2022-2023学年福建省福州市永泰二中高二（上）期中数学试卷( 含解析）

2022-2023学年福建省福州市永泰二中高二（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 经过点，倾斜角是的直线方程是( )
A. B.
C. D.
2. 设，直线：，直线，若，则( )
A. B. C. D. 或
3. 已知直线：，圆：，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
4. 已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足( )
A. B. C. D.
5. 如图所示，在四面体中，，，，点在上，且，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
6. 已知，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
7. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是( )
A. 或 B. C. D. 或
8. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句为“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题将军饮马，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则将军饮马的最短总路程为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中，正确的有( )
A. 过点且在，轴截距相等的直线方程为
B. 圆与圆的位置关系是外切
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且倾斜角为的直线方程为
10. 给出下列命题，其中是真命题的是( )
A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则
C. 若平面，的法向量分别为，，则
D. 若存在实数，，使，则点、，，共面
11. 已知圆：和圆：交于，两点，则( )
A. 两圆有两条公切线 B. 垂直平分线段
C. 直线的方程为 D. 线段的长为
12. 已知实数，满足方程，则下列说法正确的( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，，且与互相垂直，则______．
14. 已知，，，点为线段中点，则点到点的距离是______．
15. 直线：被圆：截得的弦长为，则的值为______．
16. 已知点，直线：，则点到直线的距离为______，直线关于点对称的直线方程为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知直线经过点．
若点在直线上，求直线的方程；
若直线与直线垂直，求直线的方程．
18. 本小题分
如图，长方体中，是棱中点，，．
求线段的长；
求点到平面的距离．
19. 本小题分
已知圆经过点，，且_____从下列个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．与轴相切；圆恒被直线平分；过直线与直线的交点．
求圆的方程；
求过点的圆的切线方程，并求切线长．
20. 本小题分
如图，已知平面，底面为正方形，，，分别为，的中点．
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
已知圆：及直线：
证明：不论取什么实数，直线与圆恒相交；
求直线与圆所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．
22. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且，．
求证：；
在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：倾斜角是的直线的斜率为，
故过点，倾斜角是的直线的方程是，
故选：．
由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．
本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求出直线的方程，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，时，，斜率不存在，不满足题意；
当时，，，，，即，解得：或，
经检验时，两直线重合，不符合题意，
．
故选：．
若，则两直线斜率相等，列方程即可求解．
本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线：可化为，所以直线过定点，
又因为，所以点在圆内，
所以直线：与圆相交．
故选：．
由直线方程知直线过定点，判断点在圆内可得结论．
本题考查直线过定点问题，判断点与圆的位置关系，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
先计算两直线方向向量间夹角的余弦值，然后转化为异面直线间的夹角的余弦．
本题考查异面直线所成角的计算方法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
根据向量加法和减法的三角形法则即可得出．
本题考查了空间向量的线性运算．
【解答】
解：
连接，
是的中点，，
，，
，
故选：．

6.【答案】
【解析】解：，，向量，，，且，，
，
解得，，故，，
故．
故选：．
先根据，，求出，的值，然后利用模长公式求解
本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，．
直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是或．
故选：．
利用斜率计算公式、斜率的意义即可得出．
本题考查了斜率计算公式、斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设点关于直线的对称点为，
则，解得，
，又点，
故“将军饮马”的最短总路程为．
故选：．
先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解．
本题考查了求点关于直线对称的点及两点间的距离公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：中，过点且在，轴截距相等的直线有两种情况，
当截距为时，直线的方程为；
当截距不为时，设直线的方程为，将的坐标代入，可得，
此时直线的方程为，所以不正确；
中，圆与圆的圆心分别为，，半径分别为，，
则圆心距，恰好等于两个半径之和，所以两圆外切，所以B正确；
中，直线的斜率，所以直线的倾斜角为，所以不正确；
中，过点且倾斜角为的直线方程为，所以D正确．
故选：．
中，分截距是否为求出直线方程，可判断的真假；中，由两圆的方程可得圆心坐标及半径，求出圆心距和两圆半径的关系，可判断的真假；中，由直线的方程，可得直线的斜率，进而求出倾斜角，可判断的真假；中，由倾斜角为的直线过的点的坐标，可得直线的方程，可判断的真假．
本题考查直线的性质，圆与圆的位置关系和命题真假的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，先计算，判断出，即可证明与垂直，故A正确；
对于，直线的方向向量，
平面的法向量，且，
不成立，故B不正确；
对于，平面，的法向量分别为，，
且，
不垂直，故不成立，故C错误；
对于，若不共线，则可以取为一组基底，由平面向量基本原理可得存在实数，，
使，
则点，，，共面；
若共线，则存在实数，，使，
，，，共线，，，，共线，则点，，，共面也成立．
综上所述：点，，，共面，故D正确．
