1．5 全称量词与存在量词
知识点一 全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题
“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”，可 “存在 M 中的元素 x，p(x)成立”，可
命题形式
用符号简记为“ x∈M，p(x)” 用符号简记为“ x∈M，p(x)”
知识点二 含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
【题型目录】
题型一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
题型二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
题型三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
题型四、含有一个量词的命题的否定
题型五、全称量词命题、存在量词命题的综合应用
题型一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
1．下列语句不是存在量词命题的是 ( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意 x∈Z,2x＋1 是奇数
D．存在 x∈R,2x＋1 是奇数
2．给出下列几个命题：
①至少有一个 x，使 x2＋2x＋1＝0 成立；
②对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 成立；
③对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 不成立；
④存在 x，使 x2＋2x＋1＝0 成立．
其中是全称量词命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
题型二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
1．下列命题中是假命题是（ ）
1
A． x∈R，|x|+1＞0 B． x∈R， x 1＝2
C． x∈R，|x|＜1 D． x∈N*， (x 1)2 0
2．判断下列命题的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P；
(4) x∈N，x2>0.
3．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N,2x＋1 是奇数；
1
(2)存在一个 x∈R，使 ＝0.
x－1
题型三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
1．若命题“ x R ， kx2 kx 1 0 ”是真命题，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 4,0 B． 4,0
C． , 4 0, D． , 4 0,
2．若“ x [1, 2], x2 ax 1 0 ”为真命题，则实数 a的取值范围为（ ）
a 5A． a 2 B． C． a
5
D．a 1
2 2
3．已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且 B≠ .
(1)若命题 p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求 m 的取值范围；
(2)命题 q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求 m 的取值范围．
题型四、含有一个量词的命题的否定
1．命题 p ： x 0, ， x2 0 ，则 p 为（ ）
A． x 0, ， x2 0 B． x ,0 ， x2 0
C． x 0, ， x2 0 D． x 0, ， x2 0
2 x．命题“ x 0 ， e 00 1 x0 ”的否定是（ ）
A． x 0 x， e 00 1 x0 B． x0 0 ， e
x0 1 x0
C． x 0， ex 1 x D． x 0 ， ex 1 x
3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(1)存在实数 x，使得 x2 2x 3 0；
(2)有些三角形是等边三角形；
(3)方程 x2 8x 10 0的每一个根都不是奇数．
4．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：
(1) x R ， x2 2x 1 0；
(2) x Q ， x2 2；
(3) x R ， x2 3 0 ；
x 1(4) x 0 ， 2, ；
x
(5)任意三角形都有内切圆；
(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．
题型五、全称量词命题、存在量词命题的综合应用
1．对于任意实数 x，不等式 x2＋4x－1>m 恒成立．求实数 m 的取值范围．
2．存在实数 x，使不等式－x2＋4x－1>m 有解，求实数 m 的取值范围．
3 2．若命题“ x0 R，使得 x0 mx0 2m 5 0 ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________ ．
4．已知 p ： x R ，mx2 1 0，q： x R， x2 mx 1 0．
（1）写出命题 p 的否定 q ；命题q的否定 q ；
（2）若 p 和 q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围．
5．已知 p : x R,ax2 ax 1 0恒成立， q : x R, x2 x a 0 .如果 p,q中有且仅有一个为真命题，求实数 a的取
值范围.
