等差数列[上学期]
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课件15张PPT。等差数列陈雪平 Ⅰ、 观察与思考 ：下面的几个数列： Ⅱ、问题： 从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？分析：后一项与前一项的差的特点是： Ⅲ、归纳：这些数列 是常数1是常数-3 是常数 1/10 从第2项起它们的后一项与前 一项的差都是同一个常数。这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列的首项用字母 a1 表示。 一、等差数列的定义：例 1： 观察下列数列是否是等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。解析：(1)、该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一 项与
前一项的差都是2。不符合等差数的定义 要求从第2项
起后项与前项的差是同一个常数。
所以, 它不是等差数列。 （2）、不是。理由同（1） （3）、是。 它符合等差数列的定义。 （4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 ：
1，2 ， 3 ，4 ，5 ，‥‥是常数，但不是同一常数。
所以不是。 1、等差数列要求从第2项起，后一项与
前一项作差。 不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。
可以是整数，也可以是０和负数。评注：二、等差数列的通项公式：等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d ，如： 那麽，则由定义得：
a2-a1=d (1)
a3-a2=d (2)
a4-a3=d (3)
a5-a4=d (4)
、、、、、
an-a n-1=d (n-1)分析：如果把左边由（1）式到最后一个式子，共_____个式子相加，则有： n-1 等号左边为：an-a1 ,
等号右边为：(n-1)d所以： an-a1=(n-1)d ,即
an=a1+(n-1)d 当n =1时，上式两边都等于 a1 。 ∴ n∈N*，公式成立。 ∴ 等差数列的通项公式是:an = a1+(n-1)d三、通项公式的应用： 例 2：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它
的通项公式。 （2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项。 （3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥
的项 ？如果是，是第几项？等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。 评注：分析：知道a1 , d ，求an 。代入通项公式。 ∵ a1=3 , d=2
∴ an=a1+(n-1)d
=3+(n-1) ×2
=2n+1 解：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，
求它 的通项公式。（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项。分析： 根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an ，再求出a20解： ∵ a1=10, d=8-10= -2 ， n=20
由an=a1+(n-1)d 得
∴ a20 =a1+(n-1)d
=10+(20-1)×(-2)
= -28解： ∵ a1= -5, d= -9-(-5)= -4
∴ an= -5+(n-1) ×(-4)
= -4n-1
∵ -401= -4n-1
∴n=100
∴ -401是该数列的第100项。 分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 –401代入，然后看是否存在正整数n 。 （3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥
的项 ？如果是，是第几项？ 解： 由题意可得
a1+5d=12 (1)
﹛
a1+17d=36 (2) ∴ d = 2 a1 =2∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。 例3： 在等差数列{an}中 ， 已知a6=12 ，a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项an 。 分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。***********评注： 1、 等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项，并且差是 同 一常数。 像例1中（1）、（2）小题只能说它们从第2项起、 从第3项起是等差数列，而它们本身不是。 2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。四、小结：这节课主要讲了以下两个问题：1、（1）、求等差数列 3 ，7 ， 11 ，‥‥的第4项和第10项。
（2）、100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，‥‥的项？
如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。
（3）、 -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，‥‥的项？
如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。2、在等差数列{an}中，
（1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。
（2）、已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 。五、练习：解： （1）、∵ a1=3 ，
d=7-3= 4
∴ an=3+4（n-1）
= 4n-1
∴ a4=4×4-1=15 ，
a10=4×10 –1=39 （2）、∵ a1=2 ，
d=9-2=7
∴ an=2+7（n-1)
= 7n-5
∵ 100=7n-5
∴ n =15
∴ 100是该数列的第15项。 （3）、∵ a1=0 ，
d= -3.5 -0
= -3.5
∴ an=0-3.5（n-1）
= -3.5n+3.5
∵ -20= -3.5n+3.5无正整数解
∴ -20不是该数列的项。解： （1）由题意得 a1+3d= 10 ①
{
a1+6d=19 ②
解得：
d=3 , a1=1 。 （2）由题意得 a1+2d= 9 ①
{
a1+8d=3 ②
解得：
d= -1 , a1=11 。
∴ an=11-1（n-1）=12-n
∴ a12= 12-12 =0 1、已知等差数列第m项是am ，公差是 d ，求an 。
2、已知等差数列 a1，a2 ， a3 ， a4 ， a5…… , d是公差
那麽
