第26章 二次函数 章末测试 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·定海期中）对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．与y轴相交于点 D．顶点坐标是
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是，
故选项A、B错误，D正确；
令，所以与y轴相交于点，C错误.
故答案为：D.
【分析】所给抛物线的解析式是顶点式，根据顶点式y=a（x-h）2+k中，当a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下，对称轴直线为x=h，顶点坐标为（h，k），进而将x=0代入所给解析式，算出对应的函数值，从而即可得出其与y轴交点的坐标，据此一一判断得出答案.
2．（2022九上·嘉兴期中）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数，
该函数的顶点坐标为，
故答案为：A.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
3．（2022九上·拱墅期中）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上有两点P1（﹣1，y1），P2（t，y2），当t≥3时，y1与y2大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上有两点P1（﹣1，y1），P2（t，y2），
∴点P1（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点（3，y1）也在抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上，
∵t≥3，
∴y1≤y2，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的解析式可得开口向上，对称轴为直线x＝1，则当x＞1时，y随x的增大而增大，据此进行比较.
4．（2022九上·青田期中）二次函数的最大值是零，那么代数式的化简结果是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：二次函数的最大值是零，
，，
.
故答案为：B.
【分析】由于二次函数的最大值是零，可得a＜0且，据此解答即可.
5．（2022九上·嘉兴期中）已知二次函数，当时，有最大值及最小值，当时，实数的值为（ ）
A．-3或-1或5 B．-3或5 C．-1或 D．-3或或5
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：把代入，得；把代入，得，
当，即时，，，
，
，即，
解得，，
当，即时，，，
，
，即，
解得，舍去，
当时，实数的值为-3或-1或5.
故答案为：A.
【分析】把x=2a、x=2a+2分别代入二次函数解析式中可得y=5，y=4a+9，当2a≤a，即a≤0时，y1=5，y2=4a+9，结合y1-y2=a2-1可得a的值；当2a>a，即a>0时，y1=4a+9，y2=5，结合y1-y2=a2-1可得a的值.
6．（2022九上·易县期中）若抛物线平移得到，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
的顶点坐标为，
抛物线先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到．
故答案为：B．
【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法。
7．（2022九上·和平期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n …
且当x＝时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①不符合题意；
②根据表格可得：x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
③函数的对称轴为：x＝，根据表格可得：x＝﹣2和x＝3关于函数对称轴对称，此时的函数值为t，则﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故③正确符合题意；
④函数的对称轴为：x＝，则b=-a，当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，所以 3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①不符合题意；②根据表格可得：x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；③函数的对称轴为：x＝，根据表格可得：x＝﹣2和x＝3关于函数对称轴对称，此时的函数值为t，则﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故③正确符合题意；④函数的对称轴为：x＝，则b=-a，当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，所以 3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；即可得解。
8．（2022九上·津南期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；⑨④3a+c＞0．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口向上知a>0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①符合题意；
②∵对称轴为直线，a>0，
∴2a> b，即2a+b>0，
故②不符合题意；
③由图可知：当x= 2时，y>0，
∴4a 2b+c>0，
故③符合题意；
④∵当x= 1时，y=0，
∴0=a b+c
即3a+c>0，
故④符合题意．
综上所述，有3个结论符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
二、填空题
9．（2022九上·下城期中）函数图象的对称轴是 .
【答案】直线
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴该函数图象的对称轴为直线 .
故答案为：直线 .
【分析】将二次函数的解析式化为一般形式可得y=x2-5x+6，然后根据对称轴方程x=求解即可.
10．（2022九上·嘉兴期中）抛物线的图象与轴的交点坐标是 .
【答案】(0，4)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，得，
故与轴的交点坐标是：(0，4).
故答案为：(0，4).
【分析】令x=0，求出y的值，进而可得抛物线与y轴的交点坐标.
11．（2022九上·通州期中）已知二次函数，将这个二次函数表达式用配方法化成的形式 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得。
12．（2022九上·永嘉月考）已知抛物线y＝x2+4x－8与直线l交（抛物线）于点A（－5，m），B（n，-3）（n＞0）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为 ．
【答案】-12＜ｙ<-3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+4x－8=（x+2） 2-12，
当x=-2时，y的最小值为-12；
当x=-5时，y=25-20-8=-3，
当x=n，y=-3时n2+4n－8=-3，
解之：n1=1，n2=-5
∵n＞0，
∴n=1；
∵点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），
∴点P的纵坐标的取值范围为-12＜ｙ<-3.
