等差数列的前n项和[上学期]
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课件13张PPT。高一数学第三章
3.3 等差数列的前n项和 问题1：课本P110，堆放的钢管，共堆放 7层， 自上而下各层的钢管数排成一数列：
4，5，6，7，8，9，10你能快速求出这堆钢管共有多少根吗？这个问题可以看成是求等差数列 4，5，6，7，8，9，10的和。问题2：1+2+3+…+100=？ 这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）高斯的算法是：
首项与末项的和：1+100=101，
第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101，
第3 项与倒数第3项的和：3+98=101，
……
第50项与倒数第50项的和：50+51=101，
于是所求的和是： 这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，n，…的前100项的和。根据等差数列的定义，上式用a1和d可写成：
Sn=a1+(a1+d)+···+[a1+(n-1)d] ①把项的次序反过来，Sn又可用an和d表示成：
Sn=an+(an-d)+···+[an-(n-1)d] ②把①、②两边分别相加，得：等差数列前n项的和即 Sn= a1+a2+…+ an设等差数列 {an}前n项的和为Sn=n(a1+an)由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成 两个公式的共同点是需知 a1和 n，不同点是前者还需知 an，后者还需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。例1：在等差数列{an}中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（1）a3= -2，a8=12，求S10解：（1）?a1+a10 = a3+a8 = 10例2 如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着 7 260支铅笔。例3 等差数列 -10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？例4 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？ 这就是说，已知 S10与 S20 可以确定这个数列的前n项的和的公式，这个公式是小 结：1、等差数列的求和公式：2、推导等差数列的求和公式的方法：倒序求和法（亦称高斯法）巩固练习1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S202、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10o，最小内角为 100o，则等于（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）8或 9由题意，得 :解得 n=8 或 9,但 n=9时，a9=180 o,不合题意，故选（B）BCa1=1100 3、有30根水泥电线杆，要运往1000m处放一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米。MAB解：如图，假定30根电线杆均在点M处， 由于一辆汽车每次只能装3根，所以每次运输只能到达 C、F… 这些地方，这样组成公差为 150、首项为 1100的等差数列，再考虑往返，所以行程共35.5 kmDEF1000a2=12505050505050作 业课 本 P122 第1、2、3、4题2000年12月27日
3.3 等差数列的前n项和 问题1：课本P110，堆放的钢管，共堆放 7层， 自上而下各层的钢管数排成一数列：
4，5，6，7，8，9，10你能快速求出这堆钢管共有多少根吗？这个问题可以看成是求等差数列 4，5，6，7，8，9，10的和。问题2：1+2+3+…+100=？ 这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）高斯的算法是：
首项与末项的和：1+100=101，
第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101，
第3 项与倒数第3项的和：3+98=101，
……
第50项与倒数第50项的和：50+51=101，
于是所求的和是： 这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，n，…的前100项的和。根据等差数列的定义，上式用a1和d可写成：
Sn=a1+(a1+d)+···+[a1+(n-1)d] ①把项的次序反过来，Sn又可用an和d表示成：
Sn=an+(an-d)+···+[an-(n-1)d] ②把①、②两边分别相加，得：等差数列前n项的和即 Sn= a1+a2+…+ an设等差数列 {an}前n项的和为Sn=n(a1+an)由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成 两个公式的共同点是需知 a1和 n，不同点是前者还需知 an，后者还需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。例1：在等差数列{an}中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（1）a3= -2，a8=12，求S10解：（1）?a1+a10 = a3+a8 = 10例2 如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着 7 260支铅笔。例3 等差数列 -10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？例4 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？ 这就是说，已知 S10与 S20 可以确定这个数列的前n项的和的公式，这个公式是小 结：1、等差数列的求和公式：2、推导等差数列的求和公式的方法：倒序求和法（亦称高斯法）巩固练习1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S202、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10o，最小内角为 100o，则等于（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）8或 9由题意，得 :解得 n=8 或 9,但 n=9时，a9=180 o,不合题意，故选（B）BCa1=1100 3、有30根水泥电线杆，要运往1000m处放一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米。MAB解：如图，假定30根电线杆均在点M处， 由于一辆汽车每次只能装3根，所以每次运输只能到达 C、F… 这些地方，这样组成公差为 150、首项为 1100的等差数列，再考虑往返，所以行程共35.5 kmDEF1000a2=12505050505050作 业课 本 P122 第1、2、3、4题2000年12月27日