4 cm，∠EFG＝45°，FG＝10 cm，AD＝7 cm，求：
(1)AB的长；
解：(1)过点E作EH⊥FG于点H.
在Rt△EHF中，EF＝4 cm，∠EFH＝45°，
∴EH＝FH.∴2EH2＝42，解得EH＝2 cm.
由三视图可知AB＝EH＝2 cm.
14．某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按1:1的比例画出准确的三视图如图②所示．已知在△EFG中，EF＝4 cm，∠EFG＝45°，FG＝10 cm，AD＝7 cm，求：
(2)这个直三棱柱的体积．
【思路点拨】根据“俯视图与左视图的宽相等”，将AB的长转化为△EFG的高．
【点思路】
(1)过点E作EH⊥FG于点H，则根据题意可得出EH＝AB，然后由勾股定理即可得出答案；
(2)根据直三棱柱的体积等于底面积乘它的高进行计算即可．
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第二十九章 投影与视图
29.3 课题学习 制作立体模型
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1．观察三视图，并综合考虑各视图表达的含义及视图间的联系，可以想象出三视图所表示的__________的形状，这是由________转化为____________的过程．
立体图形
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视图
立体图形
2．按照下面给出的两组三视图(如图)，选取合适的材料制成相应的实物模型，写出制作流程．
解：(1)是圆锥(如图①)．制作流程：
①用刻度尺度量其底面圆的半径r，高h；
②用小刀把萝卜削成一个底面半径为r，高为h的圆柱；
③把圆柱加工成如图①所示的模型．
(2)为正方体截去一个三棱柱，
是五棱柱(如图②)．制作流程：
①用刻度尺度量正方体的棱长a，被截去的三棱柱的底面为直角三角形，一条直角边长为b，另一条直角边长为c；
②用小刀将萝卜削成一个正方体，棱长为a；
③在这个正方体的基础上再加工，使其截去一个三棱柱，三棱柱底面上直角三角形的两直角边长分别为b和c.这样即可制成如图②所示的模型．
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【点要点】
1．选取材料要易切割；
2．由三视图画出几何体模型，再将模型上有关尺寸用刻度尺量出；
3．制作毛坯，再从毛坯中加工成符合条件的立体模型．
3．小明利用废纸板做一个三棱柱形无盖的笔筒，设计三棱柱立体模型如图所示，有关数据已标注在图上．
(1)请画出该立体模型的三视图和表面展开图；
解：(1)三视图和表面展开图分别如图①和图②所示．(表面展开图画法不唯一)
3．小明利用废纸板做一个三棱柱形无盖的笔筒，设计三棱柱立体模型如图所示，有关数据已标注在图上．
(2)做该笔筒至少要用多少废纸板？
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侧面积为(6＋8＋10)×14＝336(cm2)，
直角三角形的面积为 ×8×6＝24(cm2)，
表面积为336＋24＝360(cm2)．
所以做该笔筒至少要用废纸板360 cm2.
4．用一块边长为60 cm的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．
(1)如果要做成一个没有盖的
长方体盒子，可先在薄钢片
的四个角上截去四个相同的
小正方形(如图甲)，然后把四边折合起来(如图乙)．
①求做成的盒子底面积y(单位：cm2)与截去小正方形边长x(单位：cm)之间的函数解析式；
解：(1)①y＝(60－2x)2＝4x2－240x＋3 600(0②当做成的盒子的底面积为900 cm2时，求该盒子的容积；
当y＝900时，x＝15(x＝45舍去)，
容积V＝900×15＝13 500(cm3)．
(2)如果要做成一个有盖的长方体盒子，其制作方案要求同时符合下列两个条件：
①必须在薄钢片的四个角上各截去一个四边形(其余部分不能截)；
②折合后薄钢片既无空隙、又不重叠地围成盒子．
请你画出符合上述制作方案的一种草图(不必说明画法与根据)，并求当底面积为800 cm2时，该盒子的高．
符合制作方案的一种草图如图所示．(所画图不唯一)
图中阴影部分为底和盖，在薄钢片四角上截去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形．
设截去的小正方形边长为x cm，则(60－2x)· ＝800，
解得x1＝10，x2＝50.