1．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根
B．能被 5 整除的数也能被 2 整除
C．存在 x∈{x|x＞3}，使 x2﹣5x+6＜0
D．有一个 m，使 2﹣m 与|m|﹣3 异号
2．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。
(1)若 x 1,3,5 ，则3x 1是偶数；
(2)在平面直角坐标系中，任一有序实数对 x, y 都对应一点；
(3)存在一个实数 x，使得 x2 x 1 0；
(4)至少有一个 x Z ，使 x 能同时被 2 和 3 整除．
3．若命题 “ x R，x2 2 a 1 x 1 0” 是假命题，则实数 a 的取值范围是 a __ __．
4．若“ x 1,2 ，使 2x2 x 1 0成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
9 9A． , 2 2 B． 2 2, C． ,3 D ． , 2 2
5．命题“ x 0, x2 x 1 0”的否定是（ ）
A． x 0, x2 x 1 0 B． x 0, x2 x 1 0
C． x 0, x2 x 1 0 D． x 0, x2 x 1 0
6．命题“ x∈R， n∈N*，使得 n≥2x＋1”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N*，使得 n<2x＋1
B． x∈R， n∈N*，使得 n<2x＋1
C． x∈R， n∈N*，使得 n<2x＋1
D． x∈R， n∈N*，使得 n<2x＋1
7．命题“ x 0, x 1， 3 ”的否定是___________.
x
8．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假．
(1)存在某个整数 a，使得 a2 a ；
(2)任意实数都可以写成平方和的形式；
(3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
(4) m 0，方程 x2 x m 0有实数根；
(5) m 0，方程 x2 x m 0有实数根．
9．已知命题: “ x R,ax2 ax 2 0 ”为假命题，则实数 a的取值范围是（ ）
A． ( , 8) (0, ) B． ( 8,0) C．[ 8,0] D． ( 8,0]
10．已知命题 p：“至少存在一个实数 x [1,2]，使不等式 x2 2ax 2 a 0成立”的否定为假命题，试求实数 a 的取
值范围．
11．已知命题“存在 x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数 a 的取值范围．
12．若任意 x∈R，函数 y＝mx2＋x－m－a 的图象和 x 轴恒有公共点，求实数 a 的取值范围．
1．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的二次函数的图象都关于 y 轴对称
B．正方形都是平行四边形
C．空间中不相交的两条直线相互平行
D．存在大于等于 9 的实数
2．已知命题 p： x0＞0， x a 1 0，若 p 为假命题，则 a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
3．命题 p：“ x 0 ， sin x x ”，则 p 为（ ）
A． x 0， sin x x B． x 0， sin x x
C． x 0 ， sin x x D． x 0， sin x x
4．命题“ x R ， x x 0 ”的否定是（ ）
A． x0 R ， x0 x0 0 B． x R ， x x 0
C． x0 R ， x0 x0 0 D． x R ， x x 0
5．如果命题“ x0 R,
2
使得 x0 a 1 x0 1 0 ”是假命题，那么实数 a的取值范围是（ ）
A． 1,3 B． 1,3 C． 3,3 D． 1,1
6．已知命题 p ： x R ，mx2 2 0；命题q： x R ， x2 2mx 1 0 .若 p 、q都为假命题，则实数m 的取值范
围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]
7．已知 A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
8．若存在 x∈R，使 ax2＋2x＋a<0，则实数 a 的取值范围为________．
9．已知命题 p : x R, x2 2x a 0是真命题，则实数 a 的取值范围是__________．
10．某中学采用小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“ x R，
x2 2x m 0 ”是假命题，求实数m 的取值范围. 王小二略加思索，反手给了王小一一道题:若命题“ x R ，
x2 2x m 0 ”是真命题，求实数m 的取值范围. 你认为两位同学题中所求实数m 的取值范围一致吗
答:___________.(填“一致”或“不一致”)
11．已知 p : x R， x2 ax 2 0 . q : x 0,1 ， x2 a 0 .
(1)若 p 为真命题，求 a的取值范围；
(2)若 p ，q一个是真命题，一个是假命题，求 a的取值范围．
12．设全集U R ，集合 A x 1 x 5 ，非空集合B x 2 x 1 2a ，其中 a R .
(1)若“ x A”是“ x B ”的必要条件，求 a 的取值范围；
(2)若命题“ x B， x RA ”是真命题，求 a 的取值范围.
