2022-2023学年北京市朝阳区华中师大一附中朝阳学校高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市朝阳区华中师大一附中朝阳学校高二（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线经过原点和点，则它的倾斜角是( )
A. B. C. 或 D.
2. 已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A. B. C. D. 与相交
4. 直线：截圆：所得的弦长是( )
A. B. C. D.
5. 圆的圆心和半径分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. “”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 直线，当变动时，所有直线都通过定点( )
A. B. C. D.
8. 如图，平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
9. 两平行直线与之间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形含三角形的周长为，设，则当时，函数的值域为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆的标准方程为______．
12. 过点且与直线平行的直线方程为______．
13. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用、、的线性组合表示______．
14. 过点的圆的切线方程为______．
15. 已知长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离为______．
16. 一个正方体的平面展开图如图所示．在该正方体中，以下命题正确的是______填序号
；
平面；
与是异面直线且夹角为；
与平面所成的角为；
二面角的大小为．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，．
求的值；
当时，求实数的值．
18. 本小题分
如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
求的模；
求的值；
求证：平面．
19. 本小题分
已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点．
求边所在的直线方程；
求中线的长；
求边的高所在直线方程．
20. 本小题分
已知圆：内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
当时，求弦的长；
当弦被点平分时，求直线的方程；
已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最小值．
21. 本小题分
已知点，，求：
过点，且周长最小的圆的标准方程；
过点，且圆心在直线上的圆的标准方程．
圆的圆心为，且过点直线：与圆交，两点，且，求．
22. 本小题分
如图，在正四棱锥中，，交于点，，．
求二面角的大小；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设过原点和点的直线方程的斜率为，且该直线的倾斜角为，
由题意可知：，又，
则．
故选A
先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率，然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值，再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数．
此题考查学生会根据两点坐标求出过两点直线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角的关系，是一道基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，解得，，
．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查空间向量平行的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
由已知可得，则，因此，．
故选：．
判断与的位置关系，进而可得出结论．
本题考查方向向量与法向量的关系，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆：到直线：的距离为：，圆的半径为，
所以，直线：截圆：所得的弦长是：．
故选：．
利用圆的圆心到直线的距离，结合圆的半径，求解半弦长即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆，即，
故圆的半径为，半径为．
故选：．
根据已知条件，结合配方法，即可求解．
本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两直线平行的判定，考查充分、必要条件的判断，属于基础题．
分类讨论的取值，根据两直线平行列方程，解方程求的值，即可判断．
【解答】
解：当时，两直线平行，当时，两直线不平行，
当时，，
解得，
若直线与直线平行，可得或，
故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，
故选A．

7.【答案】
【解析】解：直线方程转化为：，
令，解得，，
所以直线过定点，
故选：．
线方程转化为：，然后令，解方程即可求解．
本题考查了直线过定点的问题，考查了学生的理解转化能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：
，
所以，
故选：．
先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：将直线化为，
则这两条平行直线间的距离为．
故选：．
运用两平行直线间的距离公式即可得解．
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
求出正方体的对角线长，根据，可得或时，三角形的周长最小；或时，三角形的周长最大，从而可得结论．
本题考查正方体的截面问题，考查学生分析解决问题的能力，确定三角形周长取最大、最小时的位置是关键．
【解答】
解：正方体的棱长为，
正方体的对角线长为，
，
或时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为，则由等体积可得，
，；
或时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为，．
当时，函数的值域为
故选：．

11.【答案】
【解析】解：由已知得，圆的半径，
所以该圆的标准方程为．
故答案为：．
根据已知条件，求出圆的半径，写出圆的标准方程．