故答案为：-12＜ｙ<-3.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，此抛物线的开口向上，可得到y的最小值为-12；再分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可求出m，n的值，可得到点A，B的坐标；然后根据点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），可得到点P的纵坐标的取值范围.
13．（2022·金东模拟）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 ， 为同一抛物线的一部分， ， 都与水平地面平行，当杯子装满水后 ， ，液体高度 ，将杯子绕 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面 到点 所在水平地面的距离是 ．
图1 图2
【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，
根据题意知：A（-2，-12），B（2，12），C（4，0），D（-4，0），M（2，0），BM=12，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2+16，
∵∠ABE=45°，∠ABM=90°，
∴∠FBM=45°，
∵∠BMF=90°，
∴∠BFM=∠FBM=45°，
∴FM=BM=12，
∴BF=12，
∵M（2，0），
∴F（-10，0），
设BF的解析式为y=kx+b1，
∴，
∴，
∴BF的解析式为y=x+10，
联立方程组，
解得，，
∴E（-3，7），
∵B（2，12），C（4，0），
∴BE=，CE=，
∴EF=BF-BE=12-5=7，
∵C（4，0），F（-10，0），
∴CF=14，
∵（7）2+（7）2=142，
∴EF2+CE2=CF2，
∴∠FEC=90°，
∴点C到BE的距离为CE=7.
故答案为5；7.
【分析】如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，分别求出抛物线和直线BE的解析式，以及点E的坐标，从而求出BE，CE，EF的长，再根据勾股定理的逆定理得出∠FEC=90°，得出点C到BE的距离为CE的长，即可得出答案.
三、作图题
14．（2021九上·下城期末）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 的解；
②当x满足什么条件时， .
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴将点 代入的解析式为 ，
得 ，
解得： .
∴抛物线的解析式为： 即： .
（2）解：函数的图象如下图所示：
①方程 ，即：在函数 中y=-3时， ， .
所以方程 的解是 ， ；
②当 时，即函数图象在x轴上面的图象，此时对应自变量的范围： 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（2，-3）代入二次函数式进行求解即可；
（2） ① 由（1）及图象直接求解即可； ②根据图象，找出图象 时的部分，读出此时x的范围即可.
四、解答题
15．（2022九上·普陀期中）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的解析式，并指出这个二次函数图象的对称轴．
【答案】解：设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过点、和，
∴，
解得，
∴这个二次函数的解析式是，
∵，
∴二次函数的对称轴为直线．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据对称轴为直线即可求解.
16．（2022九上·昌平期中）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
【答案】解：∵二次函数解析式为：，
由图象得，该函数经过三个点，
代入可得：，
解得，，
则这个二次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
17．（2022九上·德阳月考）已知函数，求证：不论k为何值，此函数图象与x轴总有公共点
【答案】解：∵函数，
当 则函数为：
此时函数与轴有一个交点，
当时，则函数为二次函数，
此时
∵
∴
∴
∴函数与x轴有两个交点．
∴函数与x轴总有公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】当k=0时，函数解析式为y=-3x-1，此函数是一次函数，函数图象与x轴有一个交点；当k≠0时，此函数是二次函数，△=(k-3)2-4k×(-1)=(k-1)2+8，结合偶次幂的非负性可得△>0，此时函数图象与x轴有两个不同的交点，综上所述即可得出答案.
五、综合题
18．（2022九上·通榆期中）已知抛物线y=-x2+bx+c(b，c为常数)经过点(0，-3)、(-6，-3)．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）此抛物线的顶点坐标为
（3）当-4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．
（4）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．
【答案】（1）解：把(0，-3)、(-6，-3)代人y=-x2+bx+c，
得
解得
∴此抛物线的解析式为y=-x2-6x-3．
（2）(-3，6)
（3）解：由(2)得抛物线的顶点坐标为(-3，6)．
∵-1<0，
∴抛物线开口向下．
又∵-4≤x≤0，
∴当x=-3时，y有最大值6，
当x=0时，y有最小值-3．
（4）m=-2或m=-3-
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2） ∵抛物线的解析式为y=-x2-6x-3=-（x2+6x+9)+6=-(x+3)2+6，
∴抛物线的顶点坐标为(-3，6) .
故答案为： (-3，6) .
