2022-2023学年上海市嘉定区封浜高级中学高三（上）期中数学试卷( 含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
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2022-2023学年上海市嘉定区封浜高级中学高三（上）期中数学试卷
一、填空题（本题共12小题，共54分）
1. 已知集合，，则______．
2. 不等式的解集是______．
3. 已知函数为奇函数，则______．
4. 已知角的终边上一点，则 ．
5. 曲线在点处的切线方程为______．
6. 已知是偶函数，且时，，若，则的值是______．
7. 已知，且，则______．
8. 已知函数在时有极值，则______．
9. 已知正实数、满足，则的最小值是______．
10. 在中，角、、的对边分别为、、，若，则 ______ ．
11. 已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有______个．
12. 若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是______．
二、选择题（本题共4小题，共204分）
13. 下列选项中是的必要不充分条件的有( )
A. ：，：
B. ：，：
C. ：两个三角形全等，：两个三角形面积相等
D. ：，：，
14. 下列求导运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
15. 将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是( )
A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
三、解答题（本题共5小题，共76分）
17. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，．
求角；
求的面积．
18. 已知函数．
求的单调递增区间；
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．
19. 已知．
指出函数的定义域，并求，，，的值；
观察中的函数值，请你猜想函数的一个性质，并证明你的猜想；
解不等式：．
20. 某医院需要建造隔离病房和药物仓库，已知建造隔离病房的所有费用万元和病房与药物仓库的距离千米的关系为：若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元，为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．
求的表达式：
当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值．
21. 已知函数．
求处的切线方程；
求证：有且仅有一个极值点；
若存在实数使对任意的恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
直接利用交集运算得答案．
【解答】
解：集合，，
所以．
故答案为：．
2.【答案】
【解析】解：不等式 即，解得，
故答案为：．
把要求的不等式等价转化为，由此求得原不等式的解集．
本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数为奇函数，
，
解得，，
经验证，函数为奇函数．
故答案为：．
由题意可得，解出再验证即可．
本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数定义与诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由已知根据三角函数的定义可求出角的正切值，根据诱导公式化简所求即可得解．
【解答】
解：因为角的终边上一点，
根据三角函数的定义，得，
所以，
故答案为：．

5.【答案】
【解析】解：由，得，
，
则曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，是偶函数，且时，，
若，则，则，
则有时，，则，
又由是偶函数，则；
故答案为：
根据题意，由函数的奇偶性解析式分析可得，解可得，即可得函数在的解析式，据此结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
两边平方，可得，
可得，
又，，
所以，
可得．
故答案为：．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式可求，由题意可求范围，可得，进而利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，
依题意可得，
联立可得或；当，时函数，
，所以函数在上单调递增，
故函数无极值，所以，舍去；所以经检验，符合题意，所以．
故答案为：．
对函数进行求导，根据函数在有极值，可以得到，代入求解可得或，经检验，即可求出结果．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：正实数，满足，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
因此最小值为，
故答案为：．
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查基本不等式的运用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由余弦定理得，
化简得，
所以．
故答案为：．
由已知结合余弦定理进行化简，然后结合勾股定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理及勾股定理，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由导函数的图象的可知，有两个解，
且在，上单调递增，在上单调递减，
故函数的极值点有个，
故答案为：．
结合函数的图象，根据导数和函数极值的关系即可求出．
本题考查了导数和函数极值的关系，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为关于的方程有实数解，
