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26.3 实践与探索 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·杭州期中）二次函数的图象与坐标轴的交点个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2022九上·温州期中）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图形与y轴的交点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
3．（2022九上·晋安月考）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
4．（2022九上·霍邱月考）将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价( )
A．5元 B．15元 C．25元 D．35元
5．（2022九上·武清期中）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3
C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
6．（2022九上·慈溪期中）已知抛物线经过点，则该抛物线与轴的另一个交点是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·绵阳）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．（2022九上·拱墅期中）二次函数y＝﹣2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是 .
9．（2022九上·津南期中）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为 m．
10．（2022九上·淳安期中）某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.那么该文具定价为 元时每天的最大销售利润最大.
11．（2022九上·拱墅期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 .
12．（2022九上·海珠期中）抛物线的图象为，关于轴对称的图象为，和组成的图象与直线有3个公共点时，的范围（或值）是 ．
13．（2022·湘西）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
三、解答题
14．（2022九上·大安期中）在平面直角坐标系中，求抛物线与x轴的交点坐标．
15．（2022九上·滁州期中）已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．
16．（2022九上·乳山期中）某商场购进一批单价为40元的商品，若按每件50元销售，平均每天可销售90件．市场调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，平均每天少销售3件．将销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润W最大？最大利润W是多少？
四、综合题
17．（2022九上·西山期中）k为任意实数，已知二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，．
（1）填空： ；（用含k的代数式表示）
（2）若，求的值；
（3）求证：．
18．（2022九上·义乌期中）阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如，y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝时，y＝＝ a2，所以y＝x2是“对称函数”.
（1）函数对称函数（填“是”或“不是”）.当x≥0时，的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，的图象.
（2）函数的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值.
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C（2，－3），D（－3，－3），当二次函数（b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
当时，，
此时，，
∴抛物线与x轴的没有交点，
∴二次函数的图象与坐标轴的交点个数为1.
故答案为：B.
【分析】令解析式中的x=0，算出对应的函数值，可得抛物线与y轴交点的坐标；进而令解析式中的y=0，算出所得方程根的判别式b2-4ac的值，当b2-4ac＞0时，图象与x轴有两个不同的交点，当b2-4ac=0时，图象与x轴只有一个交点，当b2-4ac＜0时，图象与x轴没有交点，从而即可判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
即二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）.
故答案为：C.
【分析】令函数解析式中的x=0，求出y的值，可得二次函数图象与y轴的交点坐标.
3．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3.
故答案为：C.
【分析】根据图象，找出抛物线在直线上方部分所对应的x的范围即可.
4．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设应降价x元，
由题意可得：（20+x）（100-x-30）=-x2+50x+1400=-（x-25）2+2025，
∵-1＜0，
∴当x=25时，其最大利润为2025，
∴应降价25元，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出（20+x）（100-x-30）=-x2+50x+1400=-（x-25）2+2025，再求解即可。
5．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
所以y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合函数图象直接求出x的取值范围即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线经过点，
.
解得：.
抛物线的解析式为.
令，则.
解得：或.
该抛物线与轴的另一个交点是.
故答案为：B.
【分析】将A（2，0）代入y=(x-3)2+c中求出c的值，可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，据此可得抛物线与x轴的交点坐标.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），-2＜x1＜-1，
∴3＜x2＜4，故①正确；
∵对称轴为直线，
∴b=-2a，
∴3a+2b=3a-4a=-a
∵a＞0，
∴3a+2b=-a＜0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c∵a＞0，
∴b=-2a<0，
∴a＋c<0，
∴b2 -4ac > a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，故③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，故④错误；
∴正确的个数有2个.
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的对称性及抛物线的对称轴为直线x=1，-2＜x1＜-1，可得到x2的取值范围，可对①作出判断；利用对称轴可得到b=-2a，将其代入3a+2b，可得到3a+2b的取值范围，可对②作出判断；利用抛物线与x轴有两个交点坐标，可得到b2-4ac的大小，再由x=-1时y<0及b=-2a，代入可得到b2 -4ac与a+ c的大小关系，可对③作出判断；观察图象可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，可得到a，c的大小关系，根据a-b＋c<0，b=-2a，可得到b，c的大小关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．【答案】（0，4）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：将x＝0代y＝﹣2x2+3x+4得y＝4，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）.
【分析】令x=0，求出y的值，可得二次函数图象与y轴的交点坐标.
9．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得，﹣4 =﹣x2，
解得x =±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故答案为：20．
【分析】将y=4代入y＝﹣x2，求出x的值，即可得到点A、B的坐标，再求出AB的长即可。
10．【答案】35
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝35时，y最大，最大值为2250.
故答案为：35.
【分析】设该文具定价为x元，每天的利润为y元，由题意可得每件的利润为(x-20)元，每天的销售量为250-10(x-25)，然后根据每件的利润×销售量=总利润可得y与x的关系式，再结合二次函数的性质进行解答即可.
11．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线交于，
∴不等式的解集是.
故答案为：.