(4)由(2)得抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x>-3时，y随x的增大而减小；
当x≤-3时，y随x的增大而增大．
①当-3当x=m时，y有最大值-m2-6m-3，
∴-m2-6m-3+(-3)=2，
解得m=-2或m=-4(舍)．
②当m≤-3时，当x=-3时，y有最大值6．
y的最大值与最小值之和为2，
∴y的最小值为-4，
∴-(m+3)2+6=-4，
解得m=-3-或m=-3+ (舍)．
综上所述，m=-2或m=-3-．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出抛物线的解析式为y=-x2-6x-3=-（x2+6x+9)+6=-(x+3)2+6，再求顶点坐标即可；
（3）先求出抛物线开口向下，再根据-4≤x≤0， 计算求解即可；
（4）先求出当x>-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，再分类讨论计算求解即可。
19．（2022九上·海曙期中）如图， 拋物线交y轴于点，交x轴于点、C两点，点D为线段上的一个动点（不与重合)，过点D作轴，交于点M，交抛物线于点N.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接和，当的面积最大时，求出点D的坐标及的最大面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点，点代入抛物线，
∴，
∴.
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点，点，
∴直线的解析式为：；
设D，
∵轴，点M在直线上，点N在抛物线上，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时D；
（3）解：存在，如图，过点M作轴于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴.
根据题意，需要分两种情况讨论：
①时，如图，
此时，
解得或t=0（舍），
∴，
∴，
∵，
∴点P在y轴上，
∴，
∴P；
②当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴P.
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A及点B的坐标分别代入y=-x2+bx+c中，得关于b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，设D（t，0），根据直线、抛物线上的点的坐标特点，并结合垂直x轴直线上的点的横坐标相同，用含t的式子表示出M、N的坐标，从而个表示出MN的长，利用三角形的面积公式得S△ABN=，建立出函数关系式，结合函数性质及t的取值范围即可求出t的值，从而解决问题；
（3） 如图，过点M作ME⊥y轴于点E ，首先判断出△AEM∽△AOB，根据相似三角形对应边成比例得， AE∶AO= AM∶AB= ME∶OB，在Rt△AOB中利用各个定理算出AB，从而可用含t的式子表示出AE、AM，然后根据菱形的性质，分AM=MN及AM=AN两种情况，求解即可.
1 / 1第26章 二次函数 章末测试 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·定海期中）对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．与y轴相交于点 D．顶点坐标是
2．（2022九上·嘉兴期中）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·拱墅期中）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上有两点P1（﹣1，y1），P2（t，y2），当t≥3时，y1与y2大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
4．（2022九上·青田期中）二次函数的最大值是零，那么代数式的化简结果是（ ）
A． B． C．1 D．0
5．（2022九上·嘉兴期中）已知二次函数，当时，有最大值及最小值，当时，实数的值为（ ）
A．-3或-1或5 B．-3或5 C．-1或 D．-3或或5
6．（2022九上·易县期中）若抛物线平移得到，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
7．（2022九上·和平期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n …
且当x＝时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022九上·津南期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；⑨④3a+c＞0．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2022九上·下城期中）函数图象的对称轴是 .
10．（2022九上·嘉兴期中）抛物线的图象与轴的交点坐标是 .
11．（2022九上·通州期中）已知二次函数，将这个二次函数表达式用配方法化成的形式 ．
12．（2022九上·永嘉月考）已知抛物线y＝x2+4x－8与直线l交（抛物线）于点A（－5，m），B（n，-3）（n＞0）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为 ．
13．（2022·金东模拟）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 ， 为同一抛物线的一部分， ， 都与水平地面平行，当杯子装满水后 ， ，液体高度 ，将杯子绕 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面 到点 所在水平地面的距离是 ．
图1 图2
三、作图题
14．（2021九上·下城期末）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 的解；
②当x满足什么条件时， .
四、解答题
15．（2022九上·普陀期中）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的解析式，并指出这个二次函数图象的对称轴．
16．（2022九上·昌平期中）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
17．（2022九上·德阳月考）已知函数，求证：不论k为何值，此函数图象与x轴总有公共点
五、综合题
18．（2022九上·通榆期中）已知抛物线y=-x2+bx+c(b，c为常数)经过点(0，-3)、(-6，-3)．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）此抛物线的顶点坐标为
（3）当-4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．
（4）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．
19．（2022九上·海曙期中）如图， 拋物线交y轴于点，交x轴于点、C两点，点D为线段上的一个动点（不与重合)，过点D作轴，交于点M，交抛物线于点N.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接和，当的面积最大时，求出点D的坐标及的最大面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是，
故选项A、B错误，D正确；
令，所以与y轴相交于点，C错误.
