6.3 利用导数解决实际问题——2022-2023学年高二数学人教B版2019选择性必修第三册同步课时训练（含解析）

6.3 利用导数解决实际问题——2022-2023学年高二数学人教B版2019选择性必修第三册同步课时训练
1.已知函数图像的对称中心的横坐标为,且有三个零点,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为( )
A. B. C.1 D.
3.已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知，是方程的两个根，则的值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.已知函数若，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数.若没有零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为( )
A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元
8. （多选）已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( )
A.函数在上为单调递增函数
B.是函数的极小值点
C.函数至多有两个零点
D.时，不等式恒成立
9. （多选）已知定义在R上的奇函数连续且可导，若（为的导函数），则( )
A. B. C. D.
10. （多选）对于函数，下列说法正确的是( )
A.在处取得极大值
B.有两个不同的零点
C.
D.若在上恒成立，则
11.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.
12.函数有两个零点，且极大值小于1，则实数a的取值范围是________.
13.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件.
14.已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的方程有3个不等实根，求证：.
15.已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若，当时，恒成立，求m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，令，得或，
，.
当或时，，当时，.
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
的极大值为，极小值为.
有三个零点，，解得.
2.答案：D
解析：由题可知，为偶函数，，且.
设，则，
当时，，故在上单调递增，
故当时，，即，即在上单调递增，
故在上没有零点，由为偶函数，可知在R上有且只有一个零点；
当时，存在，使，当时，，即在上单调递减，故，即，故在上单调递减，
故，且，则在上有零点，不符合题意，
故，即实数m的最小值为，故选D.
3.答案：D
解析：因为函数与的图象关于直线对称，，
所以，所以，则.
当时，，是上的增函数.
因为，所以，
函数在上有唯一零点，不符合题意；
当时，有唯一零点，不符合题意；
当时，令，得，在上，，函数是增函数；
在上，，函数是减函数，故在上有极大值为.
若无零点，则，解得，
故实数k的取值范围是，故选D.
4.答案：C
解析：由题意得，，则，故选C.
5.答案：B
解析：令，则，所以，所以函数的图象在原点处的切线方程为，故函数的图象在原点处的切线方程为.如图，画出函数的图象，切线，以及直线，分析可知，为满足，即，则，解得.故选B.
6.答案：A
解析：因为没有零点，所以关于x的方程，即无实数解.令，，则函数，的图象无公共点.，令，则.当时，，函数单调递减，且；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数有极小值，作出的图象，如图所示，结合图象可得，故选A.
7.答案：C
解析：由题意，函数，所以，当时，；当时，，所以当时，y有最大值，此时最大年利润为200万元.
8.答案：ABC
解析：因为，所以当时，；当时，.因为，所以，则当时，；当时，.所以函数在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则是函数的极小值点，则选项A，B均正确.当时，函数至多有两个零点，当时，函数有一个零点，当时，函数无零点，所以选项C正确.，又在区间上单调递减，所以当时，，又，所以，故选项D错误.故选ABC.
9.答案：ACD
解析：是定义在R上的奇函数，.在中，令，得，即，A正确；是定义在R上的奇函数，，，B错误；在中，令，得，又，，C正确；构造函数，则，当时，，在上单调递增，，，，，D正确.
10.答案：ACD
解析：易知函数的定义域为，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，A正确；令，则，即，故只有一个零点，B错误；显然，因此，易知，，设，则，当时，，单调递减，而，所以，即，所以，所以，C正确；令，则，当时，，当时，，所以在处取得极大值也是最大值，因为在上恒成立，所以，D正确.故选ACD.
11.答案：
解析：可化为.
令，
设，，则，设，
令，可得的单调递增区间为，由在上单调递增可知，，则，解得.
12.答案：
解析：由题知的定义域为，则，
当时，，则在上单调递增，函数不可能有两个零点；
当时，令，得；
令，得，则在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，极大值为.
又当时，；当时，，且有两个零点，
，解得.
的极大值小于1，，解得.
综上，实数a的取值范围是.
13.答案：9
解析：由，得.令，得（舍去），，所以当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，故当时，函数有最大值为（万元），即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
14.答案：(1)在上单调递增，在上单调递减.
(2)见解析.
解析：(1)依题意得，.
令，得；
令，得或.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)由(1)可知函数的极小值，极大值.
当时，，当时，，
画出的大致图象如图所示.
方程有3个不等实根等价于直线与函数的图象有3个不同交点，
不妨设，由图象可知.
构造函数，
则.
当时，，
则在上单调递减，.
所以，故，
由(1)知，在上单调递减，所以，
即，又，故.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，，
所以，，
故在处的切线方程为，即.
（2）令，，
.
若，则.当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，令，解得，.
当时，，则在，上单调递增，在上单调递减；
当时，，则在R上单调递增；
当时，，则在，上单调递增，在上单调递减.
由，得.
①若，在的最小值为，
而，
所以当时，恒成立.
②若，在单调递增，
而，所以当时，恒成立.
③若，则，
所以当时，不可能恒成立.
综上所述，m的取值范围为.
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