所以方程有实数解，
因为当且仅当时等号成立，
所以方程有实数解，则，
所以实数的取值范围是．
故答案为：
根据题意，将问题转化为有实数解，进而结合二次函数求解即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了充分必要条件，考查不等式以及集合的性质等基础知识，是基础题．
根据充分必要条件的定义分别判断即可．
【解答】
解：：，是的必要不充分条件，A正确，
：：，，：，，是的充要条件，B错误，
：两个三角形全等两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，是的充分不必要条件，C错误，
：当，时，则，反之，当时，，不一定成立，是的必要不充分条件，D正确，
故选：．

14.【答案】
【解析】解：选项，，A错误；
选项，，B错误；
选项，，C正确；
选项，，D错误．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
15.【答案】
【解析】解：，
把函数的图象向右平移个单位长度，得到，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，
令：，
整理得：，
故函数的单调递增区间为：．
故选：．
首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，最后利用整体思想的应用求出函数的单调递增区间．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：对于，若，则，即，即，即是等边三角形，故正确；
对于，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于，若，，即，则是等腰三角形，故正确；
对于，中，，角为锐角，但不一定是锐角三角形，故错误；
故选：．
根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．
本题考查正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质的应用等知识点，考查学生训练运用公式熟练变形的能力，属于中档题．
17.【答案】解：在中，，即，
由余弦定理得，
，
；
由得，，，
由正弦定理得，即，解得，
又，
的面积．
【解析】根据题意，利用余弦定理，即可得出答案；
由得，，，利用正弦定理求出，求出，利用三角形的面积公式，即可得出答案．
本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
令，，解得，，
可得的单调递增区间为，．
将的图象向右平移个单位长度，得到函数，
由于，可得，，
可得，即在区间内的值域为．
【解析】利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解．
由题意利用三角函数的平移变换可求，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换，三角函数的平移变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ由，，可得，
可得函数的定义域为；
，，，．
Ⅱ性质一：由于，，
猜想函数为奇函数，
证明：设任意，，
所以函数为奇函数
性质二：由于，
函数在定义域上单调递减，
证明：设任意，，且，
则，
因为，所以，，
则，，
所以，即，
函数在定义域上单调递减．
Ⅲ解法一：由Ⅰ可知，，则，
又为奇函数，则，又函数在定义域上单调递减，
故原不等式可化为：，
解得，即原不等式的解集为．
解法二：因为，所以，
所以，
原不等式可化为：，
即，所以，解得，
又，所以，即原不等式的解集为．
【解析】本题考查函数的定义域的求法和奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性，属于中档题．
Ⅰ由真数大于，可得定义域；代入计算可得函数值；
Ⅱ可得性质一、函数为奇函数，运用奇函数的定义即可得到；
性质二、函数在定义域上单调递减，运用单调性的定义，即可得证；
Ⅲ解法一、运用单调性，可得，解不等式组即可得到解集；
解法二、求出，由对数的运算性质，解不等式即可得到所求．
20.【答案】解：由题意知，当时，，
所以，解得，
所以，
所以．
，
当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值，为，
所以当隔离病房与药物仓库距离千米时，可使得总费用最小，为万元．
【解析】把，代入已知等式中，可得的值，再由，化简运算得解；
根据中所得，结合基本不等式，即可得解．
本题考查函数的实际应用，选择合适的函数模型，熟练掌握基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意得，则，，
在点处的切线方程为；
证明：由题意得，，
要证有且仅有一个极值点，即证只有一个实数根，
令，则，由得，
由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
则当时，，当时，，
当时，，又，
只有一个实数根，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取到极大值，
故有且仅有一个极值点；
存在实数使对任意的恒成立，转化为存在实数，使对任意的恒成立，
即存在实数，使得对任意的恒成立，
令，则，由可知，
由可知在上单调递增，在上单调递减，
当时，取到极大值，即，
，且，即，
存在，使得成立，
令，则，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，且，
，
故实数的取值范围为．
【解析】求出，可得，，利用点斜式，即可得出答案；
求出，要证有且仅有一个极值点，即证只有一个实数根，即证在两侧的单调性，构造函数，求出，利用导数研究函数的单调性，即可证明．
题意转化为存在实数，使对任意的恒成立，即存在实数，使得对任意的恒成立，构造函数，求出，判断的单调性和最大值，即可得出答案．
本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
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