5.3.1 等比数列——2022-2023学年高二数学人教B版2019选择性必修第三册同步课时训练（含解析）

5.3.1 等比数列——2022-2023学年高二数学人教B版2019选择性必修第三册同步课时训练
1.已知在数列中，，且，则的通项公式为( ).
A. B. C. D.
2.已知在正项等比数列中，，且，，成等差数列，则该数列的公比q为( ).
A. B. C.2 D.4
3.已知在等比数列中，，，则的公比为( ).
A.-2 B.1 C.2 D.
4.已知等比数列的前3项和为168，，则( )
A.14 B.12 C.6 D.3
5.在正项等比数列中，，且是和的等差中项，则( )
A.8 B.6 C.3 D.
6.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为( )
A.12 B.18 C.24 D.32
7.在正项等比数列中,,则( )
A.8 B.6 C.4 D.2
8. （多选）设是单调的等比数列的前n项和,若,则( )
A. B.公比为 C.为常数 D.为等比数列
9. （多选）若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是( ).
A. B.， C. D.
10. （多选）在递增的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法中正确的是( )
A. B.数列是等比数列
C. D.数列是公差为2的等差数列
11.已知数列是等比数列，，，则_________.
12.等比数列的各项均为实数，已知，，则_____________.
13.已知各项均为正数的等比数列中，，，则__________.
14.已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且.
（1）证明：；
（2）求集合中元素的个数.
15.已知公比大于1的等比数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，，由，得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，即.故选A.
2.答案：C
解析：是正项等比数列，且，
，，.
，，成等差数列，，，.
3.答案：C
解析：设的公比为q，则，，，，故.
故选C.
4.答案：D
解析：解法一：设等比数列的首项为，公比为q，由题意可得，即，解得，所以，故选D.
解法二：设等比数列的首项为，公比为q，由题意可得，即，解得，所以，故选D.
5.答案：B
解析：设正项等比数列的公比为q，则.
因为，是和的等差中项，所以，
所以，由于，，
所以，，
解得或（舍去），故.
故选B.
6.答案：C
解析：设正项等比数列的公比为，则，，令，，则，当且仅当时取等号，则的最小值为24.
7.答案：A
解析：本题考查等比数列的通项公式及性质.设数列的公比为,解得,则,故选A.
8.答案：CD
解析：设等比数列的公比为q.由数列为等比数列,,得,又,所以,因此A项错误.又,所以,解得或.若,则,显然不满足数列是单调数列,因此B项错误.
由上述可知,则,所以,则,因此C项正确.因为,所以是首项为,公比为的等比数列,因此D项正确.故选CD.
9.答案：AC
解析：已知数列是等比数列，设，q为非零常数.
对于A，，显然是非零常数，即是首项为，公比为的等比数列，A正确；对于B，因为，当时，，所以不是等比数列，B不正确；对于C，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，C正确；对于D，若数列中有负数项，则无意义，若，，则，所以不是等比数列，D不正确.故选AC.
10.答案：BC
解析：由题意，得，，又等比数列是递增数列，所以，，所以，，故A错误；因为，所以，所以，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确；，故C正确；因为，所以数列是公差为的等差数列，故D错误.故选BC.
11.答案：4
解析：设等比数列的公比为q，由题知，，
，.
又，.
12.答案：1024
解析：本题考查等比数列基本量的计算.设等比数列的公比为，由，，可得，则，代入可得.则.
13.答案：
解析：各项均为正数的等比数列中，，，则.
14.答案：（1）证明见解析
（2）9
解析：（1）设等差数列的公差为d，
由，得，即，
由得，即，
将代入，得，即.
（2）由（1）知，，
由得，
由得，
由题知，所以，
所以，…，10，共9个数，
即集合中元素的个数为9.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）设的公比为q.由题设得，.
解得（舍去），.由题设得.
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，
则，
记，
则
.
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