26.1 二次函数 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·桐乡市期中）下列函数中，属于二次函数的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2022九上·中山期中）已知函数是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．任意实数
3．（2022·诸暨模拟）如图，周长为定值的平行四边形 中， ，设 的长为 的长为y，平行四边形 的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与 与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
4．（2021九上·上思期中）下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
5．（2021九上·安庆月考）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
6．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2022九上·义乌开学考）已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ．
8．（2021九上·通榆月考）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是 (不用写出x的取值范围)
9．（2020九上·顺昌月考）用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式）
10．（2020九上·齐齐哈尔月考）若 是二次函数，则m= ，其中自变量x的取值范围是 ．
11．（2020九上·河北期末）如果二次函数 （m为常数）的图象有最高点，那么m的值为 ．
三、解答题
12．（2022九上·通州月考）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
13．（2020九上·合肥月考）当m为何值时，函数 是二次函数．
14．（2020九上·嘉祥月考）一条隧道的横截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为 米．如果隧道下部的宽度大于 米但不超过 米，求隧道横截面积 （平方米）关于上部半圆半径 （米）的函数解析式及函数的定义域．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B、函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，x的最高次数是3，不是二次函数，故C不符合题意；
D、是二次函数，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知，，解得：；
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
3．【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；锐角三角函数的定义；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，
∴x+y=a，
∴y=-x+a，
∵∠B=65°，
∴AE=sin65°·x，
∴S=sin65°·x（-x+a）=-sin65°·x2+asin65°·x，
∴y与x满足的函数关系为一次函数，S与x满足的函数关系为二次函数.
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，根据平行四边形的周长公式得出x+y=a，从而得出y=-x+a，再利用锐角三角函数的定义得出AE=sin65°·x，然后根据矩形的面积公式得出S=-sin65°·x2+asin65°·x，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为： ，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为： ，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为： ，是二次函数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一般形如，（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，根据条件分别列出各项的函数关系式，再根据二次函数的定义，即可作答.
5．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．
∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= （1-x），BG= ，
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=
=
当x=0或x=1时，S△EFB有最大值；
故答案为：A。
【分析】过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．由菱形的性质可将EM、NE用含x的代数式表示出来，用勾股定理可求得BG的长，根据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积即可写出y与x之间的函数关系式，由题意知，当x=0或x=1时，函数有最大值，由此即可判断正确的图像。
7．【答案】﹣2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴，
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，得出，即可得出m的值.
8．【答案】y=16-x2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4，
∴AB=AD=4，
∵ BE=DF =x，
∴AE=4-x，AF=4+x，
∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2.
【分析】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x，
∴y=x（40-x）= ．
故答案为 ．
【分析】由矩形的一边长为xcm,周长为80cm，可求出矩形的另一边长=40-x，根据矩形的面积=长×宽解答即可.
10．【答案】3；全体实数
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的定义
【解析】【解答】解： 函数 是二次函数，
，
解得： ，
即函数为 ，
∴自变量x的取值范围是全体实数．
故答案为：3；全体实数．
【分析】一般地，形如 、b、c是常数， 的函数，叫做二次函数，利用二次函数的定义分析即可求出m的取值，再由代数式的有意义可得自变量x的取值范围．
11．【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵二次函数 （m为常数）的图象有最高点，
∴
解得：m=-2，
故答案为-2．
【分析】根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可．
12．【答案】解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，
则a2﹣2a﹣1＝2，
解得a＝3或a＝﹣1，
又∵a﹣3≠0，
∴a≠3，
∴a＝﹣1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数y=ax2（a≠0），根据二次项系数不等于0，且最高次数为2，可得到关于a的不等式和方程，然后求出不等式的解集和方程的解，由此可得到a的值.