故答案为：D.
【分析】所给抛物线的解析式是顶点式，根据顶点式y=a（x-h）2+k中，当a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下，对称轴直线为x=h，顶点坐标为（h，k），进而将x=0代入所给解析式，算出对应的函数值，从而即可得出其与y轴交点的坐标，据此一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数，
该函数的顶点坐标为，
故答案为：A.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上有两点P1（﹣1，y1），P2（t，y2），
∴点P1（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点（3，y1）也在抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上，
∵t≥3，
∴y1≤y2，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的解析式可得开口向上，对称轴为直线x＝1，则当x＞1时，y随x的增大而增大，据此进行比较.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：二次函数的最大值是零，
，，
.
故答案为：B.
【分析】由于二次函数的最大值是零，可得a＜0且，据此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：把代入，得；把代入，得，
当，即时，，，
，
，即，
解得，，
当，即时，，，
，
，即，
解得，舍去，
当时，实数的值为-3或-1或5.
故答案为：A.
【分析】把x=2a、x=2a+2分别代入二次函数解析式中可得y=5，y=4a+9，当2a≤a，即a≤0时，y1=5，y2=4a+9，结合y1-y2=a2-1可得a的值；当2a>a，即a>0时，y1=4a+9，y2=5，结合y1-y2=a2-1可得a的值.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
的顶点坐标为，
抛物线先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到．
故答案为：B．
【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法。
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①不符合题意；
②根据表格可得：x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
③函数的对称轴为：x＝，根据表格可得：x＝﹣2和x＝3关于函数对称轴对称，此时的函数值为t，则﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故③正确符合题意；
④函数的对称轴为：x＝，则b=-a，当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，所以 3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①不符合题意；②根据表格可得：x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；③函数的对称轴为：x＝，根据表格可得：x＝﹣2和x＝3关于函数对称轴对称，此时的函数值为t，则﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故③正确符合题意；④函数的对称轴为：x＝，则b=-a，当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，所以 3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；即可得解。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口向上知a>0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①符合题意；
②∵对称轴为直线，a>0，
∴2a> b，即2a+b>0，
故②不符合题意；
③由图可知：当x= 2时，y>0，
∴4a 2b+c>0，
故③符合题意；
④∵当x= 1时，y=0，
∴0=a b+c即3a+c>0，
故④符合题意．
综上所述，有3个结论符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
9．【答案】直线
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴该函数图象的对称轴为直线 .
故答案为：直线 .
【分析】将二次函数的解析式化为一般形式可得y=x2-5x+6，然后根据对称轴方程x=求解即可.
10．【答案】(0，4)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，得，
故与轴的交点坐标是：(0，4).
故答案为：(0，4).
【分析】令x=0，求出y的值，进而可得抛物线与y轴的交点坐标.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得。
12．【答案】-12＜ｙ<-3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+4x－8=（x+2） 2-12，
当x=-2时，y的最小值为-12；
当x=-5时，y=25-20-8=-3，
当x=n，y=-3时n2+4n－8=-3，
解之：n1=1，n2=-5
∵n＞0，
∴n=1；
∵点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），
∴点P的纵坐标的取值范围为-12＜ｙ<-3.
故答案为：-12＜ｙ<-3.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，此抛物线的开口向上，可得到y的最小值为-12；再分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可求出m，n的值，可得到点A，B的坐标；然后根据点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），可得到点P的纵坐标的取值范围.
13．【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，
根据题意知：A（-2，-12），B（2，12），C（4，0），D（-4，0），M（2，0），BM=12，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2+16，
∵∠ABE=45°，∠ABM=90°，
∴∠FBM=45°，
∵∠BMF=90°，
∴∠BFM=∠FBM=45°，
∴FM=BM=12，
∴BF=12，
∵M（2，0），
∴F（-10，0），
设BF的解析式为y=kx+b1，
∴，
∴，
∴BF的解析式为y=x+10，
联立方程组，
解得，，
∴E（-3，7），
∵B（2，12），C（4，0），
∴BE=，CE=，
∴EF=BF-BE=12-5=7，
∵C（4，0），F（-10，0），
∴CF=14，
∵（7）2+（7）2=142，
∴EF2+CE2=CF2，
∴∠FEC=90°，
∴点C到BE的距离为CE=7.
