2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
知识点一 一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不
定义
等式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中 a≠0，
一般形式
a，b，c 均为常数
知识点二 一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，我们把使 ax2＋bx＋c＝0 的实数 x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点．
知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
有两个相等的实数根
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的 有两个不相等的实
b 没有实数根
根 数根 x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} Error! R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1
知识点四 解一元二次不等式
①化为基本形式 ax2＋bx＋c>0 或 ax2＋bx＋c<0(其中 a>0)；
②计算 Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 是否有解；
③有根求根；
④根据图象写出不等式的解集.
知识点五 解分式不等式
f x(1) >0 f(x)·g(x)>0；
g x
f x(2) ≤0 Error!
g x
f x f x ag x(3) ≥a － ≥0.
g x g x
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立 k≥f(x)max；
k≤f(x)恒成立 k≤f(x)min.
【题型目录】
题型一、解不含参数的一元二次不等式
题型二、解含有参数的一元二次不等式
题型三、由一元二次不等式的解确定参数
题型四、一元二次方程根的分布问题
题型五、解分式不等式
题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题
题型九、一元二次不等式的应用
题型一、解不含参数的一元二次不等式
1．解不等式：⑴ x2 x 2 4 .
⑵ 2x2 3x 1 0 .
1
⑶ x2 3x 5 0 .
2
1 2
⑷ x 3x 5 0 .
2
⑸ 4x2 4x 1 0
⑹ x2 6x 9 0 ；
⑺ x2 1 .
2．已知全集 A y | y x x2 ，集合B x | x2 1 ，则 A B （ ）
1 1
A． ， B． 1， C． 1， D． 0， 2 2
题型二、解含有参数的一元二次不等式
1．解关于 x 的不等式 x2
a 1 x 1 0．
a
2．若 a R ，解关于 x 的不等式 ax2 (a 1)x 1 0．
3．解关于 x 的不等式 ax2 2 2x ax a R ．
题型三、由一元二次不等式的解确定参数
1．若不等式 ax2 bx 2 0 的解集为{x∣ 2 x 1}， 则 a b =（ ）
A． 2 B．0 C．1 D．2
2．关于实数 x 的不等式 x2 bx c 0 的解集是{x∣x 3或 x 4}，则关于 x 的不等式 cx2 bx 1 0的解集是
________．
3．如果关于 x 的不等式 ax2 bx c 0的解集为 x 1 x 2 ，则关于 x 的不等式bx2 ax c>0的解集为_______.
题型四、一元二次方程根的分布问题
1．已知方程 x2 (m 2)x 5 m 0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于 2，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A． ( 5, 4) (4, ) B． ( 5, )
C． ( 5, 4) D． ( 4, 2) (4, )
2．若关于 x 的一元二次方程 kx2 3x 1 0有实数根，则实数 k 的取值范围是______．
3 mx2．方程 m 1 x 1 0在区间 0,1 内有两个不同的根，则m的取值范围为__．
4 2．关于 x 的方程 x a 1 x 4 0在区间 1,3 内有两个不等实根，则实数 a的取值范围是_____．
题型五、解分式不等式
1．解关于 x 的不等式：
x 1 0 8 x 0 x 2 3x 1 2 5(1) ； (2) ；(3) 2；(4) 1；(5) 2 ；
3x 2 5 x x 3 3 x x 1 4 x
(6) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0；(7) x(x 3)(2 x)(x 1) 0
2．解下列不等式.
1 4 1 3 1 1(1) ；(2) ；（3）
x 2 x x 2
x2 3x 10 0
3．求解不等式组 1 .
2
1 x
2
4 x 8x 20．解不等式： ≥0.
x 3
题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
1．关于 x 的一元二次不等式 ax2 2ax 1 0的解集为R ，则 a的取值范围（ ）
A．a >0 B．01
2．不等式 a 2 x2 4 a 2 x 12 0的解集为 R，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 1,2 B． 1,2 C． 2,1 D． 1, 2
3．若集合 A {x | ax2 ax 1 0} ，则实数 a的取值集合为（ ）
A．{a | 0 a 4} B．{a | 0 a 4} C．{a | 0 a 4} D．{a | 0 a 4}
4． x R, x2 x 1 0，则 的取值范围为__________．
5．已知函数 f x x2 3x m ．
(1)若不等式 f x 0的解集为空集，求 m 的取值范围；
(2)若m 0， f x 0 1 4的解集为 b,a ，求 的最大值．
a b
题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
1．已知当 1 a 1 2时， x a 4 x 4 2a 0恒成立，则实数 x 的取值范围是（ ）
A． ,3 B． ,1 3,
C． ,1 D． ,1 3,
2．若“ x 20 (0,2)，使得 2x0 x0 1 0成立”是假命题，则实数 可能的值是（ ）．
A．1 B． 2 3 C．3 D．3 2
3．设函数 f x mx2 mx 1(m R) .
(1)若不等式 f x 0 的解集为 R ，求 m 的取值范围；
(2)若对于 x 2,0 ， f x m 1恒成立，求m 的取值范围．
题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题
1．若不等式 x2 ax 1 0对一切 x 2,3 都成立，则 a 的取值范围是______．
2．若关于 x 的不等式2x2 5x 1 m 0在[1,3]上有解则实数 m 的取值范围为（ ）
A ( , 2) B ,
33
33
． ． C． ( , 4) D
． ,
8 4
3．已知关于 x 的不等式 ax2 2x a 0在 0, 上有解，则实数 a的取值范围为（ ）
A． ,1 B． 1,1 C． 1, D． 0,
4．若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0 在 x 1 x 4 上有解，则实数 a 的取值范围是___________.
5．若不等式 ax2 x 1 0 在 x 1,2 时有解，则实数 a 的取值范围为______．
题型九、一元二次不等式的应用
1．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所
示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为
300 平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多 5 米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为 2 米，求整个绿化面积的最小值．
2．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹
车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为 40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不
对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 12m，乙车的刹车距离略超过 10m，又知
甲、乙两种车型的刹车距离 s m 与车速 x km/h 分别有如下关系式： s1 0.1v 0.01v2 ， s2 0.05v 0.005v2 ．问：
甲、乙两辆汽车是否有超速现象？
1．解下列不等式：
(1) 4x2 4x 1 0；
(2) x2 6x 9 0 ；
(3) x2 2x 3 0 ；
2 2．已知集合 A x x 5x 4 0 , B x x 2, x Z ，则 A B （ ）
A． x |1 x 2 B． x |1 x 4 C．{1,2} D．{1,4}
3．解关于 x 的不等式 x2 2x a 0．
4 2．解关于 x 的不等式 ax 1 4a x 4 0 a R .
5．关于 x 的不等式 ax2 bx 2 0的解集为{x | 2＜x＜3}，则 b 的值为___．
2 2,3 c6．二次不等式 ax bx c 0的解集是 ，则 的值为（ ）b
6 6 5 5
A． B． C． D．
5 5 6 6
7．已知不等式 ax2 bx c 0的解集为 2,3 ，则 cx2 bx a 0的解集为（ ）
1 1 1 1
A． , B
． ,
,
3 2 3 2
1 1 1 1
C． ,
D． , ,
2 3 2 3
8 2．若集合 A x x 2ax 2 a 0, x 0 中只有一个元素，则实数 a 的取值范围为___________.
9．已知关于 x 的方程 ax2 x 2 0的两个实根一个小于 0 ，另一个大于1，则实数 a的取值范围是_____．
10．当 k 2为何值时，关于 x 的方程 x 2 k 3 x 4k 0分别满足：
(1)无实数根？
(2)有两正实根？
11．求下列关于 x 的不等式的解集：
3x 1
(1) 1；(2) 2ax2 a 2 x 1 0．
2 x
12．解下列不等式．
(1) 2x2 5x 7 0 ；
3x 1
(2) 0．
x 1
13．解下列不等式．
(1) 2x2 5x 7 0 ；
2
(2) 3x ． 1
14．解下列不等式
（1）8 x2 0；
（2） x 14 4x2 ；
x 1
（3） 3．
2 x
15．求下列不等式的解集．
（1） x2 5x 6 0；
x 1
（2） 2
2x 1
16．关于 x 的不等式mx2 mx m 1 0 恒成立，则m 的取值范围为 ( )
A． (0, ) B．[0， )
C． (
4
， ) (0 43 ， ) D． ( , ) [0 )3 ，
3
17．若关于 x 2的一元二次不等式 2x kx 0对于一切实数 x 都成立，则实数 k 的取值范围为__________.
8
18 2．设函数 f x mx mx 1.
(1)若对于一切实数 x ， f x 0 恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于 m 1,1 ， f x m 恒成立，求实数 x 的取值范围.
19．不等式 x2 ax 4 2在 1 x 1恒成立，则 a的取值范围是_________.
20．命题“存在 x0 1,2 2， x0 2x0 a 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是___________.
21．若关于 x 的不等式 x2 6x 11 a 0 在区间 2,5 内有解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 2, B． 3, C． 6, D． 2,
22．若关于 x 的不等式 x2 m2x (m 1) 0在 ( 1,1) 有解，则m 的取值范围为（ ）
A． ( , 1] [0, ) B． ( , 1) (0, )
C．[0,1] D．( 0, 1)
23．已知关于 x 的不等式 x2 4x a2 3a 在 R 上有解，则实数 a的取值范围是__________．
24．若关于 x 的不等式 x2 4x 2 a 0在 x 1 x 4 内有解，则实数 a 的取值范围是______．
3
25．甲厂以 x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1 x 10 100 5x 1 ），每小时可获得利润 元．
x
要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，则 x 的最小值是______．
26．为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为 V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出 10 升后用水补
满，搅拌均匀第二次倒出 8 升后用水补满，然后第三次倒出 10 升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过
容积的 60%，则 V 的取值范围是___________；在前一问的条件下，第三次稀释后桶中的药液所占百分比的最大值
为___________.
