余弦定理[下学期]
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课件32张PPT。2、正弦定理可以解哪几类的三角形问题？ （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（进而求出其他的边和角）。1、正弦定理第二种情况若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解;若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无 解.3、向量的数量积：复习回顾2019/3/16新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com2千岛湖 110.8° 700m1338m千岛湖 用正弦定理能否直接求出A , B两处的距离？ 这是一个已知三角形两边a和b,和两边的夹角C，求出第三边c的问题.?余弦定理 已知三角形两边分别为a和b,这两边的夹角为C，角C满足什么条件时较易求出第三边c？勾股定理你能用向量证明勾股定理吗？即证证明：余 弦 定 理1、向量的数量积：2、勾股定理：证明：复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理当 时当 时当 时AB边的大小与BC、AC边的大小和角C的大小有什么关系呢？怎样用它们表示AB呢？复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理解：复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理D当角C为锐角时证明：过A作AD CB交CB于D在Rt 中在 中复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理当角C为钝角时证明：过A作AD CB交BC的延长线于D在Rt 中在 中D复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理证明：以CB所在的直线为X轴，
过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结 利用余弦定理，可以解决：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及夹角，求第三边和
其他两个角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结例 1：在?ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，求A、B和C.解：∴ A≈44°∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结例 2：在?ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.解：由 c2=a2＋b2－2abcosC,得 c≈4.297.∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结解 : cosA = =∵∴∴∵cos B ===∴C==例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∴ A≈84°.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴ A≈84°.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = α+ β,tanα = ?tanβ = ?tan(α+ β) = 复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结解：在?AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61,例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结∴ ∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.在?OAC中，
∵ |a + b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos60°
＝21,例5 已知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30°, 求C.解: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB·ADcosA
≈ 2.60,C ≈ 107.5°.思考：若A= θ, 怎样用θ表示四边形ABCD的面积？练习
?ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = ______.（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结课堂练习: 1 . 在三角形ABC中,已知 a = 2, b =
c = + 1 , 求角A2思考题:在三角形ABC中，若a2 =b2+c2+bc, 求角A.o2 .在三角形ABC中, 已知 a = 2, c = -解此三角形.B=135,o6问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖 析 定 理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）
（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？剖 析 定 理剖 析 定 理（4）能否把式子 转化为角的关系式？分析：（1）已知三边求三个角；问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.剖 析 定 理研究题
总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理课堂小结：1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理布置作业：引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/16新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com32
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理D当角C为锐角时证明：过A作AD CB交CB于D在Rt 中在 中复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理当角C为钝角时证明：过A作AD CB交BC的延长线于D在Rt 中在 中D复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理证明：以CB所在的直线为X轴，
过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结 利用余弦定理，可以解决：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及夹角，求第三边和
其他两个角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结例 1：在?ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，求A、B和C.解：∴ A≈44°∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结例 2：在?ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.解：由 c2=a2＋b2－2abcosC,得 c≈4.297.∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结解 : cosA = =∵∴∴∵cos B ===∴C==例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∴ A≈84°.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴ A≈84°.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = α+ β,tanα = ?tanβ = ?tan(α+ β) = 复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结解：在?AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61,例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结∴ ∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.在?OAC中，
∵ |a + b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos60°
＝21,例5 已知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30°, 求C.解: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB·ADcosA
≈ 2.60,C ≈ 107.5°.思考：若A= θ, 怎样用θ表示四边形ABCD的面积？练习
?ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = ______.（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结课堂练习: 1 . 在三角形ABC中,已知 a = 2, b =
c = + 1 , 求角A2思考题:在三角形ABC中，若a2 =b2+c2+bc, 求角A.o2 .在三角形ABC中, 已知 a = 2, c = -解此三角形.B=135,o6问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖 析 定 理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）
（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？剖 析 定 理剖 析 定 理（4）能否把式子 转化为角的关系式？分析：（1）已知三边求三个角；问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.剖 析 定 理研究题
总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理课堂小结：1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理布置作业：引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/16新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com32