故答案为5；7.
【分析】如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，分别求出抛物线和直线BE的解析式，以及点E的坐标，从而求出BE，CE，EF的长，再根据勾股定理的逆定理得出∠FEC=90°，得出点C到BE的距离为CE的长，即可得出答案.
14．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴将点 代入的解析式为 ，
得 ，
解得： .
∴抛物线的解析式为： 即： .
（2）解：函数的图象如下图所示：
①方程 ，即：在函数 中y=-3时， ， .
所以方程 的解是 ， ；
②当 时，即函数图象在x轴上面的图象，此时对应自变量的范围： 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（2，-3）代入二次函数式进行求解即可；
（2） ① 由（1）及图象直接求解即可； ②根据图象，找出图象 时的部分，读出此时x的范围即可.
15．【答案】解：设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过点、和，
∴，
解得，
∴这个二次函数的解析式是，
∵，
∴二次函数的对称轴为直线．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据对称轴为直线即可求解.
16．【答案】解：∵二次函数解析式为：，
由图象得，该函数经过三个点，
代入可得：，
解得，，
则这个二次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
17．【答案】解：∵函数，
当 则函数为：
此时函数与轴有一个交点，
当时，则函数为二次函数，
此时
∵
∴
∴
∴函数与x轴有两个交点．
∴函数与x轴总有公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】当k=0时，函数解析式为y=-3x-1，此函数是一次函数，函数图象与x轴有一个交点；当k≠0时，此函数是二次函数，△=(k-3)2-4k×(-1)=(k-1)2+8，结合偶次幂的非负性可得△>0，此时函数图象与x轴有两个不同的交点，综上所述即可得出答案.
18．【答案】（1）解：把(0，-3)、(-6，-3)代人y=-x2+bx+c，
得
解得
∴此抛物线的解析式为y=-x2-6x-3．
（2）(-3，6)
（3）解：由(2)得抛物线的顶点坐标为(-3，6)．
∵-1<0，
∴抛物线开口向下．
又∵-4≤x≤0，
∴当x=-3时，y有最大值6，
当x=0时，y有最小值-3．
（4）m=-2或m=-3-
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2） ∵抛物线的解析式为y=-x2-6x-3=-（x2+6x+9)+6=-(x+3)2+6，
∴抛物线的顶点坐标为(-3，6) .
故答案为： (-3，6) .
(4)由(2)得抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x>-3时，y随x的增大而减小；
当x≤-3时，y随x的增大而增大．
①当-3当x=m时，y有最大值-m2-6m-3，
∴-m2-6m-3+(-3)=2，
解得m=-2或m=-4(舍)．
②当m≤-3时，当x=-3时，y有最大值6．
y的最大值与最小值之和为2，
∴y的最小值为-4，
∴-(m+3)2+6=-4，
解得m=-3-或m=-3+ (舍)．
综上所述，m=-2或m=-3-．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出抛物线的解析式为y=-x2-6x-3=-（x2+6x+9)+6=-(x+3)2+6，再求顶点坐标即可；
（3）先求出抛物线开口向下，再根据-4≤x≤0， 计算求解即可；
（4）先求出当x>-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，再分类讨论计算求解即可。
19．【答案】（1）解：将点，点代入抛物线，
∴，
∴.
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点，点，
∴直线的解析式为：；
设D，
∵轴，点M在直线上，点N在抛物线上，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时D；
（3）解：存在，如图，过点M作轴于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴.
根据题意，需要分两种情况讨论：
①时，如图，
此时，
解得或t=0（舍），
∴，
∴，
∵，
∴点P在y轴上，
∴，
∴P；
②当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴P.
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A及点B的坐标分别代入y=-x2+bx+c中，得关于b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，设D（t，0），根据直线、抛物线上的点的坐标特点，并结合垂直x轴直线上的点的横坐标相同，用含t的式子表示出M、N的坐标，从而个表示出MN的长，利用三角形的面积公式得S△ABN=，建立出函数关系式，结合函数性质及t的取值范围即可求出t的值，从而解决问题；
（3） 如图，过点M作ME⊥y轴于点E ，首先判断出△AEM∽△AOB，根据相似三角形对应边成比例得， AE∶AO= AM∶AB= ME∶OB，在Rt△AOB中利用各个定理算出AB，从而可用含t的式子表示出AE、AM，然后根据菱形的性质，分AM=MN及AM=AN两种情况，求解即可.
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