【分析】求关于x的不等式不等式ax2+c≥kx+m的解集，从图象上来说，就是求抛物线的图象在一次函数图象上方部分及交点的自变量的取值范围，结合交点横坐标即可得出答案.
12．【答案】-2，1，，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵、关于轴对称，
∴的解析式为，
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
观察图象可知：当，，，时，和组成的图象与直线有3个公共点．
故答案为：-3，1，，．
【分析】先求出二次函数解析式，再作出二次函数的图象，并结合函数图象求解即可。
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y＝0时， x2＋4x＋5＝0，
x1＝ 1，x2＝5，
∴A（ 1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x 5），
即y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5），
当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝ 1；
当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2 4x 5＝ x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：
∴当直线y＝ x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜ 1.
故答案为：＜b＜ 1.
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标；再利用折叠的性质，可求出折叠后的二次函数的解析式；当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，代入计算求出b的值；当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，利用一元二次方程根的判别式，可求出b的值；综上所述可得到b的取值范围.
14．【答案】解：令，得，
解得，
∴抛物线与轴的交点坐标为或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将y=0代入求出x的值即可。
15．【答案】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴方程有两个实数根．
解得.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将抛物线与x轴交点的个数转换为一元二次方程根的判别式列出不等式，再求出即可。
16．【答案】解：设销售单价定为x元，由题意得：
，
，
时，W取最大值，最大值为1200，
∴单价为60元才能使每天所获得销售利润最大，最大利润为1200元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设销售单价定为x元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
17．【答案】（1）2k
（2）解：∵ ，∴
∴
则
又
（3）证明：∵
∴
又
∴原式
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再根据 计算求解即可；
（3）先求出，最后证明即可。
18．【答案】（1）解：在实数范围内任取x＝a时，；当x＝时，，所以是“对称函数”.
画图如下，
（2）解：当直线过点时，得
当直线与函数图象相切时，方程只有一个解，
，
，
得
（3）解：当，函数与x轴相切时，得，
当，函数与直线相切时，得，
当，函数经过点时，.
∴当或时，函数与矩形的边恰好有4个交点
【知识点】矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用“对称函数”的定义，仿照题干提供的方法解答即可，进而根据对称性画出函数图象；
（2）利用分类讨论的方法结合图象解答，①当直线y＝ x＋n经过点（0，1）时，利用待定系数法解答即可；②当直线y＝ x＋n与函数y＝x2 2|x|＋1的图象的右半侧相切时，利用根的判别式列出等式即可求解；
（3）利用分类讨论的方法求出二次函数y＝x2 b|x|＋1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时的临界值，结合图象即可求解．
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26.3 实践与探索 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·杭州期中）二次函数的图象与坐标轴的交点个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
当时，，
此时，，
∴抛物线与x轴的没有交点，
∴二次函数的图象与坐标轴的交点个数为1.
故答案为：B.
【分析】令解析式中的x=0，算出对应的函数值，可得抛物线与y轴交点的坐标；进而令解析式中的y=0，算出所得方程根的判别式b2-4ac的值，当b2-4ac＞0时，图象与x轴有两个不同的交点，当b2-4ac=0时，图象与x轴只有一个交点，当b2-4ac＜0时，图象与x轴没有交点，从而即可判断得出答案.
2．（2022九上·温州期中）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图形与y轴的交点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
即二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）.
故答案为：C.
【分析】令函数解析式中的x=0，求出y的值，可得二次函数图象与y轴的交点坐标.
3．（2022九上·晋安月考）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3.
故答案为：C.
【分析】根据图象，找出抛物线在直线上方部分所对应的x的范围即可.
4．（2022九上·霍邱月考）将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价( )
A．5元 B．15元 C．25元 D．35元
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设应降价x元，
由题意可得：（20+x）（100-x-30）=-x2+50x+1400=-（x-25）2+2025，
∵-1＜0，
∴当x=25时，其最大利润为2025，
∴应降价25元，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出（20+x）（100-x-30）=-x2+50x+1400=-（x-25）2+2025，再求解即可。
5．（2022九上·武清期中）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3
C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
所以y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合函数图象直接求出x的取值范围即可。
6．（2022九上·慈溪期中）已知抛物线经过点，则该抛物线与轴的另一个交点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线经过点，
.
解得：.
抛物线的解析式为.
令，则.
解得：或.
该抛物线与轴的另一个交点是.
故答案为：B.
【分析】将A（2，0）代入y=(x-3)2+c中求出c的值，可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，据此可得抛物线与x轴的交点坐标.
7．（2022·绵阳）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），-2＜x1＜-1，
∴3＜x2＜4，故①正确；
∵对称轴为直线，
∴b=-2a，
∴3a+2b=3a-4a=-a
∵a＞0，
∴3a+2b=-a＜0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c∵a＞0，
∴b=-2a<0，
∴a＋c<0，
∴b2 -4ac > a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，故③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，故④错误；
∴正确的个数有2个.