13．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
(1)p：对任意的 x∈R， x2 x 1 0都成立；
(2)q： x∈R，使 x2 3x 5 0．
14．已知函数 y1＝x21，y2＝－2x2－m，若对 x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得 y1≥y2，求实数 m 的取值
范围．1．5 全称量词与存在量词
知识点一 全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题
“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”，可 “存在 M 中的元素 x，p(x)成立”，可
命题形式
用符号简记为“ x∈M，p(x)” 用符号简记为“ x∈M，p(x)”
知识点二 含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
【题型目录】
题型一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
题型二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
题型三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
题型四、含有一个量词的命题的否定
题型五、全称量词命题、存在量词命题的综合应用
题型一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
1．下列语句不是存在量词命题的是 ( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意 x∈Z,2x＋1 是奇数
D．存在 x∈R,2x＋1 是奇数
【答案】C
【详解】因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”
为全称量词，所以选项 A，B，D 均为存在量词命题，选项 C 为全称量词命题．
2．给出下列几个命题：
①至少有一个 x，使 x2＋2x＋1＝0 成立；
②对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 成立；
③对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 不成立；
④存在 x，使 x2＋2x＋1＝0 成立．
其中是全称量词命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【详解】因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为
全称量词命题，所以全称量词命题的个数为 2.
题型二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
1．下列命题中是假命题是（ ）
1
A． x∈R，|x|+1＞0 B． x∈R， x 1＝2
C． x∈R，|x|＜1 D． x∈N*， (x 1)2 0
【答案】D
【详解】因为 x∈R，|x|≥0，所以 x∈R，|x|+1＞0 恒成立，真命题；
1
取 x＝1，满足 1 2| x | ，真命题；
取 x＝0.1，满足|x|＜1，真命题；
取 x＝1 N*，不满足 (x 1)2 0，假命题．
故选：D．
2．判断下列命题的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P；
(4) x∈N，x2>0.
【详解】(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为 0∈N,02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
3．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N,2x＋1 是奇数；
1
(2)存在一个 x∈R，使 ＝0.
x－1
【详解】(1)是全称量词命题，因为 x∈N,2x＋1 都是奇数，所以该命题是真命题．
1
(2)是存在量词命题．因为不存在 x∈R，使 ＝0 成立，所以该命题是假命题．
x－1
题型三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
1．若命题“ x R ， kx2 kx 1 0 ”是真命题，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 4,0 B． 4,0
C． , 4 0, D． , 4 0,
【答案】B
【详解】当 k 0时显然 1 0恒成立，
k 0
当 k 0时要使命题为真，则： 2 可得 4 k 0；
k 4k 0
而 k 0时不可能恒成立，
综上，k 的取值范围是 4,0 .
故选：B
2．若“ x [1, 2], x2 ax 1 0 ”为真命题，则实数 a的取值范围为（ ）
a 5 5A． a 2 B． C． a D．a 1
2 2
【答案】B
【详解】 x [1, 2], x2 ax 1 0为真命题，
∴ a
1
x ， x [1,2]，
x max
y x 1∵ 在区间[1, 2]上单调递增，
x
x 1 1 5 5 x
2
2 2 ，即
a ，
max 2
∴
5
实数 a的取值范围为 , 2
．
故选 B
3．已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且 B≠ .
(1)若命题 p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求 m 的取值范围；
(2)命题 q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求 m 的取值范围．
【详解】(1)由于命题 p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以 B A，B≠ ，
所以Error!解得 2≤m≤3.
(2)q 为真，则 A∩B≠ ，
因为 B≠ ，所以 m≥2.
所以Error!解得 2≤m≤4.
题型四、含有一个量词的命题的否定
1．命题 p ： x 0, ， x2 0 ，则 p 为（ ）
A． x 0, ， x2 0 B． x ,0 ， x2 0
C． x 0, ， x2 0 D． x 0, ， x2 0
【答案】D
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ p : x 0, ， x2 0 ”的否定为“ p : x 0, ，
x2 0 ”.
故选：D.