27．某旅店有 200 张床位．若每张床位一晚上的租金为 50 元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x
元（ x 为正整数），则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过 12600 元，则每张床位的出租价
格可定在什么范围内？
1．不等式 x2 x 4 0的解集是（ ）
A．全体实数 B．空集 C．正实数 D．负实数
1 1
2．若不等式 ax2 bx 2 0的解集是 x x ，则 ax b 0 的解集为（ ）
2 3
1 1 1 1A． ,
B
． ,
C． , D． , 6 6 6 6
1 1
3．若不等式 ax2 2x c 0的解集是 , , ，则不等式 cx2 2x a 0的解集是（ ）
3 2
1 , 1 1 1A．
B ． ,
2 3 3 2
C． 2,3 D． 3,2
4．若命题“ x0 R, x
2
0 (a 1)x0 1 0 ”的否定是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 1,3 B． 1,3
C． , 1 3, D． , 1 3,
5．“不等式 x2 x m 0在 R 上恒成立”的充要条件是（ ）
m 1 1A． B．m C．m 1 D． m 1
4 4
6．已知1 x 2， x2 ax 0恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a a 1 B． a a 1 C． a a 1 D． a a 1
7．对任意的 x 0, ， x2 2mx 1 0恒成立，则m 的取值范围为（ ）
A． 1, B． 1, C． ,1 D． ,1
8．已知关于 x 的不等式mx2 6x 3m 0在 0，2 上有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A． ，3 12 12B． ， C． 3， D． ， 7 7
9．若不等式 x2 ax 5 0在 x 1 x 2 上有解，则 a 的取值范围是（ ）
a a 1 1 A． B． a a C． a a 4 D． a a 4
2 2
10 2．方程 x 2 a x 5 a 0的两根都大于 2，则实数 a 的取值范围是_____．
11．若方程 2x kx 4 x2 6 0有两个不相等的实根，则 k 可取的最大整数值是______.
12．若关于 x 的一元二次方程 x2 2ax 4 0有两个实根，且一个实根小于 1，另一个实根大于 2，则实数 a 的取值
范围是________．
13．若不等式 kx2 2kx 2 0的解集为空集，则实数 k 的取值范围是_____．
14．设函数 f x ax2 2x c ，不等式 f x 0的解集为 , 1 3, ，若对任意 x 1,2 , f x m2 4恒成
立，则实数m 的取值范围为__________.
15．已知命题“ x [ 1,2]， x2 3x a 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围是________.
16．已知命题“ x [ 1,1]， x 20 3x0 a 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围是______ ．
17．当1 x 4时，若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0有解，则实数 a的取值范围是____________．
18．若命题“ x R， x2 2ax 2 a 0 ”是真命题，则实数 a的取值范围为_______．
19．若存在实数 x 1,2 满足 2x a x2 ，则实数 a 的取值范围是________．
20．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长 x（单
位 m）的取值范围是___________.
21．设函数 f x ax2 1 a x 1.
(1)若 a 2，解不等式 f x 0；
(2)若 a 0，解关于 x 的不等式 f x 0
22 a 1 x2．已知不等式 4x 6 0的解集是 x 1 x 3 ．
(1)求常数 a 的值；
(2)若关于 x 的不等式 ax2 mx 4 0的解集为 R，求 m 的取值范围．
23．解不等式：
(1) 2x2 x 1 0
4 x
(2) 0
2x 3
24．解不等式：
x 3
(1) 0；
3x 6
x 1
(2) 2 ．
3x 2
x 2
25．不等式 0的解集是___________.
x 1
26．求下列不等式的解集.
(1) 6 2x2 x 0
x 2
(2) 0
x 4
27．解下列关于 x 的不等式．
(1) |1 2x | 3
2x 1
(2) 1
x 2
(3) x2 (3a 1)x 2a(a 1) 0
28．（1）解不等式 x2 2x 3 0
1
（2）解不等式 2x
29．解关于 x 的不等式：
(1) 2 3x 2x2 0；
2x 1
(2) 1
3 x
x2 3x 2 0
30．解不等式组： x 1 .
1
x 4
31．解下列不等式（组）：
2x 3
1
(1) x 1 ；
x2 5x 6 0
(2) a 1 x a2 1．
32．求下列不等式的解.
(1) x2 x 6 0
3x 1
(2) 1
2 x
33 2．已知函数 f x x 2mx 2 m
(1)若不等式 f x mx在 R 上恒成立，求实数m 的取值范围
(2)若 f x 0在 0,1 上恒成立，求实数m 的最大值.
34．已知二次函数 y x2 2ax 2 .若1≤x≤5时，不等式 y 3ax 恒成立，求实数 a的取值范围.
35．已知函数 f x 2x2 2ax 1．
(1)解关于 x 的不等式 f x a 1 x；
(2)若不等式 f x 0 在 x 2,0 上有解，求实数 a的取值范围．
36．国家原计划以 2000 元/吨的价格收购某种农产品m
吨.按规定，农户向国家纳税：每收入 100 元纳税 8 元（称作税率为 8 个百分点，即 8%）.为了减轻农民负担，制定
积极的收购政策.根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x个百分点.试确定 x 的范围，使税率调低后，
国家此项税收总收入不低于原计划的 54%.
37．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶 70 元，不征收附加税的时候，
每年大约产销 100 万瓶，若政府征收附加税，每销售 100 元要征税 R 元（叫做税率 R%），则每年的销售将减少 10R
万瓶.
（1）求出每年商店经营烟酒被征收的附加税税金 S（单位：万元）；
（2）若附加税税金 S 不少于 112 万元，且不大于 168 万元，求 R 的取值范围.2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
知识点一 一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不
定义
等式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中 a≠0，
一般形式
a，b，c 均为常数
知识点二 一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，我们把使 ax2＋bx＋c＝0 的实数 x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点．
知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
有两个相等的实数根
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的 有两个不相等的实
b 没有实数根
根 数根 x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} Error! R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1
知识点四 解一元二次不等式
①化为基本形式 ax2＋bx＋c>0 或 ax2＋bx＋c<0(其中 a>0)；
②计算 Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 是否有解；
③有根求根；
④根据图象写出不等式的解集.
知识点五 解分式不等式
f x(1) >0 f(x)·g(x)>0；
g x
f x(2) ≤0 Error!
g x
f x f x ag x(3) a ≥ － ≥0.
g x g x
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立 k≥f(x)max；
k≤f(x)恒成立 k≤f(x)min.
【题型目录】
题型一、解不含参数的一元二次不等式
题型二、解含有参数的一元二次不等式
题型三、由一元二次不等式的解确定参数
题型四、一元二次方程根的分布问题
题型五、解分式不等式
题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题
题型九、一元二次不等式的应用
题型一、解不含参数的一元二次不等式
1．解不等式：⑴ x2 x 2 4 .
⑵ 2x2 3x 1 0 .
1
⑶ x2 3x 5 0 .
2
1
⑷ x2 3x 5 0 .
2
⑸ 4x2 4x 1 0
⑹ x2 6x 9 0 ；
⑺ x2 1 .
【详解】 ⑴ x2 x 6 0
x 2 x 3 0
所以 2 x 3 ，即解集为{x | 2 x 3} .
1
⑵ 2x2 3x 1 0等价于 2x2 3x 1 0 等价于 2x 1 x 1 0，解得： x 1或 x ，所以不等式的解集为2
,
1
1, ；2
1
⑶ x2 3x 5 0，
2 x
2 6x 10 0，
6 2 4 10 4 0，
所以原不等式的解集为 .
1
⑷设函数 g(x) x2 3x 5 g(x) 0 32 4 (
1
，令 ，则 ) ( 5) 1 0，即函数 g(x)的图象与 x 轴无公共点，
2 2
又二次函数 g(x)图象开口向下，不等式 g(x) 0恒成立，
1 2
所以不等式 x 3x 5 0 的解集是：R.
2
1
⑸因为 4x2 4x 1 2x 1 2 0，所以 4x2 4x 1 0的解集为 x x .
2
⑹ x2 6x 9 (x 3)2 0，可得 x 3，
∴不等式解集为 x | x 3 .
⑺原不等式造价变形为 x2 1 0，即 (x 1)(x 1) 0，
设函数 (x) (x 1)(x 1)，则函数 (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标为 1或1，
又二次函数 (x) 图象开口向上，由 (x) 0得：得 x 1或 x 1，
所以不等式 x2 1的解集是： ( , 1] [1, ) .
2 2．已知全集 A y | y x x 2，集合B x | x 1 ，则 A B （ ）
1
A． ， B． 1， C． 1
1
， D． 0，
2 2
【答案】D
1
【分析】先求函数 y x x2 得 A 0，2 ，再解不等式 x
2 1得B 1,1 ，再求集合交集运算即可.