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的对称性及抛物线的对称轴为直线x=1，-2＜x1＜-1，可得到x2的取值范围，可对①作出判断；利用对称轴可得到b=-2a，将其代入3a+2b，可得到3a+2b的取值范围，可对②作出判断；利用抛物线与x轴有两个交点坐标，可得到b2-4ac的大小，再由x=-1时y<0及b=-2a，代入可得到b2 -4ac与a+ c的大小关系，可对③作出判断；观察图象可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，可得到a，c的大小关系，根据a-b＋c<0，b=-2a，可得到b，c的大小关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
8．（2022九上·拱墅期中）二次函数y＝﹣2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是 .
【答案】（0，4）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：将x＝0代y＝﹣2x2+3x+4得y＝4，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）.
【分析】令x=0，求出y的值，可得二次函数图象与y轴的交点坐标.
9．（2022九上·津南期中）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为 m．
【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得，﹣4 =﹣x2，
解得x =±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故答案为：20．
【分析】将y=4代入y＝﹣x2，求出x的值，即可得到点A、B的坐标，再求出AB的长即可。
10．（2022九上·淳安期中）某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.那么该文具定价为 元时每天的最大销售利润最大.
【答案】35
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝35时，y最大，最大值为2250.
故答案为：35.
【分析】设该文具定价为x元，每天的利润为y元，由题意可得每件的利润为(x-20)元，每天的销售量为250-10(x-25)，然后根据每件的利润×销售量=总利润可得y与x的关系式，再结合二次函数的性质进行解答即可.
11．（2022九上·拱墅期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线交于，
∴不等式的解集是.
故答案为：.
【分析】求关于x的不等式不等式ax2+c≥kx+m的解集，从图象上来说，就是求抛物线的图象在一次函数图象上方部分及交点的自变量的取值范围，结合交点横坐标即可得出答案.
12．（2022九上·海珠期中）抛物线的图象为，关于轴对称的图象为，和组成的图象与直线有3个公共点时，的范围（或值）是 ．
【答案】-2，1，，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵、关于轴对称，
∴的解析式为，
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
观察图象可知：当，，，时，和组成的图象与直线有3个公共点．
故答案为：-3，1，，．
【分析】先求出二次函数解析式，再作出二次函数的图象，并结合函数图象求解即可。
13．（2022·湘西）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y＝0时， x2＋4x＋5＝0，
x1＝ 1，x2＝5，
∴A（ 1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x 5），
即y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5），
当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝ 1；
当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2 4x 5＝ x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：
∴当直线y＝ x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜ 1.
故答案为：＜b＜ 1.
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标；再利用折叠的性质，可求出折叠后的二次函数的解析式；当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，代入计算求出b的值；当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，利用一元二次方程根的判别式，可求出b的值；综上所述可得到b的取值范围.
三、解答题
14．（2022九上·大安期中）在平面直角坐标系中，求抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】解：令，得，
解得，
∴抛物线与轴的交点坐标为或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将y=0代入求出x的值即可。
15．（2022九上·滁州期中）已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．
【答案】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴方程有两个实数根．
解得.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将抛物线与x轴交点的个数转换为一元二次方程根的判别式列出不等式，再求出即可。
16．（2022九上·乳山期中）某商场购进一批单价为40元的商品，若按每件50元销售，平均每天可销售90件．市场调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，平均每天少销售3件．将销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润W最大？最大利润W是多少？
【答案】解：设销售单价定为x元，由题意得：
，
，
时，W取最大值，最大值为1200，
∴单价为60元才能使每天所获得销售利润最大，最大利润为1200元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设销售单价定为x元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
四、综合题
17．（2022九上·西山期中）k为任意实数，已知二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，．
（1）填空： ；（用含k的代数式表示）
（2）若，求的值；
（3）求证：．
【答案】（1）2k
（2）解：∵ ，∴
∴
则
又
（3）证明：∵
∴
又
∴原式
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再根据 计算求解即可；
（3）先求出，最后证明即可。
18．（2022九上·义乌期中）阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如，y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝时，y＝＝ a2，所以y＝x2是“对称函数”.
（1）函数对称函数（填“是”或“不是”）.当x≥0时，的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，的图象.
（2）函数的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值.
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C（2，－3），D（－3，－3），当二次函数（b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围.
【答案】（1）解：在实数范围内任取x＝a时，；当x＝时，，所以是“对称函数”.
画图如下，
（2）解：当直线过点时，得
当直线与函数图象相切时，方程只有一个解，
，
，
得
（3）解：当，函数与x轴相切时，得，
当，函数与直线相切时，得，
当，函数经过点时，.
∴当或时，函数与矩形的边恰好有4个交点
【知识点】矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用“对称函数”的定义，仿照题干提供的方法解答即可，进而根据对称性画出函数图象；
（2）利用分类讨论的方法结合图象解答，①当直线y＝ x＋n经过点（0，1）时，利用待定系数法解答即可；②当直线y＝ x＋n与函数y＝x2 2|x|＋1的图象的右半侧相切时，利用根的判别式列出等式即可求解；
（3）利用分类讨论的方法求出二次函数y＝x2 b|x|＋1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时的临界值，结合图象即可求解．
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