2 “ x 0 ex．命题 ， 00 1 x0 ”的否定是（ ）
A． x0 0 e
x
， 0 1 x0 B． x0 0
x
， e 0 1 x0
C． x 0， ex 1 x D． x 0 ， ex 1 x
【答案】D
【详解】命题“ x0 0 ， e
x0 1 x0 ”的否定是“ x 0 ， ex 1 x ”，
故选：D
3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(1)存在实数 x，使得 x2 2x 3 0；
(2)有些三角形是等边三角形；
(3)方程 x2 8x 10 0的每一个根都不是奇数．
【详解】(1)含有特称量词存在，命题为特称命题，
命题的否定是：对任意一个实数 x，都有 x2 2x 3 0，该命题为真命题．
(2)含有特称量词有些，命题为特称命题，
命题的否定是：所有的三角形都不是等边三角形；故命题为假命题．
(3)含有全称量词每一个，命题为全称命题，
命题的否定是：方程 x2 8x 10 0的至少有一个根是奇数，故命题为假命题．
4．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：
(1) x R ， x2 2x 1 0；
(2) x Q ， x2 2；
(3) x R ， x2 3 0 ；
1
(4) x 0， x 2, ；
x
(5)任意三角形都有内切圆；
(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．
【详解】(1)原命题的否定为： x R ， x2 2x 1 0 .
2
因为 x2 2x 1 x 1 0，故原命题的否定为假命题.
(2)原命题的否定为： x Q， x2 2 .
因为当 x2 2时， x 2 ，原命题为假命题，原命题的否定为真命题.
(3)原命题的否定为： x R ， x2 3 0 .
当 x 3 时， x2 3 0 ，原命题为真命题，原命题的否定为假命题.
x 0 x
1
(4)原命题的否定为： ， , 2 .
x
1
取 x 1，则 x 2 , 2 ，原命题的否定为真命题.
x
(5)原命题的否定为：有些三角形没有内切圆.原命题的否定为假命题.
(6)原命题的否定为：存在两个直角三角形不是相似三角形，原命题的否定为真命题.
题型五、全称量词命题、存在量词命题的综合应用
1．对于任意实数 x，不等式 x2＋4x－1>m 恒成立．求实数 m 的取值范围．
【详解】令 y＝x2＋4x－1，x∈R，
则 y＝(x＋2)2－5，
因为 x∈R，不等式 x2＋4x－1>m 恒成立，
所以只要 m<－5 即可．
所以所求 m 的取值范围是{m|m<－5}．
2．存在实数 x，使不等式－x2＋4x－1>m 有解，求实数 m 的取值范围．
【详解】令 y＝－x2＋4x－1，
因为 y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.
又因为 x∈R，－x2＋4x－1>m 有解，
所以只要 m 小于函数的最大值即可，
所以所求 m 的取值范围是{m|m<3}．
3 “ x R x2．若命题 0 ，使得 0 mx0 2m 5 0 ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________ ．
【答案】 2,10
【详解】 原命题为假命题， 其否定“ x R ，都有 x2 mx 2m 5 0 ”为真命题，
m2 4 2m 5 0，解得： 2 m 10，即实数m 的取值范围为 2,10 .
故答案为： 2,10 .
4．已知 p ： x R ，mx2 1 0，q： x R， x2 mx 1 0．
（1）写出命题 p 的否定 q ；命题q的否定 q ；
（2）若 p 和 q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】（1） p ： x R，mx2 1 0； q ： x R ， x2 mx 1 0；（2）m 2 .
【详解】（1） p ： x R，mx2 1 0；
q ： x R ， x2 mx 1 0．
（2）由题意知， p 真或 q 真，
当 p 真时，m 0，
当 q 真时， m2 4 0，解得 2 m 2，
因此，当 p 真或 q 真时，m 0或 2 m 2，即m 2．
5．已知 p : x R,ax2 ax 1 0恒成立， q : x R, x2 x a 0 .如果 p,q中有且仅有一个为真命题，求实数 a的取
值范围.