1
【详解】解：因为 y x x2 的定义域为 0,1 ，所以函数 y x x2 的值域为 0，2 ，
所以 A y | y x 1 x2 0， ， 2
2
又因为B x | x 1 1,1 ，
0 1A B 所以 ， 2
故选：D
题型二、解含有参数的一元二次不等式
x x2 1 1．解关于 的不等式 a x 1 0．
a
1 1
【详解】原不等式可化为： x a x 0 ，令 a 可得： a 1
a a
1 1当 a 1或 0 a 1时， a ， a x ；
a a
1
当 a 1或 a 1时， a ，不等式无解；
a
当 1 a 0
1 1
或 a 1 时， a ， x a
a a
综上所述，当 a 1或 a 1时，不等式解集为 ；
1
当 a 1或 0 a 1时，不等式的解集为 x | a x a
；
1
当 1 a 0或 a 1时，不等式解集为 x | x a ．
a
2．若 a R ，解关于 x 的不等式 ax2 (a 1)x 1 0．
1
【详解】当 a 0时， x 1，当 a 0时， a(x )(x 1) 0，
a
1 1
当 a 0时， (x )(x 1) 0 ，解得 1 x ，
a a
当 a 0时， (x
1
)(x 1) 0，
a
1 1
若 a 1，则 x 1，若 0 a 1，则 x 或 x 1，若 a 1，则 x 1或 x ，
a a
1
所以当 a 0时，原不等式的解集是{x | 1 x }；当 a 0时，原不等式的解集是{x | x 1}；
a
0 a 1 {x | x 1
1
当 时，原不等式的解集是 或 x 1}；当 a 1时，原不等式的解集是{x | x 1或 x }．
a a
3 2．解关于 x 的不等式 ax 2 2x ax a R ．
2
【详解】原不等式变形为 ax a 2 x 2 0．
①当 a 0时， x 1；
②当 a 0时，不等式即为 ax 2 x 1 0，
2
当 a 0时，x 或 x 1；
a
2 a 2
由于 1 ，于是
a a
2
当 2 a 0时， x 1；
a
当 a 2 时， x 1；
2
当 a 2 时， 1 x ．
a
2
综上，当 a 0时，不等式的解集为 ( , 1]；当 a 0时，不等式的解集为 ( , 1] [ , )；
a
2
2
当 a 0时，不等式的解集为 , 1a ；当
a 2 时，不等式的解集为 1 ；当 a 2 时，不等式的解集为
2
1, ． a
题型三、由一元二次不等式的解确定参数
1．若不等式 ax2 bx 2 0 的解集为{x∣ 2 x 1}， 则 a b =（ ）
A． 2 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为不等式 ax2 bx 2 0 的解集为{x∣ 2 x 1}
所以 a 0 ，-2 和 1 是方程 ax2 bx 2 0的两实数根
b
2 1 a
所以 ，解得 a 1，b 1
2 1 2
a
所以 a b 2 .故 A，B，C 错误.
故选：D.
2．关于实数 x 的不等式 x2 bx c 0 的解集是{x∣x 3或 x 4}，则关于 x 的不等式 cx2 bx 1 0的解集是
________．
1 1
【答案】 ( , ) ( , )
4 3
【详解】因为关于实数 x 的不等式 x2 bx c 0 的解集是{x∣x 3或 x 4}，
9 3b c 0 b 1
所以 16 ，解得 ， 4b c 0
c 12
所以不等式 cx2 bx 1 0为12x2 x 1 0，即 (3x 1)(4x 1) 0 x
1 1
， 或 x ．
4 3
故答案为： ( ,
1 1
) ( , ) ．
4 3
3．如果关于 x 的不等式 ax2 bx c 0的解集为 x 1 x 2 ，则关于 x 的不等式bx2 ax c>0的解集为_______.
【答案】 , 2 1,
【详解】关于 x 的不等式 ax2 bx c 0的解集为 x 1 x 2 ，
1,2是方程 ax2 bx c 0的两实数根，且 a 0，
1 2
b
a
由韦达定理得 c ， 1 2
a
b a 0,c 2a 0，
不等式bx2 ax c>0化为 ax2 ax 2a 0 x2 x 2 0，
即 x 1 x 2 0 ，解得 x 2或 x 1，
故答案为： , 2 1, ．
题型四、一元二次方程根的分布问题
1．已知方程 x2 (m 2)x 5 m 0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于 2，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A． ( 5, 4) (4, ) B． ( 5, )
C． ( 5, 4) D． ( 4, 2) (4, )
【答案】C
Δ 0
【分析】令 f x x2 (m 2)x 5 m 2 m ，根据二次方程根的分布可得式子 2，计算即可.
2
f 2 0
【详解】令 f x x2 (m 2)x 5 m
Δ 0
m 2
2 4 5 m 0 m 4或m 4
2 m
由题可知： 2 m 2
m 2
2
f 2 0
4 m 2 2 5 m 0 m 5
则 5 m 4，即m ( 5, 4)
故选：C
2．若关于 x 的一元二次方程 kx2 3x 1 0有实数根，则实数 k 的取值范围是______．
9 ,0 【答案】 0, 4
【详解】由题意，关于 x 的一元二次方程 kx2 3x 1 0有实数根，
k 0 9
则满足 Δ 32 ，解得
k ，且 k 0，
4k ( 1) 0 4
9
所以实数 k 的取值范围是 ,0 0, . 4
9 ,0 故答案为： 0, 4
3 2．方程mx m 1 x 1 0在区间 0,1 内有两个不同的根，则m的取值范围为__．
【答案】m 3 2 2
m 0
0 m 1 1【分析】令 f x mx2 m 1 x 1 f 0 1 ，即可得到 ，依题意可得 2m ，解得即可；
f 1 0
Δ 0
【详解】解：令 f x mx2 m 1 x 1，图象恒过点 0,1 ，
方程mx2 m 1 x 1 0 在区间 0,1 内有两个不同的根，
m 0
m 1 m 0 0 1 2m
m 1 ，解得m 3 2 2 .
f 1 0 2
m 1 4m 0
Δ 0
故答案为：m 3 2 2
4 2．关于 x 的方程 x a 1 x 4 0在区间 1,3 内有两个不等实根，则实数 a的取值范围是_____．
16
【答案】 (5, ]
3
2 2
【详解】关于 x 的方程 x a 1 x 4 0在区间 1,3 内有两个不等实根，令 f x x a 1 x 4，
Δ a 1 2 16 0
1 a 1 3 16
则有 2 ，解得5 a ，
f 1 6 a 0 3
f 3 16 3a 0
16
所以实数 a的取值范围是 (5, ] .
3
故答案为： (5,
16]
3
题型五、解分式不等式
1．解关于 x 的不等式：
x 1 0 8 x 0 x 2 2 3x 1 1 2 2 5(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ；
3x 2 5 x x 3 3 x x 1 4 x
(6) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0；(7) x(x 3)(2 x)(x 1) 0
x 1 0 x 1 3x 2 0 x 2【详解】(1) 可化为 ，解得： 或 x 1，
3x 2 3
2
所以原不等式的解集为：{x | x 3 或
x 1} .
8 x x 8 x 8 5 x 0
（2）由 0 得 0 ，∴ ，解得 5 x 8，5 x 5 x 5 x 0
8 x
故不等式 0 的解集为 5,8 .
5 x
x 2 x 2 2 x 3(3) 2 0 0 x 8 0 x 8 0；
x 3 x 3 x 3 x 3
等价变形为： x 8 x 3 0且 x 3 0； （注意分母 x 3 0）
解得 8 x 3
所以原不等式的解集为 x | 8 x 3
3x 1
(4) 1可化为 2x 4 x 3 0，解得： 2 x 3，
3 x
所以原不等式的解集为：{x | 2 x 3} .
2 5 2x 5 x 1
(5) 2 可化为： 0
x 1 4 x x 1 x 4 ，用“穿针引线法”如图示：
所以原不等式的解集为： x | 1 x 1 5 x 4 或
2
.
(6)对于不等式 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0，用“穿针引线法”如图示：
所以原不等式的解集为： x | x 4或 2 x 3或 x 1 .
(7)对于不等式 x(x 3)(2 x)(x 1) 0，可化为 x(x 3)(x 2)(x 1) 0用“穿针引线法”如图示：
所以原不等式的解集为： x | 1 x 0 或 2 x 3 .
2．解下列不等式.
1 1 1 1
(1) 4；(2) 3；（3）
x 2 x x 2
1 5
【答案】(1) 0, ；(2) , 2, ；（3）{x | x 0 或 x 2} 4 3
1
【详解】(1)由 4
1 4x
可得 0，即 x 4x 1 0 1，解得0 x ，
x x 4
1
4 0,
1
所以不等式 的解集为 .
x 4
1 3x 5 x 2 0
(2)由 3
3x 5 0 5，可得 ，即 ，解得 x 或 x 22 x 2 x x 2 0 3
1 5
所以 3的解集为 , 2, .2 x 3
1 1 1 1
（3） 0
2 x
0 2x 2 x 0，解得 x 0 或 x 2
x 2 x 2 2x
所以该不等式解集为{x | x 0 或 x 2} .
x2 3x 10 0
3．求解不等式组 1 .
