5.5 数学归纳法——2022-2023学年高二数学人教B版2019选择性必修第三册同步课时训练（含解析）

5.5 数学归纳法——2022-2023学年高二数学人教B版2019选择性必修第三册同步课时训练
1.用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明能被9整除的余项是( )
A. B. C. D.
2.已知函数对任意，都有，且，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知，记，若，则Q等于( )
A. B.
C. D.
4.用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是( )
A. B.
C. D.
5.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上( )
A. B.
C. D.
6.已知，存在自然数m，使得对任意，都能使m整除，则最大的m的值为( )
A.30 B.36 C.9 D.6
7.用数学归纳法证明不等式（且）时，在证明从到时，左边增加的项数是( )
A. B. C. D.k
8. （多选）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是( )
A.若对成立，则对所有正整数都成立
B.若对成立，则对所有正偶数都成立
C.若对成立，则对所有正奇数都成立
D.若对成立，则对所有自然数都成立
9. （多选）对于不等式，某学生运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法( )
A.过程全部正确
B.时证明正确
C.过程全部不正确
D.从到的推理不正确
10. （多选）某同学回答“用数学归纳法证明”的过程如下：
证明：①当时，显然命题是正确的；②假设当时，有，那么当时，，所以当时命题是正确的，由①②可知对于，命题都是正确的，关于以上证法的说法中错误的是( )
A.从k到的推理过程没有使用归纳假设
B.假设的写法不正确
C.从k到的推理不严密
D.当时，验证过程不具体
11.用数学归纳法证明“当时，能被8整除”时，第二步“假设当时，能被8整除，证明当时，也能被8整除”的过程中，得到，则A的表达式为_____________.
12.用数学归纳法证明：，这里___________.
13.在中，三边分别为a，b，c，其中c为斜边，利用数学归纳法证明：，首先验证______________.
14.已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）计算，，，的值，根据计算结果猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的结论.
15.设，用数学归纳法证明：.
答案以及解析
1.答案：A
解析：假设当时命题成立，即能被9整除，当时，.因为能被9整除，所以要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除.
2.答案：A
解析：由所求式子，得，令，得，则，令，得，令，，得，令，得，…，故，故.
3.答案：C
解析：因为，所以，所以，所以.
4.答案：B
解析：当时，所假设的不等式为，当吋，要证明的不等式为，故需添加的项为.
5.答案：C
解析：当时，等式左边，当时，等式左边，增加了的项为.
6.答案：B
解析：由，得，，，，由此猜想.下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立.②假设当，，时，能被36整除，即能被36整除；当时，.因为是2的倍数，所以能被36整除，所以当时，也能被36整除.由①②可知对一切正整数n都有能被36整除，m的最大值为36.
7.答案：A
解析：用数学归纳法证明不等式的过程中，假设当时不等式成立，则左边为，那么当时，左边，所以由递推到时，不等式左边增加，共（项）.
8.答案：BC
解析：由题意可知，若对成立，则对，3，5，7…所有正奇数都成立；若对成立，则对，4，6，8…所有正偶数都成立.
9.答案：BD
解析：易知当时，该学生的证法正确.从到的推理过程中，该学生没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确，故选BD.
10.答案：BCD
解析：用数学归纳法应这样证明：①当时，显然命题是正确的；②假设当时，有，即，则当时，，所以当时命题是正确的.由①②可知对于，命题都是正确的.原题目中的证法是错误的，错误在于从k到的推理过程没有使用归纳假设，只是用了放缩法和不等式的性质，不符合数学归纳法的要求，故A正确，B，C，D错误.故选BCD.
11.答案：
解析：因为，，故.
12.答案：3
解析：当时，；当时，；当时，，所以.
13.答案：2
解析：因为要证明的是，所以首先验证时，.另外，若，则有，不满足.
14.答案：（1）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得，故猜想.
（2）①当时，显然成立.
②假设当时，，则当时，
，
所以，
所以，即.
因为，所以，即当时，结论成立.
根据①②可知，对任意，.
解析：
15.答案：①当时，左边，右边，故等式成立.
②假设当时，等式成立，即，
则当时，
.
所以当时，等式也成立.
综上所述，对任意，等式成立.
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