【答案】 ( ,0)
1
, 44
【详解】若 p 为真命题，当 a 0时，可得1 0恒成立，满足题意；
a 0
a 0
当 时，则 2 ，解得 0 a 4 ， Δ a 4a 0
当 p 为真命题，实数 a的取值范围是 0, 4 .
若q为真命题，则有 12 4a 0，解得 a 1 ，4
当q 1为真命题，实数 a的取值范围是 ( , ] .
4
p,q 中有且仅有一个为真命题，
p q a 0,4 1 , 1 ,4 当 为真命题， 为假命题时，实数 的取值范围是 ;
4 4
当 p 为假命题，q为真命题时，实数 a的取值范围是 ( ,0) .
综上，当 p,q
1
中有且仅有一个为真命题时，实数 a的取值范围是 ( ,0) , 4 .
4
1．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根
B．能被 5 整除的数也能被 2 整除
C．存在 x∈{x|x＞3}，使 x2﹣5x+6＜0
D．有一个 m，使 2﹣m 与|m|﹣3 异号
【答案】B
【详解】对于 A，有些实数没有平方根，有存在量词“有些”，是存在量词命题；
对于 B，“能被 5 整除的数也能被 2 整除”省略了“所有”，是全称量词命题；
对于 C，存在 x∈{x|x＞3}，使 x2﹣5x+6＜0，有存在量词“存在”，是存在量词命题；
对于 D，有一个 m，使 2﹣m 与|m|﹣3 异号，有存在量词“有一个”，是存在量词命题.
故选：B.
2．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。
(1)若 x 1,3,5 ，则3x 1是偶数；
(2)在平面直角坐标系中，任一有序实数对 x, y 都对应一点；
(3)存在一个实数 x，使得 x2 x 1 0；
(4)至少有一个 x Z ，使 x 能同时被 2 和 3 整除．
【详解】(1)全称命题．∵ 3 1 1 4 ，3 3 1 10，5 3 1 16均为偶数，∴其为真命题．
(2)全称命题．任一有序实数对 (x, y)都与平面直角坐标系中的点 (x, y)唯一对应，其为真命题．
(3)特称命题．∵方程 x2 x 1 0中，D =1-4 = -3 < 0，∴ x2 x 1 0无实数根，∴其为假命题．
(4)特称命题．∵6 能同时被 2 和 3 整除，∴其为真命题．
3 “ x R，x2．若命题 2 a 1 x 1 0” 是假命题，则实数 a 的取值范围是 a _____
【答案】 2，0
2
【详解】命题“ x R， x 2 a 1 x 1 0 ”是假命题，
2
则命题的否定是： x R ， x 2 a 1 x 1 0 ”是真命题，
则 4 a 1 2 4 0，解得： 2 a 0．
故答案为： 2，0 .
4．若“ x 1,2 ，使 2x2 x 1 0成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． 9 9 , 2 2 B． 2 2, C． ,3 D． , 2 2
【答案】C
【详解】若“ x 1,2 ，使 2x2 x 1 0成立”是假命题，则“ x 1, 2 ，使 2x2 x 1 0成立”是真命题，
即 x 1,2 ， 2x 1 ；
x
2
令 f x 2x 1 , x 1,2 ，则 f x 2 1 2x 1 2 2 0，则 f x 在 x 1,2 上单增， f x f 1 3min ，则 3 .x x x
故选：C.
5．命题“ x 0, x2 x 1 0”的否定是（ ）
A． x 0, x2 x 1 0 B． x 0, x2 x 1 0
C． x 0, x2 x 1 0 D． x 0, x2 x 1 0
【答案】A
【详解】由题意，命题“ x 0, x2 x 1 0”是全称量词命题，
根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“ “ x 0, x2 x 1 0 ”.
故选：A.