2 1 x
1
【答案】 x 2 x 或1 x 5}
2
【详解】不等式 x2 3x 10 0，解得 2 x 5，
1 2 1 2(1 x) 0 2x 1不等式 ，整理可得 ，即 0，
1 x 1 x 1 x 1 x
(2x 1)(x 1) 0
x 1 x 1等价于 ，解得 或 ，
1 x 0 2
1
综上：解集为 x 2 x 或1 x 5}，
2
x24 8x 20．解不等式： ≥0.
x 3
【答案】{x|x≥10 或－2≤x＜3}．
x2 8x 20 0 x2 8x 20 0
【详解】由题意得 或 ， 解得 x≥10 或－2≤x＜3，
x 3 0 x 3 0
所以原不等式的解集为{x|x≥10 或－2≤x＜3}．
题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
1．关于 x 的一元二次不等式 ax2 2ax 1 0的解集为R ，则 a的取值范围（ ）
A．a >0 B．01
【答案】B
a 0
【详解】要使一元二次不等式 ax2 2ax 1 0的解集为R ，则需满足 2 0 a 1，
Δ 2a 4a 0
故选：B
2．不等式 a 2 x2 4 a 2 x 12 0的解集为 R，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 1,2 B． 1,2 C． 2,1 D． 1, 2
【答案】B
2
【详解】关于 x 的不等式 a 2 x 4 a 2 x 12 0的解集为R .
当 a 2 0时，即当 a 2时，则有 12 0恒成立，符合题意；
a 2 0
②当 a 2 0 时，则有 ，解得 1 a 2 .
Δ 16 a 2
2 48 a 2 0
综上所述，实数 a的取值范围是 1,2 .
故选：B.
3．若集合 A {x | ax2 ax 1 0} ，则实数 a的取值集合为（ ）
A．{a | 0 a 4} B．{a | 0 a 4} C．{a | 0 a 4} D．{a | 0 a 4}
【答案】B
【详解】当 a 0时，不等式等价于1 0，此时不等式无解；
a 0
当 a 0时，要使原不等式无解，应满足 2 ，解得 0 a 4 ；
Δ a 4a 0
综上， a的取值范围是 0, 4 ．
故选：B．
4． x R, x2 x 1 0，则 的取值范围为__________．
【答案】 2 2
【详解】由题设 2 4 0，可得 2 2 .
故答案为： 2 2
5．已知函数 f x x2 3x m ．
(1)若不等式 f x 0的解集为空集，求 m 的取值范围；
(2)若m 0， f x 0的解集为 b,a 1 4，求 的最大值．
a b
9
【答案】(1) , ；(2) 3 4
【详解】(1) f x x2 3x m，
不等式 f x 0的解集为空集，
等价于 f x x2 3x m 0恒成立，
即 x2 3x m 0恒成立，
即 9 4m 0 m
9
，解得： ，
4
9
即求 m 的取值范围 , ； 4
(2)若m 0， f x 0的解集为 b,a ，
f x 0有两个不同实根 a，b，
即 a，b 是方程 x2 3x m 0的两个不同实根，
故 a b 3,ab m 0,
故 a，b 同为负值，
1 4 1 1 4 1 4a b 1
则
a b
5
5 2 4a b 3 a b 3 b a 3 3，
4a b
b a
当且仅当 a b 3 ，即 a 1,b 2等号成立．
a 0,b 0
1 4
故 的最大值为 3．
a b
题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
1．已知当 1 a 1 x2时， a 4 x 4 2a 0恒成立，则实数 x 的取值范围是（ ）
A． ,3 B． ,1 3,
C． ,1 D． ,1 3,
【答案】D
x2【详解】解： a 4 x 4 2a 0恒成立，
即 x 2 a x2 4x 4 0，对任意得 a 1,1 恒成立，
令 f a x 2 a x2 4x 4 ， a 1,1 ，
当 x 2时， f a 0，不符题意，故 x 2，
当 x 2时，函数 f a 在 a 1,1 上递增，
则 f a f 1 x 2 x2 4x 4 0min ，解得 x 3或 x 2 （舍去），
当 x 2 时，函数 f a 在 a 1,1 上递减，
则 f a f 1min x 2 x
2 4x 4 0，解得 x 1或 x 2（舍去），
综上所述，实数 x 的取值范围是 ,1 3, .
故选：D.
2 2．若“ x0 (0,2)，使得 2x0 x0 1 0成立”是假命题，则实数 可能的值是（ ）．
A．1 B． 2 3 C．3 D．3 2
【答案】A
2
【详解】因为“ x0 (0,2)，使得 2x0 x0 1 0成立”是假命题，
所以 x (0, 2)，都有 2x2 x 1 0成立是真命题，
即 x (0, 2)， 2x
1
恒成立，
x
1
2x 1 2 2x 1 2 2 2，当且仅当 2x ，即 x 时取等号，
x x x 2
所以 2 2 ，比较可知，只有 1 满足条件，
故选：A.
3．设函数 f x mx2 mx 1(m R) .
(1)若不等式 f x 0 的解集为 R ，求 m 的取值范围；
(2)若对于 x 2,0 ， f x m 1恒成立，求m 的取值范围．
【答案】(1) 4，0 ；(2) m 2
2
【详解】(1)解：由题意，函数 f x mx mx 1，
因为 f x 0 的解集为 R ，即不等式mx2 mx 1 0的解集为 R ，
当m 0时， f x 1 0恒成立，则m 0满足条件；
m 0
当m 0
时，可得 ，解得 4 m 0 ，
Δ m
2 4m 0
综上所述得 m 的取值范围为 4，0 ．
(2)解：由条件 f x m 1，可得mx2 mx 1 m 1，
即m(x2 x 1) 2在 x 2,0 上恒成立，
x2 x 1 1 3又由 (x )2 0，
2 4
2
所以m 2 在 x 2,0 上恒成立，x x 1
因为 x 2,0 ，所以1 x2 x 1 7 ，
2
所以 2 的最大值为 2，所以m 2 ，x x 1
即实数m 的取值范围是 (2, ) .
题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题
1．若不等式 x2 ax 1 0对一切 x 2,3 都成立，则 a 的取值范围是______．
【答案】[
5
, )
2
1
【详解】解：因为不等式 x2 ax 1 0对一切 x 2, 3 恒成立，所以 a (x )对一切 x 2, 3 恒成立，x
令 f (x) (x
1
)，可知 a f (x)max 成立，当 x 2, 3 ，函数单调递减，x
5 5
所以 f (x) f (2) ，所以 a .
2 2
5
故答案为：[ , ) .
2
2．若关于 x 的不等式2x2 5x 1 m 0在[1,3]上有解则实数 m 的取值范围为（ ）
A． ( , 2)
33 33
B． ,
C ． ( , 4) D． ,
8 4
【答案】A
【详解】解：依题意，2x2 5x 1 m，令 y 2x2 5x 1，
故问题转化为求函数 y 2x2 5x 1在[1,3]上的最大值；
2 5 1 5 3 5因为二次函数 y 2x 5x 1的对称轴为 x ，且 ，
4 4 4
故 ymax 2 9 5 3 1 2，故m 2，
故选：A.
3．已知关于 x 的不等式 ax2 2x a 0在 0, 上有解，则实数 a的取值范围为（ ）
A． ,1 B． 1,1 C． 1, D． 0,
【答案】A
【详解】由 x (0, )， ax2
2x 2x
2x a 0，可得 a 2 在 0, 上有解，令 f (x) 2 ，则x 1 x 1
f (x) 2 2 1
x 1 2 x 1 ，当且仅当
x 1时取等号，所以a 1 .
x x
故选：A.
4．若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0 在 x 1 x 4 上有解，则实数 a 的取值范围是___________.
【答案】 a a 4
【分析】令 f x 2x2 8x 4 a ，要使关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0 在 x 1 x 4 上有解，只需 f x 0max
在 x 1 x 4 上有解即可，求出函数 f x 在 x 1 x 4 上的最大值即可得解.
2
【详解】解：令 f x 2x2 8x 4 a 2 x 2 12 a，
要使关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0 在 x 1 x 4 上有解，
只需 f x 0 x 1 x 4max 在 上有解即可，
即 f x f 4 4 a 0max ，解得 a 4 .
故答案为： a a 4 .
5．若不等式 ax2 x 1 0 在 x 1,2 时有解，则实数 a 的取值范围为______．
【答案】 ( 2, )
【分析】由 ax2 a
1 1
x 1 0 ，得 2 在[1, 2]
1 1
上有解，令 f (x) 2 ，然后求出函数 f (x) 的最小值即可x x x x
【详解】由 ax2 x 1 0 ，得 ax2 x 1，
1 1
因为 x 1, 2 ，所以 a 2 有解，x x
2
令 f (x) 1 1 1 1 1 ，则 f (x) 在[1, 2]2 上单调递增，x x x 2 4
所以 f (x)min f (1) 2，
所以 a 2 ，
故答案为： ( 2, )
题型九、一元二次不等式的应用
1．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所
示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为
300 平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多 5 米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为 2 米，求整个绿化面积的最小值．
【答案】(1)15 米；(2)864 平方米
300
【详解】(1)设草坪的宽为 x 米，长为 y 米，由面积为 300 平方米，得 y x ，
300
∵矩形草坪的长比宽至少多 5 米，∴ x 5，
x
∴ x2 5x 300 0，解得 20 x 15，
又 x 0，∴ 0 x 15，
草坪宽的最大值为 15 米．
(2)记整个绿化面积为 S 平方米，由题意可得
S (2x 6)(y 4) (2x 6) 300 4 624 8 225 x 614 8 2 x
225
864，
x x x
当且仅当 x 15时，等号成立，
∴整个绿化面积的最小值为 864 平方米．
2．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹
车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为 40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不
对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 12m，乙车的刹车距离略超过 10m，又知
2 2
甲、乙两种车型的刹车距离 s m 与车速 x km/h 分别有如下关系式： s1 0.1v 0.01v ， s2 0.05v 0.005v ．问：
甲、乙两辆汽车是否有超速现象？
【答案】甲种车型没有超速现象, 乙种车型有超速现象.