13．【答案】解：∵函数 是二次函数
∴
解得：m=3
即当m=3时，函数 是二次函数．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义即可求出结论．
14．【答案】解：半圆的半径为r，矩形的另一边长为2r，则：隧道截面的面积S= πr2+2r×2.5，即S= πr2+5r；
∵5＜2r≤10，∴2.5＜r≤5．
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】已知半圆的半径为r，可知矩形的另一边长为2r，根据隧道横截面积=半圆面积+矩形面积列出函数关系式，再由隧道下部的宽度大于5米但不超过10米得到5＜2r≤10，由此求出函数的定义域．
1 / 126.1 二次函数 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·桐乡市期中）下列函数中，属于二次函数的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B、函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，x的最高次数是3，不是二次函数，故C不符合题意；
D、是二次函数，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
2．（2022九上·中山期中）已知函数是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．任意实数
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知，，解得：；
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
3．（2022·诸暨模拟）如图，周长为定值的平行四边形 中， ，设 的长为 的长为y，平行四边形 的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与 与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；锐角三角函数的定义；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，
∴x+y=a，
∴y=-x+a，
∵∠B=65°，
∴AE=sin65°·x，
∴S=sin65°·x（-x+a）=-sin65°·x2+asin65°·x，
∴y与x满足的函数关系为一次函数，S与x满足的函数关系为二次函数.
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，根据平行四边形的周长公式得出x+y=a，从而得出y=-x+a，再利用锐角三角函数的定义得出AE=sin65°·x，然后根据矩形的面积公式得出S=-sin65°·x2+asin65°·x，即可得出答案.
4．（2021九上·上思期中）下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为： ，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为： ，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为： ，是二次函数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一般形如，（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，根据条件分别列出各项的函数关系式，再根据二次函数的定义，即可作答.
5．（2021九上·安庆月考）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
6．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．
∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= （1-x），BG= ，
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=
=
当x=0或x=1时，S△EFB有最大值；
故答案为：A。
【分析】过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．由菱形的性质可将EM、NE用含x的代数式表示出来，用勾股定理可求得BG的长，根据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积即可写出y与x之间的函数关系式，由题意知，当x=0或x=1时，函数有最大值，由此即可判断正确的图像。
二、填空题
7．（2022九上·义乌开学考）已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ．
【答案】﹣2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴，
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，得出，即可得出m的值.
8．（2021九上·通榆月考）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是 (不用写出x的取值范围)
【答案】y=16-x2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4，
∴AB=AD=4，
∵ BE=DF =x，
∴AE=4-x，AF=4+x，
∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2.
【分析】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案.
9．（2020九上·顺昌月考）用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式）
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x，
∴y=x（40-x）= ．
故答案为 ．
【分析】由矩形的一边长为xcm,周长为80cm，可求出矩形的另一边长=40-x，根据矩形的面积=长×宽解答即可.
10．（2020九上·齐齐哈尔月考）若 是二次函数，则m= ，其中自变量x的取值范围是 ．
【答案】3；全体实数
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的定义
【解析】【解答】解： 函数 是二次函数，
，
解得： ，
即函数为 ，
∴自变量x的取值范围是全体实数．
故答案为：3；全体实数．
【分析】一般地，形如 、b、c是常数， 的函数，叫做二次函数，利用二次函数的定义分析即可求出m的取值，再由代数式的有意义可得自变量x的取值范围．
11．（2020九上·河北期末）如果二次函数 （m为常数）的图象有最高点，那么m的值为 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵二次函数 （m为常数）的图象有最高点，
∴
解得：m=-2，
故答案为-2．
【分析】根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可．
三、解答题
12．（2022九上·通州月考）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
【答案】解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，
则a2﹣2a﹣1＝2，
解得a＝3或a＝﹣1，
又∵a﹣3≠0，
∴a≠3，
∴a＝﹣1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数y=ax2（a≠0），根据二次项系数不等于0，且最高次数为2，可得到关于a的不等式和方程，然后求出不等式的解集和方程的解，由此可得到a的值.
13．（2020九上·合肥月考）当m为何值时，函数 是二次函数．
【答案】解：∵函数 是二次函数
∴
解得：m=3
即当m=3时，函数 是二次函数．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义即可求出结论．
14．（2020九上·嘉祥月考）一条隧道的横截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为 米．如果隧道下部的宽度大于 米但不超过 米，求隧道横截面积 （平方米）关于上部半圆半径 （米）的函数解析式及函数的定义域．
【答案】解：半圆的半径为r，矩形的另一边长为2r，则：隧道截面的面积S= πr2+2r×2.5，即S= πr2+5r；
∵5＜2r≤10，∴2.5＜r≤5．
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】已知半圆的半径为r，可知矩形的另一边长为2r，根据隧道横截面积=半圆面积+矩形面积列出函数关系式，再由隧道下部的宽度大于5米但不超过10米得到5＜2r≤10，由此求出函数的定义域．
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