6．命题“ x∈R， n∈N*，使得 n≥2x＋1”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N*，使得 n<2x＋1
B． x∈R， n∈N*，使得 n<2x＋1
C． x∈R， n∈N*，使得 n<2x＋1
D． x∈R， n∈N*，使得 n<2x＋1
【答案】D
【详解】由题意可知，全称量词命题“ x∈R， n∈N*，使得 n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“ x∈R，
n∈N*，使得 n<2x＋1”，故选 D.
1
7．命题“ x 0, ， x 3 ”的否定是___________.
x
【答案】“ x 0, 1， x 3 ”
x
【详解】命题“ x 0, ， x 1 3 1 ”的否定为命题“ x 0, ， x 3 ”，
x x
1
故答案为：“ x 0, ， x 3 ”，
x
8．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假．
(1)存在某个整数 a，使得 a2 a ；
(2)任意实数都可以写成平方和的形式；
(3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
(4) m 0，方程 x2 x m 0有实数根；
(5) m 0，方程 x2 x m 0有实数根．
【答案】(1)对于任意的整数 a，都有 a2 a ；假命题
(2)存在实数都不可以写成平方和的形式；真命题
(3)存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数；假命题
(4) m 0，方程 x2 x m 0没有实数根；假命题
(5) m 0，方程 x2 x m 0没有实数根；假命题
【详解】(1)命题“存在某个整数 a，使得 a2 a ”，
其否定为“对于任意的整数 a，都有 a2 a ”，
当 a 1时， a2 a ，
所以原命题的否定为假命题；
(2)命题“任意实数都可以写成平方和的形式”，
其否定为“存在实数不可以写成平方和的形式”，
因为负数不能写出平方和的形式，
所以原命题的否定为真命题；
(3)命题“每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数”，
其否定为“存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数”，
因为两个奇数之和一定为偶数，
所以原命题的否定为假命题；
(4)命题“ m 0，方程 x2 x m 0有实数根”，
其否定为“ m 0，方程 x2 x m 0没有实数根”，
因为m 0，所以 1 4m 0 ，
所以 m 0，方程 x2 x m 0有实数根，
所以原命题的否定为假命题；
(5)命题“ m 0，方程 x2 x m 0有实数根”，
其否定为“ m 0，方程 x2 x m 0没有实数根”，
1
由 1 4m 0，解得m ，所以0
1
m ，
4 4
所以 m 0，方程 x2 x m 0有实数根，
所以原命题的否定为假命题.
9．已知命题: “ x R,ax2 ax 2 0 ”为假命题，则实数 a的取值范围是（ ）
A． ( , 8) (0, ) B． ( 8,0) C．[ 8,0] D． ( 8,0]
【答案】D
【详解】 命题 x R, ax2 ax 2 0 ”为假命题，
∴命题“ x R ， ax2 ax 2 0 ”为真命题，
当 a 0时， 2 0成立，
a 0
当 a 0时，则 2 ，解得： 8 a 0
Δ a 8a 0
，
综上 a的取值范围是 ( 8,0]
故选：D．
10．已知命题 p：“至少存在一个实数 x [1,2]，使不等式 x2 2ax 2 a 0成立”的否定为假命题，试求实数 a 的取
值范围．
【答案】 ( 3, )
【详解】由题意知，命题 p 为真命题，即 x2 2ax 2 a 0在[1,2]上有解，
令 y x2 2ax 2 a，所以 ymax 0 ，又因为最大值在 x 1或 x 2时取到，
∴只需 x 1或 x 2时， y 0即可，
∴1 2a 2 a 0 或 4 4a 2 a 0，解得 a 3或 a 2 ，即 a 3．
故实数 a 的取值范围为 ( 3, )．
11．已知命题“存在 x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数 a 的取值范围．
【详解】因为命题“存在 x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意 x∈R，ax2－2ax－3≤0 恒成立”，
由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．
事实上，当 a＝0 时，对任意的 x∈R，不等式－3≤0 恒成立；
当 a≠0 时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式 ax2－2ax－3≤0 恒成立的等价条件是 a
<0 且其判别式 Δ＝4a2＋12a≤0，
即－3≤a<0；
综上知，实数 a 的取值范围是{a|－3≤a≤0}．
12．若任意 x∈R，函数 y＝mx2＋x－m－a 的图象和 x 轴恒有公共点，求实数 a 的取值范围．
【详解】(1)当 m＝0 时，y＝x－a 与 x 轴恒相交，所以 a∈R.