2
【详解】因为甲种车型的刹车距离 s m 与车速 x km/h 的关系式： s1 0.1v 0.01v ，
所以由题意可得： s1 0.1v 0.01v
2 12 v2 10v 1200 0 v 30，或 v 40 舍去，即 v 30，当 v 40时，
s1 0.1 40 0.01 1600 20 12 ，
显然甲种车型没有超速现象；
因为乙种车型的刹车距离 s m 与车速 x km/h 的关系式： s2 0.05v 0.005v2 ，
所以由题意可得： s2 0.05v 0.005v
2 10 v2 v 2000 0 v 40 ，或 v 50 舍去，即 v 40，因此乙种车型有
超速现象.
1．解下列不等式：
(1) 4x2 4x 1 0；
(2) x2 6x 9 0 ；
(3) x2 2x 3 0 ；
1
【答案】(1) x x ；(2) x | x 3 ；(3) ；
2
【详解】（1）因为 4x2
1
4x 1 2x 1 2，所以 4x2 4x 1 0的解集为 x x 2 ；
（2）因为 x2 6x 9 x 3 2 0，所以 x2 6x 9 0 的解集为 x | x 3 ；
（3）原不等式可化为 x2 2x 3 0，因为 22 4 3 12 0，所以方程 x2 2x 3 0 无实根，又因为
y x2 2x 3的图象开口向上，所以原不等式的解集为 ；
2．已知集合 A x x2 5x 4 0 , B x x 2, x Z ，则 A B （ ）
A． x |1 x 2 B． x |1 x 4 C．{1,2} D．{1,4}
【答案】C
2
【详解】因为 A x x 5x 4 0 ，所以 A x x 1 x 4 0 x 1 x 4 ，
因为B x x 2, x Z ，所以集合 B 中元素为所有小于等于 2 的整数，
所以 A B {1,2} .
故选：C
3．解关于 x 的不等式 x2 2x a 0．
【详解】方程 x2 2x a 0中 4 4a 4 1 a ，
①当1 a 0即 a 1时，不等式的解集是 R ，
②当1 a 0，即 a 1时，不等式的解集是{x R | x 1}，
③当1 a 0即a 1时，
由 x2 2x a 0解得： x1 1 1 a，x2 1 1 a ，
a 1时，不等式的解集是{x | x 1 1 a 或 x 1 1 a}，
综上， a 1时，不等式的解集是 R ，
a 1时，不等式的解集是{x R | x 1}，
a 1时，不等式的解集是{x | x 1 1 a 或 x 1 1 a}，
4 2．解关于 x 的不等式 ax 1 4a x 4 0 a R .
【详解】①当 a 0时，原不等式可化为 x 4 0，解得 x 4；
1 1
②当 a
0时，原不等式可化为 x x 4 0 ，解得 4 x ；
a a
1
③ 当 a 0时，原不等式可化为 x a
x 4 0，
1 1
当 4，即 a 0 x
1
时，解得 或 x 4；
a 4 a
1
<ⅱ>当 4 a
1
，即 时，解得 x 4或 x 4；
a 4
1 4 a 1 1<ⅲ>当 ，即 时，解得 x 4或 x .
a 4 a
1 1
综上所述，当 a 时，不等式解集为 x x 4或x ；4 a
当 a
1
时，不等式解集为 x x 4 ；
4
1 1
当 a 0 时，不等式解集为
4
x x 或x 4
a
；
当 a 0时，不等式解集为 x x 4 ；
1
当 a 0时，不等式解集为 x 4 x .
a
5．关于 x 的不等式 ax2 bx 2 0的解集为{x | 2＜x＜3}，则 b 的值为___．
1
【答案】
3
【详解】根据不等式 ax2 bx 2＞0的解集为{x | 2＜x＜3}，
可得方程 ax2 bx 2 0的两个根为﹣2 和 3，且 a 0，
2
( 2)
1
3 a
a 3
则 ，解得 .
b 1 ( 2) 3 b
a 3
1
故答案为： ．
3
c
6．二次不等式 ax2 bx c 0的解集是 2,3 ，则 的值为（ ）b
6 6 5 5
A． B． C． D．
5 5 6 6
【答案】B
【详解】因为二次不等式，所以 a 0，
因为不等式 ax2 bx c 0的解集是 2,3 ，
所以 2,3 为方程 ax2 bx c 0的两个根，
2 3 b , 2 3 c b 5, c所以 ，即 6
a a a a
c 6
所以 .
b 5
故选：B
7．已知不等式 ax2 bx c 0的解集为 2,3 ，则 cx2 bx a 0的解集为（ ）
1 , 1 1 1A ． B． ,
,
3 2 3 2
1
C． ,
1
1 1
D． ,
,
2 3 2 3
【答案】A
【详解】解：∵不等式 ax2 bx c 0的解集为 2,3 ，
∴2 和 3 是方程 ax2 bx c 0的两个根.
a 0
b
∴ 2 3，可得b 5a,c 6a .
a
c
2 3
a
cx2 bx a 0可化为6ax2 5ax a 0，即6x2 5x 1 0，
即 3x 1 2x 1 0 1 x 1,解得 .
3 2
故选:A.
8 2．若集合 A x x 2ax 2 a 0, x 0 中只有一个元素，则实数 a 的取值范围为___________.
【答案】 1 [2, )
2
【详解】因为集合 A x x 2ax 2 a 0, x 0 中只有一个元素，
所以方程 x2 2ax 2 a 0 只有一个正根，或一个正根一个负根或一个正根一个零根，
a 0 a 0
所以 2 或 2 a 0或 2 a 0 ，解得
a 1或 a 2
Δ 2a 4 2 a 0
所以实数 a 的取值范围为 1 [2, )，
故答案为： 1 [2, )
9．已知关于 x 的方程 ax2 x 2 0的两个实根一个小于 0 ，另一个大于1，则实数 a的取值范围是_____．
【答案】 3,0
【详解】显然 a 0，关于 x 的方程 ax2 x 2 2 0对应的二次函数 f x ax x 2
当 a 0时，二次函数 f x ax2 x 2的图象开口向上，
因为 ax2 x 2 2 0的两个实根一个小于 0 ，另一个大于1等价于二次函 f x ax x 2的图象与 x 轴的两个零点一
个小于 0，另一个大于1，
f 0 0 2 0
所以 ，即 ，解得 a f 1 0 a 3 0 ；
② a 0 f x ax2当 时，二次函数 x 2的图象开口向下，
因为 ax2 x 2 0的两个实根一个小于 0 2，另一个大于1等价于二次函 f x ax x 2的图象与 x
轴的两个零点一个小于 0，另一个大于1，
f 0 0 2 0
所以 f 1 0 ，即 ，解得 3 a 0． a 3 0
；
综上所述，实数 a的范围是 3,0 ．
故答案为： 3,0 ．
10 2．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 2 k 3 x 4k 0分别满足：
(1)无实数根？
(2)有两正实根？
【答案】(1) k 1,9 ；(2) k (0,1] .
2
【详解】(1)∵关于 x 的方程 x 2 k 3 x 4k 0无实数根，
∴ 4 k 3 2 4 4k 0，
∴ k 2 10k 9 0，解得1 k 9，即 k 1,9 .
(2)∵ 2关于 x 的方程 x 2 k 3 x 4k 0有两正实根，
Δ 4 k 3 2 4 4k 0
∴ 2 k 3 0 ，解得0 k 1，即 k (0,1] .
4k 0
11．求下列关于 x 的不等式的解集：
3x 1
(1) 1；(2) 2ax2 a 2 x 1 0．
2 x
3x 1 3x 1 2 x 4x 3
【详解】(1)由 1可得： 0，
2 x 2 x 2 x
(4x 3)(2 x) 0
3 ，解得： x 2
x 2
.
4
3x 1 3
故 1的解集为 x x 2 .2 x 4
2x 1 0 x 1 (2)1、当 a 0时，不等式为 , . 2
2、当 a 0 2时，由 2ax a 2 x 1 2x 1 ax 1 0 1 1，解得 x1 , x2 .2 a
1 1
当 a 0时，不等式的解集为 , , a 2 ，
1 1
当0 a 2 时， 不等式的解集为
,
2 a ，
a
1
当 2时，不等式的解集为 .
2
a 2
1 1
当 时，不等式的解集为 , .
a 2
12．解下列不等式．
(1) 2x2 5x 7 0 ；
3x 1
(2) 0．
x 1
【详解】(1)
2 7由 2x 5x 7 0 可得 2x2 5x 7 0 ，解可得 1 x ，2
故原不等式的解集为 x 1
7
x ．
2
3x 1 x 1 1 (2)由 0，可得 3 0，即 x x 1 0
1
，解可得，
1 x
x 1 3 3
，
x 1
1
故原不等式的解集为 x 1 x ．
3
13．解下列不等式．
(1) 2x2 5x 7 0 ；
2
(2) 3x ． 1
【详解】(1)
7
由 2x2 5x 7 0 可得 2x2 5x 7 0 ，解得， 1 x ，2
7
故原不等式的解集为 x 1 x
2
2 2 3 3x 1(2)由 3可得 0x 1 ， x 1 x 1
1
∴ x 13 0，解得， 1 x 3 ，
x 1
1
故原不等式的解集为 x 1 x ．
3
14．解下列不等式
（1）8 x2 0；
（2） x 14 4x2 ；
x 1
（3） 3．
2 x
【详解】解：（1）不等式8 x2 0等价于 x2 8 0，所以 2 2 x 2 2 ，
所以8 x2 0的解集为 x 2 2 x 2 2 ；
（2）不等式 x 14 4x2 等价于 4x2 x 14 0，即 4x 7 x 2 0，解得 x 2或 x 7 .4
7
所以 x 14 4x2 的解集为 x x 2 或 x 4 .
x 1 x 1 4x 5 2 x 0
（3）不等式 3 3 0
4x 5 0 ，
2 x 2 x 2 x 2 x 0
4x 5 2 x 0
解不等式组 得 x
5
或 x 2 .