∵0＜x＜30，∴x＝50应舍去．
∴x＝10.
答：该盒子的高为10 cm.
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第二十九章 投影与视图
全章热门考点整合专训
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7
8.5
A
C
B
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12 m
8
见习题
9
见习题
10
11
见习题
12
见习题
C
见习题
13
见习题
1．如图，王斌同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1 m长的竹竿竖直放置时影长为2 m．在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，所以影子没有全落在地面上，而是有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为20 m，落在墙上的影高为2 m，则旗杆的高度为__________．
12 m
【点易错】本题旗杆的影子没有全落在地面上，故不能盲目地根据物体的高度与影长成比例来列方程 .
【点拨】如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，则EC＝BD＝20 m，BE＝CD＝2 m.
设AB＝x m，则AE＝(x－2)m.
故旗杆的高度为12 m.
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2．【2021·毕节】学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7 m的小华从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8 m到达点D处，测得影子DE长是2 m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为________m.
8.5
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3．【2022·丽水】如图是运动会领奖台，它的主视图是( )
A
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4．【2022·宁波】如图所示的几何体是由一个球和一个圆柱组成的，它的俯视图是( )
C
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5．【2021·青海】如图所示的几何体的左视图是( )
C
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6．【教材P109复习题T3变式】【中考·青海】如图是由一些相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则搭成该几何体的小立方体有( )
A．3块
B．4块
C．6块
D．9块
B
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7．如图是一个几何体的三视图，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的名称，并根据图中所给的数据求出它的侧面积．
解：该几何体是直四棱柱．由三视图知，
棱柱底面菱形的对角线的长分别为4 cm，
3 cm.
∴菱形的边长为 cm.
∴棱柱的侧面积为 ×8×4＝80(cm2)．
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8．某种含盖的玻璃容器(透明)的外形如图所示，请你画出它的三视图．
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解：这种容器的
三视图如图所示．
【点方法】画复杂几何体的三视图时，可把复杂几何体分解成单一的常见几何体进行研究，并画出视图．
9．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度．如图，在阳光下，测得身高1.65 m的
黄丽同学BC的影长BA为1.1 m，与此同时，
测得教学楼DE的影长DF为12.1 m.
(1)请你在图中画出此时教学楼DE在阳光下的影子DF；
解：(1)如图，
DF即为所求．
(2)请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的
高度(结果精确到0.1 m)．
如图，易知AC∥FE，∴∠CAB＝∠EFD.
又∵∠CBA＝∠EDF＝90°，∴△ABC∽△FDE.
∴DE＝18.15 m≈18.2 m.
答：教学楼DE的高度约为18.2 m.
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10．旗杆、树和竹竿都垂直于地面且在一条直线上，在路灯下树和竹竿的影子的方位和长短如图所示，请根据图中的信息标出灯泡的位置(用点P表示)，再作出旗杆的影子(用粗实线表示)．(不写作法，保留作图痕迹)
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解：如图所示．
11．如图①，在平整的地面上，用若干个棱长完全相同的小正方体堆成一个几何体．
(1)请在图②中画出这个几何体的三视图；
解：(1)如图所示．
11．如图①，在平整的地面上，用若干个棱长完全相同的小正方体堆成一个几何体．
(2)如果现在你手头还有一些相同的小正方体，要求保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体．
4
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12．如图，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形．杨阳用量角器量出一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30 cm，50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．
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解：由题可知，AB＝30 cm，BC＝50 cm，AB⊥AC.
在Rt△ABC中，AC＝ ＝40 cm.
S ABCD＝30×40＝1 200(cm2)．
答：该平行四边形的面积为1 200 cm2.
13．航拍器拍出的照片会给我们视觉上带来震撼的体验，越来越受追捧．如图，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定．
(1)现某型号航拍器飞行高度为36 m，测得可拍摄区域半径为48 m．若要使拍摄区域面积为现在的2倍，则该航拍器还要升高___________m.
13．航拍器拍出的照片会给我们视觉上带来震撼的体验，越来越受追捧．如图，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定．
(2)航拍器由遥控器控制，与(1)中同型号的航拍器最远飞行距离为距遥控器2 000 m，则该航拍器可拍摄区域的最大半径为________m(忽略遥控器所在高度)．
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