(2)当 m≠0 时，二次函数 y＝mx2＋x－m－a 的图象和 x 轴恒有公共点的充要条件是 Δ＝1＋4m(m＋a)≥0 恒成立，
即 4m2＋4am＋1≥0 恒成立．
又 4m2＋4am＋1≥0 是一个关于 m 的二次不等式，
恒成立的充要条件是 Δ＝(4a)2－16≤0，
解得－1≤a≤1.
综上所述，当 m＝0 时，a∈R；
当 m≠0 时，－1≤a≤1.
1．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的二次函数的图象都关于 y 轴对称
B．正方形都是平行四边形
C．空间中不相交的两条直线相互平行
D．存在大于等于 9 的实数
【答案】D
【详解】选项 A 中，“所有的”是全称量词；
选项 B 中，意思是所有的正方形都是平行四边形，含全称量词；
选项 C 中：意思是所有的不相交的两条直线相互平行，是全称量词；
选项 D 中，“存在”是存在量词.
故选：D.
2．已知命题 p： x0＞0， x a 1 0，若 p 为假命题，则 a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】D
【详解】∵p 为假命题，∴ p 为真命题，
即： x＞0， x a 1 0，即 x 1 a ，
∴1 a 0，解得 a 1．
∴a 的取值范围是[1，+∞）．故 A，B，C 错误.
故选：D．
3．命题 p：“ x 0 ， sin x x ”，则 p 为（ ）
A． x 0， sin x x B． x 0， sin x x
C． x 0 ， sin x x D． x 0， sin x x
【答案】D
【详解】命题 p：“ x 0 ， sin x x ”，
p 为： x 0， sin x x ，
故选：D.
4．命题“ x R ， x x 0 ”的否定是（ ）
A． x0 R ， x0 x0 0 B． x R ， x x 0
C． x0 R ， x0 x0 0 D． x R ， x x 0
【答案】A
【详解】原命题的否定是： x0 R ， x0 x0 0，A 正确．
故选：A
5．如果命题“ x0 R,使得 x
2
0 a 1 x0 1 0 ”是假命题，那么实数 a的取值范围是（ ）
A． 1,3 B． 1,3 C． 3,3 D． 1,1
【答案】B
【详解】依题意，命题“ x0 R,
2
使得 x0 a 1 x0 1 0 ”是假命题，
2
则该命题的否定为“ x R, x a 1 x 1 0 ”，且是真命题；
= a 1 2所以 4 0， 1 a 3 .
故选：B
6．已知命题 p ： x R ，mx2 2 0；命题q： x R ， x2 2mx 1 0 .若 p 、q都为假命题，则实数m 的取值范
围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]
【答案】A
【详解】p，q 都是假命题．由 p： x R ，mx2 2 0为假命题，
得 x R ，mx2 2 0 ，∴ m 0 .
由 q： x R ， x2 2mx 1 0为假，得 x R ， x2 2mx 1 0
∴ ( 2m)2 4 0，得m 1或m 1 .
∴ m 1 .
故选 A.
7．已知 A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
答案 C
解析 当该命题是真命题时，只需 a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又 y＝x2 在 1≤x≤2 上的最大值是 4，所以
a≥4.因为 a≥4 a≥5，a≥5 a≥4，故选 C.
8．若存在 x∈R，使 ax2＋2x＋a<0，则实数 a 的取值范围为________．
答案 {a|a<1}
解析 当 a≤0 时，显然存在 x∈R，使 ax2＋2x＋a<0；
当 a>0 时，需满足 Δ＝4－4a2>0，得－1
故 0综上所述，实数 a 的取值范围是 a<1.
