3.1.2空间向量的数乘运算 课件（18张PPT）

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第三章 空间向量与立体几何
3.1.2 空间向量的数乘运算
加法交换律
加法:三角形法则或
平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.
例如:
空间向量的数乘运算
1、方向
当 时， 与 的方向相同.
当 时， 与 的方向相同.
当 时， 是零向量.
与平面向量一样，实数 与 空间向量 的乘积
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.
3、空间向量的数乘的运算律
（3）数乘结合律：
（1）数乘分配律1：
（2）数乘分配律2：
2、大小
2、空间中共线向量的性质
（1）非零共线向量的传递性
（2）零向量与任一向量共线
1、共线向量定理:
对空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在唯一实数λ， 使
空间直线怎么用向量表示呢？
l
A
B
P
方向向量：与直线平行或重合的向量叫做直线的方向向量.
由 知存在唯一的t, 满足
对空间任意一点O,
O
所以
即
若在l上取 则有
①
②
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.
※判定空间中三点A、B、P共线的常用方法：
（1）只需得到存在实数λ，使
（2）对空间任意点O，存在实数t,使
特别地，当
此时，点P恰为线段AB的中点
需说明有公共点B
（3）对空间任意点O，存在有序数对(x,y),使
例1
共面向量
共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
空间任意两个向量
一定共面
空间任意三个向量呢？
有可能共面，也有可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
如果空间向量 与两不共线向量 ， 共面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有
思考？
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使
C
P与A,B,C 共面
A
B
或对空间任一点O,有
O
C
A
B
证明P,A,B,C共面
　
O
B
A
H
G
F
E
C
D
证明
共线向量 共面向量
定义 向量所在直线互相平行或重合 平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
定理
推论
运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面
共面
1.空间向量的数乘运算. 2.共线向量的概念.
3.直线l的方向向量. 4.共面向量的概念.
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