本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，要求直线与直线平行，设要求直线的方程为，
又由要求直线过点，则有，即，
即要求直线的方程为；
故答案为：．
根据题意，设要求直线的方程为，将点的坐标代入，计算可得的值，即可得答案．
本题考查直线的一般式方程与直线平行的性质，注意设出要求直线的方程，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：在中，因为是的中点，
所以，
所以，
故答案为：．
先求出，再由求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：已知圆心坐标为，半径为，易知直线是圆的切线，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，切线方程为，即．
故答案为：或．
根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．
本题考查圆的切线方程，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，射线、、依次为、、轴，建立空间直角坐标系，
则点，，，，
从而，，，
设平面的法向量为 ，由可得，
令 ，
所以点到平面的距离为：．
故答案为：．
利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为平面上任意一点到为终点的向量．
本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离．属于立体几何的常规题，中档题．
16.【答案】
【解析】解：由正方体的平面展开图可得正方体其中与重合，
如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，
则，，，，
，，，，，
，，，，正确；
，，
，，，，又，，平面，
平面，正确；
，显然与是异面直线，设与所成角为，
则，又
，故正确；
，又平面的法向量为，
设与平面所成的角为，
，故错误；
，，设平面的法向量为，
则，取，
设二面角为，显然二面角为锐二面角，
，，正确；
故答案为：．
由正方体的平面展开图可得正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
本题考查向量法证明线线垂直问题，向量法证明线面垂直问题，向量法求解线面角问题，向量法求解二面角问题，属中档题．
17.【答案】解：因为，，
故，，
故．
，，，
因为，
所以，即，
故，即，
故或．
【解析】根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式，即可求解．
根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式，即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
18.【答案】解：由已知得，、、三线两两垂直．
以点为坐标原点，分别以、、所在的射线为，，轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，．
则，，，，
所以，．
由可得，，，
所以，，，，
证明：由可得，，，，
所以，，
，
所以，，
又，平面，平面，
所以，平面．
【解析】建立空间直角坐标系，通过坐标表示出相应的直线，用向量法求解向量的模、数量积，证明向量垂直，转化为线线垂直，得出线面垂直证明线面垂直．
本题考查向量的模以及数量积运算和利用向量证明垂直问题，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可得直线的斜率，
故直线的方程为：，
化为一般式可得：．
由中点坐标公式可得的中点，
故A．
由可知的斜率为，故AB边上的高所在直线斜率为，
故方程为，
化为一般式可得．
【解析】本题考查直线的一般式方程，涉及两点间的距离公式，属基础题．
由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得；
由中点坐标公式可得的中点，代入距离公式可得；
由可知的斜率为，故AB边上的高所在直线斜率为，可得点斜式方程，化为一般式可得．
20.【答案】解：由题意直线的斜率为，直线方程为，即，
圆心为，圆半径为，到直线距离为，
所以；
弦被点平分，则，又，所以，
直线方程为，即；
圆心到直线的距离为，直线与圆相切，
所以点到直线的距离的最小值为．
【解析】写出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长；
求出圆心与点连线斜率，从而得直线斜率，得直线方程；
求出圆心到直线的距离，得直线与圆位置关系，易得所求最小值．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：过点，且周长最小的圆，该圆的直径必为，设的中点为，
，，得，，
故所求的圆的方程为：，
过点，且圆心在直线上的圆，可设圆心，
则可设圆的标准方程为：，
代入，，求得，解得，
，
故所求的圆的方程为：，
设圆的方程为：，且过点，代入得，
直线：与圆交，两点，且，
故设圆心到直线的距离为，则，
则，得，
所以，，得，整理得，
或，
故所求直线为：或．
【解析】为圆的直径时，满足题意，此时的中点为圆心，为直径长度，据此，可求得答案．
设出圆的标准方程，然后根据题意，列出相应的方程组，计算即可求解．
设出圆的标准方程，圆的半径设为，设圆心到直线的距离为，根据题意，利用弦长，计算即可求出答案．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：由题意得平面，且，
以为原点，分别以，，为，，轴正方向建系，如图所示，
所以，
所以，
设平面的法向量，
则，即，
令，可得，所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为；
假设线段上存在一点，满足题意，
设，因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面的法向量，
设得与平面所成角为，
所以，
解得或舍，
所以在线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，此时，即为上靠近的四等分点．
【解析】如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求得平面的法向量，根据线面垂直的性质及判定定理，可证平面，则即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案．
假设存在点满足题意，设，因为，即可求得点坐标，进而可得坐标，根据线面角的向量求法，代入公式，计算可得值，即可得答案．
本题考查二面角，线面角的求法，考查点的位置的确定，属中档题．
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