26.2.3 求二次函数表达式 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·长丰期末）若二次函数y=mx2（m≠0）的图象经过点（2，-5），则它也经过（ ）
A．（-2，-5） B．（-2，5） C．（2，5） D．（-5，2）
2．（2021九上·蚌埠期末）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 1 3 …
y … …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于
D．当时，y的值随x值的增大而增大
3．（2022九上·乳山期中）如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则（ ）
A．-2 B． C． D．
4．（2022九上·瑞安期中）已知二次函数， 其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：
0 1 2 3 4
0
点在函数的图象上， 当时， 与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广州模拟）抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6 B．1 C．-1 D．-6
6．（2022·蜀山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a）2 +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（ ）
A．-1≤a≤0 B．
C． D．
二、填空题
7．（2022九上·拱墅期中）已知一个二次函数的图象形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的解析式为 .
8．（2022九上·南开期中）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 ．
9．（2022九上·富阳期中）对于二次函数y＝x2－2mx－3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ ．
10．（2022九上·北京市期中）小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 …
该二次函数的解析式是 ．
11．（2021九上·三台期中）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标 .
三、解答题
12．（2022九上·通州期中）已知是二次函数图象上两点，求二次函数的表达式．
13．（2022九上·中山期中）二次函数的图象经过，两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．
14．（2022九上·通榆月考）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点求b，c的值．
四、综合题
15．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数)．
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式，：
（2）若a>0，当x<时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围，
（3）若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵y=mx2，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵图象经过点（2，-5），
∴图象经过点（-2，-5），
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线对称轴为y轴，再求解即可。
2．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2 +bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（，0）和（﹣，0），故B选项不符合题意；
C．当x时，函数有最小值为，故C选项不符合题意；
D．函数对称轴为直线x，根据图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的图象和性质与系数的关系逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：连接，过点B作轴于D，
∵四边形是边长为1的正方形，
∴，，.
∵与轴正半轴的夹角为，
∴.
在中，，.
∵点B在第四象限，
∴点B的坐标为（，），
将点B的坐标代入中，得
解得：
故答案为：C．
【分析】连接，过点B作轴于D，先求出，，可得点B的坐标为（，），再将点B的坐标代入，求出a的值即可。
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：从表中可知，二次函数过点，，，
则有，，
解得，，
即二次函数为：，
该二次函数开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴由二次函数对称性得到，，
故答案为：A．
【分析】把x＝0时y＝ 4；x＝1时y＝ 1；x＝2时y＝0代入函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），求出a、b、c的值，进而得出抛物线的解析式，由解析式可知抛物线开口向下，对称轴x＝ 2，离对称轴越近值越小，从而可判断出y1与y2的大小关系．
5．【答案】D
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故答案为：D．
【分析】先将点，，代入求出a、b、c的值，再将x=5代入函数解析式可得答案。
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线过点A（-2，0）时，解得：a=-1或a=-4；
当抛物线过点B（-2，-2）时，解得：a=或a=；
当抛物线过点C（0，2）时，解得：a=或a=；
当抛物线经过原点（0，0）时，解得：a=0或a=-1；
抛物线y=2（x-a） +2a，
∵2＞0，开口向上，最小值为2a，直线BC为y=2，
∴2a≤2，即a≤1
∵＜-4＜＜-1＜＜0＜
∴当抛物线y=2（x-a） +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值： ≤a≤
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线开口向上，顶点为（a，2a），然后再分两种情况讨论，求得经过四边形顶点的坐标时a的值，根据图象即可得出a的取值范围。
7．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：图象顶点坐标为，
可以设函数解析式是，
又抛物线形状及开口方向与抛物线相同，
，
这个函数解析式是：，
故答案为：.
【分析】根据顶点坐标可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3，由两抛物线的形状与开口方向相同可得a=3，据此可得抛物线的解析式.
