2023年中考数学二轮复习：最值性问题（无答案）

中考数学二轮专题复习 最值问题
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最值性问题就是在已知条件下，探索目标的最大值或最小值，从而做出最优化的方案设计。其主要类型有：代数性最值、几何性最值两大类，在初中数学中代数性最值主要是通过建立对应的函数模型，利用函数图象与性质确定最值；几何性最值问题是指在一定条件下，求出平面几何图形中的某个确定的量（如线段的长度、角度的大小、图形的面积等）的最大值或最小值。常用方法有：（1）几何定理（公理）法构造图形：如两点之间线段最短，垂线段最短，平面内任意点到圆上的距离最长（最短）等，通过几何图形的模型构造法获得最佳方案。（2）数形结合法：揭示问题中变动的元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数 等求解。
两点之间线段最短
基本图形（和最小）
如图1，在直线上求作一点C使周长最短；
如图2，角内有一点A，请在角两边上求作点B，C使周长最短；
如图3，角内有两点D，E，请在角两边上求作点F,G使四边形DFEG周长最短。
如图4，A、B两村庄分别位于河两岸，现在需要建一座桥（河岸），使桥面与河岸保持垂直。求建一桥（作两点）使A、B之间的距离最短。
练习：
1.如图5，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是　　；
2.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　 　．
3.如图7，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为　 　．
4.如图8，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）
5.如图9，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　 　．
图9 图10 图11
6.如图10，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，则点M的坐标是　 　．
7．（差最大）如图11，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是　　　。
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，
使得A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM-AM|为最大值时点M的坐标，并直接写出|PM-PN|的最大值。
二、垂线段最短
例1.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
例1图 练习1图 练习2图
练习1.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切 的动圆与CB,CA分别相交于点E,F,则线段EF长度的最小值是
2.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为　 　．
3.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段AC,AB上的两个动点,则BM+MN的最小值为
4如图，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是
（结果不取近似数）
5.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了.
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.
6.如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（-3，0），C（0，4），点B在轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN.
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值.
三、圆中的最值问题
例2.平面内一点M,到圆上的最大距离为7cm,最小距离为3cm,则这个圆的半径为　　　　　　　
例3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　 　．
练习：
1.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 .
2.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为，点D在第一象限，且，则线段CD的长的最小值为_________.
3.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为___.
4.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 　　　 ．
5.如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． 　 D．
6、在中，若O为BC边的中点，则必有：成立。依据以上结论，解决如下问题.如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3。点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为_____.
四．建立函数模型解决最值问题
例4. 如图对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．


练习：
1.如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．
2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．
3.用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
4.在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC，将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P。
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的
面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为
何值时，y的值最大，最大值是多少？