2022-2023学年江西省萍乡市安源区高二（上）期中数学试卷( 含解析）

2022-2023学年江西省萍乡市安源区高二（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线：的方向向量为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 已知，，，为空间中的任意四点，则( )
A. B. C. D.
3. 双曲线的右焦点到其渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
4. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的一般式方程为( )
A. B. C. D.
5. 在空间直角坐标系中，一束光线从点发出，被平面反射，到达点之后被吸收，则光线所走的路程为( )
A. B. C. D.
6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
7. 在我国古代数学著作九章算术中，“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在“鳖臑”中，平面，平面，，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8. 已知点在抛物线：上，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，则直线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知双曲线：，下列说法正确的是( )
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的焦距为
C. 双曲线的渐近线方程为
D. 双曲线的虚轴长为
10. 已知空间向量，，下列说法正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C.
D. 在方向上的投影数量为
11. 将一线段按如下比例分割：较长这段长与总长的比值等于较短这段长与较长这段长的比值，则该比值为，约为，这个分割比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比．我们将离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”已知椭圆：，其离心率，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有( )
A. B.
C. D.
12. 已知圆：与圆：相交于，两点，下列说法正确的是( )
A. 直线的一般式方程为
B. 公共弦长
C. 过，，三点其中点为圆的圆心的圆的一般方程为
D. 同时与圆和圆相内切的最大圆的方程为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，为椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，则______．
14. 在正方体中，，，分别为棱，，的中点，则异面直线与所成角的大小为______．
15. 在平面直角坐标系中，圆上一点到直线的最大距离为______．
16. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与的左支在第二象限交于点，与的右支在第一象限交于点，若，，三点共线，且，则双曲线的离心率为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知直线：，点关于的对称点为，过点作斜率大于的直线，交直线于点，若_____．
；点在直线上；．
求点的坐标；
从条件，，中任选一个填入题中横线处，并求的一般方程．参考数据：
注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答记分．
18. 本小题分
已知圆心为的圆与两条直线，都相切．
求圆的标准方程；
经过点的直线与圆交于，两点，若线段的中点恰好为点，求的面积．
19. 本小题分
如图，将等边绕边旋转到等边的位置，连接．
求证：；
若是棱上一点，且两三角形的面积满足，求直线与平面所成角的正弦值．
20. 本小题分
已知椭圆：的长轴长为，的两个顶点和一个焦点围成等边三角形．
求椭圆的标准方程；
直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求的值．
21. 本小题分
如图，在长方体中，，，为上一点，为的中点．
若为的中点，求证：平面；
若为异于，的一点，且二面角的平面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
22. 本小题分
已知双曲线：的离心率为，其左、右顶点分别为，，右焦点为，为的左支上不同于的动点，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上．
求双曲线的标准方程；
若点，连接交的右支于点，直线与直线相交于点，证明：当在的左支上运动时，点在定直线上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为直线：的方向向量为，
所以直线的斜率为，所以倾斜角为．
故选：．
根据直线：的方向向量得出斜率，从而求出倾斜角．
本题考查了直线的方向向量和斜率、倾斜角的应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：已知，，，为空间中的任意四点，则．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
3.【答案】
【解析】解：双曲线，可得，，，
则右焦点到它的渐近线的距离为．
故选：．
由已知可得，，的值，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．
本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：直线与直线垂直，
则可设直线为，
直线过点，
，解得，
．
故选：．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：空间直角坐标系中，一束光线从点发出，被平面反射，
所以点关于平面的对称点的坐标为，
故光线所走的路程为，
故选：．
首先求出点关于面的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出结果．
本题考查的知识要点：点的对称，空间两点间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
6.【答案】
【解析】解：根据焦点三角形的面积公式可得：
的面积为，
故选：．
根据焦点三角形的面积公式即可求解．
本题考查椭圆的焦点三角形的面积，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：将绕顺时针旋转，使得与共面，如图所示，
因为，在中，，，可得．
设点到平面的距离为，
由得：，
，
解得．
故选：．
将绕顺时针旋转，使得与共面，首先计算长度关系，然后利用等体积法求出点到平面的距离．
本题考查了点到平面的距离的计算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，，
因为抛物线：，则，
则，即，
由与圆相切得：，即，
又，则；
同理，
所以直线的方程，
故选：．
设，，根据条件求出，，即可得直线的方程．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为双曲线：，所以，，，
双曲线的虚轴长为，故D不正确；
双曲线的焦距，故B正确；
离心率为，故A不正确；
双曲线的渐近线方程为，故C正确．
故选：．