8．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，所以满足条件的二次函数的解析式可以为（答案不唯一）；
故答案为．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
9．【答案】5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，
∴4-4m-3=64-16m-3
解之：m=5
故答案为：5
【分析】利用当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
10．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为，由表格可把点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
故答案为．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
11．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解折式为y=x2-x+1；
∴抛物线的对称轴为x=，
∵B、C关于x=对称，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是|AM-MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大．
易知直线AB的解析式为y=-x+1
∴由，
得，
∴M（，-）．
【分析】将A（0，1）、B（1，0）代入解析式中求出b、c值，即得y=x2-x+1，可得抛物线的对称轴为x=，根据抛物线的对称性可得MC=MB，要使|AM-MC|最大，即是|AM-MB|最大，可知
当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大，求出此时直线AB的解析式，再求出x=时y值，即得点M坐标.
12．【答案】解：∵是二次函数图象上两点，
∴，
∴，
∴此二函数的解析式为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A、B的坐标代入，求出b、c的值即可。
13．【答案】解：二次函数的图象经过，两点，
，
解这个方程组，得，
二次函数的解析式为：
=，
二次函数图象的对称轴是直线，顶点是．
故这个二次函数的解析式为：，对称轴：直线，顶点：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用待定系数法求出 二次函数的解析式为： ，再求出 二次函数图象的对称轴是直线，顶点是，最后求解即可。
14．【答案】解：∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，C的坐标分别为A（3，0），C（0，3）．
将点A（3，0），C（0，3）的坐标代人y=-x2+bx+c，
得
解得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.
15．【答案】（1）解：把(2，3)代入y＝ax2＋4ax＋3a，得3＝4a＋8a＋3a，
解得： ，
∴函数y的表达式y＝
（2）解：∵抛物线得对称轴为直线x＝ ，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴ ，即m≤ 6
（3）解：由题意得：y＝a(x＋2)2 a，
∵二次函数在 3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴ ；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝ 2时，y有最大值 a，
∴ a＝3，
∴a＝ 3，
综上， 或a＝ 3．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点(2，3)代入二次函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）利用二次函数解析式可得到其对称轴，利用二次函数的性质可知抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，结合已知条件：x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数在 3≤x≤1时有最大值3，分情况讨论：当a＞0 时，开口向上，当x＝1时，y有最大值8a，由此可求出a的值；当a＜0 时，开口向下，当x＝ 2时，y有最大值 a，即可求出a的值，综上所述可得到符合题意的a的值.
1 / 126.2.3 求二次函数表达式 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·长丰期末）若二次函数y=mx2（m≠0）的图象经过点（2，-5），则它也经过（ ）
A．（-2，-5） B．（-2，5） C．（2，5） D．（-5，2）
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵y=mx2，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵图象经过点（2，-5），
∴图象经过点（-2，-5），
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线对称轴为y轴，再求解即可。
2．（2021九上·蚌埠期末）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 1 3 …
y … …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2 +bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（，0）和（﹣，0），故B选项不符合题意；
C．当x时，函数有最小值为，故C选项不符合题意；
D．函数对称轴为直线x，根据图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的图象和性质与系数的关系逐项判断即可。
3．（2022九上·乳山期中）如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则（ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：连接，过点B作轴于D，
∵四边形是边长为1的正方形，
∴，，.
∵与轴正半轴的夹角为，
∴.
在中，，.
∵点B在第四象限，
∴点B的坐标为（，），
将点B的坐标代入中，得
解得：
故答案为：C．
【分析】连接，过点B作轴于D，先求出，，可得点B的坐标为（，），再将点B的坐标代入，求出a的值即可。
4．（2022九上·瑞安期中）已知二次函数， 其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：
0 1 2 3 4
0
点在函数的图象上， 当时， 与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：从表中可知，二次函数过点，，，
则有，，
解得，，
即二次函数为：，
该二次函数开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴由二次函数对称性得到，，
故答案为：A．
【分析】把x＝0时y＝ 4；x＝1时y＝ 1；x＝2时y＝0代入函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），求出a、b、c的值，进而得出抛物线的解析式，由解析式可知抛物线开口向下，对称轴x＝ 2，离对称轴越近值越小，从而可判断出y1与y2的大小关系．
5．（2022·广州模拟）抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6 B．1 C．-1 D．-6
【答案】D
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故答案为：D．
【分析】先将点，，代入求出a、b、c的值，再将x=5代入函数解析式可得答案。
6．（2022·蜀山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a）2 +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（ ）
A．-1≤a≤0 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线过点A（-2，0）时，解得：a=-1或a=-4；
当抛物线过点B（-2，-2）时，解得：a=或a=；
当抛物线过点C（0，2）时，解得：a=或a=；
当抛物线经过原点（0，0）时，解得：a=0或a=-1；
抛物线y=2（x-a） +2a，
∵2＞0，开口向上，最小值为2a，直线BC为y=2，
∴2a≤2，即a≤1
∵＜-4＜＜-1＜＜0＜
∴当抛物线y=2（x-a） +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值： ≤a≤
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线开口向上，顶点为（a，2a），然后再分两种情况讨论，求得经过四边形顶点的坐标时a的值，根据图象即可得出a的取值范围。
二、填空题
7．（2022九上·拱墅期中）已知一个二次函数的图象形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的解析式为 .