2 x 0 4
x 1 5
所以 3的解集为 x x 或 x 2 .2 x 4
15．求下列不等式的解集．
（1） x2 5x 6 0；
x 1
（2） 2
2x 1
1
【答案】（1） , 2 3, ；（2） ,1 ．
2
【分析】（1）对不等式进行因式分解，进而可得答案；
x 1 2x 1 0
（2）移项，通分，然后将分式不等式转化为 ，求解即可.
2x 1 0
【详解】解：（1）原不等式可化为： x2 5x 6 0 ；
即 x 2 x 3 0，解得 x 2 或 x 3；
故原不等式的解集为 , 2 3, ．
x 1 4x 2
（2）原不等式可化简为： 0
3x 3
，即 0
2x 1 2x 1
x 1 2x 1 0 1
则 ，解得 x 1
2x 1 0 2
1
故原不等式的解集为 ,1
2
．
16．关于 x 的不等式mx2 mx m 1 0 恒成立，则m 的取值范围为 ( )
A． (0, ) B．[0， )
C． (
4
， ) (0 ) D ( , 4， ． ) [0 ， )3 3
【答案】B
【详解】解：m 0时，1 0成立，
m 0
m 0 时， Δ m2 4m(m 1) 0
，
故m 0，
综上：m 0，
故选：B．
2 317．若关于 x 的一元二次不等式 2x kx 0对于一切实数 x 都成立，则实数 k 的取值范围为__________.
8
【答案】 ( 3, 3)
【分析】由判别式小于 0 可得．
2
【详解】由题意 k 4
3
2 0，
8 3 k 3
．
故答案为： ( 3, 3) ．
18 f x mx2．设函数 mx 1.
(1)若对于一切实数 x ， f x 0 恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于 m 1,1 ， f x m 恒成立，求实数 x 的取值范围.
【详解】(1)
若不等式mx2 mx 1 0对于一切实数 x 恒成立，
①当m 0时， 1 0，恒成立，符合题意，
m 0
②当m 0 时，只需 2 ，解得 4 m 0
Δ m
，
4m 0
综上所述，m 的取值范围是 4,0 ；
(2)若不等式mx2 mx 1 m 对 m 1,1 恒成立，
2
即 x x 1 m 1 0对 m 1,1 恒成立，
令 g m x2 x 1 m 1 1 m 1 ，
g 1 0 x2 x 0
则只需
g
1 x 0 1 x 2
1 0 ，即 2 ，解得 ，或 ， x x 2 0
所以 x 的取值范围是 1,0 1,2 .
19．不等式 x2 ax 4 2在 1 x 1恒成立，则 a的取值范围是_________.
【答案】 1 a 1
【详解】若 x2 ax 4 2在 1 x 1恒成立，即 x2 ax 2 0在 1 x 1恒成立，
2
设 f x x ax 2，开口向上，对称轴为 x a ，
2
a
若 1 ，则必须有 f 1 1 a 2 1 a 0 ，a 1 ，不存在，舍去 ；
2
a
若 1 ，则必须有 f 1 1 a 2 1 a 0, a 1 ，不存在，舍去；
2
a f 1 1 a 0
若 1＜ ＜1 ，则必须有 f 1 1 a 0 ，解得 1 a 1 ；2
故答案为： 1 a 1 .
20 2．命题“存在 x0 1,2 ， x0 2x0 a 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是___________.
【答案】 3,
【详解】由于“ x 1,2 x 2存在 0 ， 0 2x0 a 0 ”为假命题，
所以“ x 1,2 , x2 2x a 0 ”，为真命题，
所以 a x2 2x在区间 1,2 上恒成立，
在区间 1,2 2上，当 x 1时， x2 2x 取得最大值为 1 2 1 3，所以 a 3 .
故答案为： 3,
21．若关于 x 的不等式 x2 6x 11 a 0 在区间 2,5 内有解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 2, B． 3, C． 6, D． 2,
【答案】D
【详解】设 f (x) x2 6x 11，开口向上，对称轴为直线 x 3，
所以要使不等式 x2 6x 11 a 0 在区间(2，5)内有解，只要 a f (x)min 即可，
即 a f (3) 2，得 a 2，
所以实数 a 的取值范围为 (2, ) ，
故选：D
22．若关于 x 的不等式 x2 m2x (m 1) 0在 ( 1,1) 有解，则m 的取值范围为（ ）
A． ( , 1] [0, ) B． ( , 1) (0, )
C．[0,1] D．( 0, 1)
【答案】B
2
【详解】令 f (x) x2 m2x (m 1) m，其对称轴为 x 0，
2
关于 x 的不等式 x2 m2x (m 1) 0在 ( 1,1) 有解，
当 x ( 1,1)时，有 f (x) f ( 1)，
f ( 1) 0，即m2 m 0，可得m 0或m 1．
故选：B．
23．已知关于 x 的不等式 x2 4x a2 3a 在 R 上有解，则实数 a的取值范围是__________．
【答案】 1, 4
【详解】因为关于 x 的不等式 x2 4x a2 3a 在 R 上有解，
y x2 4x x 2 2 4的最大值为 4
所以 a2 3a 4，解得 1 a 4
故答案为： 1, 4
24．若关于 x 的不等式 x2 4x 2 a 0在 x 1 x 4 内有解，则实数 a 的取值范围是______．
【答案】 a 2
2
【详解】 x2 4x 2 a 0， a x2 4x 2 x 2 6，
4 2 2 6 2，所以当1 x 4 x 2 2时， 6 6, 2 ，
所以 a 2 .
故答案为： a 2
3
25．甲厂以 x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1 x 10），每小时可获得利润100 5x 1 元．
x
要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，则 x 的最小值是______．
【答案】3
【详解】要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，则 2 100
5x 1 3 3000，
x
3
整理得5x 14 0，又1 x 10，
x
所以5x2 14x 3 0 ，解得3 x 10．
故 x 的最小值是 3．
故答案为：3
26．为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为 V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出 10 升后用水补
满，搅拌均匀第二次倒出 8 升后用水补满，然后第三次倒出 10 升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过
容积的 60%，则 V 的取值范围是___________；在前一问的条件下，第三次稀释后桶中的药液所占百分比的最大值
为___________.
【答案】 10 V 40 45%
V 10 V 10
【详解】第 2 次倒出后桶中剩余农药 V 10 8升，依题意 V 10 8 V 60% ，
V V
即V 2 45V 200 0，解得5 V 40，又V 10，∴10 V 40 .
V 10
再次倒出 10 升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过60% ，∵10 V 40，
V
60% V 10∴ 60%
10
1 60% 10 1 45%，V V 40
故答案为：10 V 40， 45% .
27．某旅店有 200 张床位．若每张床位一晚上的租金为 50 元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元
（ x 为正整数），则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过 12600 元，则每张床位的出租价格
可定在什么范围内？
【详解】设该旅店某晚的收入为 y 元，则
y (50 10x)(200 10x), x N *
由题意 y 12600，则 (50 10x)(200 10x) 12600
即10000 1500x 100x2 12600 ，即 x2 15x 26 0，解得： 2 x 13，且 x N*
所以每个床位的出租价格应定在 70 元到 180 元之间（不包括 70 元，180 元）
1．不等式 x2 x 4 0的解集是（ ）
A．全体实数 B．空集 C．正实数 D．负实数
【答案】B
2 1 15 15
【详解】 x x 4 (x )2 0
2 4 4
所以不等式 x2 x 4 0的解集为空集．
故选：B．
1 1
2．若不等式 ax2 bx 2 0的解集是 x x ，则 ax b 0 的解集为（ ）
2 3
1 1 1 , , , 1A ． B． C． D． ,
6 6 6 6
【答案】A
1 1
【详解】不等式 ax2 bx 2 0的解集是 x x 2 3
1 1 b
2
3 a a 12
则根据对应方程的韦达定理得到： ，解得 ，
1 1 2
b 2
2 3 a
1
则 12x 2 0的解集为 ,
6
故选：A
2 , 1 1 , 3．若不等式 ax 2x c 0的解集是 3
，则不等式 cx2 2x a 0的解集是（ ）
2
1 1 1 1
A． ,
2 3
B． , 3 2
C． 2,3 D． 3,2
【答案】C
1 1
【详解】解：因为不等式 ax2 2x c 0的解集是 , ,
，
3 2
1
∴ 1和 2 是方程 ax
2 2x c 0的两个实数根，
3
1 1 2
3 2 a
由 ，解得： a 12 c 21 1 c ， ，
3 2 a
故不等式 cx2 2x a 0即 2x2 2x 12 0，
即 x2 x 6 0 ，即 x 3 x 2 0，解得： 2 x 3，
所以所求不等式的解集是： 2，3 .