由双曲线的标准方程求出，，的值，进而判断正确选项即可．
本题主要考查双曲线的性质，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：已知空间向量，，
对于：，故A正确；
对于：由于，，所以，，，则，
在方向上的投影向量为，故B错误；
对于：空间向量，，不存在实数，使，故C错误；
对于：在方向上的投影数量为，故D正确．
故选：．
直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向量的投影关系式判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量的投影，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
11.【答案】
【解析】解：选项，由，得，解得，A正确；
选项，由，得，整理得，即，解得，B正确；
选项，由，得，整理得，无解，C错误；
选项，由，得，整理得，即，解得，D正确．
故选：．
分别计算，，，选项种椭圆的离心率，即可求解．
本题考查椭圆的离心率的计算，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：将圆：与圆：相减得，所以直线的一般式方程为，A正确；
圆心，半径等于，圆心到直线的距离为，，B正确；
过，两点的圆的方程可设为，将代入，可得，所以过，，三点其中点为圆的圆心的圆的一般方程为，C正确；
同时与圆，圆，相内切的圆没有最大，D错误．
故选：．
两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程；求得圆心到直线的距离，利用弦长等于即可求得弦长；设过，两点的圆的方程可设为，将代入，即可求解；同时与圆，圆，相内切的圆没有最大，可判断．
本题考查两个圆的位置关系的判断，求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，为椭圆上一点，则．
故答案为：．
根据椭圆的定义可知，即可求解．
本题考查椭圆的定义，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：在正方体中，，，分别为棱，，的中点，设棱长为，
建立空间直角坐标系，如图所示：
故E，，，，
所以，，
故，
故异面直线与所成角满足，
由于，
故．
故答案为：．
首先建立空间直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积运算求出异面直线的夹角．
本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
15.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径为，
因为直线为，
所以直线恒过点，
若圆上一点到直线的距离最大，
则圆心与点连线与直线垂直，
又圆心与距离，
所以最大距离为，
故答案为：．
圆的圆心为，半径为，由于直线为，可得直线恒过点，则圆心与点连线与直线垂直，进而可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，则，由双曲线的定义得，
，，
，在中，，，，，
由余弦定理得，双曲线的离心率为．
故答案为：．
设，则，由已知可得，进而可得，可求离心率．
本题考查双曲线的离心率的求法，属中档题．
17.【答案】解：设，则线段的中点，
所以，，
解得，，
所以
若选，由，，可得，
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
因为直线的斜率大于，
所以直线的倾斜角为，斜率为，
所以直线的一般方程为；
若选，可求得，
所以直线的一般方程为；
若选，，
得，
所以，即，
因为直线的倾斜角为，的斜率大于，
所以直线的倾斜角为，即的斜率为，
所以直线的一般方程为．
【解析】设，则线段的中点，进而可得，，解得，，进而可得点的坐标．
若选，由，，可得，由直线的斜率为，进而可得直线的斜率，即可得出直线的方程；若选，可求得点的坐标，进而可得直线的一般方程；若选，由，解得，再计算，进而可得直线的方程．
本题考查直线的方程，解题中需要理清思路，属于中档题．
18.【答案】解：由题知，点到两直线的距离相等，
即，解得，或舍去，
所以圆的半径为，
即圆的标准方程为．
当直线与直线垂直时，线段的中点恰好为，
又，则，
所以直线的方程为，
点到直线的距离，
，
所以的面积为．
【解析】由题知，点到两直线的距离相等，即，解得，进而可得圆的半径，即可得出答案．
当直线与直线垂直时，线段的中点恰好为，又，可得直线的斜率，进而可得直线的方程，计算点到直线的距离，进而可得弦长，再计算的面积．
本题考查直线与圆的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
19.【答案】证明：连接，，由题知：，，则，，
又，所以平面，又平面，所以．
解：由题知，、、两两垂直，以为原点，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：
因为，所以，设，则，
则，，，，．
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
设直线与平面所成的角为，则，．
【解析】取中点为，证明平面即可；以为原点，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别找到与平面的法向量，代入线面所成角的公式即可．
本题考查线面垂直，考查直线与平面所成角，属于中档题．
20.【答案】解：由题知，，得，
要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形．两顶点只能在短轴上，
则，，
故椭圆的标准方程为；
设，，将椭圆方程与直线方程联立，
化简得，其中，即，
且，，
．
原点到直线的距离，．
化简得，解得或，
又且，或．
【解析】由已知可得，，可求椭圆的标准方程；
设，，将椭圆方程与直线方程联立，可得，，由已知可得，求解即可．
本题考查求椭圆的标准方程，考查三角形的面积，属中档题．
21.【答案】证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，所以，且，
因为为的中点，，所以，且，
即为平行四边形，故EF，
又平面，平面，
所以平面D.
解：以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，且，
故，即，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，取，得，
同理可得，平面的一个法向量为，
由题意知，，解得，即，
四边形的面积为，则四棱锥的体积为．
【解析】取的中点，连接，，通过证明为平行四边形，得到，即可证明；
以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再求出平面的一个法向量为，根据二面角的平面角的余弦值为，即可求出，进而求解即可．
本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
22.【答案】解：由离心率，，得，
当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上，
则轴为的左焦点，
故，代入的方程得：，
故双曲线的标准方程；
证明：设点，，，其中，，
由题意知，直线的斜率存在且不为，设：，
代入，得，，
则，，
则，
由题意知，直线：，直线：相交于点，
所以，
即，
解得，
故当在的左支上运动时，点在直线上．
【解析】根据离心率公式和点的坐标即可求出双曲线的标准方程；
设点，，，分别根据韦达定理，两直线的交点坐标，即可求出．
本题考查了双曲线的方程，直线和双曲线的位置关系，直线过定点，属于中档题．
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