26.2.1 二次函数y=ax2的图像与性质 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·河西期中）在抛物线上的点为（ ）
A．（1，0） B．（2，2） C．（-1，1） D．（0，1）
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将各选项分别代入判断即可。
2．（2022九上·河西期中）下列二次函数的图象中，开口最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】
二次函数的开口最小
故答案为：A．
【分析】根据二次函数二次项的系数的绝对值越大函数图象开口越小求解即可。
3．（2022九上·拱墅期中）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣2，﹣1）关于对称轴的对称点为（2，﹣1），
∴点（2，﹣1）必在该图象上，
故答案为：A.
【分析】由二次函数的解析式可得对称轴为y轴，求出点（-2，-1）关于y轴的对称点，据此判断.
4．（2022九上·萧山期中）对于下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点为 D．随增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：中，开口向下，A正确，不符合题意；
对称轴为直线，B正确，不符合题意；
顶点为，C正确，不符合题意；
当时随着的增大而增大，D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】y=ax2，当a<0时，图象开口向下，对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），当x<0时，y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小.
5．（2022九上·芜湖期中）在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，它们的共同点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线的开口向上
B．关于y轴对称，抛物线的开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵函数，，中，a取值范围分别为：，，，
∴抛物线的开口方向分别为：向下、向下、向上，即开口方向不同；
由函数，，的解析式可知：顶点坐标都为；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
6．（2022九上·通州期中）已知点都在函数的图像上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵点都在函数的图像上，由确定开口向下，且对称轴为y轴，
∴当二次函数图象开口向下时，点离对称轴距离越近函数值越大；越远函数值越小，
∵到y轴的距离为1；到y轴的距离为2；到y轴的距离为；
∴，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
7．（2022九上·桐庐月考）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故答案为：C．
【分析】由正比例函数y＝ax图象的位置确定a的符号，再与二次函数图象y＝ax2中的图象比较是否一致，然后利用两函数的交点确定选项即可.
8．（2020九上·长兴开学考）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知： ≤a≤3.
故答案为：A.
【分析】分别根据当抛物线经过（1，3）和（3，1）求出a的值，即求出抛物线最胖或最瘦时的a值，结合图象即可得出a的范围.
二、填空题
9．（2022九上·大安期中）已知点 、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为 （用“”连接）．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵、、都在函数的图象上，
∴点关于对称轴的对称点的坐标是在函数的图象上，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
10．（2022九上·普陀期中）已知点，在抛物线上，如果，那么 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：＜
【分析】由二次函数的抛物线开口向下，对称轴为y轴，可知在对称轴左侧，y随x的增大而增大，据此解答即可.
11．（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．
【答案】8
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数与的图象关于x轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
正方形的边长为4，
．
故答案为：8．
【分析】先求出图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，再根据正方形的边长为4，求解即可。
12．（2022九上·乳山期中）如图，的顶点A在抛物线上，，，．将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 .
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵，，
∴
则点的坐标为，代入得
解得
则抛物线解析式为
∵绕点O顺时针旋转，得到
∴，点的纵坐标为
∵点在抛物线上，令
解得或（舍去）
则点的坐标为
故答案为：
【分析】先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入，求出a的值，再结合，点P的纵坐标为2，将y=2代入，求出x的值，即可得到点P的坐标。
13．（2021九上·海淀期中）已知 ， 为抛物线 （ ）上任意两点，其中 ．若对于 ，都有 ，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥1或a≤-1
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵ ， 为抛物线 （ ）上任意两点，
∴ ， ，
∵对于 ，都有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 恒成立，
∴要使 恒成立则 ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
1 / 126.2.1 二次函数y=ax2的图像与性质 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·河西期中）在抛物线上的点为（ ）
A．（1，0） B．（2，2） C．（-1，1） D．（0，1）
2．（2022九上·河西期中）下列二次函数的图象中，开口最小的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·拱墅期中）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
4．（2022九上·萧山期中）对于下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点为 D．随增大而减小
5．（2022九上·芜湖期中）在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，它们的共同点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线的开口向上
B．关于y轴对称，抛物线的开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
D．当时，y随x的增大而减小
6．（2022九上·通州期中）已知点都在函数的图像上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·桐庐月考）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020九上·长兴开学考）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
二、填空题
9．（2022九上·大安期中）已知点 、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为 （用“”连接）．
10．（2022九上·普陀期中）已知点，在抛物线上，如果，那么 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
11．（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．
12．（2022九上·乳山期中）如图，的顶点A在抛物线上，，，．将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 .
13．（2021九上·海淀期中）已知 ， 为抛物线 （ ）上任意两点，其中 ．若对于 ，都有 ，则a的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将各选项分别代入判断即可。
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】
二次函数的开口最小
故答案为：A．
【分析】根据二次函数二次项的系数的绝对值越大函数图象开口越小求解即可。
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣2，﹣1）关于对称轴的对称点为（2，﹣1），
∴点（2，﹣1）必在该图象上，
故答案为：A.
【分析】由二次函数的解析式可得对称轴为y轴，求出点（-2，-1）关于y轴的对称点，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：中，开口向下，A正确，不符合题意；
对称轴为直线，B正确，不符合题意；
顶点为，C正确，不符合题意；
当时随着的增大而增大，D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】y=ax2，当a<0时，图象开口向下，对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），当x<0时，y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小.
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵函数，，中，a取值范围分别为：，，，
∴抛物线的开口方向分别为：向下、向下、向上，即开口方向不同；
由函数，，的解析式可知：顶点坐标都为；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵点都在函数的图像上，由确定开口向下，且对称轴为y轴，
∴当二次函数图象开口向下时，点离对称轴距离越近函数值越大；越远函数值越小，
∵到y轴的距离为1；到y轴的距离为2；到y轴的距离为；
∴，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
7．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故答案为：C．
【分析】由正比例函数y＝ax图象的位置确定a的符号，再与二次函数图象y＝ax2中的图象比较是否一致，然后利用两函数的交点确定选项即可.
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知： ≤a≤3.
故答案为：A.
【分析】分别根据当抛物线经过（1，3）和（3，1）求出a的值，即求出抛物线最胖或最瘦时的a值，结合图象即可得出a的范围.
9．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵、、都在函数的图象上，
∴点关于对称轴的对称点的坐标是在函数的图象上，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
10．【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：＜
【分析】由二次函数的抛物线开口向下，对称轴为y轴，可知在对称轴左侧，y随x的增大而增大，据此解答即可.
11．【答案】8
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数与的图象关于x轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
正方形的边长为4，
．
故答案为：8．
【分析】先求出图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，再根据正方形的边长为4，求解即可。
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵，，
∴
则点的坐标为，代入得
解得
则抛物线解析式为
∵绕点O顺时针旋转，得到
∴，点的纵坐标为
∵点在抛物线上，令
解得或（舍去）
则点的坐标为
故答案为：
【分析】先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入，求出a的值，再结合，点P的纵坐标为2，将y=2代入，求出x的值，即可得到点P的坐标。
13．【答案】a≥1或a≤-1
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵ ， 为抛物线 （ ）上任意两点，
∴ ， ，
∵对于 ，都有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 恒成立，
∴要使 恒成立则 ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
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