9．已知命题 p : x R, x2 2x a 0是真命题，则实数 a 的取值范围是__________．
【答案】 (1, )
【详解】由题意得 4 4a 0，解得 a 1．
故答案为： (1, )
10．某中学采用小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“ x R，
x2 2x m 0 ”是假命题，求实数m 的取值范围. 王小二略加思索，反手给了王小一一道题:若命题“ x R ，
x2 2x m 0 ”是真命题，求实数m 的取值范围. 你认为两位同学题中所求实数m 的取值范围一致吗
答:___________.(填“一致”或“不一致”)
【答案】一致
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“ x R， x2 2x m 0 ”的否定为“ x R ， x2 2x m 0 ”，
因为命题“ x R， x2 2x m 0 ”是假命题与命题“ x R ， x2 2x m 0 ”是真命题等价，所以两位同学题中所
求实数m 的取值范围是一致的.
故答案为：一致.
11．已知 p : x R， x2 ax 2 0 . q : x 0,1 ， x2 a 0 .
(1)若 p 为真命题，求 a的取值范围；
(2)若 p ，q一个是真命题，一个是假命题，求 a的取值范围．
【答案】(1) 2 2, , 2 2 ；(2) , 2 2 1,2 2
【详解】(1)由 p : x R， x2 ax 2 0，
若 p 为真命题，
则 a2 8 0，解得 a 2 2 或 a 2 2 ，
所以 a的取值范围为 2 2, , 2 2 ；
(2)若q为真命题时，则 a x2对 x 0,1 恒成立，所以 a 1，
若 p ，q一个是真命题，一个是假命题，
当 p 是真命题，q是假命题时，
a 2 2 a 2 2
则 或 ，解得 a 2 2 ，
a 1 a 1
当 p 是假命题，q是真命题时，
2 2 a 2 2
则 ，解得 ，
a 1
1 a 2 2
综上所述 a , 2 2 1,2 2 .
12．设全集U R ，集合 A x 1 x 5 ，非空集合B x 2 x 1 2a ，其中 a R .
(1)若“ x A”是“ x B ”的必要条件，求 a 的取值范围；
(2)若命题“ x B， x RA ”是真命题，求 a 的取值范围.
1
【答案】(1) , 2 ；(2) 2, 2
【详解】(1)若“ x A”是“ x B ”的必要条件，则B A，
又集合 B 为非空集合，
1 2a 2 1
故有 ，解得 a 2，
1 2a 5 2
1
所以 a的取值范围 , 22
，
(2)因为 A x 1 x 5 ，所以 R A {x | x 1或 x 5}，因为命题“ x B， x RA ”是真命题，
所以B R A ，即1 2a 5，解得 a 2．
所以 a的取值范围 2, ．
13．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
(1)p：对任意的 x∈R， x2 x 1 0都成立；
(2)q： x∈R，使 x2 3x 5 0．
【详解】(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题，
又因为“任意的”的否定为“存在一个”，
所以其否定是：存在一个 x∈R，使 x2 x 1 0成立，
即“ x∈R，使 x2 x 1 0 ”，
因为 3 0，所以方程 x2 x 1 0无实数解，
此命题为假命题．
(2)由于“ x∈R”表示存在一个实数 x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因此，该命题是存在量词命题．
又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，
所以其否定是：对任意一个实数 x，都有 x2 3x 5 0成立．
即“ x∈R，有 x2 3x 5 0 ”，
因为 11 0 ，所以对 x∈R， x2 3x 5 0总成立，
此命题是真命题．
14．已知函数 y1＝x21，y2＝－2x2－m，若对 x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得 y1≥y2，求实数 m 的取值
范围．
【详解】因为 x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以 y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，
又因为对 x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得 y1≥y2，
即 y1的最小值大于等于 y2的最小值，
即－4－m≤0，
所以 m≥－4.