故选：C．
4．若命题“ x0 R, x
2
0 (a 1)x0 1 0 ”的否定是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 1,3 B． 1,3
C． , 1 3, D． , 1 3,
【答案】B
【详解】:解：命题“ x0 R, x
2
0 (a 1)x0 1 0 ”的否定为“ x R, x
2 a 1 x 1 0 ”为真命题，
所以 a 1 2 4 0，解得 1 a 3，即实数 a 的取值范围是 1,3 .
故选：B.
5．“不等式 x2 x m 0在 R 上恒成立”的充要条件是（ ）
m 1 1A． B．m
4 4
C．m 1 D． m 1
【答案】A
【详解】∵不等式 x2 x m 0在 R 上恒成立，
1
∴ ＝( 1)2 4m 0 ，解得m ，
4
又∵ m
1
，∴ 1 4m 0，则不等式 x24 x m 0
在 R 上恒成立，
1
∴“ m ”是“不等式 x2 x m 0在 R 上恒成立”的充要条件,4
故选:A.
6．已知1 x 2， x2 ax 0恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a a 1 B． a a 1 C． a a 1 D． a a 1
【答案】D
【详解】由1 x 2， x2 ax 0恒成立，可得 a x在 1,2 上恒成立，即即a 1 .
故选：D.
7．对任意的 x 0, ， x2 2mx 1 0恒成立，则m 的取值范围为（ ）
A． 1, B． 1, C． ,1 D． ,1
【答案】D
1
【详解】当 x 0, 时，由 x2 2mx 1 0得： 2m x ，x
x 1 2 1 （当且仅当 x ，即 x 1时取等号）， 2m 2，解得：m 1，即m 的取值范围为 ,1 .
x x
故选：D.
8．已知关于 x 的不等式mx2 6x 3m 0在 0，2 上有解，则实数m 的取值范围是（ ）
12 12A． ，3 B． ， C． 3 ， D． ，
7 7
【答案】A
【详解】由题意得，mx2 6x 3m 0， x 0 2 m 6x， ，即 ，x2 3
6x
故问题转化为m 2 在 0，2 上有解，x 3
6x g(x) 6x 6
设 g(x)
2 2 ，则 x 3 3 ， x 0，2 ，x 3 x x
3
对于 x ≥2 3 ，当且仅当 x 3 (0, 2]时取等号，
x
6
则 g(x)max 3，故2 3 m 3
，
故选：A
9．若不等式 x2 ax 5 0在 x 1 x 2 上有解，则 a 的取值范围是（ ）
A． a a
1
B． a a
1
C． a a 4 D． a a 4
2 2
【答案】B
5
【详解】解：因为 x x 1 x 2 ，所以不等式 x2 ax 5 0化为a x ，x
5 5 1
又 y x 在 1 2 1， 上单调递减，所以当 x 2时， x 有最小值 2 ．所以 a 的取值范围是 a ．x x 2
故选：B．
10 2．方程 x 2 a x 5 a 0的两根都大于 2，则实数 a 的取值范围是_____．
【答案】 5 a 4
2
【详解】解：由题意，方程 x － 2－a x 5－a 0的两根都大于 2，
令 f x x2－ 2－a x 5－a，
0 a2 16
可得 f 2 0 ，即 a 5 0 ，解得－5 a －4．
2 a
2 2 a 4
2
故答案为： 5 a 4 .
11．若方程 2x kx 4 x2 6 0有两个不相等的实根，则 k 可取的最大整数值是______.
【答案】1
【详解】方程化为 2k 1 x2 8x 6 0，
由Δ 64 24 2k 1 0 k 1 11， 解得 k ，
2 6
所以 k 最大整数值是1.
故答案为：1.
12．若关于 x 的一元二次方程 x2 2ax 4 0有两个实根，且一个实根小于 1，另一个实根大于 2，则实数 a 的取值
范围是________．
5
【答案】（ ，＋∞）
2
Δ 4a2 16 0
5
【详解】设 f (x) x2 2ax 4，由题意 f (1) 1 2a 4 0 ，解得 a ，
2
f (2) 4 4a 4 0
故答案为： (
5 , )．
2
13．若不等式 kx2 2kx 2 0的解集为空集，则实数 k 的取值范围是_____．
【答案】{k | 0 k 2}
【详解】解：当 k 0时， 2 0不等式无解，满足题意；
当 k 0时， 4k 2 8k 0，解得0 k 2 ；
综上，实数 k 的取值范围是{k | 0 k 2}．
故答案为：{k | 0 k 2}
14．设函数 f x ax2 2x c ，不等式 f x 0的解集为 , 1 3, 2，若对任意 x 1,2 , f x m 4恒成
立，则实数m 的取值范围为__________.
【答案】 ( , 2] [2, )
【详解】由函数 f x ax2 2x c ，且不等式 f x 0的解集为 , 1 3, ，
即 1,3是方程ax2 2x c 0两个实数根，
1 3
2
a 2
可得 c ，解得
a 1,c 3，所以 f x x 2x 3，
1 3
a
2
又由 f x x 2x 3 (x 1)2 4，且 x 1,2 ，
当 x 1时，函数 f x 取得最大值，最大值为 f x 0max ，
因为对任意 x 1,2 , f x m2 4恒成立，即m2 4 0恒成立，
解得m 2或m 2，所以实数m 的取值范围为 ( , 2] [2, ) .
故答案为： ( , 2] [2, ) .
15．已知命题“ x [ 1,2]， x2 3x a 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围是________.
【答案】 ( , 4]
【详解】由题意得，“ x [ 1,2]， x2 3x a 0 ”是真命题，
则 a x 2 3x 对 x [ 1,2]恒成立，
在区间 1,2 上， x2 3x的最小值为 1 2 3 1 4 ，
所以 a x2 3x 4min ，
即 a 的取值范围是 ( , 4] .
故答案为： ( , 4]
16．已知命题“ x [ 1,1]， x 20 3x0 a 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围是______ ．
【答案】 2,
【详解】因为命题“ x [ 1,1]， x 20 3x0 a 0 ”为真命题
则 x [ 1,1]， a x2 3x 有解，
2
3 9
设 f (x) x2 3x，则 f (x) x2 3x x ，
2 4
当 x [ 1,1]时， f (x) 单调递减，所以 2 f (x) 4，
所以 a 2 .
故答案为： 2, .
17．当1 x 4时，若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0有解，则实数 a的取值范围是____________．
【答案】 , 4
【详解】不等式 2x2 8x 4 a 0有解即不等式 2x2 8x 4 a 有解，
令 f x 2x2 8x 4 2 x 2 2 12，当1 x 4时， 12 f x 4，
因为当1 x 4时，不等式 2x2 8x 4 a 有解，所以 a 4，实数 a的取值范围是 , 4 .
故答案为： , 4
18．若命题“ x R， x2 2ax 2 a 0 ”是真命题，则实数 a的取值范围为_______．
【答案】 a 1或 a 2
【详解】若命题 p：“ x R，x2 2ax 2 a 0 ”是真命题，
则 4a2 8 4a 0，解得 a 1或 a 2
故答案为： a 1或 a 2
19．若存在实数 x 1,2 满足 2x a x2 ，则实数 a 的取值范围是________．
【答案】 ,8
【详解】解：由题意可得，存在实数 x 1,2 时， a x2 2x
令 f x x2 2x， x 1,2 ，即 a f x max
f x x2 2x 2，对称轴为： x 1
2
所以 f x x2 2x在 x 1,2 单调递增
故 f x f 2 22 2 2 8max
即 a 8
所以实数 a 的取值范围为： ,8
故答案为： ,8
20．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长 x（单
位 m）的取值范围是___________.
【答案】[10，30]
x 40 y
【详解】解：设矩形的另一边长为 y ，由三角形相似得 且 x 0, y 0, x 40, y 40，
40 40
所以 40 x y ，又矩形的面积 xy≥300，所以 x 40 x 300 ，解得10 x 30，
所以其一边长 x（单位 m）的取值范围是[10，30].
故答案为：[10，30].
21．设函数 f x ax2 1 a x 1.
(1)若 a 2，解不等式 f x 0；
(2)若 a 0，解关于 x 的不等式 f x 0
a 2 f x 2x2 3x 1 0 x 1【详解】(1)当 时，由 ，解得 或 x 1，
2
故当 a 2时，不等式 f x 0的解集为 x x 1 或 x 1 .
2
(2)由 f x 0 可得 ax 1 x 1 0 ，
当 a 0时，方程 ax 1 x 1 0 x 1的两根分别为 1 ， x2 1.a
1
当 0 a 1时， 1
1
，解原不等式可得1 x ；
a a
当 a 1 2时，原不等式即为 x 1 0，该不等式的解集为 ；
1 1
当 a 1时， 1，解原不等式可得 x 1 .
a a
1
综上所述，当 0 a 1时，原不等式的解集为 x 1 x ；当 a 1时，原不等式的解集为 ；当 a 1时，原不等式
a
1
的解集为 x x 1a
.
22 2．已知不等式 a 1 x 4x 6 0的解集是 x 1 x 3 ．
(1)求常数 a 的值；
(2)若关于 x 的不等式 ax2 mx 4 0的解集为 R，求 m 的取值范围．
2
【详解】(1)因为不等式 a 1 x 4x 6 0的解集是 x 1 x 3 ．
所以－1 和 3 是方程 a 1 x2 4x 6 0 的解，
把 x 1代入方程解得 a 1．经验证满足题意
(2)若关于 x 的不等式 ax2 mx 4 0的解集为 R，即 x2 mx 4 0的解集为 R，
所以 m2 16 0，解得 4 m 4，所以 m 的取值范围是 4,4 ．
23．解不等式：
(1) 2x2 x 1 0
4 x
(2) 0
2x 3
1
【详解】(1) 2由题意， 2x x 1 0 x 1 2x 1 0 ，所以原不等式的解集为{ x | x 或 x 1}.