故选：．
对于，利用向量垂直的与垂直；对于，求出直线的方向向量和平面的法向量，推导出不成立；对于，求出平面，的法向量，推导出，从而不垂直，从而不成立；对于，利用向量共面定理能判断
本题考查命题真假的判断，考查直线的方向向量、线面垂直的判定与性质、向量平行、四点共面等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为圆：和圆：交于，两点，
所以两圆有两条公切线，故选项A正确；
对于，由图象可知，垂直线段，但不平分线的，故选项B错误；
对于，圆：和圆：的方程作差可得，，
所以直线的方程为，故选项C正确；
对于，圆心到直线的距离为，
则线段的长为，故选项D正确．
故选：．
由两圆相交即可判断选项A，利用数形结合即可判断选项B，由公共弦方程的求解方法即可判断选项C，由直线与圆的相交弦的求解方法即可判断选项D．
本题考查了圆与圆位置关系的应用，直线与圆位置关系的应用，直线与圆相交弦的求解，圆与圆公共弦方程的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：实数，满足方程，
，
对于，令，，
则两条直线都与圆有公共点，
，，解得，，
故的最大值为，的最大值为，故ABD正确，
对于，原点到圆心的距离为，
则圆上的点到原点的距离为，
，
，
故的最大值为，故C错误．
故选：．
对于，结合点到直线的距离公式，即可求解，对于，结合两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，则，，
若与互相垂直，则，
解可得：，
故答案为：．
根据题意，求出向量与的坐标，由空间向量数量积的计算公式可得，解可得答案．
本题考查向量垂直的判断，涉及空间向量的坐标计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
则：，
故答案为：．
由题意首先求得点和点的坐标，然后计算其距离即可．
本题主要考查空间向量及其运算，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：圆：，圆心为，半径，
到的距离为，
截得的弦长为，截得或．
故答案为：或．
根据已知条件，结合点到直线的位置关系，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：点，直线：，
则点到直线的距离为，
设直线关于点的对称直线为，
则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上，
，解得，
将代入直线的方程可得，．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，中点坐标公式，即可求解．
本题主要考查点到直线的距离公式，以及中点坐标公式，属于基础题．
17.【答案】解：直线经过点和点，
则直线的斜率，
故直线的方程为，即．
直线与直线垂直，
可设直线的方程为，
直线过点，
，解得，
直线的方程为．
【解析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，求出斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线经过点，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，以及直线垂直的性质，属于基础题．
18.【答案】解：以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，则有，，，
，，，分
，分
分
，，，
设平面的法向量，
则，
取，得，
点到平面的距离．
【解析】以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查线段长的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19.【答案】解：选，设圆的方程为，
由题意可得，
且，
解得，，，
则圆的方程为，
选，直线恒过，
而圆恒被直线平分，
所以恒过圆心，
所以圆心为，可设圆的方程为，
由圆经过，得，
则圆的方程为，
选，由条件易知，
设圆的方程为，，
由题意可得，且有，解得，，，
则圆的方程为，即，
因为，所以点在圆外，
若直线斜率存在，设切线的斜率为，
则切线方程为，即，
所以，解得，
所以切线方程为，
若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意，
综上过点的圆的切线方程为或，
切线长．
【解析】由题意，对逐个分析，求出圆的标准方程即可，
设出直线的斜率，并根据圆心到直线的距离等于半径，求出斜率即可，并求斜率不存在时的直线方程也满足题意．
本题考查圆的方程及切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，．
则，
，所以，，
由于，所以平面．
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以．
设直线与平面所成角为，则．
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面．
利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值．
本题主要考查线面垂直的判定定理和直线与平面所成的角，属于中档题．
21.【答案】解：直线方程：，可以改写为，所以直线必经过直线和的交点．由方程组解得即两直线的交点为，
又因为点与圆心的距离，
所以该点在内，故不论取什么实数，直线与圆恒相交．
连接，当直线是的垂线时，此时的直线与圆相交于、为直线被圆所截得的最短弦长．此时，，所以即最短弦长为．
又直线的斜率，所以直线的斜率为．
此时直线方程为：，即．
【解析】要证直线无论取何实数与圆恒相交，即要证直线横过过圆内一点，方法是把直线的方程改写成可知，直线一定经过直线和的交点，联立两条直线的方程即可求出交点的坐标，然后利用两点间的距离公式求出之间的距离，判断小于半径，得证；
根据圆的对称性可得过点最长的弦是直径，最短的弦是过垂直于直径的弦，所以连接，过作的垂线，此时的直线与圆相交于、，弦为最短的弦，接下来求的长，根据垂径定理可得是的中点，利用圆心到的距离其实就是的长和圆的半径的长，根据勾股定理可求出的长，求得的长即为最短弦的长；根据点和点的坐标求出直线的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为求出直线的斜率，又直线过，根据斜率与点坐标即可写出直线的方程．
本题考查学生会求两直线的交点坐标，会利用点到圆心的距离与半径的大小比较来判断点与圆的位置关系，灵活运用圆的垂径定理解决实际问题，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据斜率与一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．
22.【答案】证明：证明：如图，设为的中点，连结，
则，且，所以四边形为平行四边形，
故AE，又，
所以，得．
因为平面，平面，所以．
又，平面，平面，
所以平面，所以．
解：如图，以为坐标原点，
以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，则，
，，．
设，，则的坐标为设是平面的一个法向量，则
，得，则可取
又是平面的一个法向量，
所以，．
．
【解析】设为的中点，连结，由已知条件推导出四边形为平行四边形，从而得到，由此能证明平面，从而得到．
以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值
本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与空间角的计算，属于中档题．
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