(1)、 a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，………是什麽数列？
(2)、 a1 ， a4 ， a7 ， a10 ，………是什麽数列？拓展思维与能力培养：练习与作业：(1)、练习：P117 1 、2
(2)、作业：P118 1 、 2谢谢大家再见2003年12月10日
等差数列的首项用字母 a1 表示。 一、等差数列的定义：例 1： 观察下列数列是否是等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。解析：(1)、该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一 项与
前一项的差都是2。不符合等差数的定义 要求从第2项
起后项与前项的差是同一个常数。
所以, 它不是等差数列。 （2）、不是。理由同（1） （3）、是。 它符合等差数列的定义。 （4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 ：
1，2 ， 3 ，4 ，5 ，‥‥是常数，但不是同一常数。
所以不是。 1、等差数列要求从第2项起，后一项与
前一项作差。 不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。
可以是整数，也可以是０和负数。评注：二、等差数列的通项公式：等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d ，如： 那麽，则由定义得：
a2-a1=d (1)
a3-a2=d (2)
a4-a3=d (3)
a5-a4=d (4)
、、、、、
an-a n-1=d (n-1)分析：如果把左边由（1）式到最后一个式子，共_____个式子相加，则有： n-1 等号左边为：an-a1 ,
等号右边为：(n-1)d所以： an-a1=(n-1)d ,即
an=a1+(n-1)d 当n =1时，上式两边都等于 a1 。 ∴ n∈N*，公式成立。 ∴ 等差数列的通项公式是:an = a1+(n-1)d三、通项公式的应用： 例 2：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它
的通项公式。 （2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项。 （3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥
的项 ？如果是，是第几项？等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。 评注：分析：知道a1 , d ，求an 。代入通项公式。 ∵ a1=3 , d=2
∴ an=a1+(n-1)d
=3+(n-1) ×2
=2n+1 解：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，
求它 的通项公式。（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项。分析： 根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an ，再求出a20解： ∵ a1=10, d=8-10= -2 ， n=20
由an=a1+(n-1)d 得
∴ a20 =a1+(n-1)d
=10+(20-1)×(-2)
= -28解： ∵ a1= -5, d= -9-(-5)= -4
∴ an= -5+(n-1) ×(-4)
= -4n-1
∵ -401= -4n-1
∴n=100
∴ -401是该数列的第100项。 分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 –401代入，然后看是否存在正整数n 。 （3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥
的项 ？如果是，是第几项？ 解： 由题意可得
a1+5d=12 (1)
﹛
a1+17d=36 (2) ∴ d = 2 a1 =2∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。 例3： 在等差数列{an}中 ， 已知a6=12 ，a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项an 。 分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。***********评注： 1、 等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项，并且差是 同 一常数。 像例1中（1）、（2）小题只能说它们从第2项起、 从第3项起是等差数列，而它们本身不是。 2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。四、小结：这节课主要讲了以下两个问题：1、（1）、求等差数列 3 ，7 ， 11 ，‥‥的第4项和第10项。
（2）、100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，‥‥的项？
如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。
（3）、 -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，‥‥的项？
如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。2、在等差数列{an}中，
（1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。
（2）、已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 。五、练习：解： （1）、∵ a1=3 ，
d=7-3= 4
∴ an=3+4（n-1）
= 4n-1
∴ a4=4×4-1=15 ，
a10=4×10 –1=39 （2）、∵ a1=2 ，
d=9-2=7
∴ an=2+7（n-1)
= 7n-5
∵ 100=7n-5
∴ n =15
∴ 100是该数列的第15项。 （3）、∵ a1=0 ，
d= -3.5 -0
= -3.5
∴ an=0-3.5（n-1）
= -3.5n+3.5
∵ -20= -3.5n+3.5无正整数解
∴ -20不是该数列的项。解： （1）由题意得 a1+3d= 10 ①
{
a1+6d=19 ②
解得：
d=3 , a1=1 。 （2）由题意得 a1+2d= 9 ①
{
a1+8d=3 ②
解得：
d= -1 , a1=11 。
∴ an=11-1（n-1）=12-n
∴ a12= 12-12 =0 1、已知等差数列第m项是am ，公差是 d ，求an 。
2、已知等差数列 a1，a2 ， a3 ， a4 ， a5…… , d是公差
那麽
(1)、 a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，………是什麽数列？
(2)、 a1 ， a4 ， a7 ， a10 ，………是什麽数列？拓展思维与能力培养：练习与作业：(1)、练习：P117 1 、2
(2)、作业：P118 1 、 2谢谢大家再见2003年12月10日