2.5.1二次函数与一元二次方程 学案
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2.5.1二次函数与一元二次方程 导学案
课题 2.5.1二次函数与一元二次方程 单元 第2单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二次函数．通过二次函数图像与一元二次方程之间关系的探究活动，体会二次函数与一元二次方程之间的联系，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴交点的个数、掌握方程与函数间的转化.
核心素养分析 逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图像与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索归纳能力，进一步培养学生的数形结合思想.
学习目标 1．理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系；2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
重点 探索二次函数图像与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况.
难点 函数→方程→x轴交点，三者之间的理解与运用.
教学过程
课前预学 引入思考第一环节：学科交叉，发现问题我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？(2).小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流. 自主探究1、观察图（1）、（2）、（3）你发现：（1）与x轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________（2）与x轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________（3）与x轴有_____（有、无）公共点2、一元二次方程的判别式△ 0，有_____个根，分别是_________________一元二次方程的判别式△ 0，有__________个根，是_________________一元二次方程的判别式△ 0，__________（有、无）实根3、函数与方程的关系是： 4、得到函数的图象与x轴的公共点坐标和方程的根有什么关系：__________________________________________________5、观察上述三个图象与x轴的公共点的坐标与其对应的一元二次方程的根的关系，可知：二次函数（a≠0）的图象与轴的公共点坐标和一元二次方程（a≠0）的根有什么关系？6、从1和2、3中你能发现二次函数（a≠0）的图象与x轴的公共点个数与一元二次方程（a≠0）的根的判别式有什么关系？7、一元二次方程（h是实数）的根可以看作是二次函数y=_____________与直线y=_____________的交点的横坐标.
新知讲解 提炼概念 二次函数与一元二次方程的关系根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数y=ax2+bx+c的图象和ax2+bx+c=0根的关系△﹥0△=0△﹤0典例精讲 例：何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？不用计算，小球离地面的高度可能是100m吗 为什么
课堂练习 巩固训练1.小明画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ).A．无解 B．x＝1C．x＝－4 D．x＝－1或x＝42.求下列二次函数的图像与x轴的交点.(1)y=x2+4x-5(2)y=-x2+x+23.二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？ 4. 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．答案引入思考第一环节：学科交叉，发现问题 [方法一]看图象可知，8秒落地[方法二]解方程： 第二环节：建立模型，分析问题 提炼概念典例精讲 例 解法1：令h=60故2s和6s时，小球离地面的高度是60m．解法2：看图象．巩固训练D2.3.解：∵ =b2-4×1×(-1)=b2+4＞0∴二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交，有2个交点.4.就是直线与二次函数图象交点的横坐标。5.解：当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． 若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， 则一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1＝0 中Δ≥0. 即 b2－4ac ＝ 22－4(k－3) ＝ －4k＋16 ≥0 解得 k≤4 ∴k≤4且k≠3. 当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数，与x轴有一个交点， 符合题意； 综上所述，k的取值范围是k≤4.
课堂小结
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课题 2.5.1二次函数与一元二次方程 单元 第2单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二次函数．通过二次函数图像与一元二次方程之间关系的探究活动，体会二次函数与一元二次方程之间的联系，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴交点的个数、掌握方程与函数间的转化.
核心素养分析 逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图像与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索归纳能力，进一步培养学生的数形结合思想.
学习目标 1．理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系；2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
重点 探索二次函数图像与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况.
难点 函数→方程→x轴交点，三者之间的理解与运用.
教学过程
课前预学 引入思考第一环节：学科交叉，发现问题我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？(2).小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流. 自主探究1、观察图（1）、（2）、（3）你发现：（1）与x轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________（2）与x轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________（3）与x轴有_____（有、无）公共点2、一元二次方程的判别式△ 0，有_____个根，分别是_________________一元二次方程的判别式△ 0，有__________个根，是_________________一元二次方程的判别式△ 0，__________（有、无）实根3、函数与方程的关系是： 4、得到函数的图象与x轴的公共点坐标和方程的根有什么关系：__________________________________________________5、观察上述三个图象与x轴的公共点的坐标与其对应的一元二次方程的根的关系，可知：二次函数（a≠0）的图象与轴的公共点坐标和一元二次方程（a≠0）的根有什么关系？6、从1和2、3中你能发现二次函数（a≠0）的图象与x轴的公共点个数与一元二次方程（a≠0）的根的判别式有什么关系？7、一元二次方程（h是实数）的根可以看作是二次函数y=_____________与直线y=_____________的交点的横坐标.
新知讲解 提炼概念 二次函数与一元二次方程的关系根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数y=ax2+bx+c的图象和ax2+bx+c=0根的关系△﹥0△=0△﹤0典例精讲 例：何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？不用计算，小球离地面的高度可能是100m吗 为什么
课堂练习 巩固训练1.小明画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ).A．无解 B．x＝1C．x＝－4 D．x＝－1或x＝42.求下列二次函数的图像与x轴的交点.(1)y=x2+4x-5(2)y=-x2+x+23.二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？ 4. 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．答案引入思考第一环节：学科交叉，发现问题 [方法一]看图象可知，8秒落地[方法二]解方程： 第二环节：建立模型，分析问题 提炼概念典例精讲 例 解法1：令h=60故2s和6s时，小球离地面的高度是60m．解法2：看图象．巩固训练D2.3.解：∵ =b2-4×1×(-1)=b2+4＞0∴二次函数y＝x2＋bx-1的图象与x轴相交，有2个交点.4.就是直线与二次函数图象交点的横坐标。5.解：当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． 若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， 则一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1＝0 中Δ≥0. 即 b2－4ac ＝ 22－4(k－3) ＝ －4k＋16 ≥0 解得 k≤4 ∴k≤4且k≠3. 当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数，与x轴有一个交点， 符合题意； 综上所述，k的取值范围是k≤4.
课堂小结
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