2
4 x 2x 3 0 x 4 2x 3 0 3
(2)原不等式可化为 3 ，则原不等式的解集为{x | x 4}．
2x 3 0 x 2 2
24．解不等式：
x 3
(1) 0；
3x 6
x 1
(2) 2 ．
3x 2
2
【答案】(1) x x 2或 x 3 ；(2) x x 1 .
3
x 3 x 3
【详解】(1)由 0，可得 0，
3x 6 3x 6
∴ x 3 3x 6 0，解得 x 2 或 x 3，
所以原不等式的解集为 x x 2或 x 3 .
x 1
(2)由 2
x 1
可得， 2
5x 5
0 ，
3x 2 3x 2 3x 2
5x 5 3x 2 0 2
∴ ，解得 x 1，
3x 2 0 3
2
所以原不等式的解集为 x x 1 .
3
x 2
25．不等式 0的解集是___________.
x 1
【答案】 x | x 2或 x 1
x 2 x 2 x 1 0
【详解】因为 0，所以 ，解得 x 2或 x 1，x 1 x 1 0
x 2
所以不等式 0的解集是 x | x 2或 x 1 .
x 1
故答案为： x | x 2或 x 1 .
26．求下列不等式的解集.
(1) 6 2x2 x 0
x 2
(2) 0
x 4
【答案】(1) , 2 3 ,
；(2) 4, 2
2
【详解】(1)∵ 6 2x2 x 0即 2x2 x 6 0，
3
又方程 2x2 x 6 0的根是 2， ，2
, 2 3 所以原不等式的解集为 , .
2
(2)原不等式转化为： x 4 x 2 0 且 x 4
所以， 4 x 2
所以，原不等式的解集为 4, 2 .
27．解下列关于 x 的不等式．
(1) |1 2x | 3
2x 1
(2) 1
x 2
(3) x2 (3a 1)x 2a(a 1) 0
【答案】(1) 1,2 ；(2) , 2 [1, ) ；(3)具体见解析.
【详解】(1)由题意， | 2x 1| 3 3 2x 1 3 1 x 2，不等式的解集为 1,2 .
2x 1 1 0 x 1(2)由题意， 0 ，不等式的解集为 , 2 [1, ) .
x 2 x 2
(3)由题意， x 2a [x a 1 ] 0，
若 a 1，则不等式的解集为 x | x 2 ；
若 a 1，则不等式的解集为 ,a 1 2a, ；
若a 1，则不等式的解集为 , 2a a 1, .
28．（1）解不等式 x2 2x 3 0
1
（2）解不等式 2x
1
【答案】（1） x x 3或x 1 ；（2） x x 0或x .
2
【详解】（1） x2 2x 3 0 可化为 x 3 x 1 0，解得： x 3或x 1，
所以原不等式的解集为： x x 3或x 1 .
1 2 1 2x 0 x 0 x 1（2） x 可化为
，解得： 或
x 2
1
所以原不等式的解集为： x x 0或x .
2
29．解关于 x 的不等式：
(1) 2 3x 2x2 0；
2x 1
(2) 1
3 x
(1)
1 ,2 4【答案】
；(2) ,3 .
2 3
2 2
【详解】(1) 2 3x 2x 2x 3x 2 2x 1 x 2 0 1， x 2，
2
1
不等式的解集为 , 2 ；
2
2x 1 1 2x 1 1 3x 4
3x 4 3 x 0 4
(2)由 得： 0， ，解得： x 3，3 x 3 x 3 x 3 x 0 3
4 不等式的解集为 ,3
.
3
x2 3x 2 0
30．解不等式组： x 1 .
1 x 4
【答案】 ,1 2,4
【详解】由 x2 3x 2 0 得： x 1 x 2 0 ，故解得： x 2或 x 1
x 1 1 x 1由 得： 1 0
3
，即 0，故 x 4 0，解得： x 4
x 4 x 4 x 4
综上， ,1 2, 与 , 4 取交集，答案为 ,1 2,4
31．解下列不等式（组）：
2x 3
1
(1) x 1 ；
x
2 5x 6 0
(2) a 1 x a2 1．
x 2
0
【详解】(1)（1）原不等式组可转化为 x 1 ，
x 6 x 1 0
x 1或x 2
即 ，解得{x | 1 x 6}.
1 x 6
(2)当 a 1时，不等式的解集为 ；
当 a 1时，不等式的解集为 x x a 1 ，
当a 1时，不等式的解集为 x x a 1 ，
故当 a 1时，不等式的解集为 ；
当 a 1时，不等式的解集为 x x a 1 ，
当a 1时，不等式的解集为 x x a 1 ．
32．求下列不等式的解.
(1) x2 x 6 0
3x 1
(2) 1
2 x
3
【答案】(1) x 3 x 2 ；(2) x x 2
4
【详解】(1)由 x2 x 6 0 ，得 (x 2)(x 3) 0 ，解得 3 x 2，
所以不等式的解集为 x 3 x 2
3x 1 1 3x 1 1 0 4x 3(2)由 ，得 ， 0，
2 x 2 x 2 x
所以 (4x 3)(2 x) 0
3
，且 2 x 0，解得 x 2
4
3
所以原不等式的解集为 x x 2
4
33．已知函数 f x x2 2mx 2 m
(1)若不等式 f x mx在 R 上恒成立，求实数m 的取值范围
(2)若 f x 0在 0,1 上恒成立，求实数m 的最大值.
【详解】（1） f x mx即为 x2 mx 2 m 0，此不等式在 R 上恒成立，则 ( m)2 4(2 m) 0，解得
2 2 3 m 2 2 3；
（2） f (x) x2 2mx 2 m 0 在 0,1 上恒成立，若0 m 1，则 f (x)min f (m) m2 2m2 2 m 0， 2 m 1，
所以0 m 1，若m 0，则 f (x)min f (0) 2 m 0，m 2，所以m 0，若m 1，则 f (x)min f (1) 1 2m 2 m 0，
m≤1，m ，综上m 的取值范围是 ( ,1]．
34．已知二次函数 y x2 2ax 2 .若1≤x≤5时，不等式 y 3ax 恒成立，求实数 a的取值范围.
【答案】a 2 2 .
【详解】不等式 f (x) 3ax 即为： x2 ax 2 0 ，
2
x 1,5 x 2 2 a (x 2当 时，可变形为： a x ，即 )
x x x min
.
x 2又 2 x 2 2 2 ，
x x
x 2当且仅当 ，即 x 2 1,5 时，等号成立，
x
2
(x )min 2 2 ，即a 2 2 .x
故实数 a的取值范围是：a 2 2 .
35．已知函数 f x 2x2 2ax 1．
(1)解关于 x 的不等式 f x a 1 x；
(2)若不等式 f x 0 在 x 2,0 上有解，求实数 a的取值范围．
【详解】(1) f x a 1 x，即 2x2 2ax 1 a 1 x，
2x2所以 2a 1 x a 0，
所以 2x 1 x a 0，
1 1
①当 a 时不等式的解为 x a或 x ，
2 2
a 1 1②当 时不等式的解为 x , x R ，
2 2
1 1
③当 a 时不等式的解为 x 或 x a，
2 2
综上：原不等式的解集为
1 1
当 a 时 x x a或 x ，
2 2
1
当 a 时 x x 1 ，
2 2
a 1当 时 x x a 1或 x ．
2 2
(2)不等式 f x 0 在 x 2,0 上有解，
即 2x2 2ax 1 0 在 x 2,0 上有解，
a 1所以 x 在 x 2,0 上有解，
2x
所以 a x
1
， x 2,0 ,
2x max
因为 x 1 2
1
x
2 ，
2x 2x
所以 x
1
2 ，
2x
1
当且仅当 x ，即
2x x
2
时取等号，
2
所以 a 2 .
36．国家原计划以 2000 元/吨的价格收购某种农产品m
吨.按规定，农户向国家纳税：每收入 100 元纳税 8 元（称作税率为 8 个百分点，即 8%）.为了减轻农民负担，制定
积极的收购政策.根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x个百分点.试确定 x 的范围，使税率调低后，
国家此项税收总收入不低于原计划的 54%.
【详解】设税率调低后“税收总收入”为 y 元.
y=2000m(1+2x%)·(8-x)%(0依题意，得 y≥2000m×8%×54%，
即 2000m(1+2x%)·(8-x)%≥2000m×8%×54%，
整理得 x2+42x-184≤0，解得-46≤x≤4.
根据 x 的实际意义，知 037．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶 70 元，不征收附加税的时候，
每年大约产销 100 万瓶，若政府征收附加税，每销售 100 元要征税 R 元（叫做税率 R%），则每年的销售将减少 10R
万瓶.
（1）求出每年商店经营烟酒被征收的附加税税金 S（单位：万元）；
（2）若附加税税金 S 不少于 112 万元，且不大于 168 万元，求 R 的取值范围.
【详解】（1）依题意 S 70 100 10R R% 0 R 10 （单位：万元）.
70 100 10R R% 112
（2）依题意
70 100 10R R%
，解得 2 R 4或6 R 8，
168
所以 R 的取值范围是 2,4 6,8 .