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：图象顶点坐标为，
可以设函数解析式是，
又抛物线形状及开口方向与抛物线相同，
，
这个函数解析式是：，
故答案为：.
【分析】根据顶点坐标可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3，由两抛物线的形状与开口方向相同可得a=3，据此可得抛物线的解析式.
8．（2022九上·南开期中）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，所以满足条件的二次函数的解析式可以为（答案不唯一）；
故答案为．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
9．（2022九上·富阳期中）对于二次函数y＝x2－2mx－3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ ．
【答案】5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，
∴4-4m-3=64-16m-3
解之：m=5
故答案为：5
【分析】利用当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
10．（2022九上·北京市期中）小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 …
该二次函数的解析式是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为，由表格可把点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
故答案为．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
11．（2021九上·三台期中）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标 .
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解折式为y=x2-x+1；
∴抛物线的对称轴为x=，
∵B、C关于x=对称，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是|AM-MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大．
易知直线AB的解析式为y=-x+1
∴由，
得，
∴M（，-）．
【分析】将A（0，1）、B（1，0）代入解析式中求出b、c值，即得y=x2-x+1，可得抛物线的对称轴为x=，根据抛物线的对称性可得MC=MB，要使|AM-MC|最大，即是|AM-MB|最大，可知
当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大，求出此时直线AB的解析式，再求出x=时y值，即得点M坐标.
三、解答题
12．（2022九上·通州期中）已知是二次函数图象上两点，求二次函数的表达式．
【答案】解：∵是二次函数图象上两点，
∴，
∴，
∴此二函数的解析式为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A、B的坐标代入，求出b、c的值即可。
13．（2022九上·中山期中）二次函数的图象经过，两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．
【答案】解：二次函数的图象经过，两点，
，
解这个方程组，得，
二次函数的解析式为：
=，
二次函数图象的对称轴是直线，顶点是．
故这个二次函数的解析式为：，对称轴：直线，顶点：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用待定系数法求出 二次函数的解析式为： ，再求出 二次函数图象的对称轴是直线，顶点是，最后求解即可。
14．（2022九上·通榆月考）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点求b，c的值．
【答案】解：∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，C的坐标分别为A（3，0），C（0，3）．
将点A（3，0），C（0，3）的坐标代人y=-x2+bx+c，
得
解得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.
四、综合题
15．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数)．
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式，：
（2）若a>0，当x<时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围，
（3）若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【答案】（1）解：把(2，3)代入y＝ax2＋4ax＋3a，得3＝4a＋8a＋3a，
解得： ，
∴函数y的表达式y＝
（2）解：∵抛物线得对称轴为直线x＝ ，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴ ，即m≤ 6
（3）解：由题意得：y＝a(x＋2)2 a，
∵二次函数在 3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴ ；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝ 2时，y有最大值 a，
∴ a＝3，
∴a＝ 3，
综上， 或a＝ 3．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点(2，3)代入二次函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）利用二次函数解析式可得到其对称轴，利用二次函数的性质可知抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，结合已知条件：x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数在 3≤x≤1时有最大值3，分情况讨论：当a＞0 时，开口向上，当x＝1时，y有最大值8a，由此可求出a的值；当a＜0 时，开口向下，当x＝ 2时，y有最大值 a，即可求出a的值，综上所述可